Một số khái niệm chung

, Ị ỊỊ Ä 1) Dạng khuyết

1. Một số khái niệm chung

Nếu ta cộng các số hạng của một dãy vơ hạn /W ta được một biểu thức dạng

(1) /=' /' /r' X ' /W' X gọi là một chuỗi vơ hạn (hoặc ngắn gọn là một chuỗi) và ký hiệu bởi

ù /W Š W‰=

hoặc ù /W Trước hết, ta làm rõ thế nào là một tổng của vơ hạn các số hạng. + Chuỗi sau khơng thể cĩ kết quả là một số thực

1 ' 2 ' 3 ' 4 ' 5 ' X ' Q ' X

bởi vì nếu ta bắt đầu cộng các số hạng từ đầu, ta được các tổng tích lũy (hay cịn gọi là các tổng riêng) là 1, 3, 6, 10, 15, 21,… , tổng từ đầu cho đến số hạng thứ n là n(n+1)/2, tổng này càng lớn nếu n càng lớn.

+ Tuy nhiên, với chuỗi sau thì lại khác, nếu ta cộng như cách ở trên đối với dãy 1

2 '14 '18 '16 '1 32 '1 64 X ' X1 21W' X

thì ta được các tổng riêng là =,r‡,>,=8=\,r=r,\r\‡, … ,1 !=×, …Bảng dưới đây chỉ ra rằng khi ta cộng ngày càng nhiều các số hạng thì các tổng riêng dần đến số 1.

n Tổng của n số hạng đầu tiên 1 2 3 4 5 6 7 10 15 20 25 0,50000000 0,75000000 0,87500000 0,93750000 0,96875000 0,98437500 0,99218750 0,99902344 0,99996948 0,99999905 0,99999997

Bằng cách cộng đủ nhiều các số hạng đầu tiên của chuỗi ta được các tổng riêng gần 1 một cách tùy ý. Đĩ là lý do ta nghĩ đến việc tổng của chuỗi vơ hạn này là 1 và viết

ù21W

ŠW‰= W‰=

1

2 '14 '18 '16 '1 32 '1 64 X ' X1 21W' X 1

Ta sẽ dùng ý tưởng tương tự để xác định chuỗi (1) cĩ tổng là số hữu hạn hay khơng. Ta xét các tổng riêng ị= /= ị /=' / ịr /=' /' /r ị‡ /=' /' /r' /‡ và tổng quát, ịW /=' /' /r' /‡' X /W ù /Þ W މ=

148

Các tổng riêng này lập thành một dãy số mới ịW, dãy này cĩ thể hội tụ hoặc khơng. Nếu tồn tại limW’ŠịW ị (giới hạn là một số thực), thì ta gọi s là tổng của chuỗi vơ hạn ∑/W.

(2) ĐỊNH NGHĨA Cho chuỗi ∑ŠW‰=/W= /=' /' /r' /‡' X, đặt ịW là tổng riêng thứ n: ịW /=' /' /r' /‡' X /W ù /Þ

Wމ= މ=

.

Nếu dãy ịW hội tụ và limW’ŠịW ị là một số thực, thì chuỗi ∑ŠW‰=/W được gọi là chuỗi hội tụ và viết

/=' /' /r' /‡' X /W' X ị (Ỵặ[ ù /Þ Š މ=

ị Số s được gọi là tổng của chuỗi.

Ngược lại, thì chuỗi được gọi là phân kỳ.

Như vậy, ta viết ∑Š=‰@í= b thì hiểu là khi cộng càng nhiều các số hạng của chuỗi (theo thứ tự

kể từ số hạng đầu) ta được số gần s một cách tùy ý. Lưu ý rằng ù /Þ Š މ= limW’ŠịW limW’Šù /Þ W މ=

VÍ DỤ 1 Một ví dụ quan trọng về chuỗi vơ hạn là chuỗi hình học, chuỗi hình học được xác định như sau:

/ ' / ' /' /r' X ' /W.=' X ù /W.= Š

W‰=

; / ) 0

Mỗi một số hạng nhận được bằng cách lấy số hạng liền trước nhân với số cố định r.(Ta đã xét trường hợp đặc biệt với / = và =.) Với a, r là các số đã biết.

Sau đây, ta biện luận về tính hội tụ của chuỗi hình học theo r.

Nếu r = 1, thì ịW / ' / ' X ' / Q/ ’ ¸∞. Bởi vì limW’ŠịW khơng tồn tại nên chuỗi hình học phân kỳ.

Nếu ) 1, thì ịW / ' / ' /' /r' X ' /W.= và ịW / ' /' /r' X ' /W.=' /W

Trừ vế cho vế hai đẳng thức trên, ta được

ịW! ịW / ! /W (3) ịW+=.¡=.¡=.¡+ !=.¡+ W. Nếu -1 < r < 1, thì W’ 0 khi Q ’ ∞, do đĩ lim W’ŠịW limW’Š/1 ! 1 ! W 1 ! !/ 1 ! lim/ W W’Š 1 ! / Như vậy, khi || O 1 thì chuỗi hình học hội tụ và tổng của nĩ là a/(1 - r).

Nếu # !1 hoặc r > 1, thì W khơng hội tụ nên từ (3) suy ra limW’ŠịW khơng tồn tại, tức là chuỗi hình học phân kỳ.

Các tình huống trong Ví dụ 1 được tổng kết trong bảng sau đây, sau này được dùng mà khơng phải chứng minh lại (4) Với chuỗi hình học / ' / ' /' /r' X ' /W.=' X ù /W.= Š W‰= ; / ) 0.

149 Nếu | r | < 1, thì hội tụ và tổng của nĩ là ∑Š /W.=

W‰= =.¡+ .Nếu || F 1, thì chuỗi hình học phân kỳ. Nếu || F 1, thì chuỗi hình học phân kỳ.

VÍ DỤ 2 Tìm tổng của chuỗi hình học sau

5 !103 '209 !4027 ' X

GIẢI Số hạng đầu là a = 5 và r = -2/3. Vì || rO 1 nên theo (4) ta được chuỗi đã cho hội tụ và tổng của nĩ là 5 !103 '209 !4027 ' X 5 1 ! ;! 23< 5 5 3 3 ■

Khi ta nĩi tổng của chuỗi trong Ví dụ 2 là 3, thì cĩ nghĩa là gì? Tất nhiên, ta khơng thể cộng tất cả các số hạng trong chuỗi vì cĩ vơ hạn số hạng. Nhưng, theo Định nghĩa 2, tổng của chuỗi là giới hạn

của dãy tổng riêng. Vì thế, bằng cách lấy tổng của n số hạng đầu tiên với n càng lớn, ta sẽ được số gần với 3 một cách tùy ý. Bảng sau chỉ ra tổng riêng của 10 phần tử và Hình 1 cho thấy dãy tổng riêng hội tụ về 3.

HÌNH 1 VÍ DỤ 3 Chuỗi ∑Š 2W3=.W VÍ DỤ 3 Chuỗi ∑Š 2W3=.W

W‰= hội tụ hay phân kỳ?

GIẢI

+ Ta thấy 2W3=.W r‡¯¨ 4 ;‡r<W.=

+ Nên chuỗi đã cho là chuỗi hình học với a = 4 và r = 4/3.

+ Vì r > 1 nên chuỗi đã cho phân kỳ. ■ Ta cĩ thể xác định a và r bằng cách viết ra các số hạng đầu tiên:

4 '163 '649 ' X

VÍ DỤ 4 Viết số 2,317~~~~ 2, 317171717 … dưới dạng phân số.

GIẢI

2,3171717 … 2,3 '1017r'10178'1017' X

Khơng kể số hạng đầu thì ta cĩ một chuỗi hình học với / =?=u, =?=:. Nên ta cĩ 2,317~~~~ 2,3 ' ¨øu¨õ =.¨ø:¨ 2,3 '¨øøø¨õ cc ¨øø r=?'ŽŽ?= ==‡‡Ž8 ■ n sn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5,000000 1,666667 3,888889 2,407407 3,395062 2,736626 3,175583 2,882945 3,078037 2,947975

150

VÍ DỤ 5 Tìm tổng của chuỗi ∑Š W

ˆ‰? , trong đĩ | x | < 1.

GIẢI Lưu ý rằng, chuỗi này bắt đầu bởi số hạng với n = 0 và số hạng đầu tiên là ? 1. (Với một chuỗi, ta chấp nhận quy ước > @ ngay cả khi x = 0.) Vì thế

ù W Š ˆ‰?

1 ' ' ' r' ‡' X

Đây là một chuỗi hình học với a = 1 và r = x. Do | r | = | x | < 1 nên chuỗi này hội tụ và

(5) ∑Š W

ˆ‰? =.E= ■

VÍ DỤ 6 Hãy chỉ ra rằng chuỗi ∑Š WW,==

W‰= hội tụ, hãy tìm tổng của chuỗi.

GIẢI Chuỗi này khơng phải là chuỗi hình học, vì thế ta phải xét theo định nghĩa của chuỗi hội tụ bằng cách tính các tổng riêng.

ịW ù,,' 11

Wމ= މ=

1 · 2 '1 2 · 3 '1 3 · 4 ' X '1 Q · Q ' 11Ta cĩ thể đơn giản hĩa biểu thức này bằng cách dùng: Ta cĩ thể đơn giản hĩa biểu thức này bằng cách dùng:

1

,,' 1 1, !,' 11Do đĩ, ta cĩ Do đĩ, ta cĩ

Lưu ý rằng các số hạng được giản ước theo cặp. Do đĩ limˆ’ŠịW limˆ’Š;1 !W,== < 1 ! 0 1 Thế nên, chuỗi đã cho hội tụ và ∑Š WW,==

W‰= 1 ■

Đồ thị của dãy /W 1/$QQ ' 1& và dãy tổng riêng ịW nĩi trong Ví dụ 6 được minh họa trong Hình 2. Ta nhận thấy rằng /W ’ 0 cịn ịW’ 1.

HÌNH 2 VÍ DỤ 7 Hãy chứng minh rằng chuỗi điều hịa VÍ DỤ 7 Hãy chứng minh rằng chuỗi điều hịa

ù1Q Š W‰= 1 '12 '13 '14 ' X là chuỗi phân kỳ. GIẢI ị= 1 ị 1 '12 ị‡ 1 '12 ' k13 '4l @ 1 ' 1 '1 12 ' k14 '14l 1 '22

151 ị> 1 '12 ' k13 '4l ' k1 15 '16 '17 '18l @ 1 '2 ' k1 14 '14l ' k18 '18 '18 '18l 1 '12 '12 '12 1 '32 ị=\ 1 '12 ' k13 '14l ' k5 '1 16 '17 '18l ' k19 ' X '16l1 @ 1 '12 ' k14 '14l ' k18 '18 '18 '18l ' k16 ' X '1 16l 1 '1 12 '12 '12 '12 1 '42 Tương tự, ịr @ 1 '8, ị\‡@ 1 '\, tổng quát ị @ 1 'Q2

Điều này chỉ ra rằng ị ’ ∞ d(, Q ’ ∞ và do đĩ dãy ịW là phân kỳ. ■ Phương pháp được sử dụng trong Ví dụ 7 để chỉ ra rằng chuỗi điều hịa phân kỳ là của học giả người Pháp Nicole Oresme (1323 - 1382).