II. Chứng minh
3. Đạo hàm cấp 2 và tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị
Hàm lồi - hàm lõm trên một khoảng
Xét các hình vẽ sau:
Ta thấy, mỗi hình vẽ đều mơ tả hàm số đồng biến trên (a, b). Cả hai đều là đường nối A với B nhưng trơng cĩ vẻ khác nhau, bởi vì chúng được bẻ cong theo các hướng khác nhau. Ta phân biệt chúng như thế nào? Trong hình (a) các điểm trên đường cong nằm trên tiếp tuyến, nhìn từ phía dưới lên thấy nĩ là đường cong lồi, người ta gọi f là hàm lồi trên (a, b). Trong hình (b) các điểm trên đồ thị của g nằm phía dưới của các tiếp tuyến, nhìn từ dưới lên thấy nĩ là đường cong lõm, người ta nĩi g lõm trên (a, b).
ĐỊNH NGHĨA
+ Nếu đồ thị của hàm nằm hồn tồn ở trên và phía trên của tiếp tuyến với nĩ tại các điểm trong khoảng I, thì ta nĩi nĩ là hàm lồi trên I.
+ Nếu đồ thị của hàm nằm hồn tồn ở trên và phía dưới của tiếp tuyến với nĩ tại cácđiểm trong khoảng I, thì ta nĩi nĩ là hàm lõm trên I.
Ghi chú: Người ta cịn đưa ra định nghĩa tương đương như sau về hàm lồi và hàm lõm: Một hàm số liên tục trên (a, b) được gọi là lồi nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1) x2, với mọi ² 0, 1, thì ta đều cĩ: 1 ! ²= ' ² F 1 ! ²=' ². Nếu thay F bởi #, ta được khái niệm hàm lõm.
Chúng ta phải nhờ đến đạo hàm để tìm các khoảng lồi lõm của hàm số. Nhìn hình (a) ta thấy, tính từ trái sang phải, hệ số gĩc của tiếp tuyến tăng tức là f’ là hàm tăng hay ỊỊ @ 0. Ở hình (b) thì tương ứng hệ số gĩc giảm, tức là ç là hàm giảm hay ỊỊ O 0. Hình vẽ trên là minh họa hình học cho Định lý sau đây.
Định lý 7 Giả sử hàm số cĩ đạo hàm đến cấp 2 trên (a, b). Khi đĩ: i) Nếu ỊỊ @ 0 với mọi /, Z, thì hàm số lồi trong khoảng đĩ.
62 Điểm uốn
Cho hàm số liên tục. Điểm /, / của đồ thị hàm số được gọi là điểm uốn của đồ thị nếu nĩ là điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm của đồ thị, khi đĩ / được gọi là điểm uốn của hàm số.
Ta xác định điểm uốn của hàm số dựa vào định lý sau đây.
Định lý 8 Giả sử hàm cĩ đạo hàm cấp 2 trên (a, b) và Ị[ 0 với [ /, Z. i) Nếu ỊỊ đổi dấu khi x biến thiên qua [, thì [ là điểm uốn của hàm số.
ii) Nếu ỊỊ khơng đổi dấu khi x biến thiên qua [, thì [ khơng là điểm uốn của hàm số.
VÍ DỤ 3. Tìm cực trị, khoảng lồi lõm và điểm uốn của hàm số: 1
√2½.=E :
(hàm này là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên cĩ phân phối tiêu chuẩn, xuất hiện trong xác suất- thống kê)