LimE’f ‚s !‚ là một VCB.

II. Chứng minh

4. limE’f ‚s !‚ là một VCB.

Ta thấy rằng x2, x4 đều là hai vơ cùng bé trong quá trình x → 0 nhưng ta thấy rằng khi x rất gần 0 thì: 0 < x4 < x2, tức là x4 tiến về 0 nhanh hơn so với x2. Khi đĩ ta nĩi x4 là VCB cấp cao hơn x2. Một cách chính xác, ta cĩ định nghĩa sau đây.

ĐỊNH NGHĨA (về cấp của VCB)

Cho α(x) và β(x) là các VCB trong cùng một quá trình.

Nếu αE

βE→ 0, thì nĩi α(x) là VCB cấp cao hơn β(x) và ký hiệu α(x) = o(β(x)) (đọc: α(x) là “khơng nhỏ” của β(x));

Nếu αE

βE → L ≠ 0 (L hữu hạn), thì nĩi α(x) và β(x) là hai VCB cùng cấp

(với nghĩa là chúng dần đến 0 nhanh như nhau).

Đặc biệt, khi L = 1 ta nĩi α(x) và β(x) là hai VCB tương đương và ký hiệu α(x) ∼β(x).

MỘT SỐ CẶP VCB TƯƠNG ĐƯƠNG (cần ghi nhớ):

• Nếu λ > µ > 0, thì trong quá trình x → 0+ ta cĩ xλ = o(xµ). • Trong quá trình x → 0:

sinx ∼ x, tanx ∼ x, arcsinx ∼ x, arctanx∼ x, 1 – cosx ∼E:

, loga(1 + x) ∼ E

 ˆ + , ax – 1 ∼ xlna, (1 + x)µ - 1 ∼µx.

LƯU Ý:α1(x) ∼β1(x) và α2(x) ∼β2(x) khơng thể suy ra được α1(x) + α2(x) ∼β1(x) + β2(x). Ta cĩ định lý sau về VCB tương đương:

Định lý 7 Trong một quá trình

β(x) + o(β(x)) ∼β(x)

40

VÍ DỤ 17 Trong quá trình x → 0:

2x ∼ 2x + 3x2 – 5x3 + 7x4 vì 3x2 – 5x3 + 7x4 = o(2x),

3x ∼ 3x - 9x2 + x3 + 3x4 + 4x5 vì - 9x2 + x3 + 3x4 + 4x5 = o(3x).

Ứng dụng của khái niệm VCB trong việc khử dạng vơ định 0/0 được thể hiện qua định lý sau: Định lý 8 Trong một quá trình, nếu ta cĩ hai cặp VCB tương đương: α(x) ∼α*(x), β(x) ∼β*(x), và tồn tại limÃÅÄÄEºEE*E, thì

limαβD limαβÄÄD

LƯU Ý Nếu limE’?ÃEÅE thuộc dạng vơ định ??, ta hay thay thế α(x) và β(x) bởi các VCB dạng axµ.

VÍ DỤ 18 Tìm các giới hạn sau:

a limE’?3 ! 92 ' 3 ' – 5r ' 3r ' 7‡ ' 4‡ 8 blimE’?ln 1 ! c limeE! 1 E’?ln 1 ' tan35 ' sinr d limE’=sinelnE.=! 1

Giải

a) Từ ví dụ trên ta cĩ: trong quá trình x → 0 thì

2x ∼ 2x + 3x2 – 5x3 + 7x4 và 3x ∼ 3x - 9x2 + x3 + 3x4 + 4x5 nên lim

E’?

2 ' 3 – 5r ' 7‡

3 ! 9 ' r ' 3‡ ' 48 limE’?2 3 23 b) Theo kết quả nêu trên, ta cĩ: trong quá trình x → 0 thì

eE! 1~ 2; ln1 ! ~ ! Nên: limE’? ˆ =.EÌ:Â.= limE’?.EE !2.

c) Ta cĩ E’?lim ˆ =,ÍfˆrErE limE’? ˆ =,ÍfˆrEÍfˆrE ·ÍfˆrErE 1 nên: ln 1 ' tan 3~3 Mặt khác: E’?limÀˆ8EuE limE’?Àˆ:8·EE·Àˆ E 0 tức là sinr Ỵ5

Vậy c limE’? ˆ =,ÍfˆrE8E,ÀˆuE limE’?rE8Er8

d) Trong quá trình ’ 1 tức là quá trình ! 1 ’ 0: eE.=! 1 ’ 0 nên sineE.=! 1 ~ eE.=! 1 ln ln ! 1 ' 1 ~ ! 1.

limE’=sineE.=ln! 1 limE’=eE.= ! 1 1.! 1

VƠ CÙNG LỚN

ĐỊNH NGHĨA Hàm số Ï được gọi là vơ cùng lớn (VCL) trong quá trình ’ / (a là số thực hoặc vơ cực) nếu ta cĩ

lim

E’+|β| '∞

NHẬN XÉT: