, Ị ỊỊ Ä 1) Dạng khuyết
a) Phương trình thuần nhất
Từ đặc điểm của phương trình thuần nhất
ỊỊ' /Ị' Z 0
người ta ước đốn được hàm số dạng ½E là nghiệm, từ đĩ ta thử thay vào phương trình và được
d½E' /d½E' Z½E 0 tương đương với
½Ed' /d ' Z 0 Như vậy ta thấy hàm ½E , với số d thỏa mãn phương trình
d' /d ' Z 0 , là nghiệm của (4).
Phương trình d' /d ' Z 0 6 được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (4).
Cách giải
Bước 1: Giải phương trình đặc trưng
d' /d ' Z 0 trên tập số phức.
Bước 2: Viết nghiệm tổng quát
• Nếu phương trình đặc trưng cĩ hai nghiệm thực phân biệt d=, d, thì nghiệm tổng quát của phương trình (4) là
2=½¨E' 2½:E
với 2=, 2 là hai hằng số bất kỳ (ở đây ½¨E, ½:E là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (4). • Nếu phương trình đặc trưng cĩ nghiệm kép d d= d, thì nghiệm tổng quát của (4) là
½¨E2=' 2
với 2=, 2 là hai hằng số bất kỳ (ở đây ½¨E, ½¨E là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (4). • Nếu phương trình đặc trưng cĩ hai nghiệm phức d=, ² ¸,Ï Ï ) 0, thì nghiệm tổng
quát của (4) là
½±E2=cos Ï ' 2sin Ï
với 2=, 2 là hai hằng số bất kỳ (ở đây ½±Ecos Ï , ½±Esin Ï là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (4).
VÍ DỤ 7 Giải các phương trình sau a) ỊỊ! 5Ị' 4 0
143 b) ỊỊ! 2Ị' 0 c) ỊỊ' 2Ị' 5 0 d) ỊỊ' 3Ị' 2 0, 0 1 Ị0 !1. Giải a) Phương trình đặc trưng là d! 5d ' 4 0 Phương trình này cĩ hai nghiệm thực phân biệt là 1; 4. Nghiệm tổng quát là 2=½E' 2½E.
b) Phương trình đặc trưng là
d! 2d ' 1 0 Phương trình này cĩ nghiệm kép x = 1.
Nghiệm tổng quát là 2=½E' 2½E. c) Phương trình đặc trưng là
d' 2d ' 5 0 Phương trình này cĩ hai nghiệm phức phân biệt là
!1 ! 2,; !1 ' 2,. Nghiệm tổng quát là ½.E2=cos 2 ' 2sin 2 d) Phương trình đặc trưng là
d' 3d ' 2 0
Phương trình này cĩ hai nghiệm thực phân biệt là !1; !2,. Nghiệm tổng quát là 2=½.E' 2½.E.
Từ điều kiện đầu, ta được hệ
T 2!22=' 2 1
=! 2 !1S Giải hệ, được 2= 0; 2 1.
Vậy nghiệm riêng cần tìm là ½.E.