, Ị ỊỊ Ä 1) Dạng khuyết
b) Phương trình khơng thuần nhất
• Phương pháp tìm nghiệm riêng
Theo Định lý 2, để tìm nghiệm tổng quát của (5) ta chỉ cần đi tìm một nghiệm riêng của nĩ là được bởi vì ở trên đã cho ta cách tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng. Tuy nhiên việc tìm một nghiệm riêng của (5) cũng là một việc khĩ khăn. Sau đây là một số trường hợp mà ta chắc chắn tìm được nghiệm riêng theo hướng dẫn.
Trường hợp ½_E,trong đĩ 1 là đa thức bậc n:
+) Nếu ` khơng là nghiệm của phương trình đặc trưng (6), thì nghiệm riêng của (5) cĩ dạng
? ½_E_
+) Nếu ` là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (6), thì nghiệm riêng của (5) cĩ dạng
? ½_E_
+) Nếu ` là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (6), thì nghiệm riêng của (5) cĩ dạng ? ½_E_
Trong đĩ _ là đa thức bậc n ở dạng đầy đủ.
VÍ DỤ 8 Giải mỗi phương trình sau a) ỊỊ! 5Ị' 4 ½E
b) ỊỊ! 2Ị' ½E
144 a) + Phương trình thuần nhất tương ứng là
ỊỊ! 5Ị' 4 0 Phương trình đặc trưng là
d! 5d ' 4 0 Phương trình này cĩ hai nghiệm thực phân biệt là 1; 4 Nghiệm tổng quát là 2=½E' 2½E.
+ ½E. và 2 khơng là nghiệm của phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng cĩ dạng ? ½Eg ' i.
Thay vào phương trình đã cho và thu gọn, ta được
!2g ! g ! 2i Cân bằng hệ số, ta cĩ g !=; i =.
Nên ? ½E;!= '=<.
Kết luận, nghiệm tổng quát của phương trình là 2=½E' 2½E' ½E;!= '=<. b) + Phương trình thuần nhất tương ứng là
ỊỊ! 2Ị' 0Nghiệm tổng quát là 2=½E' 2½E. Nghiệm tổng quát là 2=½E' 2½E.
+ ½E. và 1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng cĩ dạng ? ½Eg ' i ½Egr' i.
Thay vào phương trình đã cho và thu gọn, ta được
6g ! 2i ' 4i Cân bằng hệ số, ta cĩ g =\; i 0.
Nên ? ½E = \r.
Kết luận, nghiệm tổng quát của phương trình là 2=½E' 2½E'=\r½E.
Trường hợp ½±E$W cos Ï ' _£ sin Ï&,trong đĩ 1?,2a là đa thức bậc n, m tương ứng:
+) Nếu ² ',Ï khơng là nghiệm của phương trình (6), thì nghiệm riêng của (5) cĩ dạng
? ½±E$ cos Ï ' sin Ï&
+) Nếu ² ',Ï Ï ) 0 là nghiệm của phương trình (6), thì nghiệm riêng của (5) cĩ dạng
? ½±E$ cos Ï ' sin Ï& Trong đĩ d maxQ, V ; , _ là các đa thức bậc k dạng đầy đủ.
VÍ DỤ 9 Giải phương trình sau
ỊỊ! 2Ị' 5 ½Ecos
Giải
+ Phương trình thuần nhất tương ứng cĩ phương trình đặc trưng là d! 2d ' 5 0
Phương trình này cĩ hai nghiệm phức phân biệt là 1 ! 2,; 1 ' 2,
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là ½E2=cos 2 ' 2sin 2.
½Ecos và 1+ i khơng là nghiệm phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng cĩ dạng ? ½Egcos ' isin .
Thay vào phương trình đã cho và thu gọn, ta được
145 Cân bằng hệ số, ta cĩ g =r; i 0.
Nên ? =r½Ecos .
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là
½E2=cos 2 ' 2sin 2 '13 ½Ecos .
Trường hợp D ' (, trong đĩ hai phương trình ỊỊ' /Ị' Z D ỊỊ' /Ị' Z (
đều tìm được nghiệm riêng. Khi đĩ theo nguyên lý chồng chất nghiệm ta suy ra nghiệm riêng của phương trình (5).
VÍ DỤ 11 Giải phương trình sau
ỊỊ! 2Ị' 5 ½Ecos ' 2010.
Giải
+ Phương trình thuần nhất tương ứng cĩ nghiệm tổng quát là ½E2=cos 2 ' 2sin 2.
+ Phương trình ỊỊ! 2Ị' 5 ½Ecos cĩ nghiệm riêng là = =r½Ecos . Dễ thấy phương trình
ỊỊ! 2Ị' 5 2010. Cĩ nghiệm riêng là 402.
Nên nghiệm riêng của phương trình đã cho là ? =r½Ecos ' 402. + Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
½E2=cos 2 ' 2sin 2 '13 ½Ecos ' 402
• Phương pháp biến thiên hằng số
Trong trường hợp khơng thể tìm nghiệm riêng của phương trình (5), thì ta làm như sau: +) Tìm nghiệm tổng quát của (4) ở dạng:
2=· = ' 2· trong đĩ =, là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (4). trong đĩ =, là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (4). +) Coi 2=, 2 là các hàm số thì ta được hàm dạng