SKKN: Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài toán quỹ tích

Mời các bạn tham khảo bài sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng phép biến hình để giải một số bài toán quỹ tích, hy vọng sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và giảng dạy.

Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN Tên đề tài : ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN QUỸ TÍCH QN tháng năm 2011 Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tô Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ MỞ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Mục tiêu đào tạo nhà trường phổ thông Việt Nam hình thành sở ban đầu trọng yếu người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu điều kiện hoàn cảnh đất nước người Việt Nam Trong giai đoạn nay, mục tiêu đào tạo nhà trường phổ thông Việt Nam cụ thể hoá văn kiện Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII Đảng cộng sản Việt Nam kết luận hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu gắn với sách chung giáo dục đào tạo “ Giáo dục đào tạo gắn liền với phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng văn hoá người mới…” “Chính sách giáo dục hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề…” Mơn Tốn trường phổ thơng giữ vai trị, vị trí quan trọng mơn học cơng cụ học tốt mơn Tốn tri thức Toán với phương pháp làm việc tốn trở thành cơng cụ để học tốt mơn học khác Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ tốn học cần thiết mơn Tốn cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Trong chương I hình học 11 , phép biến hình cơng cụ hữu hiệu để giải tốn quỹ tích , dựng hình Đây vấn đề khó khăn học sinh lần làm quen với khái niệm biến hình Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ hầu hết em “ngại” làm toán liên quan đến quỹ tích Nhưng nội dung phép biến hình đưa vào chương trình khơng cơng cụ để để giải tốn mà cịn giúp em làm quen với phương pháp tư suy luận biết nhìn vật tượng xung quanh với quan điểm vận động biến đổi góp phần rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo học tập Do với đề tài : “Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích” tơi mong muốn phần giúp học sinh thích thú học toán II/ MỤC TIÊU VÀ PHẠM VI ỨNG DỤNG: 1.Mục tiêu : Với đặc điểm chương là: Kiến thức , học sinh tiếp cận khó khăn chất lượng học sinh khơng đồng Mặc dù chương trình giảm tải mặt lý thuyết nhiều Nhưng để áp dụng lý thuyết để giải số tốn quỹ tích thực vấn đề khó khăn nhiều học sinh Do qua trình giảng dạy, để đảm bảo mục đích dạy học tất đối tượng học sinh , đồng thời phát lực học tập số cá nhân học sinh đòi hỏi người thầy phải có phương pháp truyền thụ thích hợp đến đối tượng học sinh Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học 2.Phạm vi thực : Mọi đối tượng học sinh 3.Phạm vi đề tài : Một số tập quỹ tích chương biến hình 4.Hướng phát triển : Hồn thiện hệ thống tập đa dạng phong phú hơn, bổ sung thêm phép đồng dạng Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ 5.Phương pháp nghiên cứu : Nghiên cứu loại tài liệu có liên quan đến đề tài Phương pháp điều tra Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo học sinh) Phương pháp quan sát (công việc dạy học giáo viên học sinh) 6.Thời gian thực đề tài : Năm học 2010-2011 NỘI DUNG I.CƠ SỞ LÝ LUẬN : 1.Cơ sở triết học : Theo triết học vật biện chứng, mâu thuẫn động lực thúc đẩy trình phát triển Vì trình giúp đỡ học sinh, giáo viên cần trọng gợi động học tập để em thấy điều chưa biết khả nhận thức mình, phát huy tính chủ động sáng tạo việc lĩnh hội tri thức Từ kích thích em phát triển tốt 2.Cơ sở tâm lý học : Căn vào quy luật phát triển nhận thức hình thành đặc điểm tâm lí từ lớp cuối cấp THCS, học sinh bộc lộ thiên hướng, sở trường hứng thú lĩnh vực kiến thức, kĩ định Một số học sinh có khả ham thích Tốn học, mơn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương môn khoa học xã hội, nhân văn khác Ngồi cịn có học sinh thể khiếu lĩnh vực đặc biệt… Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Q Đôn Tam Kỳ Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh học phép biến hình ứng dụng để giải tốn quỹ tích, em thường có tâm lí: khơng biết ứng dụng phép biến hình để làm gì, nói cách khác em không gắn lý thuyết vào thực hành, em khơng muốn học phần này.Vì Giáo viên cần rõ, cụ thể hướng dẫn cho học sinh ứng dụng phép biến hình vào giải tốn Quỹ tích 3.Cơ sở giáo dục học: Để giúp em học tốt GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập Cần cho học sinh thấy nhu cầu nhận thức quan trọng, người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi Giáo biết định hướng, giúp đỡ đối tượng học sinh II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI: 1.Thời gian bước tiến hành: Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2010-2011 2.Khảo sát chất lượng đầu năm mơn hình học: Thơng qua khảo sát chất lựơng đầu năm thu kết sau: Trên trung bình 25% 3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết trên: Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết thấp Vì việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ học sinh địi hỏi nhiều cơng sức thời gian.Sự nhận thức học sinh thể rõ: - Các em cịn lúng túng việc tìm ảnh hình qua phép biến hình - Kiến thức nắm chưa - Khả tưởng tượng, tư lơgíc cịn hạn chế - Ý thức học tập học sinh chưa thực tốt Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Q Đơn Tam Kỳ - Nhiều học sinh có tâm lí sợ học mơn hình học Đây mơn học địi hỏi tư duy, phân tích em Thực khó khơng HS mà cịn khó GV việc truyền tải kiến thức tới em Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định động học tập, chưa thấy ứng dụng to lớn mơn hình học đời sống Tuy nhiên việc dạy tốt lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ đối tượng học sinh để học sinh yếu theo kịp với yêu cầu chung tiết học, học sinh không nhàm chán III: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: Trong học phần: Các phép biến hình, ứng dụng để giải tốn quỹ tích , học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu chất Vì học sinh cịn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích nhu cầu học tập học sinh Để em tiếp thu cách có hiệu tơi xin đưa vài tốn quỹ tích sử dụng phép phép biến hình để giải chương I hình học lớp 11 Phép tịnh tiến : Định nghĩa : M’ ảnh M qua phép tịnh tiến theo vectơ    v MM '  v  Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ véctơ v cố định, xét phép tịnh tiến Tv điểm M’ cần tìm quỹ tích ảnh điểm M Biết M chạy đường (C) M’ chạy đường (C’) ảnh (C) qua phép Tv Vậy quỹ tích điểm M’ đường (C’) Bài tốn 1: Cho hai điểm B,C cố định đường tròn (O;R) điểm A thay đổi đường tròn Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác ABC Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ Hướng dẫn : Nhìn nhận vấn đề điểm H “liên quan” với điểm A qua phép tịnh tiến với véctơ nào? A B' H O C B O' -Nếu BC đường kính trực tâm H tam giác ABC A Vậy H nằm đường trịn (O;R) -Nếu BC khơng đường kính , vẽ đường kính BB’ đường trịn Ta có : AH  B ' C ( Do tứ giác AHCB’ hình bình hành ) mà B'C cố định Vậy T : biến A thành H Do A chay đường B 'C tròn (O;R)  H chạy đường tròn (O’;R) , O’ xác định : OO'  B'C Kết luận : Quỹ tích điểm H đường trịn tâm O’, bán kính R ảnh đường tròn (O;R) qua phép tịnh tiến theo véc tơ B' C Bài tốn : Cho đường trịn (O;R) điểm M chạy đường trịn đó, cho đoạn AB có A,B khơng nằm đường trịn Tìm quỹ tích điểm M’ đỉnh thứ tư hình bình hành ABMM’ Hướng dẫn : Hướng cho học sinh tìm thấy M có mối quan hệ với điểm nào? Qua phép tịnh tiến nào? Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Q Đôn Tam Kỳ O' M' A O M B    Ta có tứ giác ABMM’ hình bình hành nên : MM '  BA , mà BA  : biến M thành M’ Do M chạy đường cố định Vậy phép T BA tròn (O;R)  M’ chạy đường tròn (O’;R) O’ xác định : OO'  BA Kết luận : Quỹ tích điểm M’ đường trịn tâm O’, bán kính R ảnh đường trịn (O;R) qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA Bài tập tự luyện : 1) Cho hình bình hành ABCD có AB cố định , đường chéo AC có độ dài m khơng đổi Khi C thay đổi , tìm quỹ tích điểm D 2) Cho đường trịn tâm O hai điểm A,B Một điểm M thay đổi đường trịn (O) Tìm quỹ tích điểm M’ cho : MM '  MA  MB 3) Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD Cho biết A B cố định, AD=a, DC=b (a,b số dương) Tìm quỹ tích điểm D C 4) Cho đường tròn (O;R) cố định AB đường kính cố định, MN đường kính lưu động Tiếp tuyến với đường tròn B cắt AM, AN P Q Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác MPQ Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ 5) Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định, vẽ tam giác CDN với M,A,B phía CD Tìm quỹ tích D M biết : a) Điểm C chạy đường thẳng d b) Điểm C chạy đường tròn (O;R) 6) Cho hình bình hành ABCD có A cố định, B D lưu động đường tròn tâm O bán kính R=OA, dây BD= R 2 a) Chứng minh trực tâm K tam giác BCD cố đinh b) Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác ABD c) Tìm quỹ tích điểm C 2.Phép đối xứng trục : Định nghĩa: M’ ảnh M qua phép đối xứng trục d d đường trung trực MM’ Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ đường thẳng d cố định Điểm M cần tìm quỹ tích ảnh điểm M’ qua phép Dd , biết M’ chạy đường (C’) M chạy đường (C) ảnh (C’) qua phép Dd Bài toán 1: Cho hai điểm B,C cố định đường tròn (O;R) điểm A thay đổi đường trịn Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác ABC Hướng dẫn : Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ 10 A O H C I B O' H' Gọi I, H’ theo thứ tự giao tia AH với BC đường trịn Ta có BAH  HCB (tương ứng vng góc) BAH  BCH ' (cùng chắn cung) Vậy tam giác CHH’ cân C, suy H H’ đối xứng qua đường thẳng BC Khi A chạy đường trịn (O) H’ chạy đường trịn (O) Do H phải chạy đường trịn (O’) ảnh đường tròn (O) qua phép đối xứng qua đường thẳng BC Kết luận : Quỹ tích điểm H đường trịn tâm O’, bán kính R ảnh đường tròn (O;R) qua phép đối xứng qua đường thẳng BC 3.Phép quay phép đối xứng tâm: Định nghĩa phép quay: Điểm M’ ảnh M qua phép quay Q(O , ) OM=OM’ (OM,OM’)=  Định nghĩa phép đối xứng tâm : M’ ảnh M qua phép đối xứng tâm O OM  OM '  Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ 11 Phương pháp tìm quỹ tích : Chỉ điểm O cố định góc lượng giác  khơng đổi Điểm M cần tìm quỹ tích ảnh điểm M’ qua phép Q(o,  ) , biết M’ chạy đường (  ) M chạy đường (  ’) ảnh (  ) qua phép Q(o,  ) Phép đối xứng tâm trường hợp đặc biệt phép quay với góc quay 1800 Bài toán 1: Cho hai điểm B,C cố định đường tròn (O;R) điểm A thay đổi đường trịn Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác ABC Hướng dẫn : Gọi I trung điểm BC vẽ đường kính AM đường tròn, chứng minh I trung điểm HM Ta tìm quỹ tích điểm H dựa vào phép đối xứng tâm I Bài toán : Xác định M’ cho MM '  MA  MB Tìm quỹ tích điểm M’ M chạy (O;R) Hướng dẫn: M O B I A O' M' Gọi I trung điểm AB I cố định MA  MB  2MI Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Q Đôn Tam Kỳ 12 Do MM '  MA  MB  MM '  2MI tức MM’ nhận I làm trung điểm hay phép ĐI biến M thành M’ Vậy M chạy đường tròn (O;R) quỹ tích điểm M’ đường trịn (O’,R) ảnh đường tròn (O;R) qua phép ĐI O’ xác định O' I  IO Bài toán : Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC Điểm A chạy nửa đường trịn Dựng phía ngồi tam giác ABC hình vng ABEF Tìm quỹ tích điểm E Hướng dẫn : Xem E ảnh A qua phép quay Q(B,900) Khi A chạy nửa đường trịn (O), E chạy nửa đường tròn (O’) ảnh (O) qua phép Q(B,90 0) Bài tập tự luyện : 1)Cho đường trịn (O) điểm I khơng nằm đường trịn Với điểm A thay đổi đường trịn , dựng hình vng ABCD có tâm I a) Tìm quỹ tích điểm C b) Tìm quỹ tích điểm B D c) Khi I trùng với O có nhận xét ba quỹ tích nói 2)Cho đường thẳng a điểm G không nằm a Với điểm A nằm a ta dựng tam giác ABC có tâm G Tìm quỹ tích hai điểm B C A chạy a 3)Cho đường tròn (O) tam giác ABC Một điểm M thay đổi (O) Gọi M1 điểm đối xứng M qua A, M2 điểm đối xứng M1 qua B, M3 điểm đối xứng của M2 qua C Tìm quỹ tích điểm M3 4.Phép vị tự : Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ 13 Phương pháp : Chỉ điểm cố định O, số k, Xét phép vị tự tâm O tỉ số k ( k  ) điểm M’ cần tìm quỹ tích ảnh M Biết M chạy đường (C) M’ chạy đường (C’) ảnh (C) qua V(O,k) Bài tập : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Các đỉnh B,C cố định cịn A chạy đường trịn Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC Hướng dẫn: A O G O' B C I Gọi I trung điểm BC Do B,C cố định nên I cố định Ta có : IG  IA Vậy G ảnh A qua qua phép vị tự tâm I, tỉ số vị tự , mà A chạy đường tròn (O;R) nên G chạy đường tròn 3 (O’; R) O’ xác định : IO'  IO Kết luận: Quỹ tích điểm G đường trịn tâm O’, bán kính R Bài tập tự luyện: 1) Trong tam giác ABC có hai đỉnh B,C cố định cịn A chạy đường trịn (O;R) cố định khơng có điểm chung với đường BC Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ 14 2)Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định, điểm A lưu động đường thẳng d cho BC không cắt đường thẳng d Tìm tập hợp a) Trọng tâm G tam giác ABC b) Trung điểm I BC 3)Cho đường trịn (O;R) đường kính AB cố định , MN đường kính lưu động C trung điểm bán kính OA Tìm tập hợp điểm Q giao điểm NC BN 4)Cho đường tròn (O;R) điểm P cố định nằm ngồi đường trịn(O;R) Một dây cung BC thay đổi (O) có độ dài khơng đổi R Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác PBC 5) Cho tam giác ABC cố định , M điểm lưu động cạnh BC cho M khơng trùng B Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác MAB 6) Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Đường kính vẽ từ A gặp (O) B (O’) C Một đường thẳng thay đổi qua A cắt (O) M (O’) N Tìm tập hợp giao điểm I BN C KẾT LUẬN I.KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM: Năm học 2010-2011 , với phân phối chương trình mơn tốn tiết/1 tuần tiết bám sát Ở chương I hình học 11 ,trong học hình , sau giới thiệu lý thuyết làm tập dành thời gian luyện tập cho em giải tập hệ thống trên, thấy học sinh dễ hiểu tích cực làm tập Xong phần đưa tập nhà có khoảng 60% đến 70% học sinh làm đầy đủ , so với đầu năm kết thúc chương I thấy kết trung bình tăng lên 50% , có khả quan nhiều Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ 15 II.KẾT LUẬN : Với kinh nghiệm dù nhỏ nhằm hệ thống cho học sinh phần kiến thức chương 1, để em nắm kiến thức sáng tạo học tập Mặc dù đầu tư thời gian để có số tập song khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong chia sẻ đóng góp ý kiến từ quý thầy cô để viết tốt Tam kỳ ngày 10 tháng năm 2011 Người thực Tô Thị Minh Trúc Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Đồn Quỳnh-Hình học 11 nâng cao , NXB giáo dục ,2007 2.Văn Như Cương-bài tập hình học 11 nâng cao, NXB giáo dục, 2009 3.Nguyễn Mộng Hy-Bài tập hình học 11 bản, NXB giáo dục,2007 4.Trần Văn Hạo –Hình học 10, NXB giáo dục, 2000 Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Quý Đôn Tam Kỳ 17 MỤC LỤC Trang Mở đầu I.Lý chọn đề tài II.Mục tiêu phạm vi ứng dụng Nội dung I.Cơ sở lý luận II.THực trạng đề tài III.Giải vấn đề 1.Phép tịnh tiến 2.Phép đối xứng trục 3.Phép quay phép đối xứng tâm 10 4.Phép vị tự 12 Kết luận 14 I.Kết thực nghiệm II.Kết luận Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích 15 ... I hình học 11 , phép biến hình cơng cụ hữu hiệu để giải tốn quỹ tích , dựng hình Đây vấn đề khó khăn học sinh lần làm quen với khái niệm biến hình Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích. .. biệt… Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ Thị Minh Trúc -Trường THPT Lê Q Đôn Tam Kỳ Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh học phép biến hình ứng dụng để giải tốn quỹ tích, ... đề tài : Một số tập quỹ tích chương biến hình 4.Hướng phát triển : Hồn thiện hệ thống tập đa dạng phong phú hơn, bổ sung thêm phép đồng dạng Ứng dụng phép biến hình để giải số tốn quỹ tích Tơ