SKKN: Vận dụng phép dời hình để giải Toán

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ GIẢI TỐN phần mở đầu Lí chọn đề tài : Trong chương trình Hình Học 11, sách giáo khoa có phần : "Phép dời hình phép đồng dạng." Phần không nhằm cung cấp cho học sinh cơng cụ để giải tốn mà cịn tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư suy luận Tuy nhiên trình giảng dạy, thân tơi cịn gặp khơng khó khăn Đặc biệt đối tượng học sinh có trình độ nhận thức tư cịn yếu, khơng đồng Do tơi ln suy nghĩ phải làm để em nắm bắt kiến thức nhanh vận dụng linh hoạt để giải tốn Hơn nữa, phần giúp em bớt lo lắng thêm phần say mê học tập Chính điều mà mạnh dạn nghiên cứu viết đề tài này: " Vận dụng phép dời hình để giải Tốn " Giới hạn đề tài : Phép dời hình Phương pháp nghiên cứu: - Sưu tầm nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài - Khảo sát tình hình học tập học sinh Cấu trúc đề tài: Phần mở đầu Lý chọn đề tài Giới hạn đề tài Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài Phần nội dung A Định nghĩa tính chất phép dời hình B áp dụng số phép dời hình dể giải Toán I Phép đối xứng trục II Phép đối xứng tâm III Phép tịnh tiến IV Phép quay C Kết thúc Phần nội dung : A Định nghĩa tính chất phép dời hình: I Định nghĩa: Phép dời hình quy tắc để với điểm M xác định điểm M' ( gọi tương ứng với M )sao cho với hai điểm M', N' tương ứng với M,N : M'N' = MN II Tính chất : Phép dời hình khơng làm thay đổi khoảng cách hai điẻm Phép dời hình biến điểm A,B,C thẳng hàng với B nằm A,C thành điểm A',B',C' thẳng hàng với B' nằm A',C'.3 Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến doạn thănghr thành đoạn thẳng Phép dời hình biến tam giác thành tam giácbằng nó, biến góc thành góc nó, biến đường trịn thành mmột đường trịn nó,với tâm đường trịn biến thành tâm đường trịn Tích hai phép dời hình phép dời hình Mở rộng: Tích n phép dời hình phép dời hình B áp dụng số phép dời hình để giải toán: I Phép đối xứng trục: Định nghĩa: Phép đặt tương ứng điểm M điểm M' đối xứng M qua đường thẳng d gọi phép đối xứng trục d : trục đối xứng Kí hiệu : Đd(M) = M' * Chú ý: cho Đd - Nếu M Ỵ d M' º M - Đd Hoàn toàn xác định biết d - Đường thắng a vng góc với d biến thành Bài tập áp dụng: Bài số 1: Cho điểm phân biệt A,B nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d cho trước Hãy tìm d điểm M cho tổng AM + MB nhỏ ? Lời giải: Đd(A) =A' ; Mọi M Ỵ d: AM +MB = A'M + MB Để AM + MB nhỏ A'M + MB nhỏ Điều xẩy A',M,B thẳng hàng Vậy {M} = A'B Ç d Bài số 2: Cho góc nhọn xOy đường thẳng d cắt Oy S Dựng đường thẳng m vng góc với d, cắt Ox , Oy A,B cho A,B cách d ? Lời giải: m * phân tích : Giả sử A x dựng đường thẳng d m thoả mãn điều kiện O đề bài, Ta có: Đd(B) = A S B Mà B Ỵ Oy nên nằm O' đường thẳng ảnh Oy qua Đd: O'y' Suy ra; {A} = O'y' Ç Ox * Cách xác định M: Đd(O) = O' ; Đd(S) = S ® d(Oy) =O'S đ O'S ầ Ox = {A} d(A) = B m đường thẳng qua AB y Bài số 3: Cho góc nhọn xOy điểm A thuộc miền góc Tìm Ox điểm B, Oy điểm C cho DABC có chu vi nhỏ Lời giải: Đox(A) = A1 Đoy(A) = A2 A1A2 Ç Ox = {B} A1A2 Ç Oy = {C} ®DABC có chu vi nhỏ Chứng minh: CV DABC = AB + BC +CA =A1B + BC + CA2 = A1A2 "B1ẻ Ox , C1ẻ Oy B1ạ B , C1¹ C CV DAB1C1 = A1B1 + B1C1 + C1A2 > A1A2 Bài số 4: Cho hai đường tròn (Q),(Q') đường thẳng d Xác định hình vng ABCD có A,C nằm (Q), (Q'), cịn B,D nằm d? Lời giải: * Phân tích: Giả sử ta dựng hình vng ABCD thoả mãn đề Suy ra:ĐBD(A) = C ; mà A Î (Q) nên C Î (Q1) ảnh (Q) qua ĐBD Suy : {C} = (Q1) Ç (Q') Từ suy cách xác định hình vng ABCD thoả mãn điều kiện đề sau: Đd(Q) = (Q1) đ{C} = (Q1) ầ (Q') ; d(C) = A Giả sử AC Ç d = {I} ; d lấy B,D cho IB = ID = IA =IC Khi ta xác định hình vng ABCD * Bin lun: - Nu (Q1)ầ (Q') {C; C'}đ Bài tốn có nghiệm - Nếu (Q1) Ç (Q') = {C}® Bài tốn có nghiệm - Nếu (Q1) Ç (Q') =f ® Bài tốn vơ nghiệm Bài số 5: Cho DABC điểm P nằm tam giác Dựng D cân đỉnh P có đáy song song với BC có đỉnh lượt thuộc AB,AC DABc Lời giải: * Phân tích: Giả sử dựng DPBC thoả mãn điều kiện đề baì Thế : với IB = IC ta có PI ^ BC Do đó: ĐPI(B1) = C1 Mà B1Ỵ AB nên C1Ỵ A'B' ảnh AB qua ĐPI Suy ra: {C1} = A'B'Ç AC * Cách xác định: Vì BC // B1C1 nên kẻ đường thẳng qua P, vuông với BC (giả sử đường thẳng d) Đd(AB) = A'B' ; A'B' Ç AC = {C1} ; Đd(C1) = B1 Khi ta có : DPB1C1 tam giác cần tìm thoả mãn đề Bài số 6: Cho đường thẳng cắt x,y điểm A,B không nằm x,y Xác định điểm C,D nằm đường thẳng x,y cho tứ giác ABCD hình thang cân có AB cạnh đáy Lời giải: Gọi d đường trung trựccủa AB Đd(x) = x' Khi đó: x'Ç y = {D} Ta lại có Đd(D) = C Ỵ x Vậy ABCD hình thang cần tìm * Biện luận: - Nếu x'ầ y = {D!} đ Bi toỏn cú nghim - Nếu x' // y ® Bài tốn vơ nghiệm - Nếu x' º y ® tốn vơ số nghiệm II Phép đối xứng tâm: Định nghĩa: Phép đặt tương ứng điểm M điểm M' đối xứng với M qua O ® Phép đối xứng tâm O : Tâm đối xứng KH : Đo(M) = M' * Chú ý: Cho Đo - Nếu M º O M' º O - Đo hồn tồn xác định biết O - Mọi đường thẳng qua O biến thành Bài tốn áp dụng: Bài số 1: Cho ^xOy điểm A thuộc miền góc Hãy xác định đường thẳng qua A cắt õ B, cắt Oy C cho A trung điểm BC Lời giải: Vì A trung điểm BC nên ta có ĐA(B) =C Vậy ta có cách xác định đường thẳng qua A cắt Ox, Oy B,C cho AB = AC : ĐA(Ox) = x' Khi x'Ç Oy = {C} ĐA(C) = B Ỵ Ox Vậy đường thẳng cần tìm BC Bài số 2: Cho hai đường trịn đồng tâm O, có bán kính R, r (R>r ) Hãy xác định đường thẳng qua điểm A nằm (O;r), cắt đường tròn (O;r) B, cắt (O;R) C,D cho : CD = 3AB Lời giải: * Phân tích: Theo g/t: CD = 3AB ® AB = BC = AD ® Alà trung điểm BD Khi : ĐA(B) = D Mà B Ỵ (O;r) nên D Ỵ (O';r) ảnh (O;r) qua ĐA * Cách xác định: Lấy A Ỵ (;r) ĐA(O;r) = (O';r) Khi : (O;r) Ç (O;R) = {D} DA Ç (O;r) = {B} ; DA Ç (O;R) = {C} Vậy đường thẳng cần tìm DC thoả mãn ĐK đề * Biện luận: Do r < R , mà (O;r) nên (O;r) Ç (O';r) ={D,D'} Suy bào tốn có nghiệm hình Bái số 3: Xác định hình bình hành ABCD , cho biết đỉnh A,C, đỉnh B,D nằm (O;R) cho trước? Lời giải: * Phân tích: ABCD HBH nên AC Ç BD = {I} với I trung điểm đường Từ : ® B,D ảnh qua ĐI ® B,D nằm (O') ảnh (O) qua ĐI * Cách xác định: Láy trung điểm I AC , ĐI(O) =(O') Khi đó: (O') Ç (O) = {B,D} Ta có hình bình hành ABCD thoả mãn ĐK đề * Biện luận: - Nếu I thuộc miền (O) XĐ hình bình hành ABCD - Nếu I thuộc miền ngồi (O) tốn vơ nghiệm - Nếu I Ỵ (O) B º D º I suy HBH suy biến thành đoạn thẳng AC Bài số 4: Cho đường thẳng a, b (O;R) Xác định hình vng ABCD cho (O); C Ỵ b ; B,D Ỵ a (H/S tự giải ) Bài số 5: Cho ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn cho trước Từ M,N,P,Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA vẽ đường thẳng vng góc với cạnh đối diện tương ứng Chứng minh đường thẳng đồng quy Lời giải: Theo g/t: MQ // NP MN // PQ ® MNPQ hình bình hành Gọi {I} = MP Ç NQ Ta có: ĐI(M) = P Suy ĐI biến MO thành đường thẳng P song song với MO, Đó đường thẳng PP1 Tương tự : ĐI : NO ® QQ1 , PO ® MM1 , QO ® NN1 Mà MO,NO,PO,QO đồng quy O Nên PP1, QQ1, MM1, NN1 đồng quy O' với ĐI(O) = O' III Phép tịnh tiến: Định nghĩa: Phép đặt tương ứng với điểm M, mộtđiểm M' cho : MM' = v O cho trc ị Phộp tnh tiến theo v v : Véc tơ tịnh tiến Kí hiệu : Tv (M) = M' * Chú ý : - đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến biến thành - Tv hồn tồn xác định biết v Bài toán áp dụng: Bài số 1: Cho đường thẳng cắt d d' , 2điểm A,B không thuộc d,d' Tìm M Ỵd; M' Ỵ d' cho ABMM' hình bình hành ? Lời giải: * Nhận xét: Vì MM' = BA nên T BA : M ® M' Mà M Ỵ d , nên M' Ỵ d'' ảnh d qua TBA {M'} = d' Ç d'' Do ta có cách xác định M,M' : TBA : d đ d'' ; d'' ầ d' = {M'} ; TAB (M') = M Ỵ d Vậy M,M' diểm cần tìm thoả mãn điều kiện ABMM' HBH Bài số 2: Cho (O;R) điểm M Ỵ (O) Cho đoạn AB A,B khơng nằm đường trịn cho trước Tìm tập hợp điểm M' đỉnh cịn lại hình bình hành ABMM' m thuộc đường trịn cho trước Lời giải: Vì ABMM' HBH nên MM' = BA ® TBA (M) = M' Mà M Ỵ (O) nên M' Ỵ (O') ảnh (O) qua TBA Vậy {M'} (O') với (O') ảnh (O) qua TBA Vẽ Hình Bài số : Cho DABC Tìm điểm M bên cạnh AB N bên cạnh AC cho MN // BC AM = CN Lời giải: A M N B C D * Phân tích : Nếu qua m kẻ đường thẳng song song với AC , cắt BC D tứ giác MNCD hình bình hành ® MD = NC mà NC = AM (gt) ® MD = MA ® DMAD cân đỉnh M ® ^MDA = ^MAD mà ^MDA = ^CAD (gt) ® ^MAD = ^NAD ® AD đường phân giác ^BAC * Cách xác định M,N: Kẻ đường phân giác góc BAC cắt BC D Qua D Kẻ đường thẳng // AC , cắt AB M , TDC (M) = N với N Î AC Vậy 2điểm M,N xác định thoả mãn đề Bài số 4: Cho (O;R) điểm B,C cố định thuộc (O;R) điểm A di động đường trịn Tìm quy tích trực tâm H tam giác ABC? Lời giải: A D B C Kẻ đường kính BD, AH ^ BC , DC ^ BC ® AH // DC (1) Tương tự : CH ^ AB , DA ^ AB ® CH // DA (2) Từ (1), (2) ® ABCD hình bình hành AH = DC mà DC cố định nên: TDC (A) = H Mà A Ỵ (O;R) nên H Î (O';R) ảnh (O;R) qua TDC Vậy quỹ tích trực tâm H DABC (O';R) IV Phép quay: định nghĩa: Cho hai đường thẳng a,b cắt O Với điểm M ta xác định điểm M' sau: Đa(M) = M1 ; Đb(M1) = M' Phép đặt tương ứng với điểm M điểm M' xác định gọi phép quay tâm O Trong : O : Tâm phép quay OM = OM' : Bán kính quay ^MOM' = a : Góc quay Kí hiệu : QOa Chú ý: - QOa(O) = O - Khi a = 180 o QOa º ĐO - QOa xác định biết O a Vận dụng giải toán: Bài số 1: Cho đường thẳng a // b , với điểm C không nằm đường thẳng Tìm a,b điểm A,B cho DABC Lời giải: * Nhận xét: Vì DABC nên QC60 : B ® A mà B Ỵ b nên A Ỵ b' ảnh b qua QC60 Theo gt : A Î a nên {A} = a Ç b' Suy cách xác định A,B sau: QC60 (b) = b' b' Ç a = {A} QC-60 (A) = B Hai điểm A,B cần tìm thoả mãn đề * Biện luận: Bài tốn có hai ngjhiệm hình : Vi QC-60 (b) = b" đ b" ầ a = {A'} ; QC60 (A') = B' ® DCA'B' Bài số 2: Cho DABC AB, AC dựng phía ngồi hình vng ABMN ACPQ a) C/M : NC ^ BQ ; BQ = NC b) Gọi Mlà trung điểm BC C/M : AM ^ QN Lời giải: a) Ta có: QA90 (N) = B QA90 (C) = Q Þ NC biến thành BQ Qua QA90 Vậy : NC ^ BQ NC = BQ b) ĐA(B) = (B1) QA90(C; B1) = (Q; N) Do : CB1 ^ QN Mà AN đường trung bình tam giác CBB1 nên AM // CB Do : AM ^ QN Bài số 3: Cho Mdi chuyển nửa đường trịn (O;AB) dựng ngồi DAMB hình vng MBCD a) Tìm quỹ tích đỉnh C M vạch nửa đường trịn nói b) Trên tia Bx vng góc với AB tai B nằm phía với nửa đường trịn, lấy O' cho: BO' = BO ; C/M OM ^ O'C Lời giải: a) Ta có : QB-90(M) = C mà M di chuyển (O;AB) nên C di chuyển (O1;A'B') (A'B' = AB) cho : (O1) ảnh (O) qua QB-90 (theo gt O1 º O') b) Vì QB-90 {O;M} = {O';C'} nên OM ^ O'C , (ta suy OM = O'C) Bài số 4: Qua tâm G DABC , Kẻ đường thẳng a cắt BC M, cắt AB N , kẻ đường thẳng b cắt AC P cắt AB Q, Đồng thời tạo với a góc 600 C/M: Tứ giác MPNQ hình thang cân Lời giải: Ta có : a Ç CB = {M} b Ç BA = {Q} mà : QG-120 biến a thành b (1) C thành B ; B thành A Þ CB ® BA (2) Từ (1), (2) Þ M ® Q Þ GM = GQ Þ DGMQ cân Tương tự: DGNP cân Þ MQ // NP NQ = MP Vậy MPNQ hình thang cân V Phần tham khảo: Mối quan hệ phép đối xứng trục, phép tịnh tiến phép quay Tích phép đối xứng trục theo thứ tự có trục D1 D2 song song với phép tịnh tiến theo véc tơ v có phương vng góc với trục, có hướng từ D1 đến D2 có mơ đun hai lần khoẩng cách giửa hai trục Tích phép đối xứng trục theo thứ tự có trục D1 , D cắt điểm O phép quay tâm O , góc quay a 2(D1,D2) Tích phép tịnh tiến phép quay góc a phép quay góc a Tích cua phép quay có tâm khác nhau, nói chung phép quay với góc quay tổng góc quay phép quay cho ( Đặc biệt phép tịnh tiến phép quay chốc góc đối nhau.) C Kết luận: Do điều kiện có hạn, nên đề tài nhằm mục đích hệ thống hố số phép dời hình Qua đưa cho phần số toán nhằm củng cố kỹ vận dụng, thực hành Cuối mong nhận đóng góp ý kiến xây dựng quý bạn đọc đồng nghiệp Cảm Nhân , tháng 04 năm 2009 Người viết đề tài Lê Viết Hiến ... chất phép dời hình B áp dụng số phép dời hình dể giải Toán I Phép đối xứng trục II Phép đối xứng tâm III Phép tịnh tiến IV Phép quay C Kết thúc Phần nội dung : A Định nghĩa tính chất phép dời hình: ... trịn Tích hai phép dời hình phép dời hình Mở rộng: Tích n phép dời hình phép dời hình B áp dụng số phép dời hình để giải toán: I Phép đối xứng trục: Định nghĩa: Phép đặt tương ứng điểm M điểm M'... làm để em nắm bắt kiến thức nhanh vận dụng linh hoạt để giải tốn Hơn nữa, phần giúp em bớt lo lắng thêm phần say mê học tập Chính điều mà tơi mạnh dạn nghiên cứu viết đề tài này: " Vận dụng phép