“Giải bài toán bằng cách lập phương trình” , đây là một trong những dạng toán lập phương trình cơ bản mà lớp 8 là tiền đề để các em được làm quen những dạng đơn giản, là cơ sở cho những bài toán phức tạp ở lớp 9. Nên đòi hỏi phải hướng dẫn cụ thể để học sinh nắm một cách chắc chắn. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Hướng dẫn học sinh giải toán phần: Giải toán bằng cách lập phương trình”.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TOÁN Phần : “Giải tốn cách lập phương trình” A- ĐẶT VẤN ĐỀ Một mục tiêu nhà trường đào tạo xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển tồn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế Muốn giải thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết phải tạo tiền đề vững lâu bền phương pháp học tập học sinh phương pháp giảng dạy giáo viên mơn nói chung mơn tốn nói riêng Tốn học mơn khoa học tự nhiên quan trọng Trong trình học tập học sinh trường phổ thơng, địi hỏi tư tích cực học sinh Để giúp em học tập mơn tốn có kết tốt, có nhiều tài liệu sách báo đề cập tới Giáo viên không nắm kiến thức, mà điều cần thiết phải biết vận dụng phương pháp giảng dạy cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu Chương trình tốn rộng, em lĩnh hội nhiều kiến thức, kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với Do học, em nắm lý thuyết bản, mà phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu mình, từ biết vận dụng để giải loại toán Qua cách giải toán rút phương pháp chung để giải dạng bài, sở tìm lời giải khác hay hơn, ngắn gọn Tuy thực tế số giáo viên trọng việc truyền thụ kiến thức đầy đủ theo bước, chưa ý nhiều đến tính chủ động sáng tạo học sinh Thơng qua q trình giảng dạy mơn tốn lớp 9, đồng thời qua q trình kiểm tra đánh giá tiếp thu học sinh vận dụng kiến thức để giải toán cách lập phương trình mơn đại số lớp Tôi nhận thấy học sinh vận dụng kiến thức tốn học phần giải phương trình giải tốn cách lập phương trình cịn nhiều hạn chế thiếu sót Đặc biệt em lúng túng vận dụng kiến thức học để lập phương trình tốn Đây phần kiến thức khó em học sinh lớp 9, lẽ từ trước đến em quen giải dạng tốn tính giá trị biểu thức giải phương trình cho sẵn Mặt khác khả tư em cịn hạn chế, em gặp khó khăn việc phân tích đề tốn, suy luận, tìm mối liên hệ đại lượng, yếu tố toán nên khơng lập phương trình Đối với việc giải tốn cách lập phương trình em học nên chưa quen với dạng tốn tự làm phương trình Xuất phát từ thực tế nên kết học tập em chưa cao Nhiều em nắm lý thuyết chắn áp dụng giải không Do việc hướng dẫn giúp em có kỹ lập phương trình để giải tốn, ngồi việc nắm lý thuyết, em phải biết vận dụng thực hành, từ phát triển khả tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh học nhằm nâng cao chất lượng học tập Qua thực tế vài năm giảng dạy môn tốn lớp 9, thân tơi dạy phần “Giải tốn cách lập phương trình” gặp nhiều khó khăn việc học sinh giải tốn phần Mặt khác giảng dạy phần giáo viên học sinh cần hiểu kế thừa tốn lớp Chỉ khác trình giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai hay hệ phương trình mà thơi Do đó, phạm vi nghiên cứu Bản thân mong rằng: có sáng tạo q thầy giáo, giáo đề tài giúp học sinh lớp 8,9 phát triển tư duy, làm dùng đề tài để dạy tự chọn mơn tốn 9, chủ đề bám sát Cũng từ thực tế giảng dạy, ln suy nghĩ bước để hồn thiện phương pháp mình, nên thân tơi nhiều năm nghiên cứu đề tài Mặt khác, theo suy nghĩ riêng tôi, người cần tập trung suy nghĩ thấu đáo vấn đề nhiều người góp lại chắn hiệu giáo dục qua năm nâng lên rõ rệt Từ suy nghĩ tiếp tục thực đề tài mà trước thực Tuy nhiên, thân cố gắng nghiên cứu bổ sung nội dung để đề tài đáp ứng chương trình đổi sách giáo khoa lớp 8, chương trình tự chọn lớp Mong quý thầy cô giáo thông cảm đọc đề tài Trên sở nghiên cứu tơi rút vài kinh nghiệm nhỏ để giúp em có kỹ lập phương trình giải tốn cách lập phương trình B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Xuất phát từ thực tế em học sinh ngại khó giải tốn, tơi thấy cần phải tạo cho em có niềm u thích say mê học tập, tự đặt câu hỏi tự tìm câu trả lời Khi gặp tốn khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả trình học tập Để giúp học sinh bớt khó khăn cảm thấy dễ dàng việc“Giải toán cách lập phương trình” lớp 9, tơi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập phương trình giải phương trình cách kỹ càng, yêu cầu học sinh có kỹ thực hành giải tốn phần cẩn thận Việc hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải toán phù hợp với dạng vấn đề quan trọng, phải tích cực quan tâm thường xuyên, không giúp em nắm lý thuyết mà phải tạo cho em có phương pháp học tập cho thân, rèn cho em có khả thực hành Nếu làm điều chắn kết học tập em đạt mong muốn “Giải tốn cách lập phương trình” , dạng tốn lập phương trình mà lớp tiền đề để em làm quen dạng đơn giản, sở cho toán phức tạp lớp Nên đòi hỏi phải hướng dẫn cụ thể để học sinh nắm cách chắn I- ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIảI BÀI TỐN BằNG CÁCH LậP PHƯƠNG TRÌNH : Trước hết phải cho em nắm lược đồ để “Giải tốn cách lập phương trình” Bước : Lập phương trình gồm cơng việc : - Chọn ẩn số, ý ghi rõ đơn vị đặt điều kiện cho ẩn số (Nếu có) - Dùng ẩn số số biết cho đề để biểu thị số liệu khác, diễn giải phận hình thành phương trình , hệ phương trình - Nhờ liên quan số liệu, vào đề bài, mà lập phương trình, hệ phương trình Bước : Giải phương trình (hệ phương trình) Tùy theo dạng phương trình mà chọn cách giải thích thích hợp ngắn gọn Bước : Nhận định kết quả, thử lại trả lời Chú ý so sánh với điều kiện đặt cho ẩn xem có thích hợp khơng,có thể thử lại kết với nội dung tốn (Vì em đặt điều kiện cho ẩn thiếu chặt chẽ) sau trả lời danh số (có kèm theo đơn vị ) Chú ý: Bước có tính chất định Thường đầu hỏi số liệu ta đặt ẩn số Xác định đơn vị đo điều kiện ẩn phải phù hợp với ý nghĩa thực tiễn II- PHÂN TÍCH BÀI TỐN : - Trong q trình giảng dạy hướng dẫn em giải tập, giáo viên phải phân loại toán, giới thiệu đường lối chung loại, cơng thức, kiến thức có liên quan loại Ở lớp em thường gặp loại : Loại toán : 1- Bài toán chuyển động 2- Bài tập suất lao động 3- Bài toán liên quan đến số học hình học 4- Bài tốn có nội dung vật lý - hóa học 5- Bài tốn cơng việc làm chung làm riêng 6- Bài toán tỷ lệ, chia phần Khi bắt tay vào giải tập, u cầu khơng phần quan trọng, phải đọc kỹ đề bài, tự biết ghi tóm tắt đề bài, tóm tắt đề em hiểu nội dung, yêu cầu bài, từ biết đại lượng biết, đại lượng chưa biết, mối quan hệ đại lượng Cần hướng dẫn cho em tóm tắt đề để làm toán, lên dạng tổng qt phương trình, ghi tóm tắt đề cách ngắn gọn, toát lên dạng tổng quát phương trình em lập phương trình dễ dàng Đến coi giải phần lớn tốn Khó khăn học sinh bước lập phương trình, em chọn đối tượng ẩn, điều kiện ẩn sao? Điều khắc sâu cho học sinh tập đơn giản thường thường “bài tốn u cầu tìm đại lượng chọn đại lượng ẩn” Còn điều kiện ẩn dựa vào nội dung ý nghĩa thực tế song cần phải biết nên chọn đối tượng ẩn để lập phương trình tốn, ta giải dễ dàng Muốn lập phương trình tốn khơng bị sai yêu cầu quan trọng phải nắm đối tượng tham gia vào bài, mối quan hệ đối tượng lúc đầu nào? lúc sau nào? * Chẳng hạn giải toán : Một phân xưởng may lập kế hoạch may lơ hàng, theo ngày phân xưởng phải may xong 90 áo Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật, phân xưởng may 120 áo ngày Do đó, phân xưởng khơng hồn thành trước kế hoạch ngày mà may thêm 60 áo Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải may áo? (SGK Toán lớp - trang 28) Phân tích: Ở đây, ta gặp đại lượng: Số áo may ngày ( biết), Tổng số áo may số ngày may (chưa biết): Theo kế hoạch thực tế thực Chúng ta có quan hệ: Số áo may ngày x số ngày may = Tổng số áo may Ta chọn ẩn đại lượng chưa biết Ở đây, ta chọn x số ngày may theo kế hoạch Quy luật cho phép ta lập bảng biểu thị mối quan hệ giỡa đại lượng toán ( Giáo viên kẻ bảng hướng dẫn học sinh điền vào bảng) Số áo may trong1 ngày số ngày may Tổng số áo may Theo kế hoạch 90 x 90x Đã thực 120 x-9 120(x - 9) Từ đó, quan hệ tổng số áo may số áo may theo kế hoạch biểu thị phương trình: 120(x - 9) = 90x +60 * Hoặc giải tốn:“Số lượng thùng thứ gấp đơi lượng dầu thùng thứ hai Nếu bớt thùng thứ 75 lít thêm vào thùng thứ hai 35 lít số dầu hai thùng Hỏi lúc đầu thùng chứa lít dầu?” Tóm tắt: Lúc đầu : - Số dầu thùng I lần số dầu thùng II - Bớt thùng I 75lít - Thêm vào thùng II 35 lít Lúc sau : - Số dầu thùng I số dầu thùng II Tìm lúc đầu : Thùng I ? (lít), thùng II ? (lít) - Tiếp theo hướng dẫn học sinh trả lời câu hỏi sau : + Bài tốn có đối tượng tham gia? (2 đối tượng - thùng dầu) + Quan hệ hai đối tượng lúc đầu nào? (Số dầu T1 = 2T2) + Hai đối tượng thay đổi nào? (Thùng I bớt 75lít, thùng II thêm 35lít) + Quan hệ hai đối tượng lúc sau (Số dầu T1 = số dầu T2) + Đại lượng liên quan đến hai đối tượng? (Số lít) + Số liệu biết, số liệu chưa biết Ở cần phải ghi rõ cho học sinh thấy tốn u cầu tìm số dầu thùng lúc đầu, có nghĩa đối tượng đầu chưa biết phải tìm, nên ta chọn số lít dầu thùng thứ số lít dầu thùng thứ hai lúc đầu ẩn - Số chọn số lít dầu thùng thứ II lúc đầu x (lit) - Điều kiện ẩn? (x > 0) (Vì số lít dầu phải số dương) - Biểu thị đại lượng khác qua ẩn? Số dầu thùng thứ I lúc đầu 2x(lít) Chú ý : Thêm (+), bớt (-) - Số dầu thùng I bớt 75 lít ? (2x – 75) - Số lit dầu thùng II thêm 35 lit ? (x + 35) - Dựa vào mối quan hệ đại lượng lúc sau (số lit dầu thùng nhau) ta lập phương trình: x + 35 = 2x –75 (1) - Khi lập phương trình rồi, cơng việc giải phương trình khơng phải khó, song cần phải hướng dẫn cho em thực phép biến đổi, giải theo bước học Sau giải xong, tìm giá trị ẩn, điều cần thiết phải đối chiếu với điều kiện đặt cho ẩn để trả lời toán - Từ cách giải trên, giáo viên cho học sinh suy nghĩ xem cịn giải theo cách nữa? Học sinh thấy ta chọn số dầu thùng lúc đầu ẩn Bằng cách lý luận trình tự theo bước trên, em lập phương trình tốn : x - 75 = x + 35 (2) Giải xong cách thứ hai, cho em nhận xét, so sánh với cách giải thứ giải phương trình dễ Chắc chắn giải phương trình (1) dễ dàng phương trình (2) giải phương trình (2) ta phải quy đồng mẫu chung hai vế phương trình khử mẫu, điều gây lúng túng cho em Từ cần chốt lại cho học sinh ta nên chọn số lít dầu thùng II lúc đầu ẩn, chọn số dầu thùng I lúc đầu ẩn lập phương trình có dạng phân số, ta giải khó khăn Tóm lại : Nếu hai đối tượng quan hệ với lúc đầu đối tượng gấp lần đối tượng ta phải cân nhắc xem nên chọn đối tượng ẩn để bớt khó khăn giải phương trình Nếu gặp tốn liên quan đến số người, số con… điều kiện ẩn : “nguyên dương” đồng thời phải lưu ý xem ẩn cịn kèm theo điều kiện thêm mà nội dung thực tế toán cho Ở chương trình lớp 8, thường gặp tốn dạng chuyển động dạng đơn giản : Chuyển động chiều, ngược chiều quãng đường… chuyển động dòng nước Do vậy, trước tiên cần cho học sinh nắm kiến thức, công thức liên quan, đơn vị đại lượng Trong dạng toán chuyển động cần phải hiểu rõ đại lượng quãng đường, vận tốc, thời gian, mối quan hệ chúng qua cơng thức S = v.t Từ suy ra: ;t= s v Hoặc chuyển động sơng có dịng nước chảy v= Thì : s t Vxi = VRiêng + V dịng nước V ngược = VRiêng - V dòng nước * Ta xét toán sau : Để đoạn đường từ A đến B, xe máy phải hết 3giờ 30’; ô tô hết 2giờ 30’ phút Tính quãng đường AB Biết vận tốc ôtô lớn vận tốc xe máy 20km/h Đối với tốn chuyển động, ghi tóm tắt đề bài, đồng thời vẽ sơ đồ minh họa học sinh dễ hình dung tốn Tóm tắt: Đoạn đường AB A B t1 = 3g 30 phút t2 = 2g 30 phút V lớn V 20km/h (V2 – V1 = 20) Tính quãng đường AB=? - Các đối tượng tham gia :(ô tô- xe máy) - Các đại lượng liên quan : quãng đường , vận tốc , thời gian - Các số liệu biết: + Thời gian xe máy : 30’ + Thời gian ô tô :2 30’ + Hiệu hai vận tốc : 20 km/h - Số liệu chưa biết: Vxe máy? V ôtô? SAB ? * Cần lưu ý : Hai chuyển động quãng đường không đổi Quan hệ đại lượng s, v, t biểu diễn công thức: s = v.t Quan hệ v t hai đại lượng tỷ lệ nghịch Như tốn có đại lượng chưa biết, mà ta cần tính chiều dài đoạn AB, nên chọn x (km) chiều dài đoạn đường AB; điều kiện: x > Biểu thị đại lượng chưa biết qua ẩn qua đại lượng biết x Vận tốc xe máy : (km/h) 3, x Vận tốc ôtô : (km/h) 2, Dựa vào mối liên hệ đại lượng(V – V1 = 20) x x = 20 2,5 3, - Giải phương trình ta x = 175 Giá trị x phù hợp với điều kiện Vậy ta trả lời chiều dài đoạn AB 175km Sau giải xong, giáo viên cần cho học sinh thấy : Như ta phân tích tốn cịn có vận tốc xe chưa biết, nên việc chọn quãng đường ẩn, ta chọn vận tốc xe máy vận tốc ôtô ẩn - Nếu gọi vận tốc xe máy x (km/h) : x > Thì vận tốc ơtơ x + 20 (km/h) - Vì qng đường AB khơng đổi nên biểu diễn theo hai cách (quãng đường xe máy ơtơ đi) - Ta có phương trình : 3,5 x = 2,5 (x + 20) Giải phương trình ta được: x = 50 Đến học sinh dễ mắc sai lầm dừng lại trả lời kết toán : Vận tốc xe máy 50 km/h Do cần khắc sâu cho em thấy tốn u cầu tìm qng đường nên có vận tốc phải tìm quãng đường - Trong bước chọn kết thích hợp trả lời, cần hướng dẫn học sinh đối chiếu với điều kiện ẩn, yêu cầu đề Chẳng hạn toán trên, ẩn chọn vận tốc xe máy, sau tìm tích 50, khơng thể trả lời tốn vận tốc xe máy 50 km/h, mà phải trả lời chiều dài đoạn đường AB mà đề đòi hỏi Tóm lại : Khi giảng dạng tốn chuyển động, có nhiều đại lượng chưa biết, nên bước lập phương trình ta tùy ý lựa chọn đại lượng chưa biết làm ẩn Nhưng ta nên chọn trực tiếp đại lượng toán yêu cầu cần phải tìm ẩn Nhằm tránh thiếu sót trả lời kết Song thực tế ta chọn trực tiếp đại lượng phải tìm ẩn mà phải chọn đại lượng trung gian ẩn - Cần ý điều gọi vận tốc ôtô x (km/h) điều kiện x>0 chưa đủ mà phải x > 20 dựa vào thực tế tốn vận tốc ôtô lớn vận tốc xe máy 20 (km/h) Đối với toán “làm chung – làm riêng công việc” giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức liên quan : - Khi công việc không đo số lượng cụ thể, ta coi tồn cơng việc đơn vị công việc biểu thị số - Năng suất làm việc phần việc làm đơn vị thời gian A : Khối lượng công việc Ta có cơng thức A = nt ; Trong n : Năng suất làm việc t : Thời gian làm việc - Tổng suất riêng suất chung làm - Biết tìm suất làm việc nào? thời gian hồn thành, khối lượng cơng việc để vận dụng vào toán cụ thể Khi ta nắm vấn đề em dễ dàng giải toán Xét toán sau : (Bài toán SGK / 79 – ĐS lớp 8) đầy bể 1 vòi chảy lượng nước vòi 2 vòi chảy Hỏi : vòi chảy riêng đầy bể ? - Trước hết phân tích tốn để nắm nội dung sau : + Khối lượng công việc lượng nước bể + Đối tượng tham gia ? (2 vòi nước) + Số liệu biết ? (thời gian hai vòi chảy) + Đại lượng liên quan: Năng suất chảy vòi, thời gian hồn thành vịi + Số liệu chưa biết ? (Thời gian làm riêng để hồn thành cơng việc vịi) - Bài tốn u cầu tìm thời gian vòi chảy riêng để đầy bể Ta tùy ý chọn ẩn thời gian vòi chảy vòi chảy đầy bể Giả sử gọi thời gian vịi chảy đầy bể x (h) Điều kiện x ( x > 4 24 = giờ) 5 - Bài toán cho mối quan hệ suất hai vòi chảy Nên tìm : + Năng suất vịi chảy là? + Năng suất vòi chảy ? (bể) x (bể) 2x + Cả hai vòi chảy : 1: 24 = (bể) 24 Ta có phương trình : + = x 2x 24 Đây dạng phương trình có ẩn mẫu, ta vận dụng bước để giải phương trình trên, ta x = 12 Vậy thời gian vịi hai chảy đầy bể 12 - Nhưng để tính thời gian chảy một vịi ta tìm suất vòi : = (bể) 2.12 Từ ta tìm thời gian * Ở chương trình đại số lớp 8, em thường gặp loại tìm số tự nhiên có chữ số, loại tốn tương đối khó em; để giúp học sinh đỡ lúng túng giải loại trước hết phải cho em nắm số kiến thức liên quan - Cách viết số hệ thập phân - Mối quan hệ chữ số, vị trí chữ số số cần tìm…; điều kiện chữ số Ví dụ : “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 16, đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số cho 18 đơn vị Tìm số cho Học sinh phải nắm : - Số cần tìm có chữ số ?(2 chữ số) - Quan hệ chữ số hàng chục hàng đơn vị nào? (Tổng chữ số 16) - Vị trí chữ số thay đổi nào? - Số so với ban đầu thay đổi sao? - Muốn biết số cần tìm, ta phải biết điều gì? (Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị) - Đến ta dễ dàng giải tốn, thay tìm số tự nhiên có hai chữ số ta tìm chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị; tùy ý lựa chọn ẩn chữ số hàng chục (hoặc chữ số hàng đơn vị) Nếu gọi chữ số hàng chục x Điều kiện x ? (x N, < x < 10) Chữ số hàng đơn vị : 16 – x Số cho biết 10x + 16 - x = 9x + 16 Đổi vị trí hai chữ số cho số viết 10 ( 16 – x ) + x = 160 – 9x Số lớn số cho 18 nên ta có phương trình : (160 – 9x) – (9x + 16) = 18 - Giải phương trình ta x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy chữ số hàng chục Chữ số hàng đơn vị 16 – = Số cần tìm 79 III- MỘT SỐ VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH VỀ CÁC DẠNG TỐN VÀ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ : Trong phần soạn số tốn điển hình loại, thân tơi khơng có tham vọng lớn mong tài liệu tham khảo em học sinh luyện tập thêm Do đó, thân tơi đúc rút từ sách quý thầy giáo , quý cô giáo trước dày công nghiên cứu để biên soạn viết lại Mong quý thầy cô em học sinh vui lịng góp ý Loại : Bài tốn chuyển động Ví dụ :Nhà Hịa nhà Bình nằm đường quốc lộ cách 7km Nếu Hịa Bình xe đạp lúc ngược chiều sau họ gặp Tính vận tốc người, biết vận tốc Hịa vận tốc Bình Lời giải : Gọi vận tốc Bình x (km/h)(x > 0).vận tốc Hòa Trong 1 giờ, Bình x (km) x Hịa Ta có phương trình : Giải : x (km) 4 1 x + x =7 4 3 x = Þ x = 16 x = 16 = 12 4 4 Thử lại : 16 + 12 = 12 x (km/h) Vậy vận tốc Hòa 12 (km/h), Bình 16 (km/h) Ví dụ : Hai ôtô vận tải khởi hành lúc từ thành phố A đến thành phố B cách 120km Xe thứ chạy nhanh xe thứ hai 10km giờ, nên đến B sớm xe thứ hai Tính vận tốc xe Giải : Gọi vận tốc xe thứ : x km/h (với x > 10) Vận tốc xe thứ hai 120 (x – 10) km/h Thời gian xe thứ từ A đến B giờ, xe thứ hai từ x 120 A đến B giờ, lâu 1giờ Ta có phương trình : x - 10 120 120 +1 = x x - 10 Hay : 120 (x – 10) + x (x – 10) = 120x x2 – 10x – 1200 = ’ = 25 + 1200 = 1225 = 35 ; Phương trình có hai nghiệm : x1 = 40 ; ' 35 x2 = - 30 Vì x > 10 nên ta loại nghiệm âm Thử lại : 120 120 = 3( giờ) ; = (giờ) 40 30 + = (giờ) Vận tốc xe thứ 40 (km/h) Vận tốc xe thứ hai 30(km/h) Bài tập đề nghị : 1- Hai bến tàu thủy A B cách 48 km Một tàu thủy từ A đến B trở lại A tất Biết vận tốc dịng nước (km/h) Tính vận tốc tàu thủy nước đứng im 2- Một xe ôtô phải quãng đường dài 150km với vận tốc định Người ta tính : Nếu ơtơ tăng vận tốc thêm 10km thời gian chạy hết quãng đường giảm 45 phút Tính vận tốc định Loại : Bài toán suất lao động Chú ý : Năng suất lao động kết làm được, suất lao động trội = mức quy định + tăng suất Ví dụ : Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất 400 chi tiết máy Trong tháng sau, tổ I vượt mức 10%, tổ II vượt mức 15% nên hai tổ sản xuất 448 chi tiết máy Tính xem tháng đầu tổ sản xuất chi tiết máy? Phân tích : Cần phải xác định suất tổ tháng đầu, nên ta đặt hai ẩn, ẩn tương ứng suất tổ Nhưng biết suất chung hai tổ 400 chi tiết máy, cần ẩn số Giả sử gọi suất tổ I (trong tháng đầu) x suất tổ II 400 - x Tiếp theo dựa vào suất tổ tháng sau để lập phương trình, dựa vào phần tăng suất tổ để đến phương trình khác Giải : Cách 1: Gọi x số chi tiết máy tổ I sản xuất tháng đầu, x nguyên dương, tổ sản xuất (400 – x) chi tiết máy Trong tháng sau, tổ I làm so với tháng đầu : 100% + 10% = 110% Tổ II làm so với tháng đầu : 100% + 15% = 115% Tháng sau số chi tiết máy mà hai tổ làm là: 110x 115(400 - x ) + = 448 100 100 Giải phương trình : 110x + 115 (400 – x) = 44.800- 5x = - 1.200 x = 240 Thử lại: 110.240 = 264 100 ; 115.160 = 184 ; 264 +184 =448 100 Vậy tháng đầu tổ I sản xuất 240 chi tiết máy, tổ II sản xuất 400 – 240 = 160 chi tiết máy Cách Phần đặt ẩn số cách Trong tháng sau, hai tổ tăng suất : 448 - 400 = 48 (chi tiết máy) Như ta có phương trình : 10x 15(400 - x ) + = 48 100 100 Giải phương trình : 10x + 15 (400 – x) = 4.800- 5x= - 1200 x = 240 Vậy tháng đầu tổ I sản xuất 240 chi tiết máy, tổ sản xuất 400 – 240 = 160 chi tiết máy Bài tập đề nghị : 1- Theo kế hoạch, quý I, phân xưởng A phải sản xuất nhiều phân xưởng B 200 bình bơm thuốc trừ sâu Khi thực hiện, phân xưởng A tăng suất 20%, phân xưởng B tăng suất 15% nên phân xưởng A sản xuất nhiều phân xưởng B 350 bình bơm Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải sản xuất bình bơm? 2- Một đội cơng nhân hồn thành cơng việc với mức 420 ngày cơng thợ Hãy tính số cơng nhân đội, biết đội tăng thêm người số ngày để hồn thành cơng việc giảm ngày cơng Loại : Bài tốn có liên quan đến số học hình học Chú ý cấu tạo thập phân số : đơn vị hàng lớn (hoặc nhỏ hơn) đơn vị hàng liền sau (hoặc liền trước nó) 10lần Chẳng hạn, số có ba chữ số abc : abc = 100a + 10b + c a, b, c số tự nhiên từ đến 9, riêng a từ đến Ví dụ : Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số ta viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại số lớn số cho 27 đơn vị Giải : Gọi số cho xy , x, y số tự nhiên < x < 9, < y < xy = 10x + y Theo giả thiết x + y = Số viết theo thứ tự ngược lại yx = 10y + x Theo đầu ta có hệ phương trình : ïìï x + y = í ïï 10y + x - (10x + y ) = 27 ỵ ìx + y = ï Rút gọn hệ ta : ïí ïï y - x = ỵ Cộng theo vế ta có 2y = 10 hay y = Suy x = - = Giá trị thõa mãn điều kiện nêu Thử lại : 52 - 25 = 27 Vậy số phải tìm 25 Ví dụ 2: Một tam giác có cạnh huyền 25cm tổng hai cạnh góc vng 35cm Tính độ dài cạnh góc vng Giải : Gọi x (cm) độ dài cạnh góc vng, x > Cạnh góc vng dài 35 - x (cm) Theo định lý Pitago ta có phương trình : x + (35 - x)2 = 252 x + 1225 - 70x + x2 = 625x - 35x - 300 = hay = 1225 - 1200 = 25 ; D = Phương trình có hai nghiệm: x = 20 x2 = 15 Hai giá trị thỏa mãn điều kiện nêu Thử lại : 20 + 15 = 35 202 + 152 = 400 + 225 = 625 = 25 Vậy độ dài hai cạnh góc vng 20cm 15cm Bài tập đề nghị : 1- Nhà trường dự định làm sân tập thể dục hình chữ nhật diện tích 350m Tính kích thước sân biết giảm chiều dài 10m tăng chiều rộng lên 4m diện tích khơng đổi 2- Trong tam giác vuông, đường cao thuộc cạnh huyền dài 12cm chia cạnh huyền thành hai đoạn 7cm Tính độ dài cạnh huyền Loại : Bài tốn có nội dung vật lý, hóa học Để lập phương trình, ta phải dựa vào cơng thức, định luật vật lý, hóa học liên quan đến đại lượng có đề tốn Ví dụ : Dùng hai lượng nhiệt, lượng 168kJ để đun nóng hai khối nước 1kg khối nước nhỏ nóng khối nước lớn 20C Tính xem khối nước nhỏ đun nóng thêm độ? Phân tích : Cơng thức tính nhiệt lượng : Q = cm (t2 - t1) nhiệt độ tăng thêm t2 - t1, suy khối lượng nước Q m= , biết nhiệt dung riêng nước là: c =4,2 kJ/kg.độ c(t - t ) Giải: Giả sử khối nước nhỏ đun nóng x độ(x>0) Như khối lượng nước nhỏ là: Q 168 = (kg) , khối nước lớn đun nóng c(t - t ) 4,2.x 168 khối nước nhỏ 20C nên khối lượng khối nước lớn là: (kg) 4, 2(x - 2) m= Theo đầu ta có phương trình : 168 168 +1 = 4,2.x 4, 2(x - 2) Giải phương trình ta : 40 40 + 1= x x- 40 (x - 2) + x (x - 2) = 40x x2 - 2x - 80 = ‘ = + 80 = 81 ' Phương trình có hai nghiệm x1 = 10; x2 = - Vì x > nên ta loại nghiệm âm Vậy khối nước nhỏ đun nóng thêm 100C (Để giải tốn này, đặt ẩn khối lượng khối nước nhỏ) Ví dụ : Lấy 40g chất lỏng thứ trộn lẫn với 30g chất lỏng thứ hai có khối lượng riêng nhỏ 100kg/m3 ta hỗn hợp có khối lượng riêng 350kg/m3 Tính khối lượng riêng chất lỏng Phân tích : Cơng thức khối lượng riêng: D = M (kg/m3) V Chú ý trộn hai chất lỏng có khối lượng riêng khác khối lượng riêng hỗn hợp khác thể tích hỗn hợp tổng thể tích hai chất lỏng đem trộn mà cơng thức tính thể tích: V M D Giải : Gọi khối lượng riêng chất lỏng thứ x (kg/m3) khối lượng riêng chất lỏng thứ hai (x - 100) kg/m3 Điều kiện x > 100 0.04 0.03 với thể tích củahỗn x x - 100 0, 04 + 0, 03 0, 07 = 350 350 So sánh thể tích hai chất lỏng hợp: Ta đến phương trình : 0.04 0.03 0, 07 + = x x - 100 350 Nhân hai vế với 100 thay = 350 50 ta phương trình: + = x x - 100 50 50 (4x - 400 + 3x) = x (x -100) x2 - 450x + 20000 = = 202500 - 80000 = 122500 = 3502 ; D = 350 Phương trình có hai nghiệm : x1 = 400; x = 50 Theo điều kiện đặt ra, ta lấy nghiệm x = 400 Vậy khối lượng riêng hai chất lỏng 400kg/m3 300kg/m3 Bài tập đề nghị : 1- Có hai loại dung dịch chứa thứ axit Loại I chứa 30% axit, loại II chứa 50% axit Muốn có 50 lít dung dịch chứa 15% axit cần phải trộn lẫn lít dung dịch loại? 2- Một hợp kim đồng nhơm nặng 11,250kg, tích 3,500dm3 Tính khối lượng đồng nhơm có hợp kim, biết khối lượng riêng đồng 8,9g/cm3; nhôm 2,6g/cm3 Loại : Bài tốn cơng việc làm chung, làm riêng Chú ý : Nếu n đơn vị thời gian (giờ, ngày ) để làm xong cơng cơng việc n việc đơn vị thời gian làm Ví dụ : Hai đội công nhân xây dựng làm chung ngày làm xong cơng trình Nếu làm riêng đội I phải làm lâu đội II ngày Hỏi đội làm riêng ngày xong cơng trình Giải : Gọi x số ngày mà đội I phải làm để hồn thành cơng trình Như đội II làm riêng phải x - ngày Điều kiện x > Mỗi ngày đội I 1 làm cơng trình, đội II làm cơng trình hai đội x x- làm chung cơng trình Ta có phương trình : 1 + = x x- Giải phương trình : 6(x - 5) + 6x = x(x - 5) x2 - 17x + 30 = = 289 - 120 = 169 = 13 2; D = 13 Phương trình có nghiệm x1 = 15, x = Vì x > nên ta lấy nghiệm x = 15 Ví dụ : Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước 12 đầy bể Nếu mở vịi thứ chảy vòi thứ hai chảy đầy bể Hỏi vịi chảy phải đầy bể Giải : Gọi x y số mà vịi nước chảy để đầy bể, x y 1 dương tính Như vậy, sau vịi chảy bể, hai x y vòi chảy bể Theo đề ta có hệ phương trình : 12 ìï ïï + = ïï x y 12 í ïï ïï + = y ïỵ x Giải hệ phương trình : x =20 y = 30 Mà x = 20, từ y = 30 thỏa mãn điều kiện nêu Thử lại đúng.Vậy vòi chảy riêng phải 20 30 đầy bể Bài tập đề nghị : 1- Hai cần cẩu làm chung hồn thành cơng việc sau 7giờ 30 phút Nếu cần cẩu thứ làm riêng cần cẩu thứ hai làm riêng tiếp tục 40 phút nửa cơng việc Hỏi làm riêng cần cẩu phải làm để xong công việc? 2- Hai đội sản xuất đào mương Nếu để đội làm riêng mương tính hai đội tất 25 ngày xong Nếu góp sức làm chung hai đội ngày Hỏi làm đội phải để đào xong mương ? 3- Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước, sau 11 đầy bể 12 Nếu chảy riêng vịi thứ đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi vòi chảy đầy bể bao lâu? Loại : Bài toán tỉ lệ, chia phần Ví dụ : Hai cửa hàng có tất 600 lít nước chấm Nếu cửa hàng thứ chuyển sang cửa hàng thứ hai 80 lít số nước chấm cửa hàng thứ hai tăng gấp đôi cửa hàng thứ Hỏi cửa hàng chứa lít nước chấm? Giải :Gọi số nước chấm có cửa hàng thứ x lít, cửa hàng thứ hai y lít Điều kiện x, y dương nhỏ 600 Theo gia thiết thứ ta có x + y = 600 Sau chuyển 80 lít sang cửa hàng thứ hai có (y + 80) lít Theo đề y + 80 = 2(x - 80) Như ta có hệ phương trình: x + y = 600 y + 80 = 2(x - 80) Giải hệ phương trình : x + y = 600 x + y = 600 hay y - 2x = - 240 2x - y = 240 Suy 3x = 840 hay x = 280, từ y = 600 - 280 hay y = 320 Nghiệm thỏa mãn điều kiện nêu Thử lại : 280 + 320 = 600 ; 320 + 80 = 200 = (280 - 80) Vậy cửa hàng thứ có 280 lít cửa hàng thứ hai có 320 lit nước chấm Ví dụ : Một đội xe cần phải chuyên chở 120 hàng Hơm làm việc, có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội xe có xe?(SGK- Lớp - trang 95) Giải : Gọi x số xe đội xe, x nguyên dương Hôm làm việc có (x - 2) xe 120 Theo dự định xe phải chở tấn, có xe làm việc khác x 120 nên xe thực tế phải chở phải chở thêm 16 Ta có x- 120 120 phương trình : = 16 x- x Giải phương trình :120x - 120(x - 2) = 16x (x - 2) 16x2 - 32x - 240 = x2 - 2x - 15 = ‘ = + 15 = 16 ' Phương trình có nghiệm x = x = -3 Chỉ có giá trị x =5 thích hợp với điều kiện đẫ nêu Thử lại: 120 : =24 (tấn) ; 5-2=3 (xe) 120 : =40 (tấn) ; 40 – 24 =16 (tấn) Vậy đội xe co xe ô tô Bài tập đề nghị : 1-Hai lớp 91 92 mua 380 tập giấy phân phối cho hai lớp theo tỷ lệ Hỏi lớp mua tập giấy 10 2-Một đội niên xung phong theo kế hoạch phải đào 40 m đất Nhưng bất đầu làm đôi bổ sung thêm người nên người giảm định mức 0,4m3 đất Hỏi đội có người? 3- Hội trường có 320 chỗ ngồi Số người đến dự 420 người, phải xếp để dãy thêm ghế phải đặt thêm dãy ghế đủ Hỏi hội trường lúc đầu có dãy ghế dãy có ghế C – BIỆN PHÁP THỰC HIỆN: Để thực tốt yêu cầu đề việc phân tích tốn “Giải tốn cách lập hệ phương trình” với thời lượng lên lớp khóa (2tiết) khó.Do đo, thân tơi mạnh dạn đưa biện pháp sau đây: 1/ Việc quan trọng thành cơng dạy học theo tơi giáo viên phải soạn thật tốt, chuẩn bị hệ thống câu hỏi phù hợp, tập trắc nghiệm, tự luận phù hợp 2/ Phân tích tập “mẫu” cho học sinh qua phụ đạo nhà trường tổ chức học mơn tự chọn mơn tốn.Tuy nhiên để truyền tải thơng tin đến học sinh nhanh thân soạn số tập trắc nghiệm nhỏ để em thực Ví dụ: Để ơn tập cho phần “Đường lối chung để giải toán cách lập hệ phương trình” tơi soạn tập sau: Sắp xếp bước sau theo cách hợp lý để “Đường lối chung để giải toán cách lập hệ phương trình” c- Nhờ liên quan số liệu, vào đề bài, mà lập phương trình,hệ phương trình e- Chọn ẩn số, ý ghi rõ đơn vị đặt điều kiện cho ẩn số a-Nhận định kết quả, thử lại trả lời Chú ý so sánh với điều kiện đặt cho ẩn xem có thích hợp khơng, sau trả lời danh số (có kèm theo đơn vị) d- Dùng ẩn số số biết cho đề để biểu thị số liệu khác, diễn giải phận hình thành phương trình, hệ phương trình h-Lập phương trình gồm cơng việc : b-Giải phương trình (hệ phương trình) Tùy theo dạng phương trình mà chọn cách giải thích thích hợp ngắn gọn.” *Hoặc với tốn :”Nếu hai vịi chảy vào bể sau 20 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ 10 phút vòi thứ hai 12 phút đầy bể Hỏi vịi chảy riêng phải đầy bể ?”( Bài 15 trang 69 – Đại số 9) Bản thân soạn phiếu học tập sau: Em điền vào chỗ trống ( ) nội dung thích hợp: Nếu gọi thời gian vịi chảy x (h) Điều kiện x + Năng suất vòi chảy + Năng suất vòi chảy + Cả hai vòi chảy : Ta có phương trình : + = 6x 15 3/ Chia học sinh thành nhóm nhỏ,mỗi nhóm có nhóm trưởng (Học sinh có học lực ,có uy tín với bạn ).Tổ chức nhóm thảo luận tập “mẫu”mà giáo viên giải giấy photo từ áp dụng giải số tập mà giáo viên đưa Sau cho nhóm lên bảng trình bày giai (có thuyết trình) Các thành viên cịn lại lớp đặt câu hỏi pháp vấn nhóm giải (nếu câu hỏi hay giáo viên phải kịp thời khen ngợi em) 4/ Giáo viên phải chuẩn bị số tập tương tự cho em ( thân photo đề biên soạn phát cho nhóm) nhà thực Buổi sau ,bản thân tơi thu em, chấm chữa giải số em, sửa câu văn, phép tính Đây việc làm khơng khó, nhiên địi hỏi giáo viên tận tâm, tận tụy chịu khó cơng việc D - KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Trên vài kinh nghiệm nhỏ rút từ thực tế năm giảng dạy thân Phần giải tốn cách lập phương trình đa dạng, nhiên với khả mình, tơi đề cập đến số dạng đơn giản mà em thường gặp chương trình lớp 8, lớp Tơi sâu vào vấn đề nhỏ hướng dẫn, giúp em có kỹ lập phương trình tốn, muốn giải tốn cách lập phương trình phải lập phương trình, có phương trình giải phương trình có kết đúng, dẫn đến trả lời điều mà tốn địi hỏi Với việc làm nêu trên, thân tự nghiên cứu áp dụng Bước đầu tơi thấy có số kết sau: -Trước thực phương pháp này, đầu năm học cho cac học sinh lớp (năm học: 2011-2012) phụ trách ( gồm 48 em) làm tốn giải lớp 8,Tơi ghi lại kết theo dõi sau: -Điểm ; 10: 04 học sinh -Điểm 5;6;7;8: 20 học sinh -Điểm trung bình: 24 học sinh Sau thực thấy kết em nâng lên rõ rệt: -Điểm ; 10 : 10 học sinh -Điểm 5;6;7;8 : 26 học sinh -Điểm trung bình: học sinh (Kết kiểm tra học kỳ I) kiểm tra chương III Đại số 9, Tôi thấy hầu hết em biết trình bày toán dạng (36/44 học sinh đạt điểm trung bình) Tuy nhiên, kết khác mà học sinh đạt Tôi thiết nghĩ nói lên số là: -Phần lớn học sinh say mê giải toán cách lập phương trình - Các em khơng cịn lúng túng lập phương trình - Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú học toán , Từ đó, tạo cho em tính tự tin độc lập suy nghĩ -Phát triển tư logic, óc quan sát, suy luận toán học, em biết “Phiên dịch” vấn đề từ ngôn ngữ văn học sang ngơn ngữ tốn học thơng qua phép tốn, biểu thức, phương trình giai vấn đề Từ đó, giúp phát triển ngơn ngữ tạo cho cá em tư , vững vàng học tập , lao động sống - Trong trình giải tập giúp em có khả phân tích, suy ngẫm, khái quát vấn đề cách chặt chẽ, em không cịn ngại khó, mà tự tin vào khả học tập - Nhiều em giỏi tìm cách giải hay ngắn gọn phù hợp Tuy bên cạnh kết đạt cịn số học sinh học yếu , lười học, chưa có khả tự giải tốn cách lập phương trình Đối với em yếu, việc thực khó khăn Một phần khả học tốn em cịn hạn chế, mặt khác dạng tốn lại khó, địi hỏi tư nhiều em Một yếu tố ảnh hưởng đến chất lượng học em có lẽ phương pháp giảng dạy thân đôi lúc chưa thực hợp lý Trong trình giảng dạy, hẳn mong muốn cho học sinh hiểu bài, chất lượng học tập em tốt hơn, tạo cho em có đầy đủ điều kiện bước vào sống học lên Vì đòi hỏi người tạo sản phẩm cần phải : - Có kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh - Học sinh phải nắm vững lý thuyết, biết vận dụng thực hành loại toán, giải nhanh, thành thạo nhiều cách Trên sở giải tập, biết đặt tập để kích thích say mê học tốn Những biện pháp việc làm trình bày trên,bước đầu chưa đạt kết chưa thật mỹ mãn tâm ý thân Tuy nhiên, thực tốt tơi nghĩ góp phần đổi phương pháp dạy học mà ngành quan tâm đạo Mặt khác , với cách trình bày (nếu thành cơng) Tơi thiết nghĩ , áp dụng cho số phần khác như:Giải phương trình quy bậc hai,Hệ thức Viet áp dụng nó.Các phương pháp chứng minh hình học Tơi tin kinh nghiệm biện pháp nhỏ bé kinh nghiệm đúc kết qua sách vơ, quý thầy giáo, giáo trước bạn đồng nghiệp Vì vậy, thân tơi mong góp ý, xây dựng quý thầy giáo, cô giáo, bạn đồng nghiệp, nhằm giúp tơi bước hồn thiện phương pháp giảng dạy mình.Từ đó, thân tơi có điều kiện cống hiến nhiều trí lực cho nghiệp giáo dục mà Bác Hồ kính u mong ước tồn Đảng, tồn dân ta quan tâm Tơi xin chân thành cảm ơn Tháng 11 năm 2012 Người biên soạn MAI TRỌNG MẬU ... khả q trình học tập Để giúp học sinh bớt khó khăn cảm thấy dễ dàng việc? ?Giải tốn cách lập phương trình? ?? lớp 9, tơi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập phương trình giải phương trình cách. .. thành phương trình , hệ phương trình - Nhờ liên quan số liệu, vào đề bài, mà lập phương trình, hệ phương trình Bước : Giải phương trình (hệ phương trình) Tùy theo dạng phương trình mà chọn cách giải. .. liệu khác, diễn giải phận hình thành phương trình, hệ phương trình h -Lập phương trình gồm cơng việc : b -Giải phương trình (hệ phương trình) Tùy theo dạng phương trình mà chọn cách giải thích thích