Toán hình học là một trong hai nội dung chủ đạo trong SKG môn Toán các lớp. Việc đưa các phép biến hình trong mặt phẳng vào giải các bài toán tập hợp điểm không chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những công cụ mới để giải toán và cũng tập cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới. Mời các bạn cùng tham khảo bài SKKN về hình học này nhé.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" Ứng dụng phép biến hình mặt phẳng giải tốn tìm tập hợp điểm Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình hình học bậc THPT biết phép biến hình mặt phẳng phép đối xứng qua đường thẳng, phép đối xứng qua điểm,phép tịnh tiến,phép vị tự ,phép đồng dạng ,việc làm quen ,sử dụng lại ứng dụng điều khó khăn học sinh ngại học phần Trong dạy học sinh ụn tập trọng phân dạng dạy cho học sinh dạng toán phép biến hình,với đối tượng học sinh học giỏi tơi mạnh dạn đưa dạng tốn ứng dụng phép biến hình mặt phẳng giải tốn tìm tập hợp điểm Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài “ứng dụng phép biến hình mặt phẳng giải tốn tìm tập hợp điểm " nhằm giúp học sinh có thêm cách giải tốn tập hợp điểm hình học.Có nhiều tốn tập hợp điểm khó khăn ( chí cảm giác khơng tìm cách giải) dặc biệt lời giải cách tự nhiên ,thì lại giải cách đơn giản cách áp dụng phép biến hình Phát huy kĩ giải tốn ,phát triển tư lôgic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập học sinh ,tạo hứng thú học tập mơn tốn Nhiệm vụ nghiờn cứu - Phép biến hình mặt phẳng khái niệm khó nên học sinh ngại nghiên cứu ứng dụng nú lớn học sinh học thời gian ngắn nờn việc ỏp dụng thành thạo cỏc tập nhiều học sinh chưa tốt - Vỡ học sinh học phép biến hình nghĩ đơn nắm định nghĩa tớnh chất nờn ỏp dụng phộp biến hỡnh mặt phẳng vào giải cỏc toỏn tập hợp điểm, học sinh gặp nhiều khó khăn Vậy ỏp dụng cú phổ biến dạng toỏn hay khụng? Để giải hết vấn đề thỡ khú dạng tơi dạy em phần trả lời cỏc cõu hỏi Đối tượng nghiên cứu Ứng phộp biến hỡnh mặt phẳng để giải cỏc toỏn tỡm tập hợp điểm chương trỡnh toỏn học THPT Phạm vi nghiờn cứu Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" Để thực đề tài này, dựa sở kiến thức mơn tốn trung học phổ thông, tài liệu phương pháp giảng dạy, tài liệu bồi dưỡng học sinh luyện thi đại học ,cao đẳng học sinh giỏi Phương pháp nghiờn cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiờn cứu sỏch giỏo khao, sỏch tham khảo, cỏc tài liệu liờn quan khỏc, - Phương pháp quan sát: Quan sát trỡnh dạy học trường PTTH Tiờn Lữ - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức số tiết dạy Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ Lí LUẬN, THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ I.1 Cơ sở lý luận vấn đề Việc đưa phép biến hỡnh mặt phẳng vào giải cỏc toỏn tỡm tập hợp điểm khụng nhằm cung cấp cho học sinh cụng cụ để giải toỏn cong tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư suy luận mới, biết nhỡn nhận việc cỏc tượng xung quanh sống với vận động biến đổi chúng để nghiờn cứu, tỡm tũi, khỏm phỏ,tạo sở cho đời phỏt minh sỏng tạo tương lai Ngồi dựa vào toỏn hỡnh học cụ thể tỡm tập hợp điểm phộp biến hỡnh ta cũn cú thể sỏng tạo toán khác việc làm mang lại nhiều hứng thỳ việc tỡm tũi, nghiờn cứu hỡnh học Hơn việc lựa chọn cỏc cụng cụ thớch hợp cho loại toỏn hỡnh học khỏc việc làm cần thiết giỳp chỳng ta tiết kiệm thời gian cụng sức để giải toán cỏch cú hiệu I.2 Thực trạng vấn đề Phộp biến hỡnh khỏi niệm khú nờn học sinh lười nghiờn cứu, ứng dụng nú lớn học sinh học thời gian ngắn nờn việc ỏp dụng thành thạo cỏc tập nhiều học sinh chưa tốt Trong quỏ trỡnh ụn tập cho học sinh tụi luụn quan tâm đến vấn đề dạy cho học sinh hiểu khụng dạy lý thuyết mà phải cú ỏp dụng Khi chọn đề tài phần giỳp học sinh thỏo gỡ việc nhận thức học phần phộp biến hỡnh cú cụng cụ giải dạng tập tập hợp điểm Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" CHƯƠNG II DÙNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TỐN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM I Phép biến hình - Phép tịnh tiến phộp dời hình: Phộp biến hỡnh quy tắc để với điểm M mặt phẳng xác định điểm M' thuộc mặt phẳng Phép tịnh tiến theo vectơ u phộp biến hỡnh biến điểm M thành điểm M' cho MM ' u Tính chất phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách hai chất điểm bất kỡ Phộp dời hỡnh phộp biến hỡnh khụng làm thay đổi khoảng cách hai điểm bất kỡ Phộp tịnh tiến phộp dời hỡnh Phộp dời hỡnh cú tớnh chất: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng khơng làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tia thành tia, biến tam giác thành tam giác nó, biến góc thành góc nó, biến đường trũn thành đường trũn cú cựng bỏn kớnh Cho hai phộp dời hỡnh F G, giả sử M điểm phép biến hỡnh F biến điểm M thành điểm M' phép biến hỡnh G biến M' thành M" Khi phép biến hỡnh biến điểm M thành điểm M" gọi hợp thành phép F phép G II Phép đối xứng trục: Phép đối xứng qua đường thẳng a phép biến hỡnh biến điểm M thành điểm M' đối xứng với M qua đường thẳng a Phép đối xứng qua đường thẳng a cũn gọi phộp đối xứng trục Đường thẳng a gọi trục phép đối xứng Phép đối xứng trục phép dời hỡnh Trục đối xứng hỡnh H đường thẳng mà phép đối xứng qua đường thẳng biến hỡnh H thành hỡnh H III Phép quay phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng, cho điểm O góc lượng giác Phộp quay Q 0; tõm O gúc quay phộp dời hỡnh biến điểm O thành biến điểm M khác O thành điểm M' cho OM=OM' (OM, OM')= Phộp quay phộp dời hỡnh Khi = thỡ phộp quay Q(O, ) gọi phép đối xứng qua điểm O, kí hiệu Đ0 Phép đối xứng qua điểm O cũn gọi phộp đối xứng tâm Phép đối xứng qua điểm O biến điểm M thành điểm M' cho OM OM ' Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" IV Hai hỡnh nhau: Nếu ABC A'B'C' hai tam giỏc thỡ cú phộp dời hỡnh biến tam giỏc thành tam giỏc Hai hỡnh H H' gọi cú phộp dời hỡnh biến hỡnh thành hỡnh V Phép vị tự - Phép đồng dạng: Phộp vị tự V(O;k) với tõm O, tỉ số k (k 0) phộp biến hỡnh biến điểm M thành điểm M' cho OM ' kOM Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song ( trùng) với đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên với |k|, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng |k|, biến góc thành góc Phép vị tự biến đường trũn cú bỏn kớnh R thành đường trũn cú bỏn kớnh |k|R Tâm vị tự hai đường trũn: tâm phép vị tự V biến đường trũn thành đường trũn Tõm vị tự gọi tâm vị tự hay tâm vị tự tùy theo tỉ số phép vị tự dương hay âm Hai đường trũn cú bỏn kớnh khỏc thỡ cú tâm vị từ tâm vị tự Hai đường trũn cú bỏn kớnh ( tõm khỏc nhau) thỡ cú tõm vị tự trong, trung điểm đoạn thẳng nối tâm hai đường trũn Phép đồng dạng tỉ số k ( k>0) phép biến hỡnh biến hai điểm tùy ý M, N thành hai điểm M’, N’ cho M’N’=kMN Mọi phép đồng dạng F tỉ số k hợp thành phép vị tự V tỉ số k phép dời hỡnh D Hai hỡnh gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hỡnh thành hỡnh Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" CHƯƠNG III ÁP DỤNG A Tỡm tập hợp điểm phép tịnh tiến Tu Phương pháp: Xác định phép tịnh tiến Tu biến điểm M thành M' Tỡm quỹ tớch điểm M Từ quỹ tích điểm M, dựa vào tính chất phép tịnh tiến để suy quỹ tích điểm M' Bài toỏn 1: Cho đường trũn (O) hai điểm A, B Một điểm M thay đổi đường trũn (O) Tỡm quỹ tớch điểm M’ cho: MM ' MA MB Giải: Ta cú MM ' MB MA AB Phộp tịnh tiến T theo vecto AB biến M thành M’ Gọi O’ ảnh O qua phộp tịnh tiến T, tức OO ' AB thỡ quỹ tớch M' đường trũn O' cú bỏn kớnh bỏn kớnh đường trũn (O) Bài toỏn 2: Cho đường trũn (O) với đường kính AB cố định, đường kính MN thay đổi Các đường thẳng AM AN cắt tiếp tuyến B P Q Tỡm quỹ tớch trực tõm cỏc tam giỏc MPQ NPQ? Giải MPQ có QA đường cao ( vỡ QA MP ) Kẻ MM' PQ thỡ MM' cắt QA trực tõm H MPQ , đoạn đường thẳng OA đường trung bỡnh NMH nờn MH 2OA BA Vậy phộp tịnh tiến T theo BA biến M thành H ( M khụng trựng A; M khụng trựng B) Quỹ tớch H ảnh đường trũn (O) ( không kể hai điểm A B) qua phép tịnh tiến Làm tương tự trực tâm H' NPQ Bài toỏn 3: Cho ABC , với điểm M ta dựng điểm N thỏa món: MN MA MB 3MC Tỡm tập hợp điểm N, M thay đổi đường thẳng d Giải Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" MN MA MB 3MC MN AB AC AE Ta cú AE vecto xác định N ảnh M qua phộp tịnh tiến theo AE Vỡ M thuộc d, nờn N thuộc d’ ảnh d qua phép tịnh tiến Tập hợp N đường thẳng d’ Bài toỏn 4: Cho ABC cố định có trực tâm H Vẽ hỡnh thoi BCDE, từ D E vẽ cỏc đường thẳng vng góc với AB AC Các đường thẳng cắt điểm M Tỡm quỹ tớch điểm M Giải Tứ giỏc BCDE hỡnh thoi nờn BC=CD, BC//ED H trực tõm ABC nờn BH AC , ME AC BH // ME Suy HBC MED Tương tự: HC//DM BC//ED HCB MDE Suy ra: HBC MDE CH DM D M Phộp tịnh tiến TCH Ta có BC=CD nên điểm D chạy đường trũn (C) tõm C, bỏn kớnh R=BC điểm M thuộc đường trũn tõm H, bán kính R=BC ảnh đường trũn (C) qua phộp tịnh tiến TCH Bài toàn ABC cú A 900 Từ điểm P thay đổi cạnh huyền BC ABC vẽ đường vng góc PR, PQ với cỏc cạnh vuụng AB, AC ( R AB, Q AC) Tỡm quỹ tớch trung điểm M đoạn thẳng RQ Giải Dựng hỡnh chữ nhật ABSQ Ta cú PR AB, PQ AC RA AQ ARPQ hỡnh chữ nhật Suy RBSP hỡnh chữ nhật Gọi N trung điểm cạnh BP thỡ MN//SQ MN= SQ MN//BA MN= BA Đặt u BA NM u Phộp tịnh tiến Tu : N M Khi P C thỡ N D trung điểm cạnh BC Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" Khi P thay đổi cạnh huyền BC thỡ N thay đổi đoạn thẳng BD thuộc cạnh huyền BC Tu : B B1 Tu : D N1 thỡ B1 N1 trung điểm cạnh AB, AC Suy quỹ tích điểm M đoạn thẳng B1N1 B Tỡm tập hợp điểm phép đối xứng Đa Phương pháp: Xác định phép đối xứng Đa biến điểm M thành M' Tỡm quỹ tớch điểm M Từ quỹ tích ddierm M, dựa vào tính chất phép đối xứng trục để suy quỹ tích điểm M' Bài toỏn 6: Cho đường trũn (O;R) hai điểm A, B cố định Với điểm M ta xác định điểm M' cho MM ' MA MB Tỡm quỹ tớch điểm M' cho M chạy trờn (O;R) Giải Gọi I trung điểm AB thi I cố định MA MB 2MI , MM ' MA MB MM ' MI MM ' nhận I làm trung điểm hay phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M thành M' Vậy M chạy đường trũn (O;R) thỡ quỹ tớch điểm M' ảnh đường trũn qua ĐI Nếu ta gọi O' điểm đối xứng O qua điểm I thỡ quỹ tớch M' đường trũn (O';R) Bài toỏn 7: Cho đường trũn (O) ABC Một điểm M thay đổi đường trũn (O) Gọi M điểm đối xứng M qua A M2 điểm đối xứng M1 qua B, M3 điểm đối xứng M2 qua C Tỡm quỹ tớch điểm M3 Giải Gọi D trung điểm MM3 thỡ ABCD hỡnh bỡnh hành điểm D cố định Vỡ phộp đối xứng qua điểm D biến M thành M3 nờn quỹ tớch M3 ảnh đường tũn (O) qua phộp đối xứng Bài toỏn Cho đoạn thẳng BC cố định số k>0 Với điểm A ta xác định điểm D cho AD AB AC Tỡm tập hợp điểm D A thay đổi thỏa điều kiện AB AC k Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" Giải Gọi I trung điểm BC, 2AI AB AC AD I trung điểm AD Phép đối xứng qua I biến A thành D Tập hợp điểm A thỏa điều kiện cho đường trũn điểm rỗng Vậy tập hợp điểm D đường trũn điểm tập rỗng Bài toỏn Cho hai điểm cố định A, B số a>0 Xét đường elip (E) qua A, nhận B tâm đối xứng có độ dài trục lớn 2a Tỡm tập hợp cỏc tiờu điểm (E) Giải Gọi F1, F2 hai tiêu điểm (E) Với A’ đối xứng với A qua B, ta có: A'F1 AF1 A'F1 AF1 2a Vậy tập hợp tiêu điểm elip nhận A, A’ làm tiêu điểm có độ dài trục lớn 2a Bài toỏn 10 Cho ba điểm A, B, C cố định đường trũn (O) điểm M thay đổi (O) Gọi M1 đối xứng với M qua A, M đối xứng M1 qua B, M3 đối xứng với M2 qua C Tỡm quỹ tớch điểm M3 Giải Gọi D trung điểm M M1 thỡ AD đường trung bỡnh MM M AD//M1M3 AD M 1M 1 Ta có BC đường trung bỡnh M 1M M BC//M1M3 BC= M 1M 2 Từ (1), (2) ta cú AD//BC, AD=BC nờn ABCD hỡnh bỡnh hành Ta có A, B, C cố định nên D cố định Xét phép đối xứng tâm D ĐD ĐD: M M điểm M chạy đường trũn (O) nên điểm M3 chạy đường trũn (O') Với (O') ảnh đường trũn (O) qua phộp đối xứng tâm D Vậy quỹ tích điểm M3 đường trũn (O') Bài toỏn 11 Cho hai điểm A, B cố định Với đường thẳng qua B ta dựng điểm A’ đối xứng với A qua d Tỡm tập hợp A’ qua d quay quanh B Giải Gọi H giao điểm d với AA’, ta có BH AA' Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 10 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" D Tỡm tập hợp điểm phép vị tự: Phương phỏp: Xác định phép vị tự biến điểm M thành điểm M' Tỡm quỹ tớch điểm M Dựa vào tính chất phép vị tự để tỡm quỹ tớch điểm M' Bài toỏn 19 Tam giác ABC có bán kính B, C cố định cũn đỉnh A chạy đường trũn (O;R) cố định khơng có điểm chung với đường thẳng BC Tỡm quỹ tớch trọng tõm G ABC Giải Gọi I trung điểm BC thỡ I cố định Điểm G trọng tâm ABC IG IA Phộp vị tự tõm I tỉ số biến điểm A thành điểm G Khi A chạy trờn (O;R) thỡ quỹ tớch g ảnh đường trũn qua phép vị tự V, tức đường trũn (O',R') mà IO ' IO R ' R 3 Bài toỏn 20 Cho đường trũn (O;R) điểm I cố định khác O Một điểm M thay đổi đường trũn Tia phõn giỏc gúc MOI cắt IM N Tỡm quỹ tớch điểm N Giải Đặt IO=d ( d 0) Theo tớnh chất tia phõn giỏc MOI ta cú: IN IO d NM OM R IN d IN d IN NM d R IM d R Hai vecto IN IM hướng nên IN Suy Gọi V phộp vị tự tõm I tỉ số k d IM dR d thỡ V biến điểm M dR thành điểm N Khi M vị trí M0 đường trũn (O;R) cho IOM 00 thỡ tia phõn giỏc gúc IOM cắt IM Điểm N không tồn Vậy M chạy (O;R) (M không trùng M0) thỡ quỹ tớch điểm N ảnh (O;R) qua phép vị tự V bỏ ảnh điểm M Bài toỏn 21 Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 15 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" Cho đường trũn (O) cú đường kính AB Gọi C điểm đối xứng với A qua B PQ đường kính thay đổi (O) khác đường kính AB Đường thẳng CQ cắt PA PB M N a) CMR: Q trung điểm CM, N trung điểm CQ b) Tỡm quỹ tớch cỏc điểm M N đường kính PQ thay đổi Giải a) QB//AP ( vỡ cựng vuụng gúc với PB) B trung điểm AC nên Q trung điểm CM AQ//BN ( vỡ cựng vuụng gúc với AP) B trung điểm AC nên N trung điểm CQ b) CM 2CQ Phộp vị tự V tõm C tỉ số biến Q thành M Vỡ Q chạy trờn đường trũn (O) ( trừ hai điểm A, B) nên quỹ tích M ảnh đường trũn qua phép vị tự V ( trừ ảnh A, B), CN CQ Quỹ tích N ảnh đường trũn (O) qua phộp vị tự V tõm C, tỉ số ( trừ 2 ảnh A, B) Bài toỏn 22 Cho đường trũn (O;R) điểm A cố định Một dây cung BC thay đổi (O;R) có độ dài khơng đổi, BC=m Tỡm quỹ tích điểm G cho GA GB GC Giải Gọi I trung điểm BC GA GB GC AG AI Phộp vị tự V tõm A tỉ số biến điểm I thành điểm G vuụng OIB: OI= OB IB R m2 R ' ( không đổi) Nên quỹ tích I đường trũn (O;R’) điểm O ( m=2R) Do quỹ tích G ảnh quỹ tích I qua phép vị tự V Bài toỏn 23 Cho hai đường trũn (O) (O') cắt A B Một đường thẳng thay đổi qua A cắt (O) A M, cắt (O') A M' Gọi P P' lền lượt trung điểm AM AM' Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 16 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" a) Tỡm quỹ tớch trung điểm I đoạn thẳng PP' b) Tỡm quỹ tớch trung điểm I đoạn thẳng MM' Giải a) Gọi Q trung điểm OO' thỡ QI IA Quỹ tích I đường trũn đường kính AQ b) Vỡ J trung điểm MM' nên AJ AM AM ' AP AP ' AI Vậy phép vị tự tâm A tỉ số biến điểm I thành điểm J Do quỹ tích J ảnh đường trũn đường kính AQ qua phép vị tự Bài toỏn 24 Cho đường trũn (O) điểm P nằm đường trũn Một đường thẳng thay đổi qua P, cắt (O) điểm A B Tỡm quỹ tớch điểm M cho PM PA PB Giải Gọi I trung điểm đoạn AB PI PA PB PM PA PB PI Gọi V phộp vị tự tõm P tỉ số k =2 thỡ V biến điểm I thành điểm M Vỡ I trung điểm AB nên OI AB Suy quỹ tích điểm I đường trũn (C) đường kính PO Vậy quỹ tích điểm M đường trũn (C') ảnh (C) qua phộp vị tự V Nếu O' điểm cho PO ' PO thỡ (C') đường trũn đường kính PO' Bài toỏn 25 Cho tam giác ABC đường thẳng d Với điểm M thuộc d ta xác định điểm N cho MN MA 2MB 3MC Tỡm tập hợp điểm N, điểm M thay đổi trờn d Giải Gọi I điểm có tính chất: IA IB 3IC I điểm cố định Vỡ MN 6MI IN 5IM N ảnh M qua phộp vị tự tõm I, tỉ số k=-5 Vậy tập hợp N đường thẳng d’ nhận từ d qua phép vị tự Bài toỏn 26 Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 17 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" ABC điểm M thuộc cạnh AB Qua M vẽ đường thẳng song song với trung tuyến AA1 BB1 cắt BC, CA P Q Tỡm quỹ tớch cỏc điểm S cho tứ giác MPSQ hỡnh bỡnh hành Giải Gọi E, F giao điểm MQ, MP với AA1, BB1 G trọng tõm ABC Khi đó: ME MQ ME BG ME MQ BG BB1 MQ BB1 3 Tương tự MF MP MG ME EG ME MF MQ MP MG 3 GS GM Suy S ảnh M qua phộp vị tự tõm G, tỉ số k= Khi M thuộc cạnh AB thỡ S thuộc 1 đoạn A1B1 ảnh AB qua V G; 2 Vậy quỹ tích S đoạn thẳng A1B1 Bài toỏn 27 Gọi P, Q, R điểm đối xứng với điểm M qua trung điểm cỏc cạnh ABC a) Chứng minh đoạn thẳng AP, BQ, CR cắt trung điểm I chúng b) Khi M chạy đường trũn ngoại tiếp ABC , tỡm quỹ tớch điểm I Giải a) Ta cú MP MJ , MQ 2MK , MR ML V M ; : JKL PQR 1 Gọi G trọng tõm ABC thỡ V G; : ABC PQR 2 1 mà V M ; V G; =V(1;-1) 2 Suy I trung điểm đoạn thẳng AP, BQ, CR b) Ta cú G, M I thẳng hàng MI cắt AJ G G trọng tõm AMP GI GM Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 18 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" 1 V G; : M I 2 M thuộc đường trũn (O) ngoại tiếp ABC nên quỹ tích điểm I đường trũn (O) ngoại tiếp JKL Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 19 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" E Tỡm tập hợp điểm phương pháp đồng dạng: Phương pháp: Tỡm tập hợp điểm phương pháp đối xứng tâm Bài toỏn 28 Cho điểm A cố định nằm đường trũn (O) điểm C thay đổi đường trũn Dựng hỡnh vuụng ABCD Tỡm quỹ tớch điểm B điểm D Giải Gọi AR đường kính (O) PQ đường kính (O) vng góc với AR ((AR,AP)=450) Phép đồng dạng F biến AR thành AP Vậy quỹ tích B đường trũn đường kính AP Tương tự quỹ tích D đường trũn đường kính AQ ( Lưu ý: F hợp thành phộp vị tự tõm A tỉ số k = 2 phộp quay tõm A gúc quay 450) Bài toỏn 29: Cho đường trũn (O), đường kính AB=2R M điểm (O), dựng hỡnh vuụng AMNP cú cỏc đỉnh theo chiều dương Tỡm quỹ tớch cỏc điểm N Giải Ta cú AN AM (AM, AN)=450 Phộp quay Q(A;450): M M1 Phộp vị tự V(A; ): M1 N V A; Q A; 450 : M N M thuộc đường trũn (O), đường kính AB=2R nên N thuộc đường trũn (O') ảnh (O) qua phộp đồng dạng hợp thành V A; Q A; 450 có tâm O' trung điểm cung AB bán kính R'= 2R Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 20 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" Bài toỏn 30: Cho điểm A cố định chạy đường trũn (O) ABC vuông cân C, B di động đường trũn (O) a)CMR đường thẳng BC qua điểm cố định b) Tỡm quỹ tớch cỏc điểm C Giải gọi A' đối xứng với A qua tâm O BC cắt (O) I Phộp quay Q A; 450 : B B1 A I1 thỡ BA'=B1I1 (BA',B1I1)=450 2 Phộp vị tự V A; : B1 C I1 I2 AC 2 AB1 AC AB1 AB 2 2 Phộp hợp thành V A; Q(A;45 ): B C A' I2 Ta cú ABC vuụng cõn C nờn AA ' I vuụng cõn I2 I trung điểm cung AA ' thỡ I2 cố định Mặt khỏc, (BA',CI2)=450, (BA',CB)=45 I BC I I Vậy đường thẳng BC qua điểm cố định I 2 b) Ta cú: Phộp hợp thành V A; Q A, 45 : B C điểm B thuộc đường trũn (O) nờn điểm C thuộc đường trũn (O') ảnh (O) qua phộp đồng dạng Vậy quỹ tích điểm C đường trũn (O'), đường kính AI Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 21 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài Cho đường trũn cố định (O;R) dây cung cố định AB, M điểm di động đường trũn (O;R) Tỡm quỹ tớch trực tõm H MAB Hướng dẫn: N điểm đối xứng với M qua O Tứ giỏc AHBN hỡnh bỡnh hành I trung điểm AB HN : M H Trong MHN , OI đường trung bỡnh MH 2OI T2OI Quỹ tích H đường trũn (O'), ảnh (O) qua phộp tịnh tiến T2OI Bài Cho đường trũn (O) với đường kính AB cố định, đường kính MN thay đổi Các đường thẳng AM AN cắt tiếp tuyến B P Q Tỡm quỹ tớch trực tõm cỏc tam giỏc MPQ NPQ Hướng dẫn: Cho H, H1 trực tâm MPQ NPQ Ta cú HM PQ, AB PQ AO / / HM AO đường trung bỡnh HMN MH 2OA Ta cú H1 N PQ, AB PQ AO / / H1 N NH1 2OA : M H Phộp tịnh tiến T2OA N H1 M, N thuộc đường trũn tõm O, đường kính AB nên H, H1 thuộc đường trũn (O') ảnh (O) qua phộp tịnh tiến T2OA Vậy quỹ tớch H, H1 đường trũn (O') Bài Cho đường trũn (O) ngoại tiếp ABC , qua điểm cố định P hai đỉnh B, C thuộc đường thẳng cố định, trực tâm H cố định Tỡm quỹ tớch tõm O đường trũn (O) Hướng dẫn: Gọi A' điểm đối xứng với H qua đường thẳng cố định a thỡ A' cố định Ta có OA'=OP nên O thuộc đường trung trực d đoạn thẳng A'P Suy quỹ tích tâm O đường thẳng d Bài Cho đường trũn (O) điểm I không nằm đường trũn Với điểm A thay đổi đường trũn, xột hinh vuụng ABCD cú tõm I Tỡm quỹ tớch cỏc điểm B, C, D Hướng dẫn Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 22 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" Ta cú IA IB DI : A C mà A O nờn DI : O O1 C O1 Quỹ tích điểm C đường trũn (O1) ảnh đường trũn (O) qua phộp đối xứng tâm ĐI Ta cú IA=IB (IA, IB)=900 Q I ;900 : A B Quỹ tích điểm B đường trũn (O2), ảnh đường trũn (O) qua phộp quay Q(I,900) Ta cú IA=ID (IA, ID)=900 Q I ; 900 : A D Quỹ tích điểm D đường trũn (O3), ảnh (O) qua phộp quay Q I ; 900 Bài Cho nửa đường trũn tõm O, đường kính AB=2R M điểm chuyển động đường trũn Dựng phía ngồi AMB hỡnh vuụng MBCD Tỡm quỹ tớch điểm C Hướng dẫn: Ta cú BM=BC (BM, BC)=900 Q B;900 : M C M thuộc nửa đường trũn đường kính AB=2R Suy quỹ tích điểm C nửa đường trũn đường kính BA'=2R ảnh nửa đường trũn đường kính AB=2R qua phép quay Q B;900 Bài Cho ABC nội tiếp đường trũn (O), M trung điểm cạnh BC, B C di động đường trũn (O), A cố định a) Tỡm quỹ tớch trọng tõm G ABC b) Phõn giỏc gúc BAC cắt BC I cắt đường trũn (O) D Tỡm quỹ tớch điểm G I D cố định Hướng dẫn: a) Ta cú AG AM OM R a nên M thuộc đường trũn (O), bỏn kớnh r R a 2 Suy V A; : O; r O '; r ' với r ' R2 a2 3 Vậy quỹ tích điểm G đường trũn (O';r') b) Ta cú AD phõn giỏc BAC BD CD OD BC M IMD 900 nên M thuộc đường trũn đường kính ID Gọi (C) đường trũn đường kính ID (C') ảnh (C) qua Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 23 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" 2 V A; thỡ quỹ tớch G đường trũn (C') cú tõm J' ảnh J (J trung điểm ID) qua 3 2 V A; 3 Bài Cho ABC có điểm cố định B C Các đường trung tuyến BN CM vng góc với Tỡm quỹ tớch cỏc điểm A Hướng dẫn: Gọi G trọng tõm ABC ta cú OA 3OG (O trung điểm BC) V O;3 : G A Ta cú BN CM BGC 900 G thuộc đường trũn (O) đường kính BC nên V O;3 : O O ' với (O') đường trũn tõm O', bỏn kớnh OA=3OG Vậy quỹ tích điểm A đường trũn (O') Bài Cho đoạn thẳng AB cố định M điểm di động đoạn thẳng, vẽ phía đoạn thẳng AB Các tam giác AMP, QMB, AP cắt BQ C a) Tỡm quỹ tớch trung điểm I PQ b) Tỡm quỹ tớch tõm đường trũn ngoại tiếp CPQ Hướng dẫn: a) AMP, BMQ PAM QBM 600 ABC CQ / / PM CP//QM Tứ giỏc CPMQ hỡnh bỡnh hành I trung điểm CM CI CM , ta có AB cố định nên C cố định 1 V C ; : M I V C ; : AB HF 2 2 Vậy quỹ tích điểm I đoạn HF, HF//AB, HF AB b) Tứ giỏc CPMQ hỡnh bỡnh hành nờn CPQ MQP đối xứng qua tâm I hỡnh bỡnh hành CPMQ, gọi J tõm đường trũn ngoại tiếp CPQ O tâm đường trũn ngoại tiếp ABC Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 24 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" Ta có đường trung trực BC đường trung trực MP đường trung trực AC đường trung trực MQ suy O tâm đường trũn ngoại tiếp MQP nên O cố định OJ 2OI V O; : I J V O; : HF DE Quỹ tích điểm J đoạn thẳng DE, DE=2HF DE//HF DE AB DE//AB Bài Trong mp Oxy cho điểm A(-a;0), B(a;0) với a>0 Gọi (C) đường trũn đường kính AB M điểm di động (C) Gọi S điểm đối xứng với A qua M a) Tỡm quỹ tớch cỏc điểm S b) Gọi I tâm đường trũn ngoại tiếp ASB Tỡm quỹ tớch cỏc điểm I Hướng dẫn: a) Phộp vị tự V A; 1 : M S Quỹ tích S đường trũn (O1), ảnh (O) qua V A; 1 Phương trỡnh đường trũn (O): x2+y2=a2 Biểu thức giải tớch V A; 1 x ' -a - a y ' -y nên phương trỡnh đường trũn (O1) : x 2a y a * b) Tâm đường trũn ngoại tiếp ASB trung điểm I SB x xI a x a Ta cú xI S S yS yI y yS I 2 Thay vào (*) ta cú: xI a yI a 2 a a2 phương trỡnh quỹ tớch điểm I là: x y 2 Bài 10 Cho đường thẳng d cố định điểm A cố định không nằm d ABC vuông cân B, có đỉnh B di động d a) Tỡm quỹ tớch điểm C b) Tỡm quỹ tớch trọng tõm G ABC Hướng dẫn: Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 25 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" a) Ta cú : ABC vuụng cõn B nờn AC AB AB, AC 450 Z A; 2; 450 : B C B thuộc d nên C thuộc đường thẳng d1 ảnh d qua Z A; 2; 450 Tương tự Z A; 2; 450 : B C1 Suy C1 d ảnh d qua Z A; 2; 450 Vậy quỹ tích C hai đường thẳng d 1, d2 b) Gọi M trung điểm BC, ta có BM tan BAM AM 1 BC BA 2 BM 1 tan arctan BA 2 1 AB Z A; ; : B M cos cos Suy M thuộc đường thẳng a1, ảnh đường thẳng d qua phép đồng dạng 2 Mặt khỏc AG AM V A; : M G 3 2 Suy G thuộc đường thẳng a2, ảnh đường thẳng a1 qua phộp vị tự V A; 3 Quỹ tích điểm G đường thẳng a2 Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 26 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" PHẦN KẾT LUẬN I Hiệu Khi chưa đưa phần ỏp dụng vào dạy học sinh tỏ khụng tớch cực học phần phộp biến hỡnh, sau học xong nhiều học sinh hứng thỳ học tỡm kiếm sưu tầm cú thể ỏp dụng phộp biến hỡnh để làm Kết khảo sát qua năm học tụi dạy lớp 11: Tớch cực Chưa tích cực 2008 – 2009 20% 80% 2009 – 2010 40% 60% 2010 – 2011 55% 45% 2011 - 2012 60% 40% 2012 - 2013 70% 30% Năm học Vỡ thời gian dành cho chuyên đề cũn hạn chế nên mong đồng nghiệp góp ý cho tơi để đề tài năm sau hồn thiện phong phú để ỏp dụng rộng rói II Kết luận Kết luận Việc giải toỏn nhiều cỏch hay luụn mục tiêu hướng tới học sinh, dạng toỏn học sinh đọc thấy quen bắt tay vào làm cỏc em gặp khó khăn để đến đáp số gọn lời giải đơn giản Chớnh vỡ đũi hỏi tụi tỡm kiếm cách giiar hay giản cho học sinh Tụi mạnh dạn dạy phần ứng dụng để gõy hứng thỳ, chủ động tớch cực học sinh Đó nhu cầu cần thiết người học toỏn: - Khả vận dụng, khả liên hệ kết nối kiến thức - Khả tư tự học - Tớnh sỏng tạo đổi mới, ham học tớch lũy kiến thức Bài học kinh nghiệm Người dạy luụn say mờ tỡm tũi để vận dụng, biết điểm thiếu xút học sinh khả vận dụng trỡnh bày logic Áp dụng phải đối tượng phự hợp với chương trỡnh tạo ý thức học tập cho học sinh Những khuyến nghị Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 27 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" - Nhà trường tăng cường chuyên đề hội thảo cho tổ nhóm chuyên môn, giao lưu tổ nhúm chuyờn mụn - Sở cú buổi tập huấn chuyờn mụn mụn học cú hiệu hơn, mời cỏc thầy giáo đầu ngành phộp biến hỡnh tập huấn chuyên môn cho trường - Những sỏng kiến đạt giải cao nên phổ biến rộng rói đề đồng nghiệp học tập Một số vấn đề cũn bỏ ngỏ - Ứng dụng phộp biến hỡnh đa dạng ỏp dụng nhiều dạng toỏn học, với khả học sinh lớp 11 cỏc em bỡ ngỡ chưa thành thạo nờn tụi đưa vào phần ứng dụng phộp biến hỡnh mặt phẳng để giải cỏc toỏn tỡm tập hợp điểm để học sinh nắm tạo điều kiện cho học sinh phỏt triển tư ý thức tỡm tũi Thực tế phần ứng dụng phộp biến hỡnh khụng gian để giải cỏc toỏn tỡm tập hợp điểm tụi để ngỏ tỡm hiểu thờm Rất mong gúp ý đồng nghiệp để đề tài ỏp dụng rộng Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 28 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" TÀI LIỆU THAM KHẢO Sỏch giỏo khoa sỏch tập hỡnh học 11 (Nhà xuất giỏo dục) Cỏc phộp biến hỡnh mặt phẳng (Nguyễn Mộng Hy) Phộp biến hỡnh mặt phẳng (Đỗ Thanh Sơn) Phõn loại phương pháp giải cỏc dạng tập hỡnh học 11 (Nguyễn Kiếm, Lờ Thị Hương, Hồ Xuõn Thắng) Cỏc dạng toán phương pháp giải hỡnh học 11 (Nguyễn Hữu Ngọc) Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 29 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ ... NGHIỆM: ? ?ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" CHƯƠNG II DÙNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TỐN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM I Phép biến hình - Phép tịnh... NGHIỆM: ? ?ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình hình học bậc THPT biết phép biến hình mặt phẳng phép đối xứng qua... ? ?ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM" E Tỡm tập hợp điểm phương pháp đồng dạng: Phương pháp: Tỡm tập hợp điểm phương pháp đối xứng tâm Bài toỏn 28 Cho điểm