Mục tiêu của đề tài là góp phần rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh, khơi dậy được hứng thú học tập yêu thích môn Toán qua các bài toán thể tích trong hình học, tôi đã tìm tòi qua sách báo, đồng nghiệp để tìm ra phương pháp, cách giải bài tập phù hợp với học sinh.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT DÂN TỘC NỘI TRÚ THANH HĨA THANH HỐ, NĂM 2017 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH SỬ DỤNG CƠNG THỨC TỶ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 12 Người thực hiện: Nguyễn Thị Nhung Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ, NĂM 2017 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU ……………………………………………………………… Lí chọn đề tài ……………………………………………………………… PHẦN NỘI DUNG …………………………………………………………… A Cơ sở lí luận………………………………………………………………… B Thực trạng đề tài………………………………………………………….4 C Giải vấn đề…………………………………………………………… I Cơ sở lí thuyết ……………………………………………………………… II Một số dạng tập ………………………………………………………… Rèn luyện cho học sinh sử dụng cơng thức tỉ số thể tích giải tốn tính tỉ số thể tích khối đa diện …………………………………………… Rèn luyện cho học sinh sử dụng cơng thức tỉ số thể tích giải tốn tính khoảng cách ………………………………………………… ………… 12 Rèn luyện cho học sinh sử dụng cơng thức tỉ số thể tích giải toán chứng minh đẳng thức bất đẳng thức hình học ………………………………… 16 KẾT LUẬN ……………………………………………………………………19 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Toán học ngành khoa học gắn liền với suy luận logic chặt chẽ, tính xác ngắn gọn.Trong q trình giảng dạy, nhận thấy học sinh e ngại học mơn hình học khơng gian em thường có tâm lí: Bài tập phần q khó, hình vẽ khơng trực quan, khơng biết cách trình bày lời giải tốn mạch lạc, logic Chính có nhiều học sinh học yếu mơn học ,về phần giáo viên gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức Trong năm gần đây, đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng thường gặp tốn tính thể tích khối đa diện số tốn liên quan đến thể tích khối đa diện , học sinh thường tỏ lúng túng giải dạng tốn Qua nhiều năm giảng dạy mơn học đúc kết số kinh nghiệm Với mong muốn góp phần rèn luyện tư sáng tạo học sinh, khơi dậy hứng thú học tập u thích mơn Tốn qua tốn thể tích hình học, tơi tìm tịi qua sách báo, đồng nghiệp để tìm phương pháp, cách giải tập phù hợp với học sinh A CƠ SỞ LÍ LUẬN: Khi giải tốn hình học khơng gian ngồi u cầu đọc kỹ đề ,phân tích giả thuyết tốn ,vẽ hình ta phải ý đến nhiều yếu tố khác : Cần xác định thêm yếu tố khác hình vẽ,nội dung kiến thức liên quan đến vấn đề đặt ra,trình bày cho đắn … Ngồi cịn nắm vững hệ thống lí thuyết ,phương pháp tính thể tích cho dạng tốn Vì q trình giảng dạy, giáo viên cần trọng gợi động học tập , phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh việc lĩnh hội tri thức Từ kích thích em phát triển tư cách tốt Để giúp em học tốt hơn, giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập, cần cho học sinh thấy nhu cầu nhận thức quan trọng Con người muốn phát triển cần phải có tri thức, cần phải học hỏi Giáo viên cần biết định hướng, giúp đỡ đối tượng học sinh phù hợp với lực của em, xây dựng cho em niềm say mê tìm kiếm, khám phá tri thức B.THỰC TRẠNG ĐỀ TÀI: 1.Thời gian bước tiến hành: Tìm hiểu đối tượng học sinh khối 12 năm học :2014-2015 ,2015-2016, 2016-2017 2.Khảo sát chất lượng đầu năm mơn hình học: Thơng qua việc cho học sinh làm tập hình học khơng gian kết thu có 25% học sinh lớp 75% lớp nâng cao vẽ hình làm số ý đơn giản Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết trên: Tơi nhận thấy đa số học sinh có kết chưa cao Vì việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ học sinh đòi hỏi nhiều công sức thời gian Sự nhận thức học sinh thể rõ điểm sau: - Kiến thức nắm chưa - Ý thức học tập học sinh chưa thực tốt - Học sinh có tâm lí sợ học mơn hình học Đây mơn học địi hỏi tư duy, thực khó học sinh Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định động học tập, chưa thấy ứng dụng mơn hình học đời sống hàng ngày Giáo viên cần nắm rõ tình hình đối tượng học sinh, để có biện pháp giúp đỡ em, song song với việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu Bằng biện pháp rèn luyện tích cực phân tích nội dung cách thích hợp C GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: I CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Công thức tính thể tích khối chóp: V = B.h B: diện tích đa giác đáy h: chiều cao Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ: V = B.h B: diện tích đa giác đáy h: chiều cao Công thức tỉ số thể tích khối chóp Cho khối chóp SABC , A ' ∈ SA, B ' ∈ SB, C ' ∈ SC Khi đó: VSABC SA SB SC = VSA ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' Đặc biệt : M ∈ SC ⇒ VSABM SA SB SM SM = = VSABC SA SB SC SC II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP : Dạng 1: Rèn luyện cho học sinh sử dụng công thức tỉ số thể tích giải tốn tính tỉ số thể tích khối đa diện Phương pháp: Để tính thể tích hai khối chóp tam giác có chung đỉnh đỉnh khối chóp nằm cạnh khối chóp nghĩ đến giải tốn phương pháp sử dụng cơng thức tỉ số thể tích Bài : Cho hình chóp SABCD Gọi G trọng tâm ∆SBC, mp( α ) qua G song song (ABC) cắt SA, SB, SC A’, B’, C’ Chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Nhận xét Nhận thấy điểm A’, B’, C’ nằm cạnh SA, SB, SC nên ta tính tỉ số VSA ' B ' C ' VSA ' B ' C ' , tính tỉ số VABC VA ' B ' C ' ABC Giải: VSA ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' 3 = = = VSABC SA SB SC ÷ 27 ⇒ VSA ' B ' C ' = VA ' B ' C ' ABC 19 Bài : Cho tứ diện SABC lấy M, N thuộc SA, SB cho SM SN = = , MA NB Mặt phẳng (α ) qua MN song song với SC chia tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Nhận xét: -Ta xác định thiết diện mặt phẳng ( α ) với hình chóp, nên ta xác định mặt phẳng ( α ) chia khối chóp thành hai khối đa diện tích V1 ,V2 -Theo tốn ,ta tính tỉ số -Ta khơng thể tính trực tiếp tỉ số V1 V V1 mà ta phải phân chia khối đa diện tích V V1 thành khối chóp tam giác tính tỉ số thể tích với khối chóp SABC Giải: Ta có thiết diện hình thang MNEF (MF//NE) Đặt V = VSABCD , V1 = VMNEFCS , V2 = VMNEFAB Mà V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE VSCEF CF CE 2 = = = VSABC CA CB 3 VSFME SM SE SM = = = VSFEA SE SA SA VSFEA S∆FEA S ∆FEA S∆CEA = = VSABC S∆ABC S∆CEA S∆ABC = FA CE = CA CB VSFME 4 = = V V 27 VSMNE SM SN = = VSABE SA SB VSABE S∆ABF S∆ABC S ∆CEA EB CE = = = = V S∆ABC S∆CEA S ∆ABC CE CB ⇒ VSABE = V 27 V1 4 Vậy : V1 = V + V + V = V ⇒ = V2 27 27 Chú ý : Đối với tốn tính tỉ số thể tích hai khối đa diện (khác khối chóp tam giác) Chúng ta qui tốn xác định tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác cách phân chia khối đa diện thành khối chóp tam giác từ thiết lập tỉ số thể tích khối chóp tam giác phù hợp để tính Bài 3: Cho khối chóp tứ giác SABCD, mặt phẳng ( α ) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng Nhận xét: -Ta xác định thiết diện mặt phẳng ( α ) với khối chóp từ xác định hai khối chóp cần tính tỉ số thể tích -Bài tốn tỉ số thể tích chưa tính thơng qua cơng thức tỉ số thể tích, ta phải phân chia khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác áp dụng cơng thức tỉ số thể tích Giải: Kẻ MN // CD (N ∈ SD) ⇒ Hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mp(ABM) VSANB SN 1 = = ⇒ VSANB = VSABD = VSABCD VSADB SD 2 VSBMN SM SN 1 = = = VSBCD SC SD 2 1 ⇒ VSBMN = VSBCD = VSABCD mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD ⇒ VMNABCD = VSABCD Do : VSABMN = VMNABCD **Một số học sinh cho rằng: VSABMN SA SB SM SN V = = ⇒ SABMN = Ở VSABCD SA SB SC SD VMNABCD em nhầm lẫn áp dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tứ giác Chú ý : - Một vấn đề mà học sinh thường mắc sai lầm giải, số học sinh cho rằng: VSA ' B ' C ' D ' SA ' SB ' SC ' SD ' = (A’, B, C’, D’ điểm thuộc SA, SB, SC, SD) VSABCD SA SB SC SD Vì thông qua tập giáo viên phải nhấn mạnh cho học sinh tỉ số thể tích áp dụng cho khối chóp tam giác 10 Bài : Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a Gọi K trung điểm BC, I tâm mặt bên CC’D’D Tính thể tích khối đa diện mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương Giải : Gọi E = AK ∩ DC , M = IE ∩ CC’ , N = IE ∩ DD’ mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương thành thành đa diện V = V KMCAND V = V KBB ' C ' MAA ' D ' N Vlp =VABCDA ' B ' C ' D ' = a , V EAND = ED.S∆ADN = a 3 VEKMC EK EM EC = = VEAND EA EN ED ⇒ V1 = 7 VEAND = a 36 V = Vlp - V = ⇒ 29 a 36 V1 = V2 29 Chú ý: Việc tính tỉ số thể tích hai khối đa diện V , V không thiết phải lập tỉ số V1 mà tính V , V , sau tính V2 = V − V1 từ V2 ta tính tỉ số V1 V2 Bài Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vuông cân B Gọi G trọng tâm tam giác SBC, ( α ) qua AG song song BC cắt SB, SC M, N.Tính thể tích khối chóp SAMN ? 11 Nhận xét: -Vì điểm M, N đỉnh khối chóp SAMN nằm cạnh SB, SC khối chóp SAB nên ta tính tỉ số thể tích hai khối chóp SABC SAMN -Ta tính thể tích khối chóp SABC -Do ta tính thể tích khối chóp SAMN Giải: Gọi I trung điểm BC, G trọng tâm ∆ SBC ⇒ SG = SI SH SA2 4a SA = SH SC ⇒ = = = SC SC 7a SK SA2 4a 2 SA = SK SB ⇒ = = = SB SB 8a 2 VSAMN SA SM SN = = VSABC SA SB SC 2a ⇒ VSAMN = VSABC = (đvtt) 27 **Ta giải tốn phương pháp tính trực tiếp VSAMN = SA.S ∆AMN Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = a Gọi M, N, P trung điểm SA, SB, CD Tính thể tích khối chóp AMNP (Đề thi CĐ –KA-2009) Nhận xét: -Ở toán nhận biết d ( A,( MNP )) = d ( S ,( MNP )) ; -Ta tính tỉ số thể tích VSMNP VSABP từ để tính thể tích AMNP ta tính thể tích SMNP Giải: 12 Ta có: MS = MA ⇒ d ( A;( MNP )) = d ( S ;( MNP )) ⇒ VAMNP = VSMNP Do VSMNP SM SN = = VSABP SA SB mà VSABP = SO.S ∆ABD ⇒ VSMNP a a3 = a.a 2a − = 24 48 Dạng 2: Rèn luyện cho học sinh sử dụng cơng thức tỉ số thể tích để giải toán khoảng cách : Các toán xác định khoảng cách thường gặp là: khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng , khoảng cách hai đường chéo Việc sử dụng phương pháp tổng hợp để xác định hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng hay xác định độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo điều mà hầu hết em học sinh cho khó khăn, em thường bỏ qua câu khơng làm Để giải phần vấn đề tác giả đưa số tốn sử dụng thể tích để tính khoảng cách nêu Phương pháp: Để giải dạng tốn sử dụng cơng thức: 3V V = B.h ⇒ h = B Bài Cho hình chóp SABC có đáy tam giác cạnh a 3, SA ⊥ ( ABC ), SA = 2a Tính khoảng cách từ A đến (SBC) Nhận xét: 13 Để tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) ta cần tính thể tích khối chóp A SBC Giải : Ta có 3 VSABC = SA.S ∆ABC mà S ∆ABC = a ⇒ VSABC = a VSABC = ⇒ VASBC = a VASBC Gọi M trung điểm BC Ta có: SB = SC = 4a + 3a = 7a 25 ⇒ SM = SB − BM = a 5a ⇒ S∆SBC = a = a 2 Khi đó: d(A,(SBC)) = 3VSABC 6a = S∆ABC Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB = a Gọi I trung điểm BC, hình chiếu vng góc S lên (ABC) thoả mãn uu r uuu r IA = −2 IH Góc SC (ABC ) 60 Tính khoảng cách từ K đến (SAH), (K trung điểm SB) Nhận xét : - Do K ∈ SB , ta tính tỉ sốthể tích VSAHK VSAHB -Ta tính thể tích khối chóp SAHB ta tính thể tích khối chóp SAHK, từ ta tính khoảng cách từ K đến mặt phẳng (SAH) 14 Giải: Ta có HC = AC + AH − AC AH cos 450 ⇒ HC = a SH = HC.tan 600 = 15 a Mà BI ⊥ ( SAH ) VSAHK SK = = VSAHB SB Mặt khác: a 15 3a 3a 15 S∆SAH = = 2 3a 15 a 15 ⇒ VSAHB = a = 8 Khi đó: VSAHK a 15 = 16 mà VSAHK = d ( K ,( SAH )).S ∆SAH 3a 15 a ⇒ d ( K ,( SAH )) = 16 = 3a 15 Chú ý: Ta nhận thấy K trung điểm SB nên khoảng cách từ K đến (SAH) nửa khoảng cách từ B đến (SAH)do ta cần tính khoảng cách từ B đến (SAH Điều học sinh nhận thấy nên dạy giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh để em vận dụng vào toán khác Các toán xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo a b chuyển toán xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 15 xét cách xác định mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy hình thoi ABCD có SO vng góc với đáy O giao điểm AC BD Giả sử SO = 2, AC = 4, AB = Gọi M trung điểm SC Tính khoảng cách SA BM (Đề thi ĐH-KA 2004) Nhận xét : -Ta xác định mặt phẳng (α ) chứa SA song song với BM -Tính khoảng cách SA BM khoảng cách từ điểm SA dến mặt phẳng (α ) Khi chuyển tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Giải : Ta có: OM / / SA ⇒ SA / /(OBM ) ⇒ d ( SA, BM ) = d ( SA,( MOB )) = d ( S ,( MOB)) = d (C ,( MOB )) 1 VSABC = 2 .4.2 = 3 2 ⇒ VSOBC = V SC Ta có SOBC = =2 VMOBC MC ⇒ VMOBC = 1 S∆MOB = OM OB = 3.1 = 2 16 mà VMOBC = d (C ,( MOB )).S ∆MOB 3 ⇒ d (C ,( MOB)) = = 3 Dạng :Rèn luyện cho học sinh sử dụng cơng thức tỉ số thể tích để giải tốn chứng minh đẳng thức hình học Phương pháp: Để chứng minh hệ thức khối đa diện ta sử dụng kiến thức thể tích để giải cách gắn toán cần chứng minh vào hệ thức thể tích Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD Trên cạnh SA, SB, SC lấy điểm A1 , B1 , C1 cho D1 Chứng minh : SA1 SB1 SC1 = , = , = Mặt phẳng qua A1 , B1 , C1 cắt SD SA SB SC SD1 = SD Nhận xét : -Các điểm A1 , B1 , C1 , D1 điểm nằm cạnh SA, SB, SC, SD nên ta tính tỉ số thể tích hai khối chóp SABCD SA1 B1C1 D1 -Ta thấy khối chóp SABCD chia thành hai khối chóp SABC SADC SDBC SABD; khối chóp SA1 B1C1 D1 chia thành hai khối chóp SA1 B1C1 SA1C1 D1 SA1 D1 B1 SC1 D1 B1 Chúng ta sử dụng cơng thức tỉ số thể tích để tính tỉ số thể tích hai khối chóp SA1 B1C1 D1 SABCD theo hai cách chia khối đa diện -Từ ta tính tỉ số SD1 SD Giải: 17 Ta có VSABCD = VSBCD + VSCDA = VSDAB = VSA B C 1 VSABC VSA D C 1 VSADC = SA1 SB1 SC1 = (1) SA SB SC = SA1 SD1 SC1 SD1 = (2) SA SD SC SD V Cộng vế với vế (1) (2) ta có: VSA B C D 1 1 V 2 SD1 + 9 SD (3) = Tương tự: VSA B D 1 VSABD VSB C D 1 VSBCD = SA1 SB1 SD1 SD1 = (4) SA SB SD SD = SB1 SC1 SD1 SD1 = (5) SB SC SD SD Cộng vế với vế (4) (5) ta có: VSA B C D 1 1 V SD = SD (6) Từ (3) (6) ta có SD1 SD1 + = 9 SD SD ⇒ SD1 = SD Bài Cho tứ diện OABC, lấy điểm M tam giác ABC, đường thẳng qua M song song OA, OB, OC cắt mặt OBC, OCA, OAB A1 , B1 , C1 Chứng minh: MA1 MB1 MC1 + + =1 OA OB OC 18 Nhận xét : -Với điểm M nằm tam giác ABC ta chia khối chóp OABC thành ba khối chóp tam giác có đỉnh M -Ta tính tỉ số thể tích khối chóp với khối chóp OABC thiết lập đẳng thức cần chứng minh Giải : Nối M với O, A, B, C ta có VOABC = VMOAB + VMOBC + VMOAC 1= VMOAB VMOBC VMOCA + + VOABC VOABC VOABC Kẻ AH ⊥ (OBC ), MK ⊥ (OBC ) ⇒ AH / / MK ∆OAH : ∆A1MK ⇒ OA AH = MA1 MK VMOBC MK MA1 = = VOABC AH OA (1) Tương tự ta có: VMOAB MC1 = VOABC OC (2) Từ (1),(2) (3) ta có: ; VMOCA MB1 = VOABC OB (3) MA1 MB1 MC1 + + =1 OA OB OC 19 KẾT LUẬN Trong đề tài tác giả hệ thống số dạng tập ứng dụng cơng thức tỉ số thể tích toán bản, toán thi ĐH Đối với dạng tập tác giả cố gắng đưa kỹ tìm lời giải tốn, cách hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho số toán cụ thể.Thực tế cho thấy, học sinh hào hứng thích thú tơi thực đề tài tiết học kết tương đối khả quan.Tuy đề tài hữu ích xong phương pháp nhiều phương pháp để giải tốn liên quan đến thể tích khối đa diện Việc tích cực đọc tài liệu tập hợp tập thành dạng cụ thể đề xuất định hướng giải dạng tập khơng mong muốn tơi mà thuộc tất say mê mơn tốn XÁC NHẬN CUẢ THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hoá , tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết khơng chép người khác Người viết sáng kiến Nguyễn Thị Nhung 20 CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO: Đậu Thế Cấp Các PP giải tốn PTTH Hình học 11- Nhà xuất Quốc Gia TPHCM Đậu Thế Cấp Toán nâng cao HH11- Nhà xuất Quốc Gia TPHCM Văn Như Cương Sách tập hình học 12 nâng cao - Nhà xuất GD Đoàn Quỳnh - Văn Như Cương SGK hình học 12 nâng cao - Nhà xuất GD Trần Văn Hạo SGK hình học 12 bản- Nhà xuất GD Lê Quang Ánh Giải đề thi đại học :chun đề hình học khơng gian- Nhà xuất TPHCM Lê Quang Ánh 360 tốn chọn lọc hình học khơng gian - Nhà xuất tổng hợp Đồng Nai Một số đề thi đại học, thi thử ĐH Các tài liệu liên quan mạng 21 ... Dạng :Rèn luyện cho học sinh sử dụng cơng thức tỉ số thể tích để giải tốn chứng minh đẳng thức hình học Phương pháp: Để chứng minh hệ thức khối đa diện ta sử dụng kiến thức thể tích để giải cách... tính tỉ số thể tích khối đa diện …………………………………………… Rèn luyện cho học sinh sử dụng cơng thức tỉ số thể tích giải tốn tính khoảng cách ………………………………………………… ………… 12 Rèn luyện cho học sinh sử dụng. .. VSABC SA SB SC SC II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP : Dạng 1: Rèn luyện cho học sinh sử dụng công thức tỉ số thể tích giải tốn tính tỉ số thể tích khối đa diện Phương pháp: Để tính thể tích hai khối chóp