SKKN: Rèn luyện kỹ năng cho học sinh giải hệ phương trình đối xứng

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHO HỌC SINH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG A ĐẶT VẤN ĐỀ : Trong trình giảng dạy, việc tổ chức cho học sinh biết ôn tập kiến thức học vận dụng vào việc giải tốn việc làm cần thiết Việc làm thể đổi phương pháp giảng dạy đơn giản hóa vấn đề phức tạp với mục đích giúp cho học sinh hiểu vận dụng vào giải tập Trong chương trình tốn trường phổ thông nay, sách giáo khoa lớp 10 có trình bày việc giải hệ phương trình đại số đơn giản thời lượng cịn q Trong khi học sinh tham dự thi học sinh giỏi cấp hay thi vào đại học lại gặp vấn đề nói phức tạp, học sinh lúng túng giải toán Tuy nhiên nắm vững tốt phương pháp giải hội rèn cho người làm toán kỹ năng, kỹ xão nhằm hình thành tính sáng tạo học giải tốn, ngồi cịn có khéo léo biến đổi để đưa toán phức tạp lớp toán biết cách giải Mặc dù song chưa đủ sáng tạo người làm tốn vơ hạn Chính viết muốn đề cập "Rèn luyện kỹ cho học sinh giải hệ phương trình đối xứng " qua thực dạy chương trình tự chọn mơn tốn lớp 10 nhằm trang bị thêm cho học sinh số công cụ hữu hiệu để hệ phương trình phương trình đại số B QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN : Nhằm cung cấp cho học sinh nhận dấu hiệu ban đầu để phân loại nhận dạng thực giải hệ phương trình đối xứng, loại hệ phương trình đối xứng loại hay loại 2, tơi phân chia thành ba dạng toán sau: Dạng : Giải hệ phương trình: Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại có nghiệm Dạng 3: Một số toán giải cách đưa hệ phương trình Qua thực tế giảng dạy lớp khối 10 trường THPT lớp bồi dưỡng học sinh giỏi, nhận thấy việc phân chia dạng hợp lý, lơgíc cụ thể, nhanh chóng tìm phương pháp chứng minh bất đẳng thức cách áp dụng phương pháp vào việc giải tốn, từ làm tảng cho hai kỳ thi tốt nghiệp THPT thi vào trường Đại học Cao đẳng sau Để cho tiết ơn tập đạt hiệu cao, học sinh phải chuẩn bị tốt trước đến lớp đồng thời phải biết tích cực, tự giác học tập, phải biết suy nghĩ tìm tịi sáng tạo Người giáo viên phải biết dẫn dắt học sinh biết phân tích đề bài, từ tìm tịi lời giải sáng tạo, ngắn gọn Muốn làm tốt khâu giáo viên thiết kế giáo án theo hướng tích cực hố hoạt động học tập, cụ thể tiến hành theo bước: I BƯỚC CHUẨN BỊ : 1) Nghiên cứu nội dung cần ôn tập , cần truyền đạt: Vạch mục tiêu dạy, chọn lọc kiến thức cần ôn tập chuẩn bị trước, lập phương án kiểm tra nội dung kiến thức dùng cho tiết ôn tập 2)Chọn tập mẫu : Chọn tập theo dụng ý nội dung cần ôn tập phù hợp với đối tượng học sinh nhằm củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, rèn luyện tư thuật toán hay kiểm tra lĩnh hội học sinh 3/Phân phối thời gian cho hoạt động thầy trò: Cần phải phân bố thời gian phù hợp với tập Dự kiến thời gian cho học sinh giải tập bảng 4) Bước chuẩn bị trò thầy : 4.1) Chuẩn bị trò : Các kiến thức cần nắm 4.1.1 Định lý Viét: · Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 thì: b ì ïï S = x1 + x2 = - a í ï P = x x = c ïỵ a · Ngược lại, số x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = S x1.x2 = P x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai; X2 - SX + P = 4.1.2 Hệ phương trình đối xứng hai ẩn x y: Phương trình hai ẩn x y gọi đối xứng thay x y; y x phương trình khơng thay đổi Hệ phương trình đối xứng theo hai ẩn số x, y hệ phương trình ta thay x y thay y x hệ phương trình khơng thay đổi Một hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y gọi đối xứng loại trao đổi vai trị x, y phương trình hệ trở thành nó(khơng thay đổi) Dấu hiệu nhận biết: ì f ( x, y ) = ì f ( x, y ) = f ( y , x ) , í í ỵ g ( x, y ) = ỵ g ( x, y ) = g ( y , x ) Một hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y gọi đối xứng loại hai trao đổi vai trị x, y phương trình chuyển thành phương trình hệ Dấu hiệu nhận biết: ì f ( x, y ) = ì f ( x, y ) = g ( y , x ) , í í ỵ g ( x, y ) = ỵ g ( x, y ) = f ( y , x ) 4.2)Chuẩn bị thầy: * Phiếu học tập phiếu trả lời cho học sinh * Giấy A cho nhóm học sinh hoạt động * Giáo án dụng cụ có liên quan * Phiếu học tập tập đề nghị để học sinh tự làm thêm tập nhà * Bảng tóm tắt phương pháp giải tốn cụ thể: Hệ phương trình đối xứng loại Dạng 1: Giải phương trình: Phương pháp giải chung: · Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) · Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S ³ P · Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P dùng Viét đảo tìm x, y Chú ý: + Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP + Nếu ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ phương trình đối xứng loại 1, ( y0 ; x0 ) nghiệm tương ứng + Nếu hệ phương trình đối xứng loại có nghiệm theo ta x0 = y0 + Đôi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) S = u + v, P = uv + Có hệ phương trình trở thành đối xứng loại sau đặt ẩn phụ Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại có nghiệm Phương pháp giải chung: · Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) · Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S ³ P (*) · Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m từ điều kiện (*) tìm m Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) S = u + v, P = uv nhớ tìm xác điều kiện u, v Dạng 3: Một số toán giải cách đưa hệ phương trình Phương pháp giải chung: Chọn ẩn số phụ u v thích hợp để đưa hệ phương trình đối xứng CÁC BÀI TẬP MẪU: Dạng : Giải hệ phương trình: ì x y + xy = 30 Ví dụ Giải hệ phương trình í x + y = 35 ỵ ì xy ( x - y ) = -2 Ví dụ Giải hệ phương trình í îx - y = ìx + y + + = ïï x y Ví dụ Giải hệ phương trình í 1 2 ïx + y + + =4 ïỵ x2 y ìï x + y + xy = (1) Ví dụ Giải hệ phương trình í (2) ïỵ x + y = Dụng ý: Ø Củng cố định nghĩa hệ phương trình đối xứng Ø Rèn luyện cho học sinh kỹ giải hệ phương trình đối xứng Ø Rèn luyện kỹ dùng ẩn số phụ để đưa hệ phương trình hệ phương trình đối xứng loại Ø Rèn luyện kỹ dùng đẳng thức quen thuộc để biến đổi biểu thức đối xứng theo S = x+y P = x.y Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại có nghiệm Phương pháp giải chung: + Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) + Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S ³ 4P (*) + Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m từ điều kiện (*) tìm m Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) S = u + v, P = uv nhớ tìm xác điều kiện u, v Bài tập : Ví dụ (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình ì x + y =1 sau có nghiệm thực: í x x + y y = m ỵ ì x + y + xy = m Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình í có nghiệm ỵ x y + xy = 3m - thực ì x - + y -1 = Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình í có nghiệm x + y = m ỵ thực ì x + y + x + y = 10 Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình í có ỵ xy ( x + 4)( y + 4) = m nghiệm thực ì x + y = 2(1 + m) Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình í có hai ỵ ( x + y) = nghiệm thực ì x + y + xy = 2m + Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương trình í có nghiệm xy ( x + y ) = m + m ỵ Dụng ý : Ø Củng cố định nghĩa hệ phương trình đối xứng Ø Rèn luyện cho học sinh kỹ tìm điều kiện tham số để hệ phương trình đối xứng có nghiệm, có hai nghiệm, có nghiệm Ø Rèn luyện kỹ dùng ẩn số phụ để đưa hệ phương trình hệ phương trình đối xứng loại Ø Rèn luyện kỹ dùng đẳng thức quen thuộc để biến đổi biểu thức đối xứng theo S = x+y P = x.y Dạng 3: Một số toán giải cách đưa hệ phương trình Ví dụ Giải phương trình: x + 1- x = Dụng ý: Ø Rèn luyện cho học sinh kỹ đặt ẩn số phụ để đưa phương trình đại số vế hệ phương trình đối xứng, thơng qua để giải số phương trình đại số phức tạp Hệ phương trình đối xứng loại 2: Phương pháp giải chung: · Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) · Bước 2: Lấy (1) - (2) (2) - (1) ta được: (x-y)g(x,y)=0 Khi ta x-y=0 g(x,y)=0 + Trường hợp 1: x-y=0 kết hợp với phương trình (1) (2) suy nghiệm + Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy nghiệm (trong trường hợp hệ phương trình trở hệ đối xứng loại 1) thông thường vô nghiệm CÁC BÀI TẬP MẪU: ìï x = x + y (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình í (I) y = y + x ( ) ïỵ ìï x + y - = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình í ïỵ y + x - = ìx = y2 - y + m Ví dụ 3: Cho hệ phương trình í ỵy = x - x + m a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (I) Ví dụ 4: Giải phương trình: x3 + = x - II.BƯỚC SOẠN GIẢNG: Ngày soạn: …………… Ngày dạy: …………… Tiêt PPCT : 28,29 Tên : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ( Chuyên đề tự chọn Toán 10 – Nâng cao) A> Mục tiêu dạy: Kiến thức : Hiểu nhận biết hệ phương trình đối xứng Hệ thống hóa đẳng thức thường dùng Kỹ : Biết cách giải dạng tập hệ phương trình đại số, biết vận dụng đẳng thức liên quan để biến đổi đưa biểu thức đối xứng S = x + y P = x.y Tư : Rèn luyện tư so sánh, tư thuật toán, tương tự hoá tư logic B>Đồ dùng dạy học: 1.GV : Bảng tóm tắt phương pháp giải tốn theo dạng phiếu học tập phát cho học sinh kiểm tra phần củng cố cuối dạng tốn HS : Bảng tóm tắt đẳng thức thường dùng biểu thức đối xứng C>Hoạt động dạy học : 1.Kiểm tra cũ Tiết 1( Tiết 34) phút: Kiểm tra việc lập bảng tóm tắt công thức lượng giác nhà học sinh Tiết 2(Tiết 35) phút: Hoạt động lớp : Hoạt động giáo giáo viên học sinh Nội dung ghi bảng Tiết: 1( Tiết 28) Hoạt động (20 phút) Dạng : •GV giới thiêu hệ phương trình đối xứng loại Giải hệ phương trình Giáo viên phát phiếu học tập tập dạng cho học sinh Sau chia lớp thành Phương pháp: nhóm nhóm thực theo phân chia sau: · Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) · Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm kiện S, P S ³ P VD1 VD2 VD1 VD2 · Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ VD3 VD4 VD3 VD4 phương trình Giải hệ tìm S, P dùng hệ Sau GV hướng dẫn học sinh biến đổi hệ thức Viét đảo tìm x, y phương trình theo biểu thức S P Chú ý: + Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, vào ví dụ tập dạng x3 + y3 = S3 – 3SP GV cho đại diện nhóm phân tích đề + Đơi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = nêu cách giải ví dụ v(x) S = u + v, P = uv + Có hệ phương trình trở thành đối xứng loại sau đặt ẩn phụ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA * Đối với VD 1: GV: Em cho biết VD1 u cầu ? Muốn giải tốn ta làm nào? ( Cho đại diện nhóm ) VD 1: Giải ì x y + xy = 30 í 3 ỵ x + y = 35 HS nhóm 1: Giải: hệ phương trình +VD1 yêu cầu giải phương trình +Muốn giải phương trình ta phải Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện S ³ P biến đổi phương trình hệ qua biểu Hệ phương trình trở thành: ìï SP = 30 ìS = x + y ï thức S P cách đặt í í ïï S(S2 - 3P) = 35 ỵ P = x y ỵ giải hệ để tìm S,P dùng Định lý Viet1 30 ìï ïï P = đảo tìm x, y S Û ïí 90 ïï S S = 35 ïï S ỵ ( ) ìï S = Û ïí ïï P = ỵ ìï x + y = Û ïí ïï xy = ỵ ïìï x = ïìï x = Û í Úí ïï y = ïï y = ỵ ỵ Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm là: (2;3) (3;2) * Đối với VD 2: GV: Em cho biết ví dụ u cầu ? Muốn giải toán ta làm nào? ( Cho đại diện nhóm trả lời) HS nhóm 2: +VD2 yêu cầu giải hệ phương trình ì xy ( x - y ) = -2 í 3 ỵx - y = +Muốn giải hệ phương trình ta đưa hệ đối xứng loại 1, cách đặt : t = - y Từ biến đổi hệ phương trình trở ìï xt(x + t) = thành: ïí Đây hệ đối xứng ïï x + t = ỵ loại biết cách giải VD 2: Giải hệ phương trình ì xy ( x - y ) = -2 í 3 ỵx - y = Giải: ìt = - y ï Đặt í S = x + t , ï P = xt ỵ điều kiện S ³ P Hệ phương trình trở thành: ìï xt(x + t) = ïìï SP = ï Û í í ïï x + t = ïï S - 3SP = ỵ ỵ ìï S = ìï x = ìï x = Û ïí Û ïí Û ïí ïï P = ïï t = ïï y = - ỵ ỵ ỵ Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;-1) * Đối với VD 3: VD3: Giải hệ phương trình GV: Em cho biết ví dụ u cầu ? Muốn giải tốn ta làm nào? Nhóm I Nhóm III Nhóm II Nhóm IV CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Phiếu trả lời 2.1 Điều kiện x, y ³ ta có: ìï x + y = ïí ïï x x + y y = - 3m ỵ ìï x + y = Û ïí ïï ( x)3 + ( y)3 = - 3m ỵ Đặt S = x + y ³ 0, P = xy ³ , S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ïìï S = ïì S = Û íï í ïï S - 3SP = - 3m ïï P = m ỵ ỵ Từ điều kiện S ³ 0, P ³ 0, S2 ³ 4P ta có 0£ m£ VD1: (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có Phiếu trả lời 2.2 ìï x + y + xy = m ïí ïï x y + xy = 3m - ỵ ïìï (x + y) + xy = m Û í ïï xy(x + y) = 3m - ỵ Đặt S = x + y, P = xy, S2 ³ 4P Hệ phương ïì S + P = m trình trở thành: ïí ïï SP = 3m - ỵ Suy S P nghiệm phương trình t - mt + 3m - = VD2: Tìm điều kiện m để hệ phương trình ì x + y =1 nghiệm thực: í ỵ x x + y y = - 3m Giải: Điều kiện x, y ³ ta có: ìï x + y = ïí ïï x x + y y = - 3m ỵ ìï x + y = Û ïí ïï ( x)3 + ( y)3 = - 3m ỵ Đặt S = x + y ³ 0, P = xy ³ , S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ïìï S = ïì S = Û íï í ïï S - 3SP = - 3m ïï P = m ỵ î Từ điều kiện S ³ 0, P ³ 0, S2 ³ 4P ta có 0£ m£ ì x + y + xy = m có nghiệm thực í 2 ỵ x y + xy = 3m - Giải: ìï x + y + xy = m ïí ïï x y + xy = 3m - ỵ ïìï (x + y) + xy = m Û í ïï xy(x + y) = 3m - ỵ Đặt S = x + y, P = xy, S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ìï S = Þ ïí ïï P = î Từ điều é32 ³ Û êê êë(m - ìï S = m - ìï S + P = m ï ïí Úí ïï SP = 3m - m - ïï P = î î kiện ta suy hệ có nghiệm Suy S P nghiệm phương trình 4(m - 3) t - mt + 3m - = ìï S = ìï S = m - 3)2 ³ 12 ï Þ í Ú ïí ïï P = m - ïï P = 21 ỵ ỵ Û m£ Úm ³ 3+ Từ điều kiện ta suy hệ có nghiệm é32 ³ 4(m - 3) Û êê êë(m - 3) ³ 12 21 Û m£ Úm ³ 3+ Phiếu trả lời 2.3 VD3: Tìm điều kiện m để hệ phương trình Đặt u = x - ³ 0, v = y - ³ hệ trở thành: ìï u + v = ìï u + v = ïï ï Û í í ïï u + v = 3m - ïï uv = 21 - 3m ỵ ïỵ Suy u, v nghiệm (khơng âm) 21 - 3m t - 4t + = (*) Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm khơng âm ïìï D / ³ ï Û ïí S ³ ïï ïï P ³ ïỵ ìï 3m - 13 ³ ïï ï Û í ïï 21 - 3m ³ ïïỵ 13 Û £ m£ ì x - + y -1 = có nghiệm í ỵ x + y = 3m Giải: Đặt u = x - ³ 0, v = y - ³ Hệ phương trình trở thành: ìï u + v = ìï u + v = ï ï Û íï í 2 ïï u + v = 3m - ïï uv = 21 - 3m ỵ ïỵ Suy u, v nghiệm (khơng âm) 21 - 3m t - 4t + = (*) Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm khơng âm ìï D / ³ ïï Û ïí S ³ ïï ïï P ³ ïỵ ìï 3m - 13 ³ ïï ï Û í ïï 21 - 3m ³ ïïỵ 13 Û £ m£ VD4: Tìm điều kiện m để hệ phương trình ì x + y + x + y = 10 có nghiệm thực í ỵ xy ( x + 4)( y + 4) = m Phiếu trả lời 2.4 ïìï x + í ïï xy(x ỵ ìï (x + Û ïí ïï (x + ỵ y + 4x + 4y = 10 + 4)(y + 4) = m Giải: ìï x + ï í ïï xy(x 4x)(y + 4y) = m ỵ 2 Đặt u = (x + 2) ³ 0, v = (y + 2) ³ ïìï (x + Û í ïï (x + Suy x + 4x = u - ; ỵ 4x + 4) + (y + 4y + 4) = 18 y + 4y = v - Hệ phương trình trở thành: ìï u + v = 18 ìï S = 18 ïí Û ïí ïï uv - 4(u + v) = m - 16 ïï P = m + 56 ỵ ỵ (S = u + v, P = uv) ïìï S2 ³ 4P ï Điều kiện ïí S ³ Û - 56 £ m £ 25 ïï ïï P ³ ïỵ y + 4x + 4y = 10 + 4)(y + 4) = m 4x + 4) + (y + 4y + 4) = 18 4x)(y + 4y) = m Đặt u = (x + 2)2 ³ 0, v = (y + 2)2 ³ Suy x + 4x = u - ; y + 4y = v - Hệ phương trình trở thành: ïìï u + v = 18 ïì S = 18 Û ïí í ïï uv - 4(u + v) = m - 16 ïï P = m + 56 ỵ î (S = u + v, P = uv) Hệ phương trình có nghiệm khi: ïìï S2 ³ 4P ïìï 324 ³ 4m + 224 ï ï ïí S ³ Û ïí 18 ³ ïï ïï ïï P ³ ïï m + 56 ³ ỵï ỵï Û - 56 £ m £ 25 Vậy: - 56 £ m £ 25 Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương ì x + y = 2(1 + m) trình í có hai ỵ ( x + y) = nghiệm thực Phiếu trả lời 2.5 ì x + y = 2(1 + m) Û í ỵ ( x + y) = ì ( x + y ) - xy = 2(1 + m) í ỵ ( x + y) = Đặt S = x + y, P = xy , với S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ìï S2 - 2P = 2(1 + m) ìï S = ± ï Û íï í ïï S = ïï P = - m ỵ ỵ Hệ phương trình có nghiệm khi: S2 ³ 4P Û - 4(1 - m) ³ Û m ³ Suy x, y hai nghiệm phương trình: · t - 2t + - m = có biệt số D '1 = m · t + 2t + - m = có biệt số D = m ' Nếu m > D '1,2 > nên phương Giải: ì x + y = 2(1 + m) Û í ( x + y ) = ỵ ì ( x + y )2 - xy = 2(1 + m) í î ( x + y) = Đặt S = x + y, P = xy , với S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ìï S = ± ïìï S - 2P = 2(1 + m) Û í íï ïï S = ïï P = - m ỵ ỵ Hệ phương trình có nghiệm khi: S2 ³ 4P Û - 4(1 - m) ³ Û m ³ Suy x, y hai nghiệm phương trình: · t - 2t + - m = (1) · t + 2t + - m = (2) trình có nghiệm hệ phương trình có Phương trình (1) có biệt số D '1 = m nghiệm Phương trình (1) có biệt số D '2 = m Vậy để hệ phương trình có hai nghiệm m = , t = x = y = 1; t = x = y = -1 Vậy m = hệ phương trình có hai nghiệm Vì hai phương trình (1) (2) có D ' = m nên phương trình có nghiệm khác t1,2 = ± m;t1,2 = -1 ± m m > , hệ phương trình có nghiệm Nên để hệ phương trình có hai nghiệm m = 0, t = x = y = 1; t = x = y = -1 Vậy m = giá trị cần tìm Phiếu trả lời 2.6 Đặt S = x + y, P = xy , với S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ïìï S + P = 2m + í ïï S.P = m + m ỵ Suy S ; P hai nghiệm phương trình : t - (2m + 1)t + m + m = (*) Hệ phương trình có nghiệm phương trình (*) có nghiệm hay : D ³ Mà D = (2m + 1)2 - 4(m + m) = > Nên phương trình có nghiệm với giá trị m ìï S = m ìï S = m + (*) Û ïí Ú ïí ïï P = m + ïï P = m ỵ ỵ x = m ïì ïì x = m + Û ïí Ú ïí ïïỵ y = m + ïỵï y = m Ví dụ Tìm điều kiện m để hệ phương ì x + y + xy = 2m + trình í có nghiệm ỵ xy ( x + y ) = m + m Giải: Đặt S = x + y, P = xy , với S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ìï S + P = 2m + ìï S = m + (m + ï Û íï í ïï S.P = m + m ïï P = m (m + ) î î ìï S = m ìï S = m + Û ïí Ú ïí ïï P = m + ïï P = m ỵ ỵ ïìï x = m ïìï x = m + Û í Úí ïỵï y = m + ïỵï y = m Từ suy hệ phương trình có nghiệm với giá trị m Vậy để hệ có nghiệm Do tính đối xứng x ; y nghiệm ( 0) x0 = y0 Û m = hệ ( y0 ; x0 ) nghiệm tương ứng Vậy để hệ có nghiệm x0 = y0 Û m = Vậy m = giá trị cần tìm Dạng 3: Tiết 2( Tiết 29) Hoạt động ( 10 phút) : GV giới thiệu Một số toán giải cách đưa hệ tập số tốn đưa hệ phương phương trình trình, cách chọn u v thích hợp để 1) Phương pháp: đưa hệ phương trình đối xứng Chọn u v thích hợp để đưa hệ phương trình đối xứng CÁC VÍ DỤ MINH HỌA GV : Phương trình cho có chứa bậc ba Các biểu thức hai bậc ba VD1: Giải phương trình: có tổng số Nếu đặt u = x ìï x = u v = - x em cho biết điều kiện u Đặt: í ïỵ - x = v v Đồng thời theo cách đặt ta suy x + 1- x = hệ phương trình ? HS : Dựa vào toán ta thấy : Ta có hệ: · Ta có tổng hai biểu thức ì ì u+v= u+v= ï ï bậc ba x + – x = 2 Ûí í 3 3 · Nếu đặt u = x v = - x u ïỵu + v = ïỵ(u + v) éë(u + v) - 3uv ùû = v hai số thực ì · Ta có : ïïu+v = Ûí + u = x v3 = – x ïu.v = 19 ì ïỵ 36 ïu + v = + Ta có hệ: í với u, v Ỵ ¡ Suy u, v hai nghiệm phương trình: ïỵu + v3 = 19 X2 - X + =0 + Đây hệ phương trình đối xứng 36 biết cách giải é ỉ + é 9+ ờx = ỗ ữ ờu = 12 ứ è 12 Þê Þê ê 9- ỉ9 - ờu = x = ỗ 12 ÷ ë 12 è ø ë Vậy phương trình có tập nghiệm là: Hoạt động ( 30 phút) : · GV giới thiêu hệ phương trình đối xứng loại · Giáo viên phát phiếu học tập tập dạng cho học sinh Sau chia lớp thành nhóm nhóm thực theo phân chia sau: Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm VD1 VD2 VD3 VD4 Sau GV hướng dẫn học sinh biến đổi hệ phương trình cho tương đương với hai hệ phương trình theo hai trường hợp + Trường hợp 1: x-y=0 kết hợp với phương trình (1) (2) suy ìïỉ + ử3 ổ - ử3 ỹù S = ớỗ ữ ;ỗ ữ ý 12 12 ứ ố ứ ùỵ ïỵè Hệ phương trình đối xứng loại Phương pháp: · Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) · Bước 2: Lấy (1) - (2) (2) - (1) ta được: (x-y)g(x,y)=0 Khi ta x-y=0 g(x,y)=0 + Trường hợp 1: x-y=0 kết hợp với phương trình (1) (2) suy nghiệm + Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy nghiệm (trong trường hợp hệ phương trình trở hệ đối xứng loại 1) thông thường vô nghiệm nghiệm + Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy nghiệm (trong trường hợp hệ phương trình trở hệ đối xứng loại 1) thông thường vô nghiệm · GV cho đại diện nhóm phân tích đề nêu cách giải ví dụ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA GV : Gọi học sinh đại diện nhóm đứng chỗ hỏi: Em cho biết nội dung VD1 yêu cầu ? Để giải toán ta làm ? Học sinh đại diện nhóm 1: · Đây hệ phương trình đối xứng loại 2, ta thay đổi vai trò x y y x phương trình (1) hệ biến thành phương trình (2), đồng thời phương trình (2) biến thành phương trình (1) · Để giải hệ ta làm sau: + Lấy (1) - (2) ta được: (x - y)(x + xy + y + 5) = VD1:Giải hệ phương trình ìï x = x + y (1) (I) í ïỵ y = y + x ( ) GIẢI · Lấy (1) - (2) ta được: (x - y)(x + xy + y + 5) = éx - y = Ûê 2 ë x + xy + y + = Trường hợp 1: ì x = 3x + 8y (I) Û í ỵx = y ìé x = éx - y = x 11x = ì Ûê ïê Ûí Û í ë x = ± 11 ë x + xy + y + = ỵx = y ï + Xết hai trường hợp: ỵx = y TH1: Khi x = y ìï x +xy+y +5=0 Trường hợp 2: (I) Û í 3 (hệ TH2: x + xy + y + = x +y =11 x+y ( ) ïỵ + Biến đổi thu gọn kết vô nghiệm) GV cho nhóm thảo luận giải VD1, Vậy hệ phương trình cho có tập sau gọi học sinh đại diện nhóm lên nghiệm: bảng giải sau cho lớp nhận xét GV S= {(0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11)} đánh giá lời giải sửa chữa sai lầm ( có) GV : Gọi học sinh đại diện nhóm đứng Ví dụ 2: Giải hệ phương trình chỗ hỏi: Em cho biết nội dung VD2 yêu cầu ? Để giải toán ta làm ? Học sinh đại diện nhóm 2: · Đây hệ phương trình đối xứng loại 2, ta thay đổi vai trò x y y x phương trình (1) hệ biến thành phương trình (2), đồng thời phương trình (2) biến thành phương trình (1) · Để giải hệ ta làm sau: + Đặt ĐK để phương trình có nghĩa +Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ cách Đặt: x - = u ³ 0; y-1 =v³0 + Biến đổi thu gọn kết GV cho nhóm thảo luận giải VD2, sau gọi học sinh đại diện nhóm lên bảng giải sau cho lớp nhận xét GV đánh giá lời giải sửa chữa sai lầm ( có) GV : Gọi học sinh đại diện nhóm đứng chỗ hỏi: Em cho biết nội dung VD3 yêu cầu ? Để giải toán ta làm ? Học sinh đại diện nhóm 3: · Đây hệ phương trình đối xứng loại 2, ta thay đổi vai trò x y y x phương trình (1) hệ biến thành phương trình (2), đồng thời phương trình (2) biến thành phương trình (1) · Bài tốn u cầu tìm m để hệ phương trình có nghiệm, có nghiệm · Để giải toán ta làm sau: + Lấy (1) – (2) theo vế để đưa hệ cho tương đương với hai hệ phương trình ìï x + y - = í ïỵ y + x - = GIẢI ìïu = x - Đặt: í với u≥ v ≥ v = y ïỵ Hệ phương trình trở thành ì u + + v = ìu + v = Ûí í v + + u = ỵ ỵv + u = ìu = ìx = Ûí (Do u, v ≥ 0) Þ í v = y = ỵ ỵ Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: ( 1; 1) VD 3: Cho hệ phương trình ìx = y2 - y + m (I) í y = x x + m ỵ a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Giải: + Dùng phương pháp để đưa : ìx = y ìx = - y Úí í î x - 2x + m = î y + m = + Hệ phương trình có nghiệm có hai phương trình : x - 2x + m = y + m = có nghiệm + Hệ phương trình có nghiệm phương trình : x - 2x + m = có nghiệm kép y + m = vơ nghiệm ìï x - y = y - y - x + x (I) Û í ïỵ x = y - y + m ìx = ± y Ûí ỵx = y - y + m éìx = y éìx = y êí êí 2 ỵx = y - y + m ỵ x - 2x + m = ê Ûê Û êê ìx = - y ìx = - y êí êí êë ỵ x = y - y + m êë ỵ y + m = a) Hệ phương trình có nghiệm phương trình : x - 2x + m = vô khi: nghiệm y + m = có nghiệm kép éΔ x ' ³ é1 - m ³ Ûê GV cho nhóm thảo luận giải VD3, ê ' Δ ³ ë- m ³ y sau gọi học sinh đại diện nhóm lên ë ém £ bảng giải sau cho lớp nhận xét GV Ûê Û m £1 đánh giá lời giải sửa chữa sai ëm £ lầm ( có) Vậy m £ hệ phương trình có nghiệm b) Hệ phương trình có nghiệm é ìïΔ x ' = é ì1 - m = êí ' êí ê ỵïΔ y < ê ỵ- m < Ûê Û ' ê ì1 - m < ê ìïΔ x < êí ê íïΔ ' = ëê ỵ- m = ëỵ y Û m = Vậy m = giá trị cần tìm GV : Gọi học sinh đại diện nhóm đứng Ví dụ 4: Giải phương trình sau: chỗ hỏi: Em cho biết nội dung x3 + = x - VD4 yêu cầu ? Để giải toán Giải: ta làm ? Đặt 2x - = t Þ 2x - = t3 Học sinh đại diện nhóm 4: · Đây phương trình vơ tỉ Để giải Ta có hệ phương trình: ì x + = 2t phương trình ta làm sau: í3 + Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ ỵ t + = 2x cách Đặt 2x - = t Þ 2x - = t3 Þ t3+1 = 2x ì x + = 2t Ûí 2 î(x - t)(x + xt + t + 1) = + Biến đổi thu gọn kết ì x - 2x + = GV cho nhóm thảo luận giải VD4, Û í x = t ỵ sau gọi học sinh đại diện nhóm lên ì(x - 1)(x + x - 1) = bảng giải sau cho lớp nhận xét GV Û í ỵx = t đánh giá lời giải sửa chữa sai lầm ( có) éx = Þê êx = - ± êë Vậy phương trình có nghiệm là: 1; -1± Củng cố dặn dò: ( phút/ tiết ) : Tiết 28: v Củng cố phần qua dạng toán v Nắm vững phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại v Nắm vững phương pháp tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm Tiết 29: v Củng cố phần qua dạng tốn v Nắm vững phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại v Nắm vững phương pháp tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm v Xem laị dạng toán vừa học ví dụ làm v Bài tập nhà:( Làm phiếu tập đề nghị) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI : I Giải hệ phương trình sau: ì x3 + y = ì x2 + y = 1) í 5 2) í 2 2 ỵx + y = x + y ỵ x - x y + y = 13 ìï x y + y x = 30 3) í ïỵ x x + y y = 35 ì x + x + y + y = 18 4) í ỵ xy ( x + 1)( y + 1) = 72 ì ( x + y )(1 + )=5 ïï ìï x + y = xy 5) í 6) í 2 3 ïỵ( x + y )( x + y ) = 280 ï( x + y )(1 + ) = 49 ïỵ x2 y ì x6 + y = ì x4 + y = 7) í 8) í 6 x x = y y ỵ ỵx + y = II Gải hệ phương trình có tham số: Giải biện luận: ìx + y = ìx + y = m a) í b) c) í 2 4 x + y = m x + y = m ỵ ỵ ì ïï x - y + x + y = í ïx + 2y = m ïỵ x - y Tìm giá trị m: ì5 ( x + y ) - xy = a) í có nghiệm x + y xy = m î ì x + y + xy = m + b) í có nghiệm ỵ x y + xy = m + ìï( x + y )2 = c) í có hai nghiệm ïỵ x + y = ( m + 1) ì x + xy + y = m í 2 ỵx + y = m a Giải hệ phương trình m = b Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm ì x + xy + y = m í 2 ỵ x y + xy = 3m - a Giải hệ phương trình m = 7/2 b Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm ì x + xy + y = m + í 2 ỵ x y + xy = m a Giải hệ phương trình m=2 b Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0 III Giải phương trình cách đưa hệ phương trình: Giải phương trình: x - + 18 - x = Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a - x + + x = m b m - x + m + x = m c 1- x + 1+ x = m BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI : 1.Giải hệ phương trình sau: ì x + = ïï y x a í b ï2 y + = ïỵ x y ìï x + d í ïỵ y + ìï x + + í ïỵ y + + y+9 =9 x+9 =9 ì ïï2 x + y = í ï2 y + x = ïỵ x2 y2 ìï x + - y = e í ïỵ y + - x = y-2 =7 x-2 =7 ì x - ( x + y ) = 2m Cho hệ phương trình í y ( x + y ) = m ỵ a Giải hệ với m = b Tìm m để hệ có nghiệm ì x = y + x - mx Tìm m để hệ: í có nghiệm 2 y = x + y my ỵ Giải phương trình: a x + x + = b x3 - 3 x + = ì x3 + = y c í ỵ y + = 2x g D> ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ: Quá trình chuẩn bị tiết dạy khoa học , khéo léo chu đáo tiết học sinh động, học sinh nắm nội dung học, hiểu vận dụng kiến thức vào việc giải tập, Qua tiết dạy kiểm tra để đánh giá lớp học sinh sau: LỚP 10 T( Năm học 2008- 2009) Lớp 10T2(Năm học 2009- 2010) Đề kiểm tra 15 phút : ì x + xy + y = m Cho hệ phương trình: í 2 ỵx + y = m Giải hệ phương trình m = Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm Kết quả: Lớp Số lượng Giỏi 10T 10T2 47 38 14 Điểm xếp theo loại Khá Trung Yếu bình 20 10 18 Kém 0 Nhận xét: Lớp 10T( Năm học 2008- 2009) · Đa số học sinh làm · Có 13 học sinh làm câu b) chưa hồn chỉnh, cụ thể chưa tìm S P trường hợp tổng quát nên không sử dụng điều kiện có nghiệm hệ · Có ba học sinh biến đổi sai nên có kết thấp Lớp 10T2( Năm học 2009- 2010) · Đa số học sinh làm ... nghĩa hệ phương trình đối xứng Ø Rèn luyện cho học sinh kỹ giải hệ phương trình đối xứng Ø Rèn luyện kỹ dùng ẩn số phụ để đưa hệ phương trình hệ phương trình đối xứng loại Ø Rèn luyện kỹ dùng... trình đối xứng Ø Rèn luyện cho học sinh kỹ tìm điều kiện tham số để hệ phương trình đối xứng có nghiệm, có hai nghiệm, có nghiệm Ø Rèn luyện kỹ dùng ẩn số phụ để đưa hệ phương trình hệ phương trình. .. Dụng ý: Ø Rèn luyện cho học sinh kỹ đặt ẩn số phụ để đưa phương trình đại số vế hệ phương trình đối xứng, thơng qua để giải số phương trình đại số phức tạp Hệ phương trình đối xứng loại 2: Phương