SKKN: Rèn luyện kỹ năng bằng giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình

Đây là những dạng toán thường gặp ở chương trình THCS 8, 9. Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau, việc chia dạng trên chủ yếu dựa vào lời văn nhưng chúng đều chung nhau các bước giải cơ bản, đó là các loại phương trình, hệ phương trình các em đã được học ở THCS. Những ví dụ trên không có ý là hướng dẫn cách giải các phương trình, hệ phương trình mà chủ yếu gợi ý giúp các em xây dựng được phương trình cơ bản để khi gặp được các dạng đó các em biết cách làm. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến và các em tham khảo sáng kiến “Rèn luyện kỹ năng bằng giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình”.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH I/ Đặt vấn đề: Như biết, từ ngày cắp sách đến trường, học sinh giải phương trình Đó phương trình đơn giản dạng điền số thích hợp vào trống Đối với học sinh lớp cao tính phức tạp phương trình dần nâng lên + Đối với lớp 1, lớp phương trình đơn giản, thường dạng điền vào ô trống: +3=7 + Đối với học sinh lớp phương trình phức tạp hơn: x + + = + Đối với học sinh lớp 4, 5, phương trình có dạng: x:4=8:2 x x + = 33 (x – 12) x = 16 Tất loại Toán trên, mối quan hệ đại lượng đề toán gắn kết với mối quan hệ toán học Các đại lượng số tự nhiên Đặc biệt phương trình viết sẵn học sinh việc giải phương trình hồn thành nhiệm vụ Đối với học sinh lớp 8, lớp trở lên đề tốn giải phương trình khơng cịn đơn giản mà dạng tốn có lời, vào có để lập phương trình kết quả, đáp số khơng phụ thuộc vào kỹ giải phương trình mà cịn phụ thuộc vào việc lập phương trình Việc giải tốn cách lập phương trình học sinh THCS việc làm mẻ Đề cho phương trình có sẵn mà đoạn văn mô tả mối quan hệ đại lượng, học sinh phải chuyển đổi mối quan hệ đại lượng mô tả lời văn sang mối quan hệ toán học Hơn nữa, nội dung tốn này, hầu hết gắn bó với hoạt động thực tế người, xã hội tự nhiên,…Do q trình giải học sinh thường quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vơ lí VD: ẩn số người, đồ vật, … phải nguyên dương tìm đáp số âm khơng ngun vơ lí Chính vậy, người thầy khơng truyền thụ cho học sinh kiến thức SGK mà dạy cho học sinh cách giải tập Người thầy hướng dẫn cho học sinh giải toán dạng phải dựa quy tắc chung là: yêu cầu giải toán, quy tắc giải tốn cách lập phương trình, phân loại dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ đại lượng dẫn đến lập phương trình dễ dàng Đây bước đặc biệt quan trọng khó khăn với học sinh II Giải vấn đề Một phương pháp hướng dẫn học sinh giải toán dựa vào quy tắc chung Nội dung quy tắc gồm bước: - Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) + Chọn ẩn, xác định điều kiện cho ẩn + Dùng ẩn số số liệu biết để biểu thị số liệu có liên quan, dẫn giải phận thành phương trình (hệ phương trình) - Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình) - Bước 3: Nhận định kết quả, thử lại, trả lời Mặc dù có quy tắc song q trình hướng dẫn giải tốn cần cho học sinh vận dụng theo biện pháp sau: * Biện pháp 1: Lời giải không phạm sai lầm khơng có sai sót nhỏ: Để học sinh không mắc sai lầm người giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề tốn q trình giải khơng có sai sót kiến thức, kỹ tính Giáo viên phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện cho ẩn đối chiếu với điều kiện ẩn xem có thích hợp khơng? Ví dụ 1: Mẫu phân số gấp lần tử số Nếu tăng tử mẫu lên đơn vị Phân số Tính phân số cho (SGK Đại số 8) Giải Gọi tử số phân số cho x (x>0;x  N) Thì mẫu số phân số 4x Theo ta có phương trình: x2  4x  2 x = Vậy tử số 1, mẫu số Vậy phân số * Biện pháp 2: Lời giải tốn phải có xác Xác định ẩn phụ phải khéo léo, mối quan hệ ẩn kiện cho làm bật ý phải tìm Nhờ mối quan hệ đại lượng tốn thiết lập phương trình (hệ phương trình), từ tìm giá trị ẩn số Muốn vậy, người giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đâu ẩn? Đâu điều kiện? Có thoả mãn điều kiện hay khơng? Từ xây dựng cách giải? Ví dụ 2: Hai cạnh hình chữ nhật 4m Tính chu vi khu đất biết S = 1200m2 (SGK Đại số 9) Bài toán hỏi chu vi hình chữ nhật Học sinh thường tốn hỏi gọi ẩn Nếu tốn gọi chu vi hình chữ nhật ẩn tốn khó có lời giải Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh phát triển sâu khả suy diễn: Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần biết cạnh hình chữ nhật Giải Gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật x (m,x > 0) Thì chiều dài hình chữ nhật x + Vì diện tích hình chữ nhật 1200m2 Ta có phương trình sau: x(x + 4) = 1200 x2 + 4x – 1200 = x1 = 30; x2 = -34 < (loại) Vậy chiều rộng hình chữ nhật 30m Chiều dài hình chữ nhật 34m Vậy chu vi 128m * Biện pháp 3: Lời giải phải đầy đủ mang tính tồn diện Giáo viên phải hướng dẫn học sinh khơng bỏ sót khả năng, chi tiết nào, rèn luyện cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đầy đủ chưa Ví dụ 3: Một tam giác có chiều cao cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm 3dm, cạnh đáy giảm 2dm, diện tích tăng thêm 12dm2 Tính chiều cao cạnh đáy Giáo viên lưu ý cho học sinh công thức: S= cạnh đáy x chiều cao Giải Gọi độ dài cạnh đáy x (dm) (x > 0) Thì chiều cao x (dm) Nên diện tích lúc đầu : x x (dm) Diện tích lúc sau là: (x-2)( x+3) Theo ta có phương trình: 3 (x - 2)( x + 3) - x x = 12 4 x = 20 (TMĐK) Vậy cạnh đáy có độ dài 20dm Chiều cao có độ dài 20 = 15dm * Biện pháp 4: Lời giải tốn phải đơn giản Ví dụ 4: Vừa gà vừa chó Bó lại cho trịn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn Hỏi có gà, chó? (Bài tốn cổ Việt Nam) Giải Gọi số gà x (con) (x nguyên dương) Số chó 36 - x (con) Số chân gà 2x (chân) Số chân chó 4(36 - x) (chân) Theo ta có phương trình: 2x + 4(36 - x) = 100 x = 22 Vậy số gà 22 con, số chó 14 Với cách giải trên, toán ngắn gọn, dễ hiểu, phù hợp với trình độ học sinh * Biện pháp 5: Lời giải phải trình bày khoa học Ví dụ 5: Chiều cao tam giác vuông 9,6m chia cạnh huyền thành đoạn 5,6m Tính độ dài cạnh huyền tam giác (Đại số 9) Trước giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố công thức: AH2 = BH.CH Giải Gọi độ cạnh BH x (x > 0) Độ dài cạnh CH là: x 5,6 (m) Ta có pt: x(x + 5,6) = 9,62 x = 7,2 (TMĐK) Vậy độ dài cạnh huyền là: 7,2 + 5,6 + 7,2 = 20 (m) * Biện pháp 6: Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ, nên thử lại Giáo viên cần rèn cho học sinh có thói quen sau giải xong cần thử lại kết tìm hiểu hết nghiệm toán, phương trình bậc hai, hệ phương trình Ví dụ 6: Một tàu thuỷ chạy khúc sông dài 80km, 20 phút Tính vận tốc tàu thuỷ nước yên lặng Biết vận tốc dòng nước 4km/h Giải Gọi vận tốc tàu thuỷ nước yên lặng x (km/h) (x>0) Vận tốc tàu thuỷ xi dịng x + (km/h) Vận tốc tàu thuỷ ngược dòng x - (km/h) Theo ta có phương trình: 80 80 25   x4 x4  5x2 – 96x – 80 = x1= 8 (không thoả mãn) 10 x2 = 20 (nhận) Vậy vận tốc tàu thuỷ nước yên lặng 20 km/h * Phân loại toán giải cách lập phương trình hệ phương trình 1/ Loại tốn chuyển động 2/ Loại tốn có liên quan đến số học 3/ Loại toán suất lao động 4/ Loại toán tỉ lệ chia phần 5/ Loại tốn có liên quan đến hình học 6/ Loại tốn cơng việc làm chung, làm riêng 7/ Loại tốn có nội dung Lí, Hố 8/ Loại tốn có chứa tham số 9/ Loại tốn thống kê, mô tả Giáo viên hướng dẫn học sinh giải số toán Dạng toán chuyển động: - Bài tốn 1: Qng đường AB dài 270km Hai tô khởi hành lúc từ A đến B Ơ tơ thứ chạy nhanh tơ thứ hai 12km/h nên đến trước ô tô thứ hai 42 phút Tính vận tốc xe (Đại số 9) Trong toán cần hướng dẫn học sinh xác định vận tốc xe, từ xác định thời gian hết quãng đường xe Giải Gọi vận tốc xe thứ x (km/h) (x > 12) Vận tốc xe thứ hai x - 12 (km/h) Theo ta có phương trình: 270 270   0,7 x  12 x x1 = -62,3 < (loại) x2 = 74, (nhận) Vậy vận tốc xe thứ 74,3 km/h vận tốc xe thứ 62,3 km/h Trong toán này, học sinh cần ghi nhớ công thức: S = v.t Dạng toán liên quan đến số học: - Bài tốn 2: Tìm số có chữ số Biết thêm chữ số vào chữ số hàng chục hàng đơn vị số lớn số ban đầu 10 Và tổng chữ số hàng chục hàng đơn vị Giải Gọi chữ số hàng chục số cho x (x  N*, < x  7) Thì chữ số hàng đơn vị - x Số cho có dạng: x(7 - x) = 10x + - x = 9x + Số có dạng: x0(7 - x) = 100x + - x = 99x + Ta có phương trình: (99x + 7) - (9x + 7) = 180 x = (TMĐK) Vậy số cho 25 Giáo viên lưu ý: Với dạng học sinh phải hiểu mối liên hệ đại lượng, đặc biệt hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm,… ab = 10a + b, abc = 100a + 10b + c Dạng toán suất lao động - Bài toán 3: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất 400 chi tiết Trong tháng sau, tổ vượt mức 10%, tổ vượt mức 15%, nên hai tổ sản xuất 448 chi tiết máy Tính xem tháng tổ sản xuất chi tiết máy Giải Cách 1: Gọi x số chi tiết máy tổ sản xuất tháng đầu (0