SKKN: Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9

SKKN Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn Hình học và đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học sinh, nếu vấn đề này tiếp tục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm góp ý của các thầy cô thì chắc hẳn nó sẽ là kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh khá giỏi,...

Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK PHÒNG GD & ĐT KRÔNG ANA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC TRONG SÁCH GIÁO KHOA TỐN Họ tên : 1) Nguyễn Anh Tuấn 2) Nguyễn Thị Cẩm Linh Đơn vị công tác: Trường THCS Buôn Trấp Trình độ chun mơn : Đại học sư phạm Mơn đào tạo : Tốn Krơng Ana, tháng năm 2016 Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn I PHẦN MỞ ĐẦU I.1 Lý chọn đề tài : - Tốn học mơn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao Đặc biệt với hình học giúp cho học sinh khả tính tốn, suy luận logíc phát triển tư sáng tạo Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn cung cấp cho em số kiến thức thông qua việc làm tập làm nhiều tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả thói quen suy nghĩ tìm tịi lời giải toán sở kiến thức học - Qua nhiều năm cơng tác giảng dạy Tốn trường THCS Buôn Trấp nhận thấy việc học tốn nói chung bồi dưỡng học sinh lực học tốn nói riêng, muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học giải tốn việc cần làm người thầy, giúp học sinh khai thác đề toán để từ toán ta cần thêm bớt số giả thiết hay kết luận ta có toán phong phú hơn, vận dụng nhiều kiến thức học nhằm phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Vì tơi sức tìm tịi, giải chắt lọc hệ thống lại số tập mà ta khai thác đề để học sinh lĩnh hội nhiều kiến thức tốn - Với mong muốn góp phần cơng sức nhỏ nhoi việc bồi dưỡng lực học toán cho học sinh nhằm rèn luyện khả sáng tạo học tốn cho học sinh để em tự phát huy lực độc lập sáng tạo mình, nhằm góp phần vào cơng tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi toán ngành giáo dục Krông Ana ngày khả quan Chúng xin cung cấp trao đổi đồng nghiệp đề tài kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn 9” Đề tài ta bồi dưỡng lực học toán cho học sinh dùng việc dạy chủ đề tự chọn toán trường THCS Mong quý đồng nghiệp tham khảo góp ý I.2 Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài Đây đề tài rộng ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể rõ vẻ đẹp mơn Hình học đặc biệt giúp phát triển nhiều tư học sinh, vấn đề tiếp tục khai thác hàng năm quan tâm góp ý thầy hẳn kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh giỏi.Vì đề tài rộng nên kinh nghiệm trình bày vài chủ đề mơn Hình lớp 9, chủ yếu phần đường tròn chương gần gũi với học sinh xuất nhiều kỳ thi Chỉ thấy thú vị toán thực tế giảng dạy, toán làm cho số học sinh lúng túng chưa nắm phương pháp giải dạng tốn Khi sâu tìm tịi tốn học sinh nắm sâu kiến thức mà cịn tìm vẻ đẹp mơn Tốn nói chung phần Hình học nói riêng Vẻ đẹp thể qua cách giải khác nhau, cách kẻ đường phụ, ý tưởng mà phần Hình học có, làm học sinh u thích mơn Tốn Đó mục đích giáo viên dạy môn cần khêu gợi niềm vui, yêu thích niềm đam mê học sinh mơn học Nhưng mục đích lớn việc dạy học phát triển tư học sinh hình thành nhân cách cho học sinh Qua tốn học sinh có nhìn nhận đánh giá xác, sáng tạo tự tin qua việc giải tập Hình phẩm chất người Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn I.3 Đối tượng nghiên cứu Một số tập hình học Sách giáo khoa Toán (tập 1,2) I.4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu học sinh trường THCS Buôn Trấp, chủ yếu học sinh khối ôn luyện thi vào 10, thi vào trường chuyên, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp qua nhiều năm học Thời gian thực năm học 2009 - 2016 I.5 Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy, học tập, bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường Tra cứu tài liệu, tham khảo nghiên cứu tài liệu mạng Thực nghiệm, đối chiếu so sánh Nhận xét II PHẦN NỘI DUNG II.1.Cơ sở lí luận Qua việc giảng dạy thực tế nhiều năm THCS thấy đa số học sinh sợ học phần Hình học Tìm hiểu ngun nhân tơi thấy có nhiều học sinh chưa thực hứng thú học tập mơn chưa có phương pháp học tập phù hợp với đặc thù môn, hứng thú với phần Hình học có Có nhiều nguyên nhân, ta xem xét nguyên nhân sau: - Đặc thù mơn Hình học suy luận có cứ, để có kĩ học sinh nắm vững kiến thức mà cịn phải có kĩ trình bày suy luận cách logic Kĩ học sinh tương đối khó, đặc biệt học sinh lớp em làm quen với chứng minh Hình học Các em bắt đầu tập dượt suy luận có trình bày chứng minh Hình học hồn chỉnh Đứng trước tốn hình học học sinh thường khơng biết đâu, trình bày chứng minh - Trong q trình dạy tốn nhiều giáo viên cịn xem nhẹ chưa trọng việc nâng cao, mở rộng, phát triển toán đơn giản SGK chưa đầu tư vào lĩnh vực này, chưa tạo hứng thú cho học sinh qua việc phát triển vấn đề từ toán - Việc đưa toán phát triển toán cho phù hợp với đối tượng học sinh để có kết giáo dục tốt cịn hiều hạn chế - Học sinh THCS nói chung chưa có lực giải tốn khó, giáo viên định hướng phương pháp kiến thức vận dụng, gợi ý phạm vi tìm kiếm em giải vấn đề - Ngay với học sinh giỏi e ngại với phân mơn Hình học thiếu tự tin niềm đam mê II.2 Thực trạng a) Thuận lợi, khó khăn: *) Thận lợi: Tơi trực tiếp giảng dạy mơn Tốn khối năm, bồi dưỡng học sinh giỏi tốn ơn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10, thi vào trường chuyên nên thấy cần thiết phải thực đề tài "Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn " Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn Chúng tơi đồng nghiệp có nhiều kinh nghiệm góp ý kiến trình giảng dạy, tham khảo tài liệu liên quan mạng, Học sinh độ tuổi ln động sáng tạo, ln thích khám phá học hỏi điều lạ Điều kiện kinh tế xã hội ngày phát triển Từ quan tâm bậc phụ huynh học sinh ngày nâng lên, tạo điều kiện tốt nhất, trang bị đầy đủ cho em thiết bị đồ dùng học tập *) Khó khăn: Trong chương trình Tốn THCS “Các tốn hình học” đa dạng, phong phú trừu tượng, dạng toán có nhiều phương pháp giải khác Học sinh học tốn khó, Hình học lạ khó vì: Để làm tốn Hình học học sinh phải vận dụng tất định nghĩa, định lí, tính chất , mà học cách linh hoạt Bên cạnh để giải tốn Hình học lớp học sinh phải nắm vững tất kiển thức, toán lớp Kinh tế gia đình khơng đồng đều, số gia đình chưa có điều kiện nên cịn mải lo làm kinh tế, khơng có thời gian quan tâm đến việc học hành em mình, phó mặc cho cho thầy, nhà trường Tác động xã hội làm số học sinh khơng làm chủ nên đua địi, ham chơi, khơng tâm vào học tập mà dẫn thân vào tệ nạn xã hội chơi game, đánh bài, hút Shisha dẫn đến em hư hỏng b) Thành công, hạn chế *) Thành công: Vận dụng tập sáng kiến vào tiết ôn tập bồi dưỡng học sinh giỏi hiệu Các tập Hình phát triển dựa toán sách giáo khoa nên mục đích cần hướng đến học sinh trung bình cần phải làm tốt tập *) Hạn chế: Giải tập Hình học lúc học sinh thể kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư Các tập Hình sách giáo khoa đa dạng phần lớn học sinh trung bình nhớ lâu, hiểu vấn đề quan trọng Do đặc điểm mơn Hình học khó, phải tư trừu tượng kèm thêm việc vẽ hình phức tạp, giải tốn hình học sinh phải vận dụng tất định nghĩa, định lí, tính chất, mà học cách linh hoạt Nên giáo viên phải tạo cho học sinh kĩ vẽ hình hướng dẫn học sinh tư dựa toán c) Mặt mạnh, mặt yếu *) Mặt mạnh: Giúp cho học sinh hiểu số toán phát triển từ toán bản, quan trọng giáo viên cần giúp cho học sinh hiểu hướng phát triển toán Tại phải làm vậy? Làm đạt mục đích gì? Qua giúp em say mê mơn Tốn Cho dù học sinh giỏi hay học sinh trung bình nhìn tốn nhiều góc độ học sinh tự tin hơn, thích thú với mơn học, yếu tố quan trọng q trình tự học, giúp q trình rèn luyện hình thành tư cho học sinh tốt *) Mặt yếu: Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Toán Số học sinh hiểu số toán phát triển từ toán khơng nhiều vấn đề khó cần kiên trì cố gắng học sinh giáo viên, hướng đến 1/3 số học sinh đạt điều này, học sinh không tạo dạng mà thầy làm vốn kinh nghiệm học sinh hạn chế nên giáo viên cần phải động viên giúp em tự tin Việc sáng tạo khơng cần có kiến thức vơ chắn mà học sinh cần có nhạy cảm toán học Điều phù hợp với học sinh giỏi nên áp dụng yêu cầu trình dạy học sinh giỏi d) Các nguyên nhân, yếu tố tác động *) Học sinh không giải được: - Học sinh chưa biết liên hệ kiến thức kiến thức nâng cao - Chưa có tính sáng tạo giải tốn khả vận dụng kiến thức chưa linh hoạt *) Học sinh giải được: - Trình bày lời giải chưa chặt chẽ, nhiều thời gian - Chưa sáng tạo vận dụng kiến thức Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…để nâng cao kiến thức chưa nhiều, nên khả học mơn Tốn em lớp học khơng đồng Bên cạnh phận khơng nhỏ học sinh cịn yếu kỹ phân tích vận dụng … Một số phận phụ huynh học sinh hướng dẫn em giải tốn hình Vì chất lượng làm tập nhà thấp e) Phân tích đánh giá vấn đề thực trạng mà đề tài đặt Trong hoạt động dạy học Tốn nói chung, mơn hình học nói riêng vấn đề khai thác, nhìn nhận tốn nhiều góc độ khác nhiều cho ta kết thú vị Ta biết trường phổ thông, việc dạy toán học cho học sinh thực chất việc dạy hoạt động toán học cho họ Cụ thể truyền thụ cho học sinh đơn vị kiến thức ngồi việc cho học sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức việc khơng phần quan trọng vận dụng đơn vị kiến thức học vào hoạt động toán học Đây hoạt động mà theo tơi, thơng qua dạy cho học sinh phương pháp tự học - Một nhiệm vụ quan trọng người giáo viên đứng lớp Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai thác học sinh khai thác toán sách giáo khoa để từ xây dựng hệ thống tập từ đến nâng cao đến tốn khó hoạt động thiếu người giáo viên Từ tốn chuẩn kiến thức, giáo viên khơng dừng việc giải toán Việc khai thác số tốn hình học SGK khơng gớp phần rèn luyện tư cho HS giỏi mà tạo chất lượng, phù hợp với học, gây hứng thú cho HS nhiều đối tượng khác Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn + Để giải vấn đề trình giảng dạy cần toán SGK Biết phát triển toán đơn giản gặp để tăng vốn kinh nghiệm vừa phát triển lực tư tốn học, vừa có điều kiện tăng khả nhìn nhận vấn đề từ đơn giản từ hình thành phẩm chất sáng tạo giải tốn sau + Việc phát triển toán phù hợp với đối tượng học sinh cần thiết quan trọng, vừa đảm bảo tính vừa sức giải pháp có hiệu cao việc giải tốn khơng tạo cho học sinh nhụt chí mà động lực thúc đẩy giúp cho học sinh có tự tin q trình học tập, bên cạnh cịn hình thành cho em u thích đam mê mơn - Các em phải tập suy luận từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp - Phát huy khả sáng tạo, phát triển khả tự học, hình thành cho học sinh tư tích cực ,độc lập kích thích tị mị ham tìm hiểu đem lại niềm vui cho em II.3 Giải pháp, biện pháp a Mục tiêu giải pháp, biện pháp : - Tìm tịi, tích lũy đề tốn nhiều dạng sở vận dụng kiến thức học - Hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề - Giải hướng dẫn học sinh cách giải - Khai thác toán giúp học sinh hướng giải toán khai thác - Trang bị cho em dạng toán bản, thường gặp - Đưa tập tương tự, tập nâng cao - Kỹ nhận dạng đề phương pháp giải thích hợp trường hợp cụ thể Giúp học sinh có tư linh hoạt sáng tạo - Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức học sinh thông qua kiểm tra Qua kịp thời điều chỉnh nội dung phương pháp giảng dạy - Tạo hứng thú, đam mê, u thích dạng tốn hình học, thơng qua tốn có tính tư b Nội dung cách thức thực giải pháp, biện pháp Trong đề tài đưa toán Sách giáo khoa Toán (tập 1& tập 2): Bài 1: ( Bài tập 11 trang 104 SGK – Tốn tập 1) Cho đường trịn tâm (O) đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính AB Gọi H K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh CH = DK (Gợi ý kẻ OM ⊥ CD ) Giải: AB Cho (O, ), dây CD không cắt AB GT AH ⊥ CD H; BK ⊥ CD K KL C/m: CH = DK Chứng minh: Ta có AH ⊥ CD BK ⊥ CD (gt) nên AH// BK ⇒ Tứ giác AHKB hình thang Kẻ OM ⊥ CD M ⇒ MC = MD (1) ( ĐL quan hệ vng góc đường kính dây) Xét hình thang AHKB có OA =OB = R ; OM // AH // BK ( ⊥ CD ) ⇒ OM đường trung bình hình thang ⇒ MH = MK (2) Từ (1) (2), ta có CH = DK Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Toán Từ toán phát triển dạng tốn khác sau: Bài 1.1: Thêm vào tập câu b sau: Chứng minh H K bên ngồi đường trịn (O) Giải : ( Dùng phương pháp phản chứng) Giả sử chân đường vng góc hạ từ A đến đường thẳng CD H’ H’ điểm nằm hai điểm C D · · · · · ⇒ ACH' Xét ∆ACH , ta có : ACH' = ACB + BCD = 900 + BCD > 900 · Mà ACH' = 900 (theo giả sử) ⇒ Tổng góc ∆ACH lớn 180 điều vơ lí Vậy H’ phải nằm ngồi đường trịn(O) hay H nằm ngồi đường trịn (O) Chứng minh tương tự điểm K * Nhận xét: Từ việc vẽ OM ⊥ CD ta có MH = MK ta dễ nhận thấy S ∆ OMH = S∆OMA = S∆OMK = S ∆OMB ⇒ S∆OHK = S ∆AMB ⇒ HK.OM = AB.MM’(với MM ' ⊥ AB M’) Bài 1.2: Qua nhận xét ta thêm vào câu b: Chứng minh S AHKB = S ∆ACB + S ∆ADB Vẽ thêm CC ' ⊥ AB, DD ' ⊥ AB ( C ', D ' ∈ AB ) Ta có CC '+ DD ' = MM ' (MM’ đường trung bình hình thang CDD’C’) ⇒ HK.OM = AB CC '+ DD ' = AB ( CC '+ DD ') = S∆ACB + S ∆ADB 2 Mặt khác HK.OM = SAHKB ( Vì OM đường trung bình hình thang AHBK, nên AH + KB ) Từ S AHKB = S ∆ACB + S ∆ADB (đpc/m) OM = D K M Bài 1.3: Từ toán ta lại có tốn quỹ tích: E C H a/ Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn thẳng CD C (hoặc D) chạy đường tròn (O) D' O b/ Tìm quỹ điểm H K C ( D) chạy đường tròn A C' O đường kính AB c/ Gọi E giao điểm BK (O) Chứng minh OM ⊥ AE Hướng dẫn giải: · · a) Dùng quỹ tích cung chứa góc ( OMC = OMD = 900 ) b) Khi điểm C cố định, điểm D chạy (O) Gọi C’ hình chiếu C AB ⇒ C, C’ cố định, ta có: Tứ giác AHCC’ AC BC ) (I’, ) ⇒ H ∈ ( I ) , K ∈ ( I ') 2 · c) Chứng minh AEB = 900 ⇒ AE ⊥ BK ⇒ AE // HK ⇒ đpc/m BKCC’ nội tiếp đường tròn (I, +) Nhận xét : Từ tốn dây cung CD cắt đường kính AB kết luận CH = DK có cịn khơng? Kết luận có tốn khó tốn (*) chút sau: Bài 1.4: Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD cắt đường kính AB G Gọi H K hình chiếu A B CD Chứng minh CH = DK Hướng dẫn giải: Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana B Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Toán Để chứng minh CH = DK ta chứng minh CD HK có chung trung điểm Qua O vẽ đường thẳng song song với AH BK cắt CD I, cắt AK F Lập luận để có OI đường trung trực đoạn CD FI đường trung bình tam giác AHK ⇒ I trung điểm HK ⇒ đpc/m Bài 1.5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AB Chứng minh hình chiếu vng góc cạnh đối diện tứ giác đường chéo CD (Cách giải hoàn toàn tương tự 1) Bài 1.6: Gọi G điểm thuộc đoạn thẳng AB (G không trùng với A B) Lấy AB, AG BG làm đường kính, dựng đường trịn tâm O, O1, O2 Qua G vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) C D, cắt (O1) H, cắt (O2) K Chứng minh CH = DK Hướng dẫn giải: Lập luận để có AH ⊥ CD BK ⊥ CD ⇒ Cách giải hoàn toàn tương tự 1) Bài 1.7: Đặc biệt CD dây mà CD trở thành tiếp tuyến (O) hình vẽ bên ta có S ∆AMB = S ∆HOK HK OM = AB.MM ' ( lúc M thuộc nửa đường tròn (O) nên AB = 2OM Do ta có HK.OM = 2OM.MM’ ⇒ MM ' = HK Dựa vào điều kiện điểm thuộc đường trịn ta có M ' ∈ (M ; HK HK ) ⇒ (M ; ) tiếp xúc với AB M’ 2 Từ tốn phát biểu tốn đảo sau : Bài 1.8 : Trên đường kính AB đường tròn tâm (O) ta lấy hai điểm H K cho AH = KB Qua H K kẻ hai đường thẳng song với cắt đường tròn hai điểm C D ( C, D thuộc nửa đường tròn tâm O) Chứng minh HC ⊥ CD , KD ⊥ CD Bài 1.9: Cho đường trịn tâm O đường kính AB dây CD cắt bán kính OA I Kẻ AE, BH vng góc với CD Qua O kẻ đường kính vng góc với CD G cắt EB M Chứng minh: a) M trung điểm EB G trung điểm EH b) EC = HD Hướng dẫn tìm lời giải: a) Hãy chứng minh OM đường trung bình tam giác AEB MG đường trung bình tam giác EHB b) Áp dụng định lý đường kính dây cung lưu ý G trung điểm EH (theo câu a) để đẳng thức cần chứng minh Cách giải D a) Xét ∆AEB , có: OM // AE( ⊥ CD)   ⇒ OM đường trung bình ∆AEB AO = OB ( gt )  ⇒ M trung điểm EB (đpc/m) Xét ∆EHB , có: H G I A O E B M C Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Bn Trấp – Krơng Ana Hình Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Toán GM // BH ( ⊥ CD)   ⇒ MG đường trung bình ∆EHB BM = EM ( gt )  ⇒ G trung điểm EH (đpc/m b) Xét (O) có: OG ⊥ CD (gt) ⇒ GC = GD (đ/l) Mà GE = GH (c/mt) ⇒ EC = HD(đpc/m) Khai thác toán: Bài thêm câu hỏi sau đây: Chứng minh rằng: c) AE IG = IE OG; b) OG.IH = IG.BH ( cho học sinh tự chứng minh) Bài toán ( 30 – trang 116 SGk – tốn 9, tập 1) Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB ( Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phảng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn, cắt Ax By theo thứ tự C D Chứng minh rằng: · a) COD = 900 b) CD = AC + BD c) Tích AC.BD khơng đổi điểm M di chuyển nửa đường tròn AB ), Ax ⊥ AB A; By ⊥ AB B; M ∈ ( O ) CD ⊥ OM M ( C ∈ Ax ; D ∈ By ) Cho (O, GT KL C/mr: · a) COD = 900 b) CD = AC + BD c) AC.BD không đổi a) Xét (O) có CA, CM tiếp tuyến (O) =O ả ( t/c tip tuyn) (1) Ã ⇒ OC tia phân giác AOM hay O ¶ =O ¶ (2) Tương tự DB, DM tiếp tuyến (O) ⇒ O µ +O ¶ =O ¶ +O ¶ Từ (1) (2) O +O ả +O ¶ +O ¶ = 1800 ⇒ O µ +O ¶ =O ¶ +O ¶ = 900 hay COD · Mà O = 900 (đpc/m) 4 b) Theo t/c tiếp tuyến , ta có: CA = CM DB = DM Mà M ∈ CD ⇒ CD = CM + MD ⇒ CD = CA + BD Vậy CD = CA + BD (đpc/m) c) Xét ∆COD vng O (c/mt), có: OM ⊥ CD (gt) ⇒ OM = CM DM ( đ/l) Mà CA = CM DB = DM ⇒ OM = AC.BD mà OM = R (gt) ⇒ AC.BD không đổi điểm M di chuyển nửa đường trịn (đpc/m) Từ tốn ta khai thác tốn sau: 1) Đối với học sinh trung bình: Bài 2.1: OC OD cắt AM BM theo thứ tự E F Xác định tâm P đường tròn qua bốn điểm O, E, M, F Bài 2.2: Chứng minh tứ giác ACBD có diện tích nhỏ hình chữ nhật tính diện tích nhỏ Tìm hiểu đề bài: y D t x N Q M C Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana E A P F O B Hình 11 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn Bài cho nủa đường trịn tâm O ba tiếp tuyến theo thứ tự tạ A, B M (O) Yêu cầu chứng minh đẳng thức, bốn điểm thuốc đường tròn diện tích nhỏ tứ giác tạo thành Hướng dẫn cách tìm lời giải: 1) Chứng minh tứ giác OEMF hình chữ nhật nên giao điểm P hai đường chéo cách bốn đỉnh hình chữ nhật 2) Tứ giác ACDB hình thang ⇒ S ACDB = ( AC + BD ) AB AB không đổi ⇒ chứng minh AC + BD nhỏ CD // AB Cách giải: · · · 1) Tứ giác EMFO có OEM = EMF = OFM = 900 ⇒ Tứ giác EMFO hình chữ nhật   Mà OM ∩ EF P ⇒ OP = OE =OM = OF Vậy điểm O, E, M, F ∈  P ; OM  ÷  2) Tứ giác ACBD có AC / / BD ( ⊥ AB ) ⇒ Tứ giác ACBD hình thang vng ( AC + BD ) AB = ON AB ≥ OQ AB (ON đường trung bình hình thang) Vậy ( S ACDB ) MIN = OQ AB = AB Khi N trùng với Q ACDB hình chữ nhật (tiếp ⇒ S ACDB = tuyến CD // AB) 2) Đối với học sinh khá, giỏi: Bài 2.3: Gọi K giao điểm BC AD Chứng minh: MK // AC // BD Bài 2.4: Gọi H giao điểm MK AB Chứng minh K trung điểm MH Bài 2.5: Gọi E, F giao điểm OC AM, OD BM Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng Chứng minh : 3) Xét ∆AKC có AC // BD (gt) ⇒ KD KB DB = = KA KC AC ( đ/l talet) (1) CA, CM tiếp tuyến nửa đường tròn (O) nên CM = CA, DB = DM (t/c) (2) Từ (1) (2) ⇒ KD MD = ⇒ MK / / AC ( theo định lí KA MC K H talet đảo) Vậy MK // AC // BD (đpc/m)  Sau chứng minh MK // AC ta có thêm yêu học sinh chứng minh: CD.MK = CM.DB Chứng minh: Theo chứng minh MK //AC ⇒ ∆CKM ∆CBD CD DB ⇒ ⇒ đpc/m = CM MK Bài 2.6: Ta đặt thêm câu hỏi sau đây: Khi M chạy nửa đường tròn (O) 1) Tìm quỹ tích N; 2) Tìm quỹ tích P; Cách giải sau: Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 10 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn 1) Vì ON đường trung bình hình thang ACBD nên ON // Ax // By Do quỹ tích N tia Qt song song cách hai tia Ax By 2) Giao điểm P đường chéo hình chữ nhật OEMF cách O khoảng R PO = OM = điểm O cố định, khoảng cách PO không đổi nên quỹ tích P nửa 2 đường trịn đồng tâm với (O) bán kính nửa bán kính (O) Từ tốn ta tốn sau: Bài 2.7: Cho ∆ABC vng A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH Từ B C kẻ tiếp tuyến với đường tròn (A) D, E Chứng minh rằng: a) D, A, E thẳng hàng b) BD.CE = AH2 ( không đổi) c) DE tiếp tuyến đường trịn đường kính BC Bài tốn 3( Bài 39/123 (SGK tốn tập 1) Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung BC ( B ∈ ( O ) ; C ∈ (O ')), tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung BC I · = 900 a) Chứng minh : BAC · ' b) Tính số đo OIO c) Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O’A = 4cm Giải GT KL Cho (O) (O’) tiếp xúc A OB ⊥ BC B; CO’ ⊥ BC C; B ∈ ( O ) , C ∈ ( O ') AI ⊥ OO’ A ( I ∈ BC ) OA = 9cm; O’A= 4cm C/mr: · a) BAC = 900 · b) Tính OIO '? c) Tính BC ? B I C O' A O Chứng minh: a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: IA = IB; IB = IC (đ/l) ⇒ IA = IB = IC = BC ⇒ ∆ABC vuông A (đ/l đường trung tuyến) · Vậy BAC = 900 (đpc/m) b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: · OI tia phân giác BIA · · ⇒ OIO O’I tia phân giác AIC ' = 900 (đ/l) · · Mà BIA + AIC = 1800 (kề bù) c) Xét ∆OIO ' vng I (c/mt), Có : IA ⊥ OO ' A (t/c) ⇒ IA2 = OA AO’ ( đ/l) = 9.4 = 36 ⇒ IA = 6cm Mà BC = 2AI = 2.6 = 12cm Khai thác phát triển toán : Bài 3.1: Chứng minh rằng: OO’ tiếp tuyến đường trịn đường kính BC Vì (O) (O’) tiếp xúc A B I C O A O' D Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 11 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Toán IA ⊥ OO ' tai A ( t/c )   ⇒ OO’ tiếp tuyến đường tròn IA = IB = IC (t / c )   BC   I; ÷tại A (đpc/m)   Bài 3.2: Gọi D giao điểm CA với đường tròn tâm O ( D ≠ A) Chứng minh Nên : Ba điểm B, O, D thẳng hàng · ·  O'CA = O'AC · · Ta có  ⇒ ODA = O'CA ·ODA = OAD ·  Mà hai góc vị trí so le ⇒ O’C // OD Mặt khác O’C // OB ( ⊥ BC ) (gt) ⇒ Ba điểm B, O, D thẳng hàng (tiên đề Ơclít) Bài 3.3: Giả sử OA = R, O’A = r B I a Tính độ dài BC theo R, r C R b Tính độ dài OI O’I theo R, r r c Tính cạnh ∆ABC theo R, r O' A O d Gọi H giao điểm OO’ BC Tính độ dài OH, O’H theo R, r Lời giải: · · a) Ta có : BAC = 900 OIO ' = 900 Theo hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông, ta có: IA2 = OA AO’ = R.r ⇒ IA = R.r B Mà BC = 2.IA = R.r 2 2 b) Ta có : OI = IA + OA = R.r + R = R ( R + r ) I C R r ⇒ OI = R ( R + r ) O A O' O ' I = IA2 + O ' A2 = R.r + r = r ( R + r ) ⇒ O'I = r ( R + r) D c) Gọi CA ∩ ( O ) = { D} Khi ba điểm B, O, D thẳng hàng Xét ∆CBD vng B, ta có : BC = R.r ; BD = 2R Theo hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông, ta có: 1 1 R+r = + = + = 2 2 Rr R r AB BD BC 4R 2R r 2r R ⇒ AB = Tương tự AC = R+r R+r 2R r 2r R Vậy cạnh ∆ABC : AB = ; AC = ; BC = R.r R+r R+r d) Xét ∆HO ' C ∆HOB có : ·  OHB chung B  ⇒ ∆HO ' C ∆HOB (g.g) · · OBH = O'CH = 900 ( gt )  C R OH OB OH OB r ⇒ = hay = O' O ' H O 'C OH − O ' H OB − O ' C O A R( R + r ) r(R + r) ⇒ OH = ; O'H = R−r R−r H Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 12 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn Bài 3.4: ( Bài tốn đảo) Cho ∆ABC vng A Vẽ đường tròn tâm (O) qua A tiếp xúc với BC B, vẽ đường tròn tâm (O’) qua A tiếp xúc với BC C Chứng minh rằng: a) (O) (O’) tiếp xúc với b) Trung tuyến AI ∆ABC tiếp tuyến chung hai đường tròn A Giải : a) Vì ∆AOB ∆AO ' C tam giác cân B · · ' AC = O · ' CA I Nên ·AOB = OBA O C · · ' CA + ·ACB = 900 Ta có OBA + ·ABC = 900 & O · ' AC + BAO · ⇒O = 900 O' O · ' AC + CAB · · Do O + BAO = 1800 ⇒ ba điểm O, A, O’ thẳng hàng OO’ = OA + O’A Vậy (O) (O’) tiếp xúc với A (đpc/m) b) Vì AI trung tuyến ∆ABC vuông A, nên IA = IC ⇒ ∆IO ' A = ∆IO ' C (c.c.c ) · · ⇒ IAO ' = ICO ' = 900 ⇒ AI ⊥ OO ' A Vậy AI tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) A.(đpc/m) +) Nhận xét : Nếu hai đường trịn (O) (O’) ngồi nhau, ta có tốn sau: Bài 3.5: Cho hai đường trịn (O) (O’) Kẻ tiếp tuyến chung BC, B ∈ ( O ) , C ∈ ( O ') , đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) (O’) điểm D E Các đường thẳng BD CE cắt A Gọi I trung điểm BC B I Chứng minh rằng: C · a) BAC = 90 c b) AD.AB = AE.AC c) Tứ giác BCED nội tiếp O D E O' A d) IA ⊥ OO ' Chứng minh: a) Theo tính chất góc tạo tia tiếp tuyến dây cung: A 1· - Xét (O) có : ·ABC = BOD ( t/c) 1· ' E ( t/c) - Xét (O’) có : ·ACB = CO · · ' E = 1800 ( OB // O’C) Mà BOD + CO · Nên ·ABC + ·ACB = 900 ⇒ BAC = 900 (đpc/m) b) Ta có: ·ABC = ·ACO ' ( phụ với ·ACB ) ·ACO ' = CEO · ' ( ∆EO ' C cân tạo O’) · Mà CEO ' = ·AED (đối đỉnh) ⇒ ·AED = ·ABC Xét ∆ABC ∆AED có: ·  CAB chung AE AD = ⇒ AE AC = AB AD (đpc/m)  ⇒ ∆ABC ∆AED (g.g) ⇒ ·AED = ·ABC (cmt )  AB AC  · · · c) Vì AED = ABC (cmt) ⇒ ·ABC + DEC = 1800 · Mà ·ABC & DEC hai góc đối Vậy tứ giác BCED nội tiếp (đpc/m) d) Vì AI trung tuyến ∆ABC vng A, nên IA = IB = IC (đ/l) Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 13 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Toán ⇒ ∆ABI cân I · (t/c) ⇒ ·ABI = BAI · ⇒ ·AED + IAC = 900 ⇒ IA ⊥ OO ' (đpc/m) +) Nhận xét : Nếu hai đường tròn (O) (O’) cắt nhau, ta có tốn sau: Bài 3.6: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm M,N Kẻ tiếp tuyến chung BC, B ∈ ( O ) , C ∈ ( O ') , đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) (O’) điểm D E Các đường thẳng BD CE cắt A Chứng minh rằng: B · a) BAC = 900 C M b) Tứ giác BCED nội tiếp A c) AD.AB = AE.AC E D O' O Chứng minh: a) Chứng minh tương tự câu a toán N · · · b) Ta có: DBC ) = ECO ' ( phụ với ECB · · ECO ' = CEO ' ( ∆EO ' C cân tạo O’) · · nhìn xuống cạnh DC góc khơng đổi ⇒ DEC = DBC Vậy tứ giác BCED nội tiếp (đpc/m) c) Xét ∆ABC ∆AED có: · · CAB = EAD ·ABC = ·AED ⇒   ⇒ ∆ABC  ∆AED (g.g) AE AD = ⇒ AE AC = AB AD (đpc/m) AB AC Bài toán 4(Bài tập 95/105( SGK hình học tập 2) Các đường cao hạ từ đỉnh A B ∆ABCcắt H ( C ≠ 900) cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC D E Chứng minh rằng: a) CD = CE ; b) ∆BHD cân ; c) CD = CH A Cho ∆ABC nội tiếp (O) BN ⊥ AC N; AM ⊥ BC M GT AM ∩ ( O ) D; BN ∩ ( O ) E; AM ∩ BN H E N H KL C/mr: a) CD = CE b) ∆BHD cân c) CD = CH B M C D Chứng minh: - Gọi M, N giao điểm AD với BC BE với AC · · · a) Ta có DAC + ·AHN = 900 CBE + BHM = 900 · · · ⇒ DAC + ·AHN = CBE + BHM (= 900 ) · Mà ·AHN = BHM (đđ) » = DC » ( góc nội tiếp chắn cung nhau) · · ⇒ EC ⇒ DAC = CBE ⇒ CD = CE ( liên hệ cung dây) (đpc/m) Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 14 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn » = DC » (cmt) ⇒ EBC · · b)Ta có EC ( hệ góc nội tiếp) ⇒ ∆BHD cân ( Vì có BM = CBD vừa đường cao vừa đường phân giác) (đpc/m) c) Vì ∆BHD cân B ⇒ BC đường trung trực HD ⇒ CD = CH (t/c) (đpc/m) Khai thác phát triển toán : Bài 4.1: Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABMN; CMHN nội tiếp b) CN.CA = CM.CB Chứng minh: a) - Xét tứ giác ABMN có: ·ANB + ·AMB = 900 ( gt ) nhìn xuống cạnh AB Vậy tứ giác ABMN nội tiếp - Xét tứ giác CMHN có: · · · · CNH = CMH = 900 ( gt ) ⇒ CNH + CMH = 1800 · · Mà CNH hai góc đối tứ giác & CMH Vậy tứ giác CMHN nội tiếp b) Xét ∆CAM ∆CBN có: ·ACB chung   ⇒ ∆CAM ∆CBN (g.g) ·AMC = BNC · = 900 ( gt )  CA CM ⇒ = ⇒ CA.CN = CB.CM (đpc/m) CB CN Bài 4.2: Các đường cao AM BN cắt (O) D, E Chứng minh rằng: a) MN // DE A b) OC ⊥ DE E Chứng minh: · · a) Vì tứ giác ABMN nội tiếp (cmt) ⇒ BAM N = BNM F Q ¼ (cùng chắn BM ) H » · · Mà BAD (cùng chắn ) = BED BD · · ⇒ BNM = BED mà hai góc vị trí đồng vị B M C ⇒ DE // MN (đpc/m) D c) Kẻ tiếp tuyến Cx với (O) C » · · = BCx = sđ BC Ta có: BAC (hệ quả) · · Mà BAC = CMN (vì tứ giác ABMN nội tiếp) · · hai góc vị trí so le ⇒ BCx = CMN ⇒ MN // Cx ⇒ DE // Cx Mặt khác Cx ⊥ OC C (đ/l) ⇒ OC ⊥ DE (đpc/m) Bài 4.3: Kẻ đường cao CQ cắt (O) F.Chứng minh rằng: a) H tâm đường tròn nội tiếp ∆QMN b) H tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF Chứng minh: a) - Xét tứ giác AQHN có: ·ANH = ·AQH = 900 ( gt ) ⇒ ·ANH + ·AQH = 1800 Mà ·ANH & ·AQH hai góc đối tứ giác Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 15 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn » ) · · Vậy tứ giác AQHN nội tiếp ⇒ BAD (cùng chắn QH = QNH · · ¼ ) Vì tứ giác CMHN nội tiếp (cmt) ⇒ BCQ (cùng chắn MH = MNH · · Mặt khác BAD (phụ với ·ABC ) = BCQ · · · hay NH tia phân giác QNM ⇒ MNH = QNH Chứng minh tương tự: · - QH tia phân giác NQM · - MN tia phân giác QMN ⇒ H trực tâm đường tròn ngoại tiếp ∆QMN (đpc/m) · EF = BCF · » ) c) Ta có: B (cùng chắn BF » ) · ED = ·ABD (cùng chắn BD B · · Mà BAD (phụ với ·ABC ) = BCF · EF = BED · · EF hay EH tia phân giác D ⇒B Chứng minh tương tự: · - FH tia phân giác DFE · - DH tia phân giác EDF ⇒ H trực tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DEF (đpc/m) A Nhận xét: Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AQHN đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMHN cắt điểm H N Nếu gọi E ⇒ I, K trung điểm AH, CH IK đoạn nối I N F tâm Ta có tốn sau: Q H O 1) Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O), đường cao AM, BN, CQ cắt H ( K ( M ∈ BC; N ∈ AC; Q ∈ AB ) cắt đường tròn ngoại B M C tiếp ∆ABC D, E, F Gọi I trung điểm HC Chứng minh D rằng: IK ⊥ NH Nhận xét: Gọi P trung điểm BC, T điểm đối xứng với H qua P Chứng minh A rằng: a) Tứ giác ABTC nội tiếp đường tròn E b) OP = Chứng minh: a) –Xét tứ giác BHCT có: AH F N Q B   Tứ giác BHCT hình bình hành ⇒ BC ∩ HT = { P} ( gt )  ⇒ BH // CT (t/c) Mà BH ⊥ AC N (gt) ⇒ CT ⊥ AC C hay ·ACT = 900 Tương tự ·ABT = 900 ⇒ Tứ giác ABTC nội tiếp đường tròn (đpc/m) b) Xét (O) có ·ACT = 900 (cmt) ⇒ AT đường kính (O) HP = PT ( gt ) BP = PC ( gt ) - Xét ∆TAH có: H M O C P D T HP = HT ( gt )   ⇒ OP đường trung bình ∆TAH AO = OT (cmt )  Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 16 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Toán  OP / / AH  ⇒ (t/c)  OP = AH Bài 4.4: Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp ∆ABC , Các đường cao AM, BN, CQ ∆ABC cắt H Chứng minh rằng: Nếu AM + BN + CQ = 9r ∆ABC Chứng minh: 1 2 ( AB + BC + AC ) r ( a + b + c ) r ( AB + BC + AC ) r Ta có : S ABC = a.ha = b.hb = c.hc = ⇒ CQ = AB ; BN = ; AM = ( AB + BC + AC ) r AC BC 1   ⇒ AM + BN + CQ = ( AB + BC + AC )  + + ÷.r (1)  AB BC AC  1 1 Áp dụng bất đẳng thức: ( a + b + c )  + + ÷ ≥ Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b = c a b c Chứng minh:Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương a,b,c Ta có: a + b + c ≥ 3 abc Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b = c (2) 1 1 1 + + ≥ 3 Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b = c (3) a b c a b c 1 1 Từ (2) (3) ⇒ ( a + b + c )  + + ÷ ≥ Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b = c (4) a b c Từ (1) (4) ⇒ AM + BN + CQ ≥ 9r Dấu “ = ” xảy ⇔ AB = BC = AC ⇒ ∆ABC (đpc/m)  Một số tập tham khảo: Bài 1: ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2011 – 2012) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Hai đường cao BD CE tam giác ABC cắt điểm H Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai P; đường thẳng CE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai Q Chứng minh: 1) BEDC tứ giác nội tiếp 2) HQ HC = HP HB 3) Đường thẳng DE song song với đường thẳng PQ 4) Đường thẳng OA đường trung trực đoạn thẳng PQ Bài ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2012 – 2013) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O (AB < AC) Hai tiếp tuyến B C cắt M AM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D E trung điểm đoạn AD EC cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F Chứng minh rằng: 1) Tứ giác OEBM nội tiếp ; 2) MB2 = MA.MD · · 3) BFC ; 4) BF // AM = MOC Bài ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2013 – 2014) Cho đường trịn (O), đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By đường tròn M điểm đường tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M đường tròn cắt Ax, by P, Q 1) Chứng minh : tứ giác APMQ nội tiếp 2) Chứng minh rằng: AP + BQ = PQ 3) Chứng minh rằng: AP BQ = AO2 Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 17 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn 4) Khi điểm M di động đường trịn (O), tìm vị trí điểm M cho diện tích tứ giác APQB nhỏ Bài ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2014 – 2015) Cho tam giác ABC có đường cao AH, lấy điểm M tùy ý thuộc đoạn HC ( M không trùng với H, C) Hình chiếu vng góc M lên cạnh AB, AC P Q 1) Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ 2) Chứng minh : BP BA = BH BM 3) Chứng minh : OH vng góc PQ 4) Chứng minh M thay đổi HC MP + MQ không đổi Bài ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2015 – 2016) Cho đường tròn (O; R) có đường kính BC A điểm thuộc đường tròn (A khác B C) Gọi H hình chiếu A lên BC Đường trịn đường kính AH cắt dây cung AB, AC điểm M N 5) Chứng minh rằng: tứ giác AMHN hình chữ nhật 6) Chứng minh rằng: AM AB = AN AC 7) Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng CH BH Chứng minh MQ NP tiếp tuyến đường trịn đường kính AH 8) Khi điểm A di chuyển đường tròn (O; R), tính diện tích lớn tứ giác MNPQ theo R c) Điều kiện để thực giải pháp, biện pháp Để gặt hái thành tích cao học tập Học sinh nhân vật trung tâm việc bồi dưỡng đào tạo, nhân tố giữ vai trị định thành cơng hay thất bại giáo viên làm công tác giảng dạy Vì em người học, người thi người đem lại thành tích Người giáo viên giảng dạy tốn phải người có nhìn tổng qt mơn tốn bậc học mình, phải người giải toán thường xuyên, cặp nhật thường xuyên thuật toán, thủ thuật giải tốn hiệu Nói tóm lại kiến thức thầy phải vững vàng, thầy thực phải người giỏi toán Cần phải lên kế hoạch giảng dạy cách chi tiết, chuẩn mực Cập nhật thường xuyên kiến thức mà em vừa học để bồi dưỡng ngay, đặc biệt phải kích thích em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy tố chất tốt em để công việc học tập em đạt hiệu cao Trong chuyên đề toán học giáo viên cần trang bị cho học sinh kiến thức sách giáo khoa kiến thức mở rộng, hình thành phương pháp giải, kịp thời lưu ý cho em sai lầm giải, dạy theo dạng, sâu dạng tìm hướng tư duy, hướng giải phát triển toán Việc phân dạng, chọn ví dụ tiêu biểu, hình thành đường lối tư cho học sinh tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu Sau tập tổng hợp để học sinh phân biệt dạng tìm cách giải thích hợp cho chắn học sinh nắm vững vấn đề, phát cách giải tìm phương pháp phù hợp nhất, khoa học d) Mối quan hệ giải pháp, biện pháp Để giúp cho học sinh gặt hái thành cơng, địi hỏi em phải có nỗ lực lớn Một tâm học tập hết khả thân Chính vậy, động viên, quan tâm, giúp đỡ lãnh đạo ngành, gia đình em Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 18 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Toán giáo viên lớn Nhất lứa tuổi học sinh lớp 9, đặc điểm tâm lí lứa tuổi em có tác động không nhỏ đến việc học tập emm Nhận thức rõ điều đó, giáo viên cần phải dành quan tâm lớn đến em, thường xuyên động viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho em có tâm lớn cơng việc học tập Đồng thời giáo viên phải khéo léo lồng vào tiết dạy nhằm thu hút phát huy sáng tạo cho học sinh Đây vấn đề hoàn toàn mẻ khó khăn cho học sinh mức trung bình, giáo viên nên cho em làm quen dần Dạng tốn có tác dụng tương hỗ, cao dần từ kiến thức sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết tư sáng tạo, biết tìm cách giải dạng tốn mới, tập trung “Sáng tạo” vấn đề e) Kết khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu Qua nhiều năm tham gia giảng dạy thử nghiệm sáng kiến tơi thấy khả vận dụng tốn hình học học sinh có nhiều tiến bộ, thể chỗ đa số học sinh biết cách giải toán linh hoạt, sáng tạo bước đầu chủ động tìm tịi kiến thức góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường Với đối tượng học sinh khối trường trung học sở Buôn Trấp, áp dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh lớp thực nghiệm cho thấy: Phương pháp tư duy, kỹ giải tập lực sáng tạo học sinh tốt Trong kiểm tra đạt kết định sau: +/ Năm học 2009 - 2010: Lớp Sĩ số Số h/s chưa biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số h/s biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số lượng % Số lượng % 9A5 42 40 95,2% 4,8% 9A6 40 35 87,5% 12,5% +/ Năm học 2010 - 2011: Lớp Sĩ số Số h/s chưa biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số h/s biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số lượng % Số lượng % 9A1 40 32 80% 20% 9A3 40 35 87,5% 12,5% 9A6 40 34 85% 15% +/ Năm học 2011 - 2012: Lớp Sĩ số Số h/s chưa biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số h/s biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số lượng % Số lượng % 9A1 40 30 75% 10 25% 9A2 40 32 80% 20% +/ Năm học 2012 - 2013: Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 19 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Toán Lớp Sĩ số Số h/s chưa biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số h/s biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số lượng % Số lượng % 9A1 42 28 66,7% 14 33,3% 9A2 40 29 72,5% 11 27,5% +/ Năm học 2013 - 2014: Lớp Sĩ số Số h/s chưa biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số h/s biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số lượng % Số lượng % 9A1 42 25 59,5% 17 40,5% 9A2 40 26 65% 14 35% +/ Năm học 2014 - 2015: Lớp Sĩ số Số h/s chưa biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số h/s biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số lượng % Số lượng % 9A1 40 24 60% 19 47,5% 9A2 40 26 65% 15 37,5% - Giá trị khoa học: Đề tài giúp giáo viên học sinh biết cách khai thác phát triển số tốn Hình học cách đơn giản, dễ hiểu, dễ trình bày I.4 Kết 1/ Nhận xét: Các tập Hình phát triển dựa toán sách giáo khoa sách tập nên mục đích cần hướng đến học sinh trung bình cần phải làm tốt tập Sau giáo viên phải giúp cho số học sinh hiểu số tốn phát triển từ tốn quan trọng giáo viên cần giúp cho học sinh hiểu hướng phát triển toán Tại phải làm vậy? Làm đạt mục đích gì? Qua giúp em say mê mơn Tốn, số học sinh làm điều khơng nhiều vấn đề khó cần kiên trì cố gắng học sinh giáo viên hướng đến 1/3 số học sinh đạt điều này, học sinh khơng tạo dạng mà thầy, làm vốn kinh nghiệm học sinh hạn chế nên giáo viên cần phải động viên giúp em tự tin Việc sáng tạo khơng cần có kiến thức vơ chắn mà học sinh cần có nhạy cảm toán học Điều phù hợp với học sinh giỏi nên áp dụng yêu cầu trình dạy học sinh giỏi Cho dù học sinh giỏi hay học sinh trung bình nhìn tốn nhiều góc độ học sinh tự tin hơn, thích thú với mơn học, yếu tố quan trọng q trình tự học, giúp q trình rèn luyện hình thành tư cho học sinh tốt 2/ Kết sau áp dụng : Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 20 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Toán Trên đề tài “Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn 9” mà chúng tơi áp dụng giảng dạy thực tế trường THCS Buôn trấp, thấy chất lượng kiểm tra nâng lên đáng kể, đặc biệt đối tượng học sinh trung bình, q trình ơn luyện, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp nâng lên rõ rệt Tôi đồng nghiệp thu kết sau: +) Học sinh tiếp thu nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực học tập u thích mơn tốn Hình học + Học sinh tránh sai sót có kĩ vận dụng thành thạo, phát huy tính tích cực sáng tạo thơng qua toán Tuy nhiên để đạt kết mong muốn, đòi hỏi người giáo viên cần hệ thống, phân loại tập thành dạng, giáo viên xây dựng kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ củ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức học sinh III PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ III.1.Kết luận Mỗi dạng tốn Hình có phương pháp giải tập khác nhau, nhiên làm tập Hình học, học sinh có nhìn góc cạnh khác hiểu sâu sắc tập Hình học tìm đẹp mơn Tốn Cái nhìn phương diện khác cách thay đổi tốn trở thành dễ thành tốn khó Khi làm ý thức tự học học sinh cao hơn, tập khó trở nên dễ hơn, quan trọng học sinh có tự tin làm tập Để làm giáo viên phải cung cấp cho học sinh hệ thống tập từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy tốn khó toán HS cảm thấy thân tạo tốn có dạng tương tự Chính mà tơi chọn đề tài này, giúp học sinh thay đổi cách nhìn toán, thay đổi phong cách học tập tư cho phù hợp với lứa tuổi, cách nêu nên cách dạy số tốn Hình học sách giáo khoa, thay đổi, phát triển tốn thành tốn khác Làm học sinh thấy tự tin gặp tốn lạ có khả tự tìm lời giải cho tốn, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng nhu cầu sống đại - Mặc dù thân tơi có cố gắng nhiều trình viết thời gian nghiên cứu chưa nhiều, lực có hạn, q trình cơng tác kinh nghiệm cịn nên khơng thể tránh thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp q báu q thầy đồng nghiệp có tâm huyết để đề tài tơi hồn thiện triển khai áp dụng vào thực tiễn III.2 Kiến nghị Căn vào nhiệm vụ đề cập kết nghiên cứu sau nhiều năm đề tài, mạnh dạn đề xuất số ý kiến chủ quan thân phương pháp “Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn 9” nói riêng mơn nói chung nhằm góp phần giúp học sinh nắm cách giải, từ khiến em u thích mơn góp phần nâng cao chất lượng môn Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 21 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn */ Đối với lãnh đạo Phòng giáo dục: - Tăng cường tổ chức chuyên đề phương pháp dạy dạng toán phù hợp với đối tượng học sinh trường Tổ chức nhiều buổi chuyên đề mảng kiến thức khó để giáo viên chia sẻ, học tập lẫn không ngừng nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ Nên phổ biến sáng kiến kinh nghiệm hay cấp huyện, cấp tỉnh thành chuyên đề để giáo viên học tập, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy */ Đối với lãnh đạo trường: - Chỉ đạo đổi cách sinh hoạt tổ môn theo hướng tích cực, trọng đến phương pháp nâng cao chất lượng học tập học sinh khơng nên mang nặng tính hình thức - Nếu cho áp dụng sáng kiến kinh nghiện toàn khối để kiểm tra tính thực tế - Tạo điều kiện thời gian cho giáo viên nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ - Kết hợp chặt chẽ với phụ huynh học sinh tạo điều kiện học tập tối đa cho học sinh, học sinh khối */ Đối với giáo viên: - Ln tìm tịi, sáng tạo dạy học, tận dụng hội tiếp xúc với học sinh, lắng nghe học sinh nói để tìm phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh từ nâng cao chất lượng đại trà môn - Đổi cách đề tập, giải tập, trọng vào phương pháp lấy học sinh làm trung tâm, gây hứng thú học tập cho học sinh học mơn Tốn Khuyến khích em nhìn tốn nhiều góc độ khác nhau, từ tìm cách giải mới, hay không nên bắt buộc em phải giải theo cách - Tự học để nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ, sử dụng tốt công nghệ thông tin phục vụ cho hoạt dộng dạy học để tạo hứng thú học tập cho học sinh - Tận tâm với nghề dạy học, tôn trọng kết đạt học sinh dù nhỏ nhất… Xin chân thành cảm ơn! Buôn Trấp, Ngày 01 tháng 01 năm 2016 Người viết Nguyễn Anh Tuấn Nguyễn Thị Cẩm Linh Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 22 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Toán NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN ( Ký tên, đóng dấu ) Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 23 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn VI TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Sách giáo khoa, sách tập toán 2) Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn trung học sở 3) Sách Hướng dẫn giải dạng tập từ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ( Tác giả: Trần Thị Vân Anh) Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 4) Bồi dưỡng học sinh giỏi toán ( Nhóm tác giả: Nguyễn Đức Tân, Nguyễn Anh Hồng, Nguyễn Đồn Vũ, Phan Bá Trình, Nguyễn Văn Danh, Đỗ Quang Thanh…) Nhã xuất Đại học quốc gia Hà Nội 5) Sách 50 đề toán thi vào lớp 10 chuyên chọn (Tác giả: Minh Tân )Nhà xuất Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh 6) Sách Bài tập thực hành toán 9, tập hai ( Tác giả: Quách Tú Chương, Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Anh Hoàng) Nhà xuất giáo dục Việt Nam 7) Các tài liệu tham khảo Internet, Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 24 ... Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn Trên đề tài ? ?Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn 9? ?? mà chúng tơi áp dụng giảng dạy... Ana 23 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Tốn VI TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Sách giáo khoa, sách tập toán 2) Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn trung học sở... Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tập hình học Sách giáo khoa Toán Từ toán phát triển dạng toán khác sau: Bài 1.1: Thêm vào tập câu b sau: Chứng minh H K