SKKN: Hướng dẫn học sinh khai thác có hiệu quả bài toán về ba đường cao trong tam giác

PHÒNG GDĐT VINH TRƯỜNG THCS LÊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC CÓ HIỆU QUẢ BÀI TOÁN VỀ BA ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC” Vinh, ngày 04 tháng 04 năm 2011 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Học toán gắn liền với hoạt động giải tốn Thơng qua việc hướng dẫn học sinh giải tốn, người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh lực tư duy, tính độc lập, linh hoạt, sáng tạo nhằm đáp ứng yêu cầu đào tạo người Việc khai thác hiệu toán cách bồi dưỡng cho học sinh lực Ngồi ra, việc khai thác có hiệu tốn cịn đem lại cho học sinh học thú vị, lịng say mê hứng thú mơn học, tâm lý học sinh nói chung ln muốn biết tìm tịi Để rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh, phương pháp hữu hiệu từ toán ban đầu cách giải tốn đó, ta hướng dẫn học sinh khai thác để phát biểu giải nhiều toán khác Để khai thác phát triển tốn, ta sử dụng cách sau: - Sử dụng triệt để kết chứng minh được, lật ngược vấn đề khai thác toán đảo - Sử dụng kết toán số phép biển đổi hình học đối xứng tâm, đối xứng trục để tạo toán chứng minh cách sử dụng kết tốn có - Khái quát hoá đến toán tổng quát - Đặc biệt hoá để khai thác toán cực trị - Tương tự, mở rộng toán… Việc hướng dẫn học sinh cách khai thác toán vấn đề khó khăn giáo viên, địi hỏi người giáo viên cần phải có vốn kiến thức sâu rộng, kiên trì cần nhiều thời gian Đối với học sinh, việc rèn luyện kỹ khai thác cần thiết, nhằm nâng cao khả tự học, sáng tạo, tư độc lập đặc biệt gây hứng thú học tập Qua thực tế giảng dạy, nhận thấy tập đường tròn quan trọng học sinh, đặc biệt chương III hình học 9: “Góc với đường tròn” Mặt khác lượng kiến thức tập đường tròn tương đối nhiều đa dạng nên học sinh khó khăn việc hệ thống dạng tập cách giải Vì vậy, từ toán đơn giản ban đầu, biết cách hướng học sinh tìm lời giải từ tạo số tốn nhằm củng cố lại hệ thống kiến thức học việc thu nhận hệ thống kiến thức chương trở nên dễ dàng học sinh đại trà nói chung phát triển tư cho học sinh giỏi nói riêng Nhằm khắc phục khó khăn việc hướng dẫn học sinh cách tự học cách khai thác tốn có hiệu quả, tơi rút số kinh nghiệm để củng cố phát triển tư cho học sinh Trong đề tài tơi xin trình bày việc “Hướng dẫn học sinh khai thác có hiệu tốn ba đường cao tam giác” để củng cố nâng cao kiến thức chương III, Hình học cho học sinh; đặc biệt kỹ chứng minh tứ giác nội tiếp khai thác tính chất tứ giác nội tiếp để giải toán PHẦN II: NỘI DUNG Ta tập 10 trang 104 - SGK Toán - Tập Một Bài toán 1: Cho tam giác ABC, đường cao BD CE Chứng minh rằng: a Bốn điểm B, E, D, C thuộc đường tròn b DE < BC A Phân tích tốn: Đây tốn thuộc D Chương II “Đường trịn” chương trình Hình E học Là tập nhằm củng cố lại định nghĩa đường trịn mối liên hệ đường kính dây đường tròn, nên để giải tập ta cần C B rõ cho học sinh phương pháp Cụ thể: a) Để chứng minh điểm B, E, C, D thuộc đường trịn ta có thể: - Chỉ điểm cách điểm B, E, C, D (đó trung điểm I đoạn BC) - Chỉ có đường trịn qua điểm B, E, C, D đường trịn đường kính BC b) Từ kết chứng minh câu a) => ED BC hai dây đường trịn BC đường kính đường trịn => ED < BC (Định lí liên hệ dây đường kính) Từ ta có cách giải toán sau: A Giải: D a) Cách 1: E Gọi I trung điểm đoạn BC ∆ BEC vuông E (gt) => trung tuyến EI = IB = IC = BC ∆ BDC vuông D (gt) => trung tuyến DI = IB = IC = B I C BC Do IE = ID = IB = IC => điểm B, C, D, E thuộc đường trịn, đường trịn tâm I, bán kính BC Cách 2: BEC  900 => E  đường trịn đường kính BC BDC  900 => D  đường trịn đường kính BC Do E, D thuộc đường trịn đường kính BC => điểm B, E, D, C thuộc đường trịn đường kính BC b Trong đường trịn đường kính BC: ED dây, BC đường kính => ED < BC (liên hệ dây đường kính đường trịn) * Nhận xét 1: - Kết toán với tam giác ABC - Nếu tập đưa sau “Tứ giác nội tiếp” Chương III, Hình học 9, ta phát biểu kết câu a) hình thức khác: Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp dấu hiệu sử dụng hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại hai góc tứ giác có đỉnh nằm đường trịn Từ tốn ta khai thác thành số toán nhằm củng cố kiến thức góc với đường trịn phát triển tư cho học sinh Cụ thể: Đối với học sinh trung bình cho học sinh nêu kết tương tự - Nếu gọi H giao điểm BD CE => H trực tâm tam giác ABC AH  BC K A Chứng minh tương tự ta có kết sau: D a Bốn điểm: E H C, K, E, A thuộc đường trịn đường kính AC; A, D, K, B thuộc đường trịn đường kính AB; B K C A, E, H, D thuộc đường trịn đường kính AH; C, D, H, K thuộc đường trịn đường kính CH; B, K, H, E thuộc đường trịn đường kính BH b DK < AB; EK < AC Ta chứng minh ED < AH; EK < BH; DK < HC Đối với học sinh giỏi yêu cầu học sinh tiếp tục khai thác kết cách sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp để có kết khác tốn, qua câu hỏi gợi ý như: KH có phân giác góc EKD khơng? Vì sao? Kết tương tự gì? Từ đó, có nhận xét vị trí đặc biệt điểm H tam giác EKD? - Trong trường hợp tam giác ABC nhọn => H nằm tam giác ABC Nối EK, KD Từ kết chứng minh suy tứ giác BEHK EBH  EKH CKHD tứ giác nội tiếp =>  DCH  DKH ABD  EKH hay  ACE  DKH Mà ABD  ACE (cùng phụ góc ABC) => EKH  DKH => KH phân giác góc EKD Chứng minh tương tự ta có : DH phân giác góc EDK ; EH phân giác góc DEK => H giao điểm ba đường phân giác tam giác EDK => H tâm đường tròn nội tiếp tam giác EDK Mặt khác, ta thấy EH hay EC phân giác góc KED mà AE  EC => EA phân giác góc ngồi E tam giác EKD Ta lại có KA phân giác góc EKD => A tâm đường trịn bàng tiếp góc K tam giác EKD Tương tự => B; C tâm đường tròn bàng tiếp góc D; góc E tam giác EKD Từ ta có tốn sau củng cố kiến thức tứ giác nội tiếp, khái niệm tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn bàng tiếp tam giác Bài toán 1.1 : Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AK, BD, CE đồng quy H Chứng minh: a) KH phân giác góc DKE Nêu kết tương tự b) H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DKE c) A; B; C tâm đường tròn bàng tiếp tam giác DKE * Nhận xét 2: - Nếu gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Qua A vẽ tiếp tuyến Ax với (O) Ta nhận thấy Ax //ED vì: Trong (O): BAx=BCA (cùng sđ cung AB) A x D Mặt khác tứ giác BEDC nội tiếp E ( toán 1) H => BCA  AED (cùng bù góc DEB) Do BAx  AED mà hai góc B O C K vị trí so le => Ax // ED Ta lại có Ax  OA (gt) => OA  ED Tương tự ta có: OB  EK; OC  DK Như cách sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp mối liên hệ góc đường trịn ta giải tốn sau: Bài toán 1.2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AK; BD; CE tam giác ABC Chứng minh OA  ED; OB  EK; OC  DK * Nhận xét 3: - Gọi A’; B’; C’ giao điểm AK, BD, CE với (O) Ta có: A1  C (cùng phụ góc ABC) A1  C1 (cùng A sđ B' cung BA’ - góc nội tiếp) => C1  C2 => CK phân giác D C' O H góc HCA’ mà CK  HA’ (gt) => tam giác CA’H cân C E B K => K trung điểm HA’ Do BC đường trung trực C A' đoạn thẳng HA’ => H A’ đối xứng qua BC Chứng minh tương tự ta có: H B’ đối xứng qua AC; H C’ đối xứng qua AB Mặt khác tứ kết chứng minh => HBC  A ' BC => bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC A’BC mà tam giác A’BC nội tiếp đường tròn (O;R) => tam giác HBC nội tiếp đường trịn có bán kính R Tương tự: tam giác HBA; HAC có bán kính đường trịn ngoại tiếp R Từ ta có tốn khai thác tính chất trực tâm H tam giác ABC Bài toán 1.3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R), đường cao AK; BD; CE đồng quy H Gọi A’; B’; C’ giao điểm AK; BD; CE với đường tròn (O) Chứng minh: a) A’; B’; C’ đối xứng với H qua BC, CA, AB b) Các tam giác HBC; HCA; HAB có bán kính đường trịn ngoại tiếp * Nhận xét 4: - Có thể phát biểu câu b) toán cách khác sau: chứng minh tam giác HBC; HCA; HAB; ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp Cách phát biểu giúp ta định hướng cách giải dễ so với cách phát biểu toán 1.3 - Từ kết tốn 1.3, đặt vấn đề nêu toán đảo toán Nếu gọi A’; B’; C’ điểm đối xứng với H qua BC; CA; AB điểm A; B; C; A’; B’; C’ có thuộc đường trịn khơng? Ta xét toán đảo toán 1.3 Bài toán 1.4: Cho tam giác nhọn ABC; đường cao AK, BD, CE đồng quy H Gọi A’; B’; C’ điểm đối xứng với H qua BC, CA, AB Chứng minh: a) Sáu điểm A; B; C; A’; B’; C’ thuộc đường tròn b) Các tam giác HBC; HCA; HAB nội tiếp đường tròn A B' D C' E H B K C A' Hướng dẫn giải: a) A’ đối xứng với H qua BC => C1  C2 mà A1  C2 (cùng phụ góc ABC) => A1  C2 => tứ giác ABA’C nội tiếp => điểm A, B, C, A’ thuộc đường tròn => A’ thuộc đường tròn (ABC) Chứng minh tương tự ta có B’, C’ thuộc đường trịn (ABC) Vậy điểm A, B, C, A’, B’, C’ thuộc đường tròn b) Chứng minh tương tự toán 1.3 * Nhận xét 5: - Ta nhận thấy rằng: kết tam giác ABC nhọn Nếu tam giác ABC tam giác tù (tại A chẳng hạn) A tâm đường trịn nội tiếp tam giác DKE; H tâm đường trịn bàng tiếp góc K tam giác DKE - Sử dụng mối liên hệ đường kính dây đường trịn ta hướng dẫn học sinh khai thác tiếp kết toán sau: Kẻ OF vng góc với AC; ON vng góc với BC A (F thuộc AC; N thuộc BC ) D => F; N trung điểm AC; BC F => FN đường trung bình tam H NF giác ABC => NF // AB  AB Mặt khác: B K O N C OF // BH (cùng vng góc với AC) ON // AH (cùng vng góc với BC) => tam giác ONF HAB đồng dạng => ON NF   => AH = ON AH AB Vậy tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có cạnh BC cố định ON khơng đổi => AH không đổi A di chuyển đường trịn (O) Ta có tốn yếu tố khơng đổi: Bài toán 1.5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O); BC cố định Chứng minh A di chuyển cung lớn BC khoảng cách từ điểm A đến trực tâm H tam giác ABC không đổi * Nhận xét 6: - Từ toán ta chứng minh tam giác ADH tam giác BDC đồng dạng (g.g) => AH AD   cot gA  AH  BC.cot gA không đổi BC BD B; C cố định A chạy cung lớn BC đường trịn (O) => cách giải khác cho tốn 1.5 Với cách giải ta củng cố lại kiến thức tỉ số lượng giác góc nhọn cho học sinh - Từ kết chứng minh tốn 1.5: AH có độ dài khơng đổi điểm A chạy cung lớn BC đường tròn (O); ta đặt câu hỏi là: Vậy điểm H chạy đường điểm A chạy cung lớn BC đường tròn (O)? Nếu gọi I điểm đối xứng với điểm O qua N A => điểm I cố định OI = 2.ON mà AH = 2.ON (cmt) => OI = AH D Mặt khác OI // AH (cùng vng góc với BC) H => tứ giác AHIO hình bình hành => IH = OA = R khơng đổi (R bán kính đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC) => H thuộc đường tròn (I; R) cố định B K O N C I Ta giải toán quỹ tích sau: 10 Bài tốn 1.6: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R); BC cố định Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác ABC A chạy cung lớn BC đường trịn (O) * Nhận xét 7: - Có thể phát biểu tốn 1.6 hình thức khác sau: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R); BC cố định Chứng minh trực tâm H tam giác ABC thuộc đường tròn cố định A chạy cung lón BC đường trịn (O) - Từ kết chứng minh toán 1.5: AH = 2.ON => gọi Q giao điểm A AO HN ta chúng minh D AQ = 2.AO HQ = 2.HN => Q thuộc (O; R) N trung điểm H O HQ Do đó, ta có tứ giác BHCQ hình bình hành Như vậy, ta phát biểu B K thành toán sau: C N Q Bài toán 1.7: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ( O; R) ; trực tâm H Gọi N trung điểm BC; Q giao điểm AO HN Chứng minh rằng: a) Điểm Q thuộc ( O ) b) Tứ giác BHCQ hình bình hành Bài tốn 1.7.1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R); trực tâm H Gọi Q giao điểm AO với (O); N trung điểm BC Chứng minh H; N; Q thẳng hàng Bài toán 1.7.2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R); trực tâm H; cạnh BC cố định kẻ đường kính AQ (O) Chứng minh A di động cung lớn BC 11 (O) HQ ln qua điểm cố định Bài toán 1.7.3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R), trực tâm H; cạnh BC cố định Gọi N trung điểm BC; Q giao điểm HN với (O) Chứng minh đường thẳng AQ qua điểm cố định * Nhận xét 8: - Rõ ràng với nội dung cách phát biểu khác cho ta tốn có độ khó khác nhau, dạng khác Bài tập 1.7 tập dành cho đối tượng học sinh cách phát biểu dễ hiểu rõ ràng tập 1.7.1; 1.7.2; 1.7.3 nên dành cho đối tượng học sinh giỏi Từ rèn luyện cho học sinh kỹ phát triển ngôn ngữ, biết cách lật ngược vấn đề để tạo toán mới; biết cách diễn đạt vấn đề nhiều hình thức khác nhau, hình thành thói quen xem xét biết cách chuyển tốn tốn quen thuộc dễ tìm cách giải hơn, từ suy cách giải toán theo yêu cầu - Ta tiếp tục khai thác tính chất khác trực tâm H Gọi giao điểm HO trung tuyến AN tam giác ABC G Ta chứng minh tam giác AHG NOG đồng dạng (g.g) => AH AG HG mà AH = 2.ON (cmt)   NO NG GO A => HG = 2.OG AG = 2.NG D Từ AG = 2.NG => G trọng tâm tam giác ABC Từ ta nêu H G tốn sau: B Bài toán 1.8: K O N C Chứng minh tam giác, trọng tâm, trực tâm tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác nằm đường thẳng (gọi đường thẳng Ơle tam giác đó) 12 * Nhận xét 9: - Nếu gọi M giao điểm ON với (O) => M điểm cung BC => OM // AK (cùng vng góc với BC) => OMA  KAM mà OMA  OAM (vì tam giác OAM cân O) => KAM  OAM => AM phân giác góc KAO Mặt khác ta có AM phân giác góc BAC Do BAK  OAC Nếu gọi S giao điểm AM BC; P giao điểm MN với (O) => MP đường kính (O) => MAP  90 mà PNS  90 P A => tứ giác PASN nội tiếp => P thuộc đường tròn ( ASN ) mà P thuộc (O) => P giao điểm thứ hai (O) O (ASN) Từ kết ta phát biểu B K S N C thành số tốn có độ khó khác sau: M Bài tốn 1.9: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O); phân giác AS góc BAC cắt (O) M Gọi N giao điểm OM BC Kẻ đường cao AK tam giác ABC a) Chứng minh: AM tia phân giác góc KAO b) Gọi P giao điểm thứ hai (O) (ASN) Chứng minh M; N; P thẳng hàng Bài toán 1.9.1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O); BC cố định Gọi M điểm cung BC không chứa điểm A, S giao điểm AM với BC; N giao điểm OM với BC Chứng minh A di chuyển cung lớn BC đường trịn ngoại tiếp tam giác ASN qua điểm cố định khác N 13 Bài toán 1.9.2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O) Gọi M điểm cung BC không chứa điểm A, S giao điểm AM với BC; N giao điểm OM với BC Gọi P giao điểm đường tròn (ASN) với MN Chứng minh P thuộc đường tròn (O) * Nhận xét 10: - Từ kết toán 1.1 ta chứng minh AED  BEK (cùng phụ với hai góc A góc DEH góc KEH ) N Do để có dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng D E M H ta gọi M điểm đối xứng với K qua AB ta chứng minh góc AED góc MEB nhau=> góc MED B K C có số đo 1800 => M, E, D thẳng hàng Tương tự gọi N điểm đối xứng với K qua AC => E, D, N thẳng hàng => điểm M, E, D, N thẳng hàng Ta có tốn 1.10: Bài tốn 1.10: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AK, BD, CE Gọi M, N điểm đối xứng với K qua AB, AC Chứng minh điểm M, E, D, N thẳng hàng * Nhận xét 11: - Từ kết toán 1.10 => MN = ME + ED + DN mà ME = EK, DN = DK (tính chất đối xứng trục) => MN = EK + ED + DK; tức độ dài đoạn MN chu vi tam giác DEK - Nếu D, E, K điểm cạnh CA, AB, BC M, E, D, N khơng thẳng hàng Khi độ dài đường gấp khúc MEDN = ME + ED + DN hay độ dài đường gấp khúc MEDN = EK + ED + DK => chu vi tam giác DEK 14 nhỏ M, E, D, N thẳng hàng Khi D, E, K chân đường cao tam giác ABC Ta có tốn cực trị hình học : A N E D M B C K Bài toán 1.11: Cho tam giác nhọn ABC; K, D, E điểm cạnh BC, CA, AB Chứng minh chu vi tam giác DEK nhỏ K, D, E chân đường cao tam giác ABC * Nhận xét 12: - Nếu gọi I, F hình chiếu B, C đường thẳngDE kết tốn thay đổi nào? Từ kết toán 1.1: A B, C tâm đường trịn bàng D E tiếp góc D, góc E tam giác EDK Theo tính chất tiếp tuyến F I cắt ta có: 2.ID = DE + KE + KD 2.EF = DE + KE + KD B K C => ID + EF = DE + KE + KD => ID + DF + DE = DE + KE + KD=> IF = KE + KD Bài toán 1.12: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AK, BD, CE Gọi I, F theo thứ tự hình chiếu B, C đường thẳng DE Chứng minh IF = KE + KD * Nhận xét 13: - Từ toán 1.6 ta thấy: A điểm cung BC lớn 15 S  N => AM đường kính đường tròn (O) AM  BC => AM.BN = AB.BM A AM.CN = AC.CM => AM.(BN + CN) = AB.BM+AC.CM Mà BM = CM nên ta có: AM.BC = AB.CM + AC.BM Vậy tứ giác ABMC nội tiếp O B C N AM  BC tích hai đường chéo tổng tích cạnh đối Có thể M đặt câu hỏi kết cịn khơng ABMC tứ giác nội tiếp được? Từ ta giới thiệu định lý Ptơlêmê: Bài tốn 1.13: Chứng minh tứ giác nội tiếp, tích hai đường chéo tổng tích cặp cạnh đối A * Nhận xét 14: - Từ nhận xét 13, tam giác ABC tam giác đều, ta chứng minh tam giác OBM, tam giác OCM O tam giác => MB = MC = MO = R, mà AM = 2R => MA = MB + MC B C M Ta chứng minh kết M không điểm cung BC khơng chứa điểm A Từ ta có tốn sau: Bài tốn 1.14: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm đường tròn (O) Chứng minh đoạn thẳng MA, MB, MC có đoạn tổng đoạn lại 16 * Nhận xét 15: - Từ tốn trên, ta giới thiệu cho HS số toán khác khai thác từ kết toán có nhằm củng cố nâng cao khả giải dạng toán khác tỉ số lượng giác, dựng hình… sau: Bài tốn 1.15: Cho tam giác ABC, trực tâm H Gọi O1; O ; O3 tâm đưòng tròn ngoại tiếp tam giác HBC, tam giác HCA, tam giác HAB Chứng minh tam giác ABC tam giác O1O2O3 Bài toán 1.16: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AK, BD, CE Chứng minh rằng: SKDE   (cos A  cos2 B  cos2C ) S ABC Bài toán 1.17: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn bán kính R ngoại tiếp đường trịn bán kính r Các đường cao AK, BD, CE tam giác ABC Chứng minh SDEK r  S ABC R Bài toán 1.18: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn bán kính R ngoại tiếp đường trịn bán kính r Chứng minh r   (cos A  cos B  cos 2C ) R Bài toán 1.19: Dựng tam giác ABC biết trực tâm H điểm A’, B’, C’ điểm đối xứng với H qua BC, CA, AB 17 PHẦN III: KẾT LUẬN Như vậy, từ toán gốc đơn giản, cách vận dụng khai thác triệt để kết chứng minh số phép đối xứng trục, đối xứng tâm, đặc biệt hố, tổng qt hố ta phát biểu chứng minh số toán mới, nhằm củng cố hệ thống lại kiến thức, dạng tập cách giải tập Chương II, Chương III hình học 9; dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp góc liên quan đến đường trịn Để vận dụng có hiệu định phát triển tư học sinh, giáo viên cần biết hướng dẫn học sinh phân tích tốn, tìm phát biểu kết tương đương, thay đổi hình thức phát biểu toán, nêu toán tổng quát, kết toán đặc biệt Trên số suy nghĩ việc làm thực q trình giảng dạy Tơi nhận thấy tốn, dạng tốn giới thiệu có hệ thống, có liên hệ chặt chẽ với việc tiếp thu em có hiệu Việc khai thác toán giúp em phát triển lực tư duy, phát triển ngôn ngữ, hướng em đến độc lập tư duy, sáng tạo có khả tự học; tạo thói quen phân tích toán để định hướng phương pháp giải cách quy “lạ” “quen”; khai thác triệt để kết toán giải để tạo tốn Tơi nghĩ điều người giáo viên cần quan tâm, tìm tịi tích luỹ để chất lượng dạy học ngày nâng cao Hệ thống tập khai thác đề tài phù hợp với việc dạy ôn tập chương III hình học dạy ơn tập cuối năm, phụ đạo học sinh đại trà bồi dưỡng học sinh giỏi Rất mong quan tâm góp ý người đọc Tơi xin chân thành cám ơn Vinh, ngày 04 tháng năm 2011 18 ... việc hướng dẫn học sinh cách tự học cách khai thác tốn có hiệu quả, rút số kinh nghiệm để củng cố phát triển tư cho học sinh Trong đề tài tơi xin trình bày việc ? ?Hướng dẫn học sinh khai thác có hiệu. .. tạo người Việc khai thác hiệu toán cách bồi dưỡng cho học sinh lực Ngồi ra, việc khai thác có hiệu tốn cịn đem lại cho học sinh học thú vị, lòng say mê hứng thú mơn học, tâm lý học sinh nói chung... O ; O3 tâm đưòng tròn ngoại tiếp tam giác HBC, tam giác HCA, tam giác HAB Chứng minh tam giác ABC tam giác O1O2O3 Bài toán 1.16: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AK, BD, CE Chứng minh rằng: SKDE