Đang tải... (xem toàn văn)
Mục tiêu của đề tài là hướng dẫn các em “khai thác phát triển” thành những bài toán hay hơn khó hơn…Làm như vậy sẽ góp phần quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh, kích thích sự tìm tòi sáng tạo phát huy được trí lực cho học sinh.
Đề tài: Hướng dẫn học sinh khai thác tập hình học sách giáo khoa tốn I Đặt vấn đề: Bắt đầu năm học 2005-2006 học sinh lớp toàn quốc học tập sách giáo khoa Trong q trình giảng dạy mơn hình học 9, thấy sách biên soạn công phu, xếp hệ thống kiến thức khoa học Hệ thống tập đa dạng, số lượng tập sách giáo khoa đủ với tất học sinh Đặc biệt, tập thử nghiệm đơn giản, nghiên cứu kĩ thấy chứa đựng nhiều điều thú vị Cụ thể hướng dẫn em “khai thác phát triển” thành toán hay khó hơn…Làm góp phần quan trọng việc nâng cao lực tư cho học sinh, kích thích tìm tịi sáng tạo phát huy trí lực cho học sinh II Nội dung Bài toán 1( Bài tập 11 trang 104 SGK - Tốn tập 1) Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính AB Gọi H K theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh rằng: CH = DK (*) D C M K H A (Gợi ý: kẻ OM vng góc với CD) O B Giải: Theo gt ta có: AH ⊥ CD BK ⊥ CD nên AH // BK suy AHKB hình thang Kẻ OM ⊥ CD M ⇒ MC = MD(1)(ĐL quan hệ vng góc đk dây) Xét hình thang AHKB có OA = OB = R; OM//AH//BK (cùng ⊥ CD) OM đường trung bình hình thang ⇒ MH = MK (2) Từ (1) (2) ta có CH = DK Đối với tập ta khai thác theo hướng sau: A Hướng thứ Để chứng minh CH = DK ta chứng minh hai đoạn thẳng CD HK có chung trung điểm (ở ta xét trường hợp CD HK thuộc đường thẳng trường hợp chúng không đường thẳng CH = DK đúng) - Với ý tưởng thử xây dựng số toán mà vận dụng cách giải tốn (*) để giải PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Bài 1:Cho đường trịn O đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính Qua C, D kẻ đường vng góc với CD cắt AB H K Chứng minh AH = BK C D I A H B O K Để chứng minh AH = BK ta cần chứng minh hai đoạn thẳng AB HK có chung trung điểm O Muốn ta làm xuất trung điểm I đoạn thẳng CD Lập luận để có O trung điểm hai đoạn thẳng HK AB ⇒ ĐPCM Từ tốn Phát biểu toán đảo sau: Bài 2: Bài toán đảo tốn Trên đường kính AB đường trịn tâm O ta lấy hai điểm H K cho AH = KB Qua H K vẽ hai đường thẳng song song với cắt đường tròn hai điểm C D (C, D thuộc nửa đường tròn tâm O) Chứng minh rằng: HC ⊥ CD, KD ⊥ CD Từ toán (*) dây cung CD cắt đường kính AB kết luận CH = DK có cịn khơng? Kết luận có tốn khó tốn (*) C H chút sau Bài 3: Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD cắt đường kính AB G Gọi H K hình chiếu A B CD Chứng minh CH = DK I G A B O F K D Hướng dẫn giải: Để chứng minh CH = DK ta c/m CD HK có chung trung điểm Qua O vẽ đường thẳng song song với AH BK cắt CD I, cắt AK F Lập luận để có OI đường trung trực đoạn CD FI đường trung bình tam giác AHK ⇒ I trung điểm HK ⇒ ĐPCM Cũng toán phát biểu dạng khác phức tạp sau: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Bài 4: Cho tứ giác ACBD nội tiếp đường trịn đường kính AB Chứng minh hình chiếu vng góc cạnh đối diện tứ giác đường chéo CD (cách giải hồn tồn tương tự tốn 3) Từ tốn ta thấy tam giác AGH nội tiếp đường trịn đường kính AG, tam giác BGK nội tiếp đường trịn đường kínhBG Nên từ tốn & ta có tốn tốn sau Bài 5: Gọi G điểm thuộc đoạn thẳng AB (G không trùng với A B) Lấy AB, AG BG làm đường kính , dựng đường trịn tâm O, O1, O2 Qua G vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) C, D; cắt (O1) H, cắt (O2) K Chứng minh CH = DK C H I O1 A O G O2 B F K D B Hướng thứ hai: Đề bài: ( Bài tập 11 trang 104 SGK - Toán tập 1) C H Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính AB Gọi H K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh rằng: CH = DK ( gợi ý: kẻ OM ⊥ CD) D M K A B O Bài 1: Thêm vào tập 11 câu b sau: Chứng minh H K bên (O) C Giải: (dùng phương pháp phản chứng) Giả sử chân đường vng góc hạ từ A đến đường thẳng CD H’, H’ điểm nằm điểm C D H' D M K H A B O Xét ∆ACH ' ta có: ˆ ˆ + BCD ˆ = 900 + BCD ˆ ⇒ ACH ˆ ' > 900 ACH ' = ACB Mà AHˆ ' C = 900 (theo giả sử) ⇒ Tổng góc ∆ACH ' lớn 1800 điều vơ lí.Vậy H’ phải nằm ngồi đường trịn (O) hay H nằm (O) Chứng minh tương tự điểm K PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com S ∆OMH * Nhận xét: Từ việc vẽ OM ⊥ CD ta có MH = MK ta dễ nhận thấy = S ∆OMA = S∆OMK = S ∆OMB suy S ∆HOK = S ∆AMB suy HK.OM = AB.MM’ (với MM” ⊥ AB M’) Vẽ thêm CC’⊥AB, DD’⊥AB (C’, D’ ∈ AB) Ta có CC '+ DD ' = MM ' (MM’ đường trung bình hình thang CDD’C’) ⇒ HK OM = AB D M K C H CC '+ DD ' = AB(CC '+ DD ') = S ∆ACB + S∆ADB 2 A B C' M' O D' Mặt khác HK.OM = SAHKB (Vì OM đường trung bình hình thang AHBK nên OM = AH + KB ) Từ ta có S AHKB = S∆ACB + S∆ADB Bài 2: Qua nhận xét ta thêm vào 11 câu c: CMR SAHKB = S∆ACB + S∆ADB Bài 3: Từ nhận xét ta lại có tốn quỹ tích: a Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng CD C (hoặc D) chạy đường trịn (O) K D b Tìm quỹ tích điểm H K C (hoặc D) chạy đường trịn tâm O đường kính AB C I H B A C' O D' K Bài 4: Đặc biệt CD dây cung mà CD trở thành tiếp tuyến (O) hình bên ta có S ∆AMB = S ∆HOK HK.OM = AB.MM' (lúc M thuộc nửa đường tròn (O)) nên AB = 2.OM M H A B M' PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com O Do ta có HK.OM = 2.OM.MM' ⇒ MM ' = HK Dựa vào điều kiện điểm thuộc đường tròn ta có M' ∈ (M ; (M ; HK ) ⇒ HK ) tiếp xúc với AB M' Bài 5: Từ ta có Cho đường trịn (O) đường kính AB, M điểm nửa đường trịn (M ≠ A B) Qua M vẽ tiếp tuyến xy, H K chân đường vng góc hạ từ A, B xuống xy Chứng minh : đường tròn (M) đường kính HK tiếp xúc với AB x H M K y A B O (Xác định vị trí tương đối (M) với đường thẳng AB M chạy (O)) Bài 6: Cho đoạn thẳng HK, qua H, K vẽ đường thẳng d d’ vng góc với HK Một góc vng với đỉnh trung điểm M HK có cạnh cắt d A, cạnh cắt d’ B Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính HK d d' C Giải: M H Vẽ MD ⊥ AB (1) ( D ∈ AB) Gọi C = AM ∩ d ' Ta có ∆AMH = ∆CMK (g-c-g) ⇒ MA = MC ⇒ ∆ABC có BM vừa đường cao, vừa trung tuyến nên ∆ABC cân B · · phân giác ⇒ BM ABC ⇒ · ABM = CBM ⇒ ∆MDB = ∆MKB (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ MD = MK mà MH = MK = HK/2 (2) K A D B Từ (1) & (2) suy AB tiếp tuyến đường trịn đường kính HK Bài 7: Cho tứ giác AHKB có đường trịn đường kính AB tiếp xúc với đường thẳng HK Chứng minh đường trịn đường kính HK tiếp xúc với đường thẳng AB AH// BK Giải: Gọi O O' trung điểm AB HK C O' H K b a A D O B PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Vẽ O'D ⊥ AB, nối OO' ta có OO' ⊥ HK (OO' đường trung bình hình thang HABK) Đặt OO' = a; O'D = b ⇒ S ∆OO ' A = S ∆OO ' H = S∆OO ' B = S∆OO ' K Mà S ∆OO ' A = S ∆OO ' H = OA.O ' D = S ∆OO ' B = S ∆OO ' K AB.b AB HK a HK HK AB = O ' K OO ' = = = 4 (Vì OO' = a = OA = OB = AB/2) Như BK//AH ⇔ AB.b HK AB HK HK = ⇔b= ⇔ O'D = 2 ⇔ O'D = O'H = O'K ⇒ D ∈ (O') đường kính HK ⇔ Đường trịn đường kính HK tiếp xúc với AB D Bài toán 2: ( Bài 30- trang 116 SGK- toán 9, tập 1) Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn, cắt Ax By theo thứ tự C D Chứng minh rằng: a COˆ D = 90 b CD = AC + BD c Tích AC.BD khơng đổi điểm M di chuyển nửa đường tròn Giải: a Theo gt: CA, CM tiếp tuyến (O) ⇒ CO phân giác ACˆ M ⇒ CO phân (1) giác · AOM hay Oˆ = Oˆ (tính chất tiếp tuyến) D Tương tự DB, DM tiếp tuyến (O) ⇒ Oˆ = Oˆ (2) M C Từ (1) (2) ⇒ Oˆ + Oˆ = Oˆ1 + Oˆ Oˆ1 + Oˆ + Oˆ + Oˆ = 180 y x (3) mà (4) A Từ (1), (2), (3) (4) ⇒ Oˆ + Oˆ = 90 hay COˆ D = 90 b Theo t/c tiếp tuyến ta có CA = CM DB = DM (5) mà CD = CM + DM ⇒ CD = CA + BD hay CD = AC + BD PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com O B c Theo c/m câu a ∆COD vng O mặt khác OM ⊥ CD (t/c tiếp tuyến) ⇒ OM = CM.DM (Hệ thức lượng tam giác vuông) (6) Từ (5) (6) ⇒ OM2 = AC.BD mà OM = R (bán kính đường trịn) ⇒ AC.BD khơng đổi M di chuyển nửa đường trịn * Tơi khai thác toán sau: Gọi N giao điểm BC AD CMR MN//AC (MN//BD) y x C/M: Ta có AC//BD (gt) Xét ∆ANC có AC//BD ⇒ (7) D ND NB DB = = NA NC AC M (theo định lí ta lét) CA, CM tiếp tuyến nửa (O) nên CM = CA (8) tương tự ta có DB = DM (9) ND MD = Từ (7), (8) (9) ⇒ ⇒ MN//AC NA MC (theo định lí ta lét đảo) C N A B O ⇒ MN//BD (AC//BD) * Sau c/m MN//AC ta có thêm yêu cầu học sinh trung bình c/m CD.MN = CM.DB c/m Theo c/m MN//AC ⇒ ∆CNM ~ ∆CBD ⇒ CD DB = ⇒ đpcm CM MN * Cũng dạng tốn ta chế biến tí ta tốn sau: Cho ∆ABC vng A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH Từ B C kẻ tiếp tuyến với đường tròn (A) D, E Chứng minh rằng: a D, A, E thẳng hàng b BD.CE = AH2 (không đổi) E c DE tiếp tuyến đường trịn đường kính BC A C/M: a Theo gt ta có: Aˆ1 = Aˆ (T/c tiếp tuyến) D Aˆ = Aˆ (T/c tiếp tuyến) ⇒ Aˆ1 + Aˆ = Aˆ + Aˆ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com C B H I Mà Aˆ = Aˆ + Aˆ = 90 ⇒ Aˆ1 + Aˆ = Aˆ + Aˆ = 90 ⇒ Aˆ1 + Aˆ + Aˆ + Aˆ = 180 hay điểm D, A E thẳng hàng b Theo gt ∆ABC có Aˆ = 90 áp dụng hệ thức lượng tam gác vuông ta có AH2 = BH.CH Mà BH = BD (t/c tiếp tuyến) CH = CE (t/c tiếp tuyến) ⇒ AH = BD.CE c Lấy điểm I cạnh BC cho IB = IC Theo gt BAˆ C = 90 ⇒ A, B, C thuộc đường tròn đường kính BC (hay (I, BC/2)) Để chứng minh DE tiếp tuyến đường trịn đường kính BC ta c/m DE ⊥ IA A Thật vậy, theo gt BD ⊥ DE CE ⊥ DE ⇒ BDEC hình thang vng ⇒ IA đường trung bình hình thang vuông BDEC ⇒ IA//BD//CE Mà BD ⊥ DE ⇒ AI ⊥ DE Vậy DE tiếp tuyến đường trịn đường kính BC Cũng từ tốn ta có tốn hay khó Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB l Qua A, B kẻ Ax By vng góc với AB Lấy điểm C nằm nửa đường tròn, qua C kẻ tiếp tuyến với (O) cắt Ax, By D E Kẻ CH ⊥ AB, gọi M giao điểm CH AE CM a D; M; B thẳng hàng b M trung điểm CH c Gọi P giao điểm OE với nửa đường trịn đường kính AB Tìm vị trí điểm C nửa đường tròn để chu vi tứ giác ADEB nhỏ d Gọi giao điểm OE BC K, tia đối tia OE lấy điểm Q cho OQ = OP Chứng minh QK.PE = KP.QE Giải: a Theo gt ta có: Ax ⊥ AB By ⊥ AB PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CM ⊥ AB ⇒ Ax//CM//By nên ta có: ME CE = (1) MA CD Mà CE = EB, CD = AD (t/c tiếp tuyến) ⇒ y x ME EB = (2) MA AD E Mặt khác Aˆ = AEˆ B (so le trong) (3) Từ (2) (3) suy ∆ADM ~ ∆EBM ⇒ DMˆ A = BMˆ E C D P M K Mà A, M, E thẳng hàng ⇒ D, M, B thẳng hàng B A b Theo gt: CH ⊥ AB H O M ∈ CH By ⊥ AB E ∈ By Q ⇒ CH//BE Xét ∆EDB có CM//BE ⇒ CM CD = (định lí Ta lét) BE DE (4) Xét ∆EAB có MH//BE ⇒ MH AM = (định lí Ta lét) BE AE (5) Xét ∆DEA có CM//AD ⇒ DC AM = (định lí Ta lét) DE AE (6) Từ (4), (5) (6) suy CM MH = ⇒ CM = MH hay M trung điểm CH BE BE c ta có chu vi tứ giác ADEB là: P = AD + DE + EB + AB mà AD = DC (t/c tiếp tuyến) EB = CE (t/c tiếp tuyến) ⇒ P = 2DE + AB Mặt khác ED ≥ AB AB khoảng cách Ax By nên P nhỏ DE nhỏ nhất, tức DE = AB Khi P = 3AB = 3l ⇒ DE//AB ⇒ DE ⊥ CH ⇒ CH bán kính đường trịn ⇒ C điểm cung AB d Nối C với P Q ta thấy EQ ⊥ BC BP = PC ⇒ CP phân giác góc đỉnh C ∆KCE ⇒ CK KP = (7) mặt khác OP = OQ (gt) CE PE PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ⇒ Q nằm đường tròn (O; OA) ⇒ PCˆ Q = 90 (góc chắn nửa đường trịn) ⇒ CQ phân giác góc ngồi đỉnh C ∆KCE Từ (7) (8) ⇒ CK QK = (8) CE QE KP QK = hay KP.QE = PE.QK (đpcm) PE QE III Kết luận Qua việc tìm hiểu tốn cần vận dụng linh hoạt, sáng tạo kết toán, vận dụng triệt để hình vẽ tập để chuyển tiếp sang khác khai thác phát triển để tốn hay hơn, khó Nếu làm tốt điều giúp em hiểu sâu sắc kiến thức học, góp phần phát triển tư sáng tạo tiếp thu tốt kiến thức mới, phát huy trí lực học sinh Các tốn chắn cịn có nhiều hướng khai thác khác, mong bạn đồng nghiệp tiếp tục phát triển xem Trên kinh nghiệm thân tơi q trình gảng dạy Có thiếu sót mong góp ý quý thầy cô Tôi xin chân thành cảm ơn PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ... cắt (O1) H, cắt (O2) K Chứng minh CH = DK C H I O1 A O G O2 B F K D B Hướng thứ hai: Đề bài: ( Bài tập 11 trang 104 SGK - Toán tập 1) C H Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD khơng cắt đường... O'K ⇒ D ∈ (O') đường kính HK ⇔ Đường trịn đường kính HK tiếp xúc với AB D Bài toán 2: ( Bài 30- trang 116 SGK- toán 9, tập 1) Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB... linh hoạt, sáng tạo kết toán, vận dụng triệt để hình vẽ tập để chuyển tiếp sang khác khai thác phát triển để tốn hay hơn, khó Nếu làm tốt điều giúp em hiểu sâu sắc kiến thức học, góp phần phát triển