Hình thành phương pháp giải từ việc khai thác một bài tập trong sách hình học lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG PTTH HÀ TRUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI HÌNH THÀNH PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỪ VIỆC KHAI THÁC MỘT BÀI TẬP TRONG SÁCH HÌNH HỌC LỚP 12 Người thực hiện: Lý Văn Đáng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2018 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài……………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………….…… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….…… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… …….4 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ………………… …4 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề……… ……………………………………… … 2.3 Các giải pháp thực hiện……… ………………………………… … 2.4 Hiệu sáng kiến………… ……………………………… 17 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ….………………… ……….…………… 18 3.1 Kết luận……………………………………………………………… 18 3.2 Kiến nghị…………………………………………………………… 18 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn THPT phần hình học khơng gian nói chung phần hình học khơng gian lớp 12 nói riêng ,là phần học khó hầu hết em học sinh.Ngun nhân có nhiều ,nhưng qua năm trực tiếp giảng dạy nhận thấy khó mơn học : để giải tốn hình học khơng gian u cầu học sinh phải có hệ thống kiến thức lơ gíc, cách suy luận, tư trìu tượng, kỹ vẽ hình ,kỹ tính tốn thành thạo mà lại điểm yếu đa số học sinh Hơn số năm gần GD&ĐT đưa cách thi trắc nghiệm khách quan mơn tốn nên áp lực thời gian để giải tốn tăng lên Vì vấn đề đặt là: làm để giúp em giải toán mạch lạc nhanh Trước tình hình q trình giảng dạy phần thể tích khối đa diện tơi nhận thấy SGK lớp 12 có tập mà qua khai thác hình thành phương pháp giải toán liên quan tới thể tích Nhằm giúp học sinh có hứng thú q trình học hình học khơng gian ,cũng giúp em đạt kết tốt trình học tập, thi cử góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mạnh dạn viết đề tài “Hình thành phương pháp giải từ việc khai thác tập sách hình học lớp 12” 1.2 Mục đích nghiên cứu Đưa phương pháp giải tốn thơng qua tập từ đề giải pháp, xây dựng hoạt động hoạt động thành phần giúp học sinh nắm lý thuyết, giúp học sinh củng cố kiến thức, hình thành kĩ giải tốn, phát triển tư sáng tạo Đồng thời thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh thực nội dung học sinh lớp 12 - Đối tượng nghiên cứu: hình thành phương pháp giải toán từ việc khai thác tập sách giáo khoa, dạng tốn áp dụng được, sai lầm học sinh áp dụng cách khắc phục 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu phương pháp dạy học toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng trường trung học phổ thông, mạng internet, - Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt học học sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán qua kiểm tra - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm tổ môn, tham dự buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp - Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm lớp 12C, 12D trường THPT Hà Trung năm học 2017 -2018 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận - Các tính chất thể tích khối đa diện[1] +Hai khối đa diện tích +Nếu khối đa diện chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thể tích tổng thể tích khối đa diện nhỏ +Khối lập phương có cạch tích - Bài tốn :[1] Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ khác điểm S gọi V V / thể tích khối chóp S.ABC S A/ B / C / chứng minh : Giải: V SA ' SB ' SC ' = / V SA SB SC (1) Gọi H H’ hình chiếu vng góc A A’ lên (SBC) Ta có AH//A’H’ Ba điểm S, H, H’ thuộc hai mp (AA’H’H) (SBC) nên chúng thẳng hàng Xét ∆ SAH ta có Do SA ' A ' H ' = (a) SA AH A ' H '.S ∆SB ' C ' VS A ' B ' C ' = = VS ABC AH S ∆SBC · ' SC ' A ' H ' SB '.SC '.sin B = (b) · AH SB.SC.sin BSC Từ (a) (b) ta điều phải chứng minh Lưu ý :Trong công thức (1), cho B’ ≡ B C’ ≡ C ta VS A ' B ' C ' SA ' = VS ABC SA (2) Ta lại có VS ABC = VS A ' BC + VA ' ABC ⇒ VS ABC = ⇒ SA ' VS ABC + VA ' ABC SA VA ' ABC SA ' A ' A V A' A = 1− = ⇒ A ' ABC = VS ABC SA SA VS ABC SA (3) Tổng quát ta có tốn sau đây: Bài tốn 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy đa giác lồi A1A2…An ( n ≥ 3) , đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ khơng trùng với A1 Khi ta có VA1 ' A1 A2 An VS A1 A2 An = A1 ' A1 SA1 (4) Chứng minh (4) phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp S.A1A2… An thành khối chóp tam giác áp dụng công thức (2) 2.2 Thực trạng vấn đề Trong thực tế giảng dạy,khi gặp tốn liên quan tới tính thể tích khối đa diện, học sinh gặp nhiều khó khăn việc xác định đường cao đa diện Nếu làm theo cách thông thường thời gian khơng giải áp lực thời gian làm toán trắc nghiệm Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy có nhiều tốn giải nhanh gọn áp dụng cơng thức Vì viết đề tài nhằm giúp em giải khó khăn góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy 2.3 Các giải pháp thực Trong trình giảng dạy để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tơi thực số giải pháp sau: - Cung cấp cho em hệ thống lý thuyết đầy đủ chặt chẽ thơng qua tốn - Phân dạng tập, đưa dấu hiệu nhận biết tập áp dụng phương pháp khơng - Đưa tập có tính hệ thống tăng dần độ khó từ mức độ nhận biết, thông hiểu lên vận dụng Giúp cho em làm quen dần với dạng tập Dần hình thành kỹ giải tốn tính xác linh hoạt q trình giải tốn - Tăng cường đổi việc kiểm tra, đánh giá Ra đề kiểm tra với mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ tiếp thu, kiểm tra lực học sinh có kế hoạch điều chỉnh 2.3.1 Sau số ví dụ: Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Mặt phẳng qua A’B’ trọng tâm tam giác ABC, cắt AC BC E F Tính thể tích hình chóp C.A’B’FE.[3] Giải : Cách (Tính trực tiếp đường cao diện tích đáy) Gọi I, K trung điểm AB A’B’; J trọng tâm tam giác ABC Đường thẳng qua J song song với AB cắt AC BC E F Đường thẳng EF giao tuyến (JA’B’) với (ABC) Khi đó, EF ⊥ (CJK) nên ( A/ BEF) ⊥ (CJK ) d (C , ( A/ B / FE ) = d(C, KJ) Ta có: CI đường cao tam giác ABC nên CI = a a IJ = IJ từ suy : CI = a + a2 13 39 =a =a 12 12 12 Ta có S JKC = S IKC = a2 a2 = Do a2 2S 2a 2a 13 d (C , KJ ) = JKC = = = KJ 13 a 39 13 Lại có EF ⊥ (CIK ) ⇒ EF ⊥ KJ tứ giác A/ B/ EF hình thang có đường cao KJ nên ta có S A/ B / FE = 1 a 39  2a  5a 39 KJ ( FE + A/ B / ) = a +  ÷= 2   36 1 2a 13 5a 39 = d ( C , ( A/ B / FE ) ) S A/ B / FE = = 5a 3 13 36 54 Cách ( dùng công thức tỷ số thể tích ) Nhận xét : VC A B FE = VC EB A + VC FEB / VCEA/ B / Ta có : V CAB / A/ VCEFB / VCABB / = = / / / / CE CB / CA/ CE CJ = = = CA CB / CA/ CA CA CE CF CB / 2 = = ⇒ VCEA/ B/ VCAC / B / từ suy kết / CA CB CB 23 Nhận xét Việc giải tốn theo cách đòi hỏi học sinh phải có kiến thức quan hệ vng góc khơng gian tốt tốn nhiều thời gian Nhưng với cách cho ta lời giải gọn quan cho kết nhanh Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’[4] Giải Cách 1: Ta có ( AB / C / D / ) ⊥ SC BD ⊥ SC ⇒ ( AB / C / D / ) PBD mà ( AB / C / D / ) ∩ ( SBD) = B / D / ⇒ B / D / P BD B / D / SB / SB / SB SA2 4a = = = 2 = BD SB SB SB 5a 4a ⇒ B / D / = BD = 5 ⇒ Tam giác SAC vng góc A có đường cao  SC / SA = SA2   1 1 3a = + = + =   AC / SA2 AC 4a 2a AC / nên  / SA2 2a =  SC =  Sc ⇒  AC / = 2a  Ta có B / D / P BD ; BD ⊥ ( SAC ) ⇒ B / D / ⊥ ( SAC ) ⇒ B / D / ⊥ AC / ⇒ S AB / C / D / = B / D / AC / Vậy VS AB C D = S AB C D SC / = / / / / / / 16a 45 Cách : ( dùng công thức tỷ số thể tích ) Vì khối chóp S.ABCD có mf(SAC) chia khối chóp thành phần tích nên VS AB C D = 2VS AB C mà / VS AB / C / VS ABC = / / / / SA2 SA2 4a 4a = = SB SC 5a 6a 15 Từ suy VS AB C D = / / / 16a 45 Nhận xét : Bằng cách so sánh hai cánh giải ta thấy làm cách giúp ta giảm nửa khối lượng tính tốn điều kích thích sáng tạo học sinh giúp em tạo hứng thú học tập Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N P trung điểm cạnh SA, SB CD Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP.[3] Giải: Cách : Gọi Q trung điểm AB ta có PQ ⊥ AB nên PQ ⊥ MN.Do MN ⊥ (SPQ) nên (SAB) ⊥ (SMN) Trong (SPQ) kẻ PH vng góc với SQ Thì PH ⊥ (SAB) hay PH ⊥ (AMN) PH đường cao hình chóp AMNP Trong tam giác SPQ có SO PH hai đường cao nên SO.PH=PH.SQ ta có PQ=BC=a OQ = AQ = a tam giác SAQ vuông Q nên 2 a a SQ − OQ = ( a 2) −  ÷ ⇒ SQ = tam Giác 2 2 SOQ vuông O nên SO = SQ − OQ = a a 6a a − = ⇒ SQ = 4 a a SO.PQ a 42 = Vậy PH= SQ a *tính diện tích tam giác AMN: S SAB = 2.S N = 2.2 S AMN = 4S AMN ⇒ S AMN = 1 1a a2 S SAB = SQ AB = a= 4 16 Vậy VAMNP = PH S AMN = a3 48 Cách 2: ( sử dụng cơng thức tỷ số thể tích) Do MS=MA nên d(A,(MNP))=d(S,(MNP)) suy VA.MNP = VS MNP ta có VS MNP SM SN SP 1 111 a3 = = ⇒ VS MNP = S APB SO = AB.QP.SO = VS APB SA SB SP 4 432 48 Nhận xét: rõ ràng cách giải toán cách ngắn gọn đẹp Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi B’, D’ trung điểm SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tìm tỉ số thể tích hai hình chóp S.AB’C’D’ S.ABCD [2] Giải Giả sử AC cắt BD O B / D / cắt SO K B / ; D / trung điểm SB SD nên K trung điểm B / D / trung điểm SO (SAC) ta có AK cắt SC C / tam giác C / AC kẻ OH PCC / OA=OC suy OH = CC / ; KS = KO ⇒ OH = SC / SC / SC / = CC / ⇒ = ta có VS AB / C / D / = VS AB / D / + VS B / C / D / nên SC VS AB / D/ VS ABD = SA SB / SD / 1 VS ABCD VS ABCD = ⇒ VS AB / D / = VS ABD = = SA SB SD 4 Từ ta có VS AB / C / D/ VS ABCD = 1` Nhận xét : Nếu giải tốn cách tính trực tiếp thể tích phần sau tính tỷ số q dài đặc biệt tìm đường cao khối chóp S AB / C / D / khó ngồi ứng dụng để tính thể tích phương pháp áp dụng với tốn tính tỷ số thể tích phàn khối đa diện bị cắt mặt phẳng hiệu Ví dụ 5: Khối chóp S.ABCD có đáy hình bình hành; M trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AM song song với BD chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó.[3] Giải: gọi O giao điểm AC BD; I giao điểm SO AM (P) cắt (SBD) theo giao tuyến qua I song song với BD qua I kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB N cắt SD Q I trọng tâm tam giác SAC nên : SP SN SI = = = SD SP SO VS ANP SA SN SP 4 = ⇒ VS ANP = VS ABD VS ABD SA SB SD 9 (1) VS M NP SM SN SP = ⇒ S C BD SC SB SD tương tự ta có : V VS A= MNP = VS C BD (2) VS ABD = VS CBD nên từ (1) (2) ta suy V S AMNP = kết là: V ABCDMNP Nhận xét :với tốn việc tính thể tích khối cơng việc q khó đề khơng cho yếu tố đặc biệt mối liên hệ độ dài cạch tùy ý học sinh tự đặt độ dài cạch tốn trở nên phức tạp sử dụng cơng thức tỷ số thể tích với tốn tối ưu Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M điểm đối xứng với C qua D, N trung điểm SC, mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó.[3] Giải : gọi P giao điểm MN SDQ giao điểm BM AD P trọng tâm tam giác SCM Q trung điểm MB Ta có VMDPQ VMBCN = MP MD MQ = ⇒ VDPQCNB = VMBCN MN MC MB 6 D trung điểm MC nên d(M, (BCN))=2d(D,(BCN)) suy VMBCN = 2VDBCN = VDBCS = VS ABCD ⇒ VDPQCNB = VS ABCD 12 V ⇒ DPQCNB = VSABNPQ Nhận xét: qua cách giải ta thấy toán giải cách ngắn gọn cách bất ngờ điều giúp học sinh cách nhìn nhận, cách tiếp cận tốn nhiều góc độ khác Ví dụ Cho khối chóp tứ giác S.ABCD Một mặt phẳng (α ) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng đó.[3] Giải : Kẻ MN // CD (N ∈ SD) hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM) V SN 1 SAND = = ⇒ VSANB = VSADB = VSABCD +V SD 2 SADB VSBMN SM SN 1 1 = = = ⇒ VSBMN = VSBCD = VSABCD VSBCD SC SD 2 4 8 Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD Suy VABMN.ABCD = VSABCD V SABMN = Do : V ABMN ABCD Nhận xét:Thơng thường giải tốn học sinh thường tự đặt độ dài cạnh đáy cạnh bên đại lượng tiến hành tính tốn theo đại lượng đặt học sinh thường lúng túng tìm đường cao hình chóp S.ABMN Ví dụ 8: Cho hình vng ABCD có cạnh a Qua trung điểm I cạnh AB dựng đường thẳng (d) vng góc với mp(ABCD) Trên (d) lấy điểm S cho: SI = a Tìm khoảng cách từ C đến mp(SAD).[3] Giải Ta có: VS ABCD 3a = SI S ABCD = Áp dụng pitago ta có: DI = AI + AD = 5a , SA2 = SI + AI = a , SD = SI + DI = 2a SD = SA2 + DA2 ⇒ ∆SAD vuông A nên S ∆SAD = 1 AD.SA = a 2 Vậy khoảng cách cần tìm là: d ( C , ( SAD ) ) = 3VSACD 3VSABCD a = = S∆SAD 2S∆SAD Nhận xét: Cơng việc tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng việc làm khó học sinh cách giải giúp học sinh rút kết luận là:khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng độ dài đường cao hình chóp thích hợp kích thích sáng tạo học sinh +Ngồi cơng thức tỷ số thể tích vận dụng để giải nhanh tập trắc nghiệm mà dùng cách thơng thường tốn nhiều thời gian sau số ví dụ: Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi M,N trung điểm SA,SB Mặt phẳng MNCD chia hình chóp cho thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần S.MNCD MNABCD là[4] 3 A B V SM SN 1 C D 1 S.MNC = = = Ta có V SA SB 2 S.ABC VS.MCD SM = = VS.ACD SA Khi VS.MNC = VS.ABCD VS.MCD = VS.ABCD ⇒ VS.MNCD = VS.ABCD Vậy tỷ số VS.MNCD VS.MNCD  3 = = : 1 − ÷ = VMNABCD VS.ABCD − VS.MNCD   Chọn B Câu 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SC Mặt phẳng qua AI song song với BD chia hình chóp làm phần Tính tỷ số thể tính phần này[4] A.1 B C +Do K trọng tâm tam giác SAC nên: VS AMI SA SM SI 21 = =1 = VS ACD SA SN SC 32 V SA SI SN 12 S ANI = =1 = tương tự : V SA SC SB 23 S ABC V S AMIN = nên : VS AMIN = VS ABCD ⇒ V ABCDMIN chọn B D Câu 3: Cho tứ diện ABCD có M trung điểm AB, N điểm thuộc AC cho AN=2CN Trong số số ghi giá trị tỉ số thể tích khối tứ diện AMND phần lại khối tứ diện ABCD[4] A B V AD AM AN 12 C D AMND = =1 = +có V AD AB AC 23 ABCD ⇒ VMND = VABCD ;VBCDMN = VABCD 3 Chọn A Câu 4: Cho hình chóp S.ABC Trên SA, SB , SC lấy điểm M, N, Q cho SM=MA, NB=3SN, QC=4SQ tính VS MNQ biết VS ABC = 6a [4] A.2a B 2a C 3a 20 D 3a 40 + có VS MNQ VS ABC ⇒ VS MNQ = SM SN SQ 1 1 = = SA SB SC 40 1 3a 2 = VS ABC = 6a = 40 40 20 Chọn B 2.4 Hiệu sáng kiến Trong năm học 2017-2018 nhà trường phân cơng dạy mơn tốn hai lớp 12C 12D Sau hướng dẫn học sinh vận phương pháp số tập cụ thể tiến hành kiểm tra tiếp thu khả áp dụng học trò lớp kết sau Lớp 12C 12D Điểm yếu Số % 0 6,9 Điểm TB Số % 12,5 16,4 Điểm Số % 28 58,3 27 62,8 Điểm giỏi Số % 14 29,2 13.9 Với số học sinh lại em chưa nắm bắt hết đại đa số có thái độ học tập tốt tới kết thúc năm học em đạt kết tốt khả KẾT LUẬN Sau kết thúc chương trình lớp 11, đại đa số em than phiền mơn hình học khơng gian khó; đặc biệt chương quan hệ vng góc tốn thường u cầu tính tốn nhiều mà lại điểm yếu nhiều học sinh Khi em học sang lớp 12 phần thể tích khối đa diện u cầu tính tốn lại nâng lên đa số em ngại mơn học Khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy học sinh, nhận thấy em học sinh hứng thú với môn học, nhiều em cảm đặc biệt số em có học lực khá, cảm thấy bất ngờ mà số tốn tưởng chừng khơng thể giải lại giải cách đơn giản, dễ hiểu nhờ cơng cụ tỉ số thể tích Vì em có hứng thú học tập đặc biệt em khơng ác cảm với mơn hình học Do chất lượng học tập cải thiện cách rõ rệt Trên số ý kiến, thân mà rút trình dạy học 3.2 Kiến nghị - Nhà trường cần tạo điều kiện để có nhiều tủ sách lưu lại sáng kiến kinh nghiệm giáo viên xếp loại, chuyên đề tự học, tự bồi dưỡng giáo viên,các tài liệu khác để đồng nghiệp có tư liệu tham khảo - Bằng cách quan quản lý giáo dục tỉnh nên cho giáo viên tỉnh tiếp cận tài liệu đặc thù tập thể trường khác để giáo viên có điều kiện giao lưu kiến thức Mặc dù có nhiều cố gắng song khơng thể tránh khỏi sơ suất, thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học cấp bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây dựng, bổ sung cho kinh nghiệm đạt chất lượng tốt XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm 2018 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Lý Văn Đáng TÀI LIỆU THAM KHẢO: [1] Sách giáo khoa hình học 12; tác giả Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên) Văn Như Cương (chủ biên )-Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân XB Giáo Dục năm 2010 [2] Báo Toán học tuổi trẻ [3].Đề thi thử đại học cao đẳng qua năm trường nước [4] Nguồn khác: internet  ... tài Hình thành phương pháp giải từ việc khai thác tập sách hình học lớp 12 1.2 Mục đích nghiên cứu Đưa phương pháp giải tốn thơng qua tập từ đề giải pháp, xây dựng hoạt động hoạt động thành. .. nghiên cứu - Học sinh thực nội dung học sinh lớp 12 - Đối tượng nghiên cứu: hình thành phương pháp giải tốn từ việc khai thác tập sách giáo khoa, dạng tốn áp dụng được, sai lầm học sinh áp dụng... Trong năm học 2017-2018 tơi nhà trường phân cơng dạy mơn tốn hai lớp 12C 12D Sau hướng dẫn học sinh vận phương pháp số tập cụ thể tiến hành kiểm tra tiếp thu khả áp dụng học trò lớp kết sau Lớp