Lược đồ sai phân khác thường giải một số phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC HOÀNG MẠNH TUẤN LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TỐN - CƠ - TIN HỌC HỒNG MẠNH TUẤN LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Đặng Quang Á Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS TS Đặng Quang Á, người dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn tận tình bảo em suốt trình thực luận văn Em xin phép gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo thầy cô giáo, anh/chị cán trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung khoa Tốn - Cơ - Tin học nói riêng tạo điều kiện thuận lợi nhất, giúp đỡ em thời gian em học tập, nghiên cứu trường Em xin cảm ơn thầy, cô giáo, anh chị bạn chuyên nghành Tốn ứng dụng động viên ý kiến trao đổi quí báu thân em thời gian qua Lời cảm ơn sâu sắc đặc biệt xin gửi đến gia đình người thân điều tốt đẹp dành cho sống, học tập nghiên cứu khoa học Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian có hạn lực thân cịn nhiều hạn chế, thế, luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận góp ý quý thầy, cô bạn Hà Nội, ngày 16 tháng 01 năm 2015 Học viên Hoàng Mạnh Tuấn Mục lục LỜI CẢM ƠN Mở đầu Lược đồ sai phân khác thường 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Rời rạc hóa phương trình phân rã tuyến tính 17 1.3 Rời rạc hóa hệ động lực học 23 1.4 Lược đồ sai phân xác 33 1.5 Lược đồ sai phân khác thường 40 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân 2.1 44 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường dựa rời rạc hóa không địa phương 44 2.1.1 Mở đầu 45 2.1.2 Các lược đồ bảo tồn tính chất đơn điệu 46 2.1.3 Xây dựng vài lược đồ sai phân khác thường 49 2.1.4 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường xác cấp hai 2.2 2.3 53 Lược đồ sai phân khác thường cho phương trình vi phân có ba điểm bất động 57 2.2.1 Đặt toán 57 2.2.2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường 60 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường cách tái chuẩn hóa mẫu số 64 2.3.1 Kết 64 2.3.2 Một số ứng dụng 69 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình vi phân 3.1 3.2 72 Lược đồ sai phân khác thường bảo tồn tính chất ổn định cho hệ động lực học nhiều chiều 72 3.1.1 Các kết 73 3.1.2 Thử nghiệm số trường hợp hai chiều 75 3.1.3 Thử nghiệm số trường hợp ba chiều 82 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường xác cấp hai 90 3.2.1 Xây dựng hệ điều kiện cho lược đồ xác cấp hai 90 3.2.2 Lược đồ sai phân khác thường xác cấp hai cho hệ Lotka - Voltera 3.2.3 92 Các thử nghiệm số 101 Tài liệu tham khảo 116 Mở đầu Việc nghiên cứu phương pháp giải gần phương trình vi phân vấn đề quan trọng Tốn học nói chung Tốn học tính tốn nói riêng Do nhu cầu thực tiễn phát triển lý thuyết tốn học, nhà tốn học tìm nhiều phương pháp giải gần phương trình vi phân Một kỹ thuật truyền thống sử dụng rộng rãi việc giải gần phương trình vi phân, đặc biệt phương trình vi phân đạo hàm riêng sử dụng lược đồ sai phân bình thường (Standard Difference Scheme) Các lược đồ sai phân bình thường xây dựng dựa việc rời rạc hóa đạo hàm xuất phương trình vi phân công thức sai phân Tuy nhiên, nhiều trường hợp hạn chế lược đồ sai phân bình thường khơng bảo tồn tính chất nghiệm phương trình vi phân tương ứng Hiện tượng nghiệm phương trình sai phân (thu từ lược đồ sai phân) không phản ánh xác, hay xác khơng bảo tồn tính chất nghiệm phương trình vi phân tương ứng gọi chung tượng không ổn định số (Numerical Instabilities, xem [13, 16]) Chẳng hạn, ta xét hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số x (t) = −y(t), x(0) = r, y (t) = x(t), y(0) = Trong trường hợp này, ta dễ dàng nghiệm hệ có tính chất x2 (t) + y (t) = r2 , ∀t, tức là, quỹ đạo tương ứng với đường trịn tâm O(0, 0), bán kính r2 Nếu sử dụng lược đồ sai phân bình thường lược đồ thu từ phương pháp Euler hiển, Euler ẩn, hình thang ẩn thấy rằng: Phương pháp Euler hiển cho lời giải tương ứng với đường xoắn ốc ra, phương pháp Euler ẩn cho lời giải tương ứng với đường xoắn ốc vào Chỉ có phương pháp hình thang bảo tồn tính chất bất biến tốn Đây ví dụ đơn giản cho tượng bất ổn định số Các phân tích cho thấy rằng, tượng khơng ổn định số xảy ta sử dụng kỹ thuật tinh vi để xây dựng lược đồ sai phân bình thường, chẳng hạn sử dụng phương pháp Taylor phương pháp Runge - Kutta Nhìn chung, lược đồ sai phân bình thường bảo tồn tính chất nghiệm phương trình vi phân ta sử dụng bước lưới h nhỏ Tức là, tượng không ổn định số xảy bước lưới h chọn lớn giá trị h∗ Thơng thường giá trị h∗ nhỏ Vì thế, việc sử dụng lược đồ sai phân bình thường khơng có lợi giải phương trình vi phân đoạn tìm nghiệm lớn, chẳng hạn hệ động lực học, thời gian tiến ∞ Các phân tích rằng, tượng không ổn định số xảy phương trình sai phân (rời rạc) khơng bảo tồn tính chất ổn định tuyến tính cho điểm bất động hay gọi nghiệm điểm cân phương trình vi phân (liên tục) Chẳng hạn, phương trình sai phân phương trình vi phân khơng có tập hợp điểm bất động Các phương pháp Runge - Kutta phương pháp Taylor thường sinh thêm điểm bất động giả (phụ thuộc vào bước lưới) Trong trường hợp phương trình sai phân phương trình vi phân có tập hợp điểm bất động xảy trường hợp y(t) ≡ y¯ điểm ổn định tuyến tính phương trình vi phân yk ≡ y¯ lại điểm ổn định tuyến tính phương trình sai phân tương ứng Tổng quát hơn, tượng bất ổn định số xảy nghiệm phương trình sai phân khơng thỏa mãn điều kiện mà nghiệm phương trình vi phân thỏa mãn Các tính chất quan tâm tính chất đơn điệu, tính bị chặn, tính dương, tính tuần hồn tính chất bất biến Nói chung, sử dụng cỡ bước lớn lược đồ sai phân bình thường khơng bảo tồn tính chất Trong phần trình bày luận văn, phân tích rõ vấn đề Lược đồ sai phân khác thường được đề xuất R E Mickens vào năm 1980 Lược đồ sai phân khác thường lược đồ sai phân xây dựng dựa quy tắc xác định, quy tắc đưa R E Mickens dựa phân tích tượng khơng ổn định số xảy sử dụng lược đồ sai phân bình thường Hai quy tắc quan trọng việc xây dựng lược đồ sai phân khác thường Các đạo hàm xuất phương trình vi phân nên rời rạc hóa cơng thức phức tạp cơng thức rời rạc hóa thơng thường, chẳng hạn, công thức sai phân tiến, sai phân lùi, sai phân trung tâm Các số hạng phi tuyến xuất vế phải phương trình vi phân nên rời rạc hóa khơng địa phương, tức rời rạc hóa hàm số dựa giá trị hàm số điểm lưới rời rạc thay rời rạc hóa địa phương lược đồ sai phân bình thường Đây khác biệt lớn lược đồ sai phân bình thường lược đồ sai phân khác thường Ưu lược đồ khác thường so với lược đồ bình thường bảo tồn tính chất nghiệm toán với cỡ bước h > Tuy nhiên, nhược điểm lược đồ khác thường khó đưa lược đồ có cấp xác cao lược đồ bình thường thời gian thực tính tốn lâu đạo hàm hàm vế phải rời rạc hóa phức tạp Vì thế, việc sử dụng lược đồ khác thường có lợi giải tốn đoạn tìm nghiệm lớn cần bảo tồn xác tính chất nghiệm toán Hiện nay, lược đồ sai phân khác thường nhà toán học xây dựng sử dụng rộng rãi cho phương trình vi phân đạo hàm riêng phương trình đạo hàm thường tốn biên Tuy nhiên, khn khổ luận văn, chủ yếu tập trung vào việc xây dựng lược đồ sai phân khác thường cho tốn giá trị ban đầu phương trình vi phân thường Nội dung luận văn hệ thống lại kết tiêu biểu tác giả nước ngồi vịng 20 năm trở lại Cấu trúc luận văn bao gồm ba chương Chương 1: Lược đồ sai phân khác thường Trong chương này, nhắc lại số kiến thức phương trình vi phân phương pháp số giải phương trình vi phân Trên sở kết hợp việc phân tích tượng khơng ổn định số xảy sử dụng lược đồ sai phân bình thường việc xây dựng lược đồ sai phân xác (exact scheme) đưa quy tắc tổng quát để xây dựng lược đồ sai phân khác thường Chương 2: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân Chương đề cập việc xây dựng lược đồ sai phân giải số phương trình vi phân trường hợp chiều Các lược đồ xây dựng dựa hai cách rời rạc hóa khơng địa phương lựa chọn cách rời rạc hóa đạo hàm phù hợp Chương 3: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình vi phân Chương cuối này, dành cho việc xây dựng lược đồ sai phân khác thường bảo tồn tính chất hệ động lực học Các mơ hình xét đến mơ hình thú - mồi (predator - prey system), mơ hình Vắc Xin (Vaccination model) hệ Lotka - Volterra Trong phần trình bày có thử nghiệm số kèm để minh họa cho tính hiệu lược đồ xây dựng Mặc dù thân cố gắng thời gian thực có hạn lực thân nhiều hạn chế nên luận văn chắn tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý bảo thầy cô Em xin chân thành cảm ơn! Chương Lược đồ sai phân khác thường 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong phần trình bày luận văn, ta chủ yếu nghiên cứu việc giải gần tốn giá trị ban đầu phương trình vi phân cấp một, hay cịn gọi tốn Cauchy  dy  Dy = = f (t, y), t0 ≤ t ≤ T, dt   y(t0 ) = y0 , y, f ∈ Rn , (1.1) hàm y(t) : [t0 , T ] → Rn hàm số cần xác định, giá trị ban đầu y0 ∈ Rn hàm vế phải f : [t0 , T ] × Rn → Rn cho trước Ta giả thiết thời gian ban đầu t0 hữu hạn, thời gian T tiến đến vơ hệ động lực học Để đơn giản, ta giả sử t0 = Trong trường hợp f = f (y) phương trình gọi dừng (autonomous) Khơng tính tổng qt ta giả thiết phương trình dừng Vì phương trình khơng dạng dừng ta đưa thêm biến phụ yn+1 = t đặt yˆ = (y1 , y2 , , yn+1 ) Khi phương trình viết lại dạng T yˆ = fˆ(ˆ y ), fˆ(ˆ y ) = f (y), (1.2) Các kết liên quan đến toán giá trị ban đầu (1.1) tồn nghiệm, phụ thuộc liên tục nghiệm vào liệu ban đầu trình bày hầu hết giáo trình phương trình vi phân (xem [3, 9, 10]) nên không trình bày lại Từ hết phần Ta có 1 − < 0, f (u) = > 0, u ∈ (1, ∞) u u Do đó, phương pháp lặp Newton hội tụ ta chọn xấp xỉ ban đầu u0 điểm Fourier: f (u0 )f (u0 ) < Phương pháp lặp Newton trường hợp có dạng  lnun − un − E0 −   , un+1 = un − −1  u n   x0 điểm Fourier f (u) = Ta sử dụng ước lượng hậu nghiệm M |un+1 − u∗ | < |un+1 − un | < = 10−10 , 2m làm tiêu chuẩn dừng Trong |f (u)| > m > 0, |f (u)| < M Tuy nhiên, khoảng (1, ∞) ta ước lượng số m, M Vì thế, ta cần thu hẹp khoảng phân ly nghiệm phương trình Cụ thể f (−E0 /2)f (e−E0 ) < 0, ∀E0 < −2, vậy, đoạn (−E0 /2, e−E0 ) ⊂ (1, ∞), phương trình (3.40) có nghiệm Ta ước lượng số m = + 2/E0 , M = Ta chọn xấp xỉ ban đầu u0 = −E0 /2 phương pháp lặp Newton hội tụ Với giá trị ban đầu x0 = 0.1, y0 = 1, áp dụng phương pháp lặp Newton, sau lần lặp ta thu u5 = 3.7150 nghiệm với độ xác 10−10 Đây giá trị lớn nghiệm x(t), y(t) chu kỳ Như lược đồ Mickens khơng bảo tồn tính bị chặn nghiệm Trong lược đồ cấp hai bảo toàn điều Ngay ta sử dụng bước lưới lớn hơn, cụ thể ta lấy h = 1, T = 600 lược đồ Mickens h = 3, T = 600 lược đồ cấp lược xác đồ cấp hai bảo tồn tính bị chặn tốt lược đồ Mickens đề xuất (xem Hình 3.36 3.37) 105 method of Mickens method order2 0 10 Hình 3.36: h = h = −3 −4 −5 −6 −7 −8 method of Mickens method order2 −9 100 200 300 Hình 3.37: Hàm E(t) 106 400 500 600 Tính bảo tồn chu kỳ Kết Barat Nuriyev Tanil Ergenc (xem [24]) nghiệm hệ tuần hoàn với chu kỳ z2 √ T =2 z1 dz , z − kez k = 4eE0 , đó, z1 < z2 hai nghiệm dương phương trình z E z − ln = − 2 Nghiệm phương trình tích phân khơng thể tính xác Tuy nhiên, ta xấp xỉ chu kỳ hệ cách sau: Sử dụng phương pháp lặp Newton để giải gần nghiệm z1 < z2 với độ xác tùy ý (10−8 ) Chú ý thu hẹp khoảng phân ly nghiệm phương trình để có ước lượng sai số tiêu chuẩn dừng Sử dụng cơng thức tính gần tích phân với cận z1 z2 xác định Nếu sử dụng cơng thức hình thang Simpson ta cần ước lược chặn đạo hàm cấp Tuy nhiên, trường hợp này, khó đưa chặn cho đạo hàm cấp hàm dấu tích phân phức tạp Do đó, ta sử dụng cơng thức cầu phương thích nghi (Adaptive quadrature) để tích gần tích phân với độ xác (10−8 ) Với toán ta xét, x0 = 0.1, y0 = ta tính xấp xỉ chu kỳ T ≈ 7.8 Ta giải toán đoạn [0, 7.9] với cỡ bước h = 0.1 Nghiệm số biểu diễn Hình 3.38 3.39 Như vậy, lược đồ cấp hai bảo tồn tính bị chặn chu kỳ tốt Khi sử dụng bước lưới nhỏ lược đồ cấp hai cho kết xác Các thử nghiệm ta lấy bước lưới h = 10−2 h = 10−5 (Hình 3.40 − 3.44) Nhìn chung, trường hợp này, lược đồ cấp hai bảo tồn tính chất hệ tốt Trong ví dụ tiếp theo, ta xét hệ với giá trị ban đầu lớn Đây ví dụ Mickens xét đến kết 107 4.5 3.5 2.5 1.5 0.5 0 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 Hình 3.38: Lược đồ Mickens T = 7.9 3.5 2.5 1.5 0.5 0 0.5 1.5 2.5 Hình 3.39: Lược đồ cấp hai T = 7.9 108 3.5 4 Mickens method Method order 3.5 2.5 1.5 0.5 0 10 15 20 25 30 35 40 35 40 Hình 3.40: Nghiệm x(t) với h = 0.01 Mickens method Method order 3.5 y(t) 2.5 1.5 0.5 0 10 15 20 t 25 30 Hình 3.41: Nghiệm y(t) với h = 0.01 109 Mickens method Method order 3.5 y(t) 2.5 1.5 0.5 0 0.5 1.5 x(t) 2.5 3.5 Hình 3.42: Quỹ đạo với h = 0.01 −3.39 Mickens method Method order −3.4 −3.41 E(t) −3.42 −3.43 −3.44 −3.45 −3.46 10 15 20 t 25 30 35 40 Hình 3.43: Hàm E(t) với h = 0.01 −3.4026 −3.4026 E(t) −3.4026 −3.4026 −3.4026 −3.4026 Mickens method Method order −3.4026 10 15 20 t 25 Hình 3.44: Hàm E(t) với h = 10−5 110 30 35 40 Ví dụ 3.2 Xét hệ (3.21) với giá trị ban đầu x(0) = 20, y(0) = Nghiệm số thu từ lược đồ (3.23) - (3.24) Mickens biểu diễn Hình 3.45- 3.47 25 20 x(t) 15 10 0 10 20 30 40 50 t 60 70 80 90 100 80 90 100 Hình 3.45: Nghiệm x(t) với h = 0.1 14 12 10 y(t) 0 10 20 30 40 50 t 60 70 Hình 3.46: Nghiệm y(t) với h = 0.1 14 12 10 y 0 10 15 x Hình 3.47: Quỹ đạo với h = 0.1 111 20 25 Nghiệm số thu xấp xỉ với hàm tuần hoàn quỹ đạo gần với đường cong khép kín Tuy nhiên, nghiệm xấp xỉ thu từ lược đồ không phản ánh xác tính chất nghiệm xác Cụ thể, ta có Giá trị lớn nghiệm xấp xỉ xk nằm khoảng (12, 14) Trong ta tính tốn nghiệm xác x(t) đạt giá trị lớn xmax = 20 Nghiệm số thu tuần hoàn với chu kỳ T ≈ 15 Trong nghiệm xác tuần hồn với chu kỳ T ≈ 24 Khi ta lấy bước lưới nhỏ nghiệm số tuần hồn với chu kỳ gần với chu kỳ nghiệm xác 25 h = 0,1 h = 10−4 20 15 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Hình 3.48: Nghiệm x(t) với h = 0.1 h = 10−4 20 h = 0,1 h = 10−4 18 16 14 12 10 0 10 15 20 Hình 3.49: Quỹ đạo với h = 0.1 h = 10−4 112 25 Bây giờ, ta sử dụng lược đồ cấp hai (3.37) để giải hệ Nếu ta chọn cặp hàm mẫu số ϕ2 (h) = − e− sin(h) , ϕ1 (h) = esin(h) − 1, với bước lưới h = 0.1 lược đồ (3.37) khơng bảo tồn tính dương hệ Tuy nhiên, ta chọn cặp hàm ϕ1 = h − cos(h) + 1, ϕ2 = − e− sin(h) , lược đồ bảo tồn tính dương hệ với bước lưới h = 0.1 Điều cho thấy việc bảo tồn tính dương hệ phụ thuộc vào việc chọn hàm ϕi Ở thử nghiệm này, ta lấy cặp hàm ϕ2 (h) = − e− sin(h) , ϕ1 (h) = esin(h) − 1, sử dụng bước lưới nhỏ Với bước lưới h = 10−2 lược đồ cấp hai bảo tồn tính chất tốn tốt Nhìn chung, với bước lưới, lược đồ cấp hai bảo tồn tính chất tốn tốt 25 Mickens method Method order 20 15 10 0 10 15 Hình 3.50: Quỹ đạo với h = 0.01 113 20 25 Phần trình bày luận văn xem thử nghiệm nhỏ Ta đưa điều kiện để lược đồ xác cấp cao Tuy nhiên, việc xây dựng lược đồ sai phân khác thường có cấp xác cao, bảo tồn tính chất tốn phức tạp Các tìm hiểu luận văn tập trung xây dựng lược đồ khác thường xác cấp hai, bảo tồn xác tính chất tốn Ngồi kết trình bày Còn nhiều kết đưa tác giả khác Các kết tập trung xây dựng lược đồ sai phân khác thường cho hệ phương trình vi phân mơ tả tượng Vật lý (xem [9], [14] - [22]), mơ hình Sinh học mơ hình thú mồi, mơ hình dịch tễ học (xem [6] - [8], [23], [25], [27] - [29], [31]) Đối với toán này, việc sử lược đồ sai phân khác thường mang lại lợi lớn so với việc sử dụng lược đồ sai phân bình thường Các lược đồ sai phân khác thường có cấp xác khơng cao lại có ưu chỗ bảo tồn xác tính chất tốn Các lược đồ bình thường có cấp xác cao bảo tồn tính chất tốn cỡ bước chọn nhỏ Vì thế, cần bảo tồn xác tính chất tốn với thời gian tiến ∞ lược đồ khác thường có ưu 114 Kết luận Nội dung luận văn trình bày cách xây dựng lược đồ sai phân khác thường cho phương trình hệ phương trình vi phân cấp Luận văn tìm hiểu hệ thống vấn đề sau đây: - Các lý dẫn đến đời lược đồ sai phân khác thường tính chất chúng - Phương pháp xây dựng lược đồ sai phân khác thường dựa rời rạc hóa khơng địa phương cách tái chuẩn hóa mẫu số cho số phương trình vi phân - Phương pháp xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải số hệ phương trình vi phân Ngồi việc tìm hiểu tổng hợp lý thuyết, luận văn thực nhiều tính tốn thử nghiệm để minh họa cho tính ổn định ưu lược đồ sai phân khác thường Kết luận văn ta thu lớp lược đồ sai phân mới, khắc phục hạn chế lược đồ sai phân bình thường tượng không ổn định số Các lược đồ khác thường bảo tồn xác tính chất phương trình vi phân có ưu lược đồ sai phân bình thường giải tốn có tính chất đặc biệt đoạn tìm nghiệm lớn Hướng nghiên cứu luận văn tập trung xây dựng lược đồ sai phân khác thường cho phương trình vi phân đạo hàm riêng, tốn biên, phương trình vi phân có chậm Đóng góp luận văn là: Tổng hợp lý thuyết hệ thống kết tiêu biểu lược đồ sai phân khác thường Thực tính tốn thử nghiệm Matlab để minh họa cho tính ổn định ưu lược đồ sai phân khác thường Chứng minh Định lý 2.7, xây dựng lược đồ sai phân khác thường xác cấp hai Mục 2.4 3.2 115 Tài liệu tham khảo [1] R Anguelov, J M -S Lubuma, ”Nonstandard finite difference method by nonlocal approximations”, Mathematics and Computers in Simulation, 61 (2003), pp 465 − 475 [2] A J Arenas, G G Parra, M B Chen - Charpentier, ” A nonstandard numerical scheme of predictor - corrector type for epidemic models”, Computers and Mathematics with Applications, 59 (2010), pp 3740 − 3749 [3] U M Ascher, L R Petzold, ”Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations”, (1998) Philadelphia [4] F Brauer , C Castillo - Chavez, ”Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology”, (2001) Springer, New York [5] T D Dimitrov, H V Kojouharov, ”Stability - Preserving Finite - Difference Methods For General Multi - Dimensional Autonomous Dynamical Systems”, International Journal Of Numerical Analysis And Modeling, Volume 4, Number 2, pp 280 − 290 [6] T D Dimitrov, H V Kojouharov, ”Nonstandard finite difference schemes for general two - dimensional autonomous dynamical systems”, Applied Mathematics Letters, 18(2005), pp 769 − 774 [7] T D Dimitrov, H V Kojouharov, ”Positive and elementary stable nonstandard numerical methods with applications to predator - prey models”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 189(2006), pp 98 − 108 116 [8] K F Gurski, ”A simple construction of nonstandard finite - difference schemes for small nonlinear systems applied to SIR models”, Computers and Mathematics with Applications, 66(2013), pp 2165 − 2177 [9] E Hairer, G Wanner, ”Solving Ordinary Differential Equation I, Nonstiff Problems”, (1991) Springer-Verlag, Berlin [10] E Hairer, P S Norsett, Wanner G, ”Solving Ordinary Differential Equation II, Stiff and Differential - Algebraic-Problems”, (1991) SpringerVerlag, Berlin [11] H Kojouharov , B Welfert, ” A nonstandard Euler schemes for y + g(y)y + f (y)y = 0, Journal Computational and Applied Mathematics, 151(2003), pp.335 − 353 [12] R E Mickens, ” Difference Equations; Theory ans Applications”, (1990) New York [13] R E Mickens, ”Nonstandard Finite Difference Models of Differential Equations”, (1994) World Scientific, Singapore [14] R E Mickens, ” Finite - Difference Schemes Having the Correct Linear Stability Properties for All Finite Step - Sizes III ”, Computers Math Applic ”, Vol 27(1994), No 4, pp 77 − 84 [15] R E Mickens, ” Discretizations of nonlinear differential equations using explicit nonstandard methods ”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 110(1999), pp 181 − 185 [16] R E Mickens, ”Applications of Nonstandard Finite Difference Schemes”, (2000) World Scientific, Singapore [17] R E Mickens, ” Numerical Study Of A Non - Standard Finite - Difference Scheme For The Van Der Pol Equation”, Journal of Sound and Vabration, (2000)250(5), pp 955 − 963 117 [18] R E Mickens, ” Analytical And Numerical Study Of A Non - Standard Finite Difference Scheme For The Unplugged Van Der Pol Equation”, Journal of Sound and Vabration, (2001)245(4), pp 757 − 761 [19] R E Mickens, ” Step - Size Dependence Of The Period For A Forward - Euler Scheme Of The Van Der Pol Equation”, Journal of Sound and Vabration, (2002)258(1), pp 199 − 202 [20] R E Mickens, ” A nonstandard finite - difference scheme for the Lotka Volterra system”, Journal of Sound and Vabration, (2003)45, pp 309 − 314 [21] R E Mickens, ” A numerical integration technique for conservative oscillators combining nonstandard finite - difference methods with a Hamilton’ s principle ”, Journal of Sound and Vabration, (2005)285, pp 477 − 482 [22] R E Mickens, ” Exact finite difference scheme for second - order, linear ODEs having constant coefficients ”, Journal of Sound and Vabration, (2005)287, pp 1052 − 1056 [23] S M Moghadas, M E Alexander, B D Corbett, ” A nonstandard numerical scheme for a generalized Gauss - type predator - prey model”, PHYSICA D, 188(2004), pp.134 − 151 [24] B Nuriyev, T Ergenc, ” Exact solution of two - dimensional Lotka Volterra equations, Department of Mathematics, METU, 06531, Ankara, Turkey [25] L -I W Roeger, ” Exact nonstandard finite-difference methods for a linear system—the case of centers ”, Journal of Difference Equations and Applications, 14(2008), pp 381 − 389 [26] L -I W Roeger, ” Exact finite - difference schemes for two - dimensional linear systems with constant coefficients”, Journal of Computational and Applied Mathematics ”, 219(2008), pp 102 − 109 118 [27] L -I W Roeger, ” General nonstandard finite - difference schemes for differential equations with three fixed - points”, Computers and Mathematics with Applications, 57(2009), pp 379 − 383 [28] L -I W Roeger, ”Nonstandard finite difference schemes for differential equations with n + distinct fixed - points”, Journal of Difference Equations and Applications, 15(2009), pp 133 − 151 [29] L -I W Roeger, ” Dynamically Consistent Discrete - Time Lotka Volterra Competition Models”, Journal of Computational and Applied Mathematics ”, (2009), pp 650 − 658 [30] A M Stuart, A R Humphries ” Dynamical Systems and Numerical Analysis”, Journal of Computational and Applied Mathematics ”, (1998), Cambridge University Press, New York [31] J F Solis, B C Charpentier, ” Nonstandard Discrete Approximations Preserving Stability Properties of Continuous Mathematical Models”, Mathematical and Computer Modeling, 40(2004), pp.481 − 490 119 ... đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân Trong chương này, xây dựng lược đồ sai phân khác thường cho số phương trình vi phân trường hợp chiều Các lược đồ sai phân khác thường dựa vi? ??c... 1.4 Lược đồ sai phân xác 33 1.5 Lược đồ sai phân khác thường 40 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân 2.1 44 Xây dựng lược đồ sai phân. .. rời rạc hóa địa phương lược đồ sai phân bình thường Đây khác biệt lớn lược đồ sai phân bình thường lược đồ sai phân khác thường Ưu lược đồ khác thường so với lược đồ bình thường bảo tồn tính chất