Các mặt cong phương trình đạo hàm riêng và ứng dụng trong đồ họa máy tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀNTHÔNG LƢƠNG NGỌC TÚ CÁC MẶT CONG PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Thái Ngun - Năm 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG LƢƠNG NGỌC TÚ CÁC MẶT CONG PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH Mã số : 60.48.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS ĐẶNG QUANG Á Thái Nguyên - Năm 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN v LỜI CAM ĐOAN vi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT vii DANH MỤC CÁC HÌNH vii MỞ ĐẦU Chƣơng MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG HÌNH HỌC 13 1.1 ĐƢỜNG CONG 13 1.1.1 Biểu diễn đƣờng cong 13 1.1.2 Ðặc tính đƣờng cong 14 1.1.2.1 Độ chảy 14 1.1.2.2 Vectơ tiếp tuyến đơn vị 15 1.1.2.3 Vectơ pháp tuyến 15 1.1.2.4 Độ cong bán kính cong 16 1.1.2.5 Độ xoắn đƣờng cong 16 1.2 MẶT CONG 17 1.2.1 Phƣơng pháp biểu diễn mặt cong 17 1.2.1.1 Mơ hình mặt cong dạng phƣơng trình ẩn 17 1.2.1.2 Mơ hình mặt cong dạng phƣơng trình tham số 17 1.2.1.3 Mơ hình mặt cong dạng phƣơng trình phi tham số 187 1.2.2 Tiếp tuyến pháp tuyến mặt cong 18 1.2.3 Độ cong 20 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii 1.3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ 21 1.3.1 Phép biến đổi tọa độ 2D 21 1.3.2 Phép biến đổi tọa độ 3D 23 1.3.3 Phép ánh xạ 25 1.3.4 Khung tọa độ 26 1.4 TỔNG KẾT CHƢƠNG 28 Chƣơng PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC 30 2.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG30 2.1.1 Giới thiệu chung phƣơng trình đạo hàm riêng 30 2.1.2 Phƣơng trình eliptic phƣơng pháp giải 31 2.1.2.1.Phƣơng pháp tách biến Fourier 32 2.1.2.2.Phƣơng pháp sai phân 33 2.1.2.3.Phƣơng pháp phần tử hữu hạn 34 2.2 PHƢƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƢƠNG TRÌNH ELIPTIC CẤP BỐN 35 2.3 PHƢƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƢƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HỊA 42 2.4 PHƢƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƢƠNG TRÌNH CẤP SÁU KHÁC 50 2.5 TỔNG KẾT CHƢƠNG 56 57 3.1 XÂY DỰNG CHƢƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƢƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HÒA 57 3.2 XÂY DỰNG CHƢƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƢƠNG TRÌNH PDE CẤP SÁU KHÁC 61 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iv 3.3 64 KẾT LUẬN 66 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn v LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học công nghệ thông tin truyền thơng Thái Ngun tận tình giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Đặc biệt, em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến GS TS Đặng Quang Á – người dành nhiều thời gian, cơng sức tận tình hướng dẫn khoa học cho em suốt trình hình thành hoàn chỉnh luận văn Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô giảng dạy, truyền đạt cho em tri thức quý báu, thiết thực suốt khóa học Cuối xin bày tỏ lịng biết ơn gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên, đóng góp ý kiến quý báu cho em việc hoàn thành luận văn Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015 Tác giả Lƣơng Ngọc Tú Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn vi LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn trực tiếp GS.TS Đặng Quang Á Mọi trích dẫn sử dụng báo cáo ghi rõ nguồn tài liệu tham khảo theo qui định Mọi chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, tơi xin chịu hồn toàn trách nhiệm Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015 Tác giả Lƣơng Ngọc Tú Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn vii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Tiếng Anh Từ viết tắt Tên đầy đủ CAD Computer Aided Design PDE Partial differential equations Phƣơng trình đạo hàm riêng CSG Constructive solid geometry Phƣơng pháp hình học lập thể B-rep Boundary representation Phƣơng pháp biểu diễn biên FFD free-form deformation Tự biến dạng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Diễn giải Hệ thống thiết kế có trợ giúp máy tính http://www.lrc.tnu.edu.vn viii DANH MỤC HÌNH Hình 1.1 Tham số hóa đƣờng trịn đơn vị 13 Hình 1.2 Vectơ pháp truyến đƣờng trịn mật tiếp 16 Hình 1.3 Hình học mặt cong 18 Hình 1.4 Đƣờng cong mặt cong mặt phẳng tiếp tuyến 19 Hình 1.5 Phép biến đổi tọa độ 2D Hình 1.6 Phép biến đổi tọa độ dƣới hình thức hệ tọa độ chuyển động Hình 2.1 Bề mặt bình tạo nghiệm đóng PDEs 31 Hình 2.2 Các dạng bề mặt cách thay đổi điều kiện biên tiếp tuyến 33 Hình 2.3 Các mặt cong PDE tƣơng ứng với điều kiện biên cụ thể 41 Hình 2.4 Các mặt cong PDE tƣơng ứng với điều kiện biên cụ thể 41 Hình 3.1 Thiết kế đối tƣợng phƣơng trình tam điều hịa 52 Hình 3.2 Thiết kế đối tƣợng phƣơng trình tam điều hịa 52 Hình 3.3 Thiết kế đối tƣợng phƣơng trình cấp sáu khác 54 Hình 3.4 Thiết kế đối tƣợng phƣơng trình cấp sáu khác 55 Hình 3.5 Giao diện mơ đối tƣợng phƣơng trình tam điều hịa 56 Hình 3.6 Giao diện mơ đối tƣợng phƣơng trình cấp sáu khác 56 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sinh mặt (surface) chủ thể quan trọng đồ họa máy tính (computer graphics) thiết kế có trợ giúp máy tính (Computer Aided Design – CAD [1]) mơ hình hóa hình học cách chi tiết Nhờ phát triển cơng nghệ thơng tin, ngành cơng nghiệp có liên quan đến ngành hàng không vũ trụ, điện tử tự động hóa sử dụng CAD ngày nhiều Thơng thƣờng quy trình khởi đầu với việc định nghĩa hình dạng mẫu đƣợc yêu cầu khái niệm đặc tả hình dạng sản phẩm chức Quy trình sau xử lý qua chuỗi hoạt động lặp lại đạt đƣợc thiết kế tối ƣu Ngày nay, quy trình việc thiết kế tự động theo chức dựa việc gia tăng sử dụng máy tính Mặc dù việc thiết kế hình dạng dựa việc mở rộng sử dụng máy tính khơng cung cấp giải pháp tự động cho tốn thiết kế cho trƣớc, nhƣng làm tăng tính hiệu quy trình thiết kế Bởi vậy, q trình thiết kế mặt cong bao gồm việc mơ tả hiệu hình dáng thao tác tham số mô hình biểu diễn Mặt biểu diễn tƣờng minh dạng ẩn dạng tham số, dạng dạng tham số phổ biến đồ họa máy tính, thực ảo CAD Hầu hết mặt tham số sử dụng phƣơng pháp mơ hình hóa dựa điểm điều khiển (control-point based modelling) nhƣ Bezier, Bspline NURBS Gần phƣơng pháp mơ hình hóa nhờ phƣơng trình đạo hàm riêng (Partial differential equations - PDE [2]) đƣợc phát triển mạnh mẽ Việc sinh mặt sử dụng lời giải PDE gắn với điều kiện biên xác định đƣợc xem nhƣ phƣơng pháp mơ hình hóa dựa vật lý (physics-base modelling) Trong phƣơng pháp việc lựa chọn phƣơng trình điều 57 z u2 12r4u 20r5u 2r2 6r3u từ điều kiện biên suy hệ phƣơng trình r0 h0 r1 h cosh u0 r2 r0 h sinh u0 h sinh u0 r1 r2 r3 r4 r1 2r2 3r3 2r2 r5 4r4 5r5 6r3 12r4 20r5 A sinu1 (2.32) A cosu1 A sinu1 giải hệ (2.32) tìm r1 , r2 , r3 , r4 , r5 biểu diễn qua h0 , h, u0 , u1 , A nhƣ tham số xác định hình dạng mặt a, b, u0 , u1 , R, A, h0 , h 2.5 TỔNG KẾT CHƢƠNG Trong chƣơng luận văn giới thiệu chung phƣơng trình đạo hàm riêng, số vấn đề liên quan đến bề mặt đƣợc tạo từ phƣơng trình đạo hàm riêng, ứng dụng bề mặt PDE việc thiết kế hình dạng vật thể, có phƣơng pháp sinh mặt nhờ phƣơng trình eliptic, tập trung vào dạng tổng quát phƣơng trình eliptic cấp 4, phƣơng trình tam điều hịa phƣơng trình eliptic cấp khác 58 Chƣơng XÂY DỰNG CHƢƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƢƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HỊA VÀ PHƢƠNG TRÌNH PDE CẤP SÁU KHÁC Chúng ta biết bề mặt PDE công cụ mạnh việc thiết kế hình học, bảo đảm độ mịn bề mặt phụ thuộc vào bậc phƣơng trình PDE tạo hay sửa đổi bề mặt Các bề mặt PDE chủ yếu đƣợc phân thành hai loại bề mặt PDE dạng ẩn bề mặt PDE dạng tham số Thông thƣờng bề mặt dạng ẩn thu đƣợc từ phƣơng trình PDE Parabolic bề mặt dạng tham số thu đƣợc từ phƣơng trình PDE elliptic Các bề mặt PDE dạng tham số đƣợc xem nhƣ việc giải phƣơng trình PDE elliptic miền tham số Đây kỹ thuật tạo bề mặt hiệu kết hợp q trình rời rạc hóa tốn tử liên quan với phƣơng trình PDE elliptic để đƣa giải pháp trung bình cho họ phƣơng trình PDE, đảm bảo bề mặt thu đƣợc có độ trơn mịn định phụ thuộc vào bậc phƣơng trình PDE Các bề mặt PDE dạng tham số đƣợc chứng minh hữu ích phƣơng pháp tạo bề mặt để giải vấn đề chẳng hạn nhƣ pha trộn hình dạng, tối ƣu hóa, thiết kế tƣơng tác điêu khắc…Để mô tả cho ƣu điểm này, chƣơng chúng tơi trình bày phƣơng pháp thiết kế hình dạng dựa phƣơng trình PDE elliptic cấp sáu 3.1 XÂY DỰNG CHƢƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƢƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HỊA Trong chƣơng hai, mục 2.3 xây dựng phƣơng pháp sinh mặt nhờ phƣơng trình tam điều hịa việc tìm lời giải cho phƣơng trình (2.17): 59 u 2 a2 v2 S(u, v) a tham số điều khiển thỏa mãn điều kiện biên: u=0 S(0,v) = f o (v ) Su (0, v) g (v ) Suu (0, v) h0 (v) u=1 S (1, v) f1 (v) Su (1, v) g1 (v) Suu (1, v) h1 (v) Ở trên, Su , Suu đạo hàm riêng cấp cấp hai S, f0 , , h1 véc tơ hàm Sử dụng phƣơng pháp tách biến nghiệm tƣờng minh S(u,v) phƣơng trình (2.17) đƣợc viết nhƣ sau: N S u, v A0 (u ) An (u )cosnv Bn (u )sin nv , n A0 (u ), A n (u ), Bn (u ) véc tơ hàm dạng A0 (u) a00 a01u a02u a03u3 a04u a05u5 An (u) (an0 an1u an 2u )eau (an3u Bn (u) (bn0 bn1u bn 2u ) eau (bn3u an 4u bn 4u an5u )e au bn5u ) e au Các hệ số chƣa biết đƣợc xác định từ điều kiện biên Giả sử hàm điều kiện biên khai triển: 60 N Gn1 cos(nv) H n1 sin(nv) f (v ) G n N f1 (v) G02 Gn2 cos(nv) H n2 sin(nv) n N g0 (v) G03 Gn3 cos(nv) H n3 sin(nv) n N Gn4 cos(nv) H n4 sin(nv) g1 (v) G n N h0 (v) G05 Gn5 cos(nv) H n5 sin(nv) n N Gn6 cos(nv) H n6 sin(nv) h1 (v) G n hệ số Gin , , Hin biết đƣợc Khi từ điều kiện biên xác định đƣợc phƣơng trình để tìm hệ số chƣa biết aij , bij Từ dạng cụ thể điều kiện biên suy hàm x(u, v) y(u, v) có dạng x(u, v) A1 (u) cosv, y(u, v) B1 (u)sinv , Từ phƣơng pháp trên, chúng tơi xây dựng chƣơng trình thiết kế mặt cong nhờ phƣơng trình tam điều hịa cách gắn điều kiện biên cụ thể xác định đƣợc hệ số, cho kết đối tƣợng (hình 3.1, hình 3.2, hình 3.3) đƣợc thiết kế nhờ phƣơng trình tam điều hịa: 61 Hình 3.1 Các thơng số đầu vào đƣợc biểu diễn nhƣ đƣợc gắn với điều kiện biên cụ thể, từ tìm đƣợc hệ số, cho kết đối tƣợng hình 3.1 Hình 3.2 62 Thay đổi thông số đầu vào đƣợc biểu diễn nhƣ trên, cho kết đối tƣợng hình 3.2 Hình 3.3 3.2 XÂY DỰNG CHƢƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƢƠNG TRÌNH CẤP SÁU KHÁC Theo sở nghiên cứu chƣơng hai, mục 2.4, phần thiết kế mặt cong khác nhờ phƣơng trình PDE cấp sáu sau: u 6 u v 2 u v v x y Giả sử cho hàm điều kiện biên khai triển: 63 u x a cosh u0 cos v y b cosh u0 sin v z u h0 h sinh u0 x R A cos u1 cos v y R A cos u1 sin v z A sin u1 x u y u z u x a cosh u0 cos v u2 y b cosh u0 sin v u2 z h sinh u0 u2 a sinh u0 cos v b sinh u0 sin v h cosh u0 x u y u z u A sin u1 cos v A sin u1 sin v A cos u1 x u2 y u2 z u2 A cos u1 cos v A cos u1 sin v su A sin u1 y dạng x, y x f (u ) cosv y g(u) sinv với f (u) (c1 c2u)eu (c3 c4u)e g (u) (d1 d2u)eu (d3 d4u)e z u u c5 cos u c6 sin u d5 cos u d6 sin u r0 ru r2u r3u r4u r5u từ điều kiện biên suy hệ phƣơng trình tìm hệ số c1, ,6 , d1, ,6 , z1, ,5 , tham số xác định hình dạng mặt a, b, u0 , u1 , R, A, h0 , h Từ phƣơng pháp trên, chúng tơi xây dựng chƣơng trình thiết kế mặt cong nhờ phƣơng trình cấp sáu khác cách gắn điều kiện biên cụ thể xác định đƣợc hệ số, cho kết đối tƣợng (hình 3.4, hình 3.5, hình 3.6) đƣợc thiết kế nhờ phƣơng trình cấp sáu khác: 64 Hình 3.4 Các thơng số đầu vào đƣợc biểu diễn nhƣ đƣợc gắn với điều kiện biên cụ thể, từ tìm đƣợc hệ số, cho kết đối tƣợng hình 3.4 Hình 3.5 Thay đổi thông số đầu vào đƣợc biểu diễn nhƣ trên, cho kết đối tƣợng hình 3.5 65 Hình 3.6 3.3 TỔNG KẾT CHƢƠNG Trong chƣơng luận văn xây dựng chƣơng trình thiết kế mặt cong nhờ phƣơng trình tam điều hịa phƣơng trình cấp sáu khác, thiết kế, nắn chỉnh hình dạng nhờ thay đổi điều kiện biên, tham số điều khiển khác cho hình dạng khác 66 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kiến thức thiết kế hình học phƣơng trình đạo hàm riêng; tóm tắt phƣơng pháp phƣơng trình đạo hàm riêng thiết kế hình học, tìm hiểu phƣơng trình elliptic cấp bốn cấp sáu xây dựng bề mặt PDE ứng dụng phƣơng trình để thiết kế số mặt cong thực tế Kết luận văn gồm có: - Luận văn đƣa số kiến thức liên quan làm sở cho việc thiết kế số đối tƣợng hình học mặt cong hệ tọa độ 3D - Trình bày số vấn đề liên quan đến bề mặt đƣợc tạo từ phƣơng trình đạo hàm riêng ứng dụng bề mặt PDE việc thiết kế mô hình hóa hình học - Trình bày chi tiết phƣơng trình elliptic cấp bốn, phƣơng trình tam điều hịa phƣơng trình eliptic cấp sáu khác, vận dụng phƣơng trình thiết kế bề mặt PDE cho số đối hình dạng vật thể - Cài đặt thành cơng thuật tốn ứng dụng phƣơng trình elliptic cấp bốn để thiết kế đối tƣợng hình học dựa việc xác định điều kiện biên phƣơng trình tham số đối tƣợng hình học Trên sở kết đƣợc trình bày, thời gian tới tiếp tục nghiên cứu sâu để thiết kế bề mặt PDE cho đối tƣợng 3D phức tạp dựa phƣơng trình phƣơng trình tam điều hịa phƣơng trình eliptic cấp sáu khác.Vận dụng phƣơng trình elliptic cấp bốn, phƣơng trình tam điều hịa phƣơng trình eliptic cấp sáu khác việc tái tạo lại vật thể bị biến dạng, pha trộn bề mặt khác để tạo nên vật thể có hình dạng phức tạp 67 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Tranh, Giáo trình cơng nghệ CAD-CAM, Trƣờng Đại học Bách Khoa Đà Nẵng, Chƣơng 2, tr 1-11 [2] Nguyễn Minh Chƣơng (cb),Phương trình đạo hàm riêng, NXB GD,(2000) Tài liệu tiếng Anh [3] H Ugail, M.I.G Bloor, and M.J Wilson, Techniques for Interactive Design Using the PDE Method, ACM Transactions on Graphics,pp 195-212, (1999) [4] Ugail, H., Wilson, M.J, Efficient shape parametrisation for automatic design optimisation using a partial differential equation formulation Comput.Struct, pp 2601–2609, (2003) [5] Bloor, M.I.G., Wilson, M.J, Functionality in solids obtained from partial differential equations Computing,pp 21–42, (1993) [6] G Gonz´alez Castro, H Ugail et al., A survey of partial differential equationsin geometric design, Visual Comput 24,pp 213–225, (2008) [7] Farin, G Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design, a Practical Guide, 5th edn MorganKaufmann, San Diego, CA (2001) [8] Zhang, J.J., You, L Fast surface modelling using a 6th order PDE Comput.Graph, Forum 23(3), pp 311–320, (2004) [9] J Monterde and H Ugail, A General 4th-Order PDE Method to Generate Bézier Surfaces from the Boundary, Computer Aided Geometric Design, 23 (2), pp 208-225, (2006) 68 [10] H Ugail, 3D Facial Data Fitting using the Biharmonic Equation, in Visualization, Imaging and Image Processing, J.J Villanueva (ed.), ACTA Press ISBN 0-88986-598-1, pp 302-307, (2006) [11] M G Bloor and M J Wilson, Generaring blend surfaces using partial differential equations, Comput Aided Des.21(3), pp 165-171, (1989) [12] M G Bloor and M J Wilson, Functionnality in blend desgign, Comput Aided Des.22(3), pp 655-664, (1989) [13] S N Ishak, J Md Ali, Parametric Geometric Surface Generation using Triharmonic PDE, (2009), pp 380-385 [14] J.J Zhang, L.h You, PDE based suface representation – vasedesign Computer & Graphics 26 (2002) 89-98 69 PHỤ LỤC CÁC CHƢƠNG TRÌNH NGUỒN TRÊN MATLAB Thiết kế đối tƣợng sử dụng phƣơng trình tam điều hịa % triharmonic surface a=2; n=10; u = (0:1:n)/n; v = 2*pi*(0:1:n)'/n; e1 = 'a0+a1+a2+a3+a4+a5 = 0.3'; e2 = '(a0+a1+a2)*exp(a)+(a3+a4+a5)*exp(-a) = 1.5'; e3 = 'a*a0+a1-a*a3+a4 = 2'; e4 = '(a*a0+a1+(a*a1+2*a2)+a*a2)*exp(a)+(-a*a3+a4+(-a*a4+2*a5)-a*a5)*exp(a) = 1.1'; e5 = 'a*(a*a0+a1)+a*a1+2*a2 + (-a*(-a*a3+a4)-a*a4+2*a5) = 5.5'; e6 = '(a*(a*a0+a1+(a*a1+2*a2)+a*a2) + a*a1+2*a2+2*a*a2) * exp(a) + (-a*(a*a3+a4+(-a*a4+2*a5)-a*a5) - a*a4+2*a5-2*a*a5) * exp(-a) = 1'; [a0,a1,a2,a3,a4,a5]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'a0,a1,a2,a3,a4,a5'); X = cos(v)*((a0+a1*u+a2*u.^2).*exp(a*u)+(a3+a4*u+a5*u.^2).*exp(-a*u)); X=subs(X); e1 = 'b0+b1+b2+b3+b4+b5 = 0.3'; e2 = '(b0+b1+b2)*exp(a)+(b3+b4+b5)*exp(-a) = 1.5'; e3 = 'a*b0+b1-a*b3+b4 = 2'; e4 = '(a*b0+b1+(a*b1+2*b2)+a*b2)*exp(a)+(-a*b3+b4+(-a*b4+2*b5)-a*b5)*exp(a) = 1.1'; e5 = 'a*(a*b0+b1)+a*b1+2*b2 + (-a*(-a*b3+b4)-a*b4+2*b5) = 5.5'; e6 = '(a*(a*b0+b1+(a*b1+2*b2)+a*b2) + a*b1+2*b2+2*a*b2) * exp(a) + (-a*(a*b3+b4+(-a*b4+2*b5)-a*b5) - a*b4+2*b5-2*a*b5) * exp(-a) = 1'; [b0,b1,b2,b3,b4,b5]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'b0,b1,b2,b3,b4,b5'); Y =sin(v)*((b0+b1*u+b2*u.^2).*exp(a*u)+(b3+b4*u+b5*u.^2).*exp(-a*u)); Y=subs(Y); e1 = 'z0 = 3.1'; e2 = 'z1 = 1.5'; e3 = 'z2 = 0.5 * 0.7'; e4 = 'z3+z4+z5 = - 3.1 - 1.5 - 0.5 * 0.7'; e5 = '3*z3 + 4*z4 + 5*z5 = - 1.5 - 0.7'; e6 = '6*z3 + 12*z4 + 20*z5 = - 0.7'; [z0,z1,z2,z3,z4,z5]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'z0,z1,z2,z3,z4,z5'); Z = ones(size(v))*(z0+z1*u+z2*u.^2+z3*u.^3+z4*u.^4+z5*u.^5); Z=subs(Z); 70 figure(1) surf(X,Y,Z) title(['a=' num2str(a)]) axis off Thiết kế đối tƣợng sử dụng phƣơng trình cấp sáu khác a=1; b=1.5; u0=1; u1=2; R=1; A=2; h0=2; h=1; n=14; u = (0:1:n)/n; v = 2*pi*(0:1:n)'/n; e1 = 'c1 + c3 + c5 = a*cosh(u0)'; e2 = 'c1 + c2- c3 + c4 + c6 = a*sinh(u0)'; e3 = 'c1 + 2*c2+ c3 - 2*c4 - c5 = a*cosh(u0)'; e4 = '(c1+c2)*exp(1) + (c3+c4)*exp(-1) + c5*cos(1) + c6*sin(1) = R+A*cos(u1)'; e5 = '(c1+2*c2)*exp(1) - c3*exp(-1) - c5*sin(1) + c6*cos(1) = -A*sin(u1)'; e6 = '(c1+3*c2)*exp(1) + (c3-c4)*exp(-1) - c5*cos(1) - c6*sin(1) = -A*cos(u1)'; [c1,c2,c3,c4,c5,c6]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'c1,c2,c3,c4,c5,c6'); X = cos(v)*((c1+c2*u).*exp(u)+(c3+c4*u).*exp(-u)+c5*cos(u)+c6*sin(u)); %subs(X) e1 = 'd1 + d3 + d5 = b*cosh(u0)'; e2 = 'd1 + d2- d3 + d4 + d6 = b*sinh(u0)'; e3 = 'd1 + 2*d2+ d3 - 2*d4 - d5 = b*cosh(u0)'; e4 = '(d1+d2)*exp(1) + (d3+d4)*exp(-1) + d5*cos(1) + d6*sin(1) = R+A*cos(u1)'; e5 = '(d1+2*d2)*exp(1) - d3*exp(-1) - d5*sin(1) + d6*cos(1) = -A*sin(u1)'; e6 = '(d1+3*d2)*exp(1) + (d3-d4)*exp(-1) - d5*cos(1) - d6*sin(1) = -A*cos(u1)'; [d1,d2,d3,d4,d5,d6]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'d1,d2,d3,d4,d5,d6'); Y = sin(v)*((d1+d2*u).*exp(u)+(d3+d4*u).*exp(-u)+d5*cos(u)+d6*sin(u)); %subs(Y) 71 e1 = 'r0 = h0+h*sinh(u0)'; e2 = 'r1 = h*cosh(u0)'; e3 = 'r2 = 0.5*h*sinh(u0)'; e4 = 'r0 + r1 + r2 + r3 + r4 + r5 = A*sin(u1)'; e5 = 'r1 + 2*r2 + 3*r3 + 4*r4 + 5*r5 = A*cos(u1)'; e6 = '2*r2 + 6*r3 + 12*r4 + 20*r5 = -A*sin(u1)'; [r0,r1,r2,r3,r4,r5]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'r0,r1,r2,r3,r4,r5'); Z = ones(size(v))*(r0 +r1*u + r2*u.^2 + r3*u.^3 + r4*u.^4 + r5*u.^5); %subs(Z) disp('Hay doi') figure(1) surf(subs(X),subs(Y),subs(Z)) disp('Xong roi') ... TIN VÀ TRUYỀN THÔNG LƢƠNG NGỌC TÚ CÁC MẶT CONG PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH Mã số : 60.48.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH... hình hóa hình học [4] Nhận thấy tính thiết thực vấn đề đƣợc gợi ý giảng viên hƣớng dẫn, chọn đề tài ? ?Các mặt cong phương trình đạo hàm riêng ứng dụng đồ họa máy tính? ?? làm đề tài cho luận văn tốt... lại khơng đồng - Tính tuyến tính: Một phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng đƣợc gọi tuyến tính hệ số khơng phụ thuộc vào hàm u(x,y) đạo hàm riêng chúng, ngƣợc lại phƣơng trình phi tuyến tính Ngồi