Một số giải pháp giúp học sinh giải một dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc HỒ SƠ XÉT CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Một số giải pháp giúp học sinh giải dạng toán rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai - Tác giả: Đặng Thị Lý - Đơn vị công tác: Trường TH & THCS Trung Mỹ - Chức vụ: Giáo viên - Trình độ chun mơn: Đại học tốn Trung Mỹ, tháng 01 /2019 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến huyện Bình Xuyên a) Tác giả sáng kiến: Đặng Thị Lý - Ngày tháng năm sinh: 21/07/1979 Nam, nữ: Nữ - Đơn vị công tác: Trường TH &THCS Trung Mỹ - Chức danh: Giáo viên - Trình độ chuyên mơn: Đại học Tốn - Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo sáng kiến (ghi rõ đồng tác giả, có): 100% b) Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Đặng Thị Lý c) Tên sáng kiến; lĩnh vực áp dụng; mô tả chất sáng kiến; thông tin cần bảo mật (nếu có): - Tên sáng kiến: Một số giải pháp giúp học sinh giải dạng toán rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai - Lĩnh vực áp dụng: Khoa học Tự nhiên; - Mô tả sáng kiến: + Về nội dung sáng kiến: Để hình thành cho học sinh cách giải dạng toán rút gọn biểu thức cho dạng thức bậc hai có liên quan đến đẳng thức lớp 8,bình phương tổng,bình phương hiệu, tơi thực bước giải pháp sau: - Hình thành cho học sinh dạng biểu thức chứa viết thành dạng bình phương biểu thức qua tập đơn giản - Hướng dẫn học sinh biến đổi biểu thức dạng c ± (c ≥ 0;d ≥ 0) thành dạng bình phương tổng bình phương hiệu (nếu có thể) - Vận dụng giải pháp đẳng thức = để giải toán rút gọn - Vận dụng giải pháp vào giải đơn giản chứa nhiều dấu - Dùng phương pháp thêm bớt để biến đổi biểu thức thành bình phương biểu thức 5.1 Giải pháp 1: Hình thành cho học sinh dạng biểu thức chứa viết thành dạng bình phương biểu thức qua tập đơn giản Bài 1: Tính: a ( + 1)2 b - )2 c + )2 Giải a ( + 1)2 = (2 + + 12 = + + 1= + b - )2 = (2 - + ()2 = - c + )2 = (2 + + ()2 = + Học sinh sử dụng đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu thực khai triển biểu thức thu gọn sau quan sát dạng biểu thức thu Bài 2: Chứng minh đẳng thức 9+ = + 2)2 - = - 1)2 23 - = )2 14 - = ( - )2 Giải Học sinh sử dụng cách làm để giải dạng tập 2: a Biến đổi vế phải ta được: + 2)2 = (2 + 2+ 22 = + + = + a b c d Vậy đẳng thức chứng minh b Biến đổi vế phải ta được: - 1)2 = (2 - 1+ 12 = 3- + = - Vậy đẳng thức chứng minh c Biến đổi vế phải ta được: )2 = 42 - 2.4 +(2 = 16- + = 23 - Vậy đẳng thức chứng minh d Biến đổi vế phải ta được: - )2 = (2 - + ()2 = 3- +11 =14 - Vậy đẳng thức chứng minh Vậy vấn đề đặt muốn chứng minh cách biến đổi vế trái thành vế phải ta làm nào? 5.2 Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh biến đổi biểu thức dạng c ± (c ≥ 0;d ≥ 0) thành dạng bình phương tổng bình phương hiệu (nếu có thể): *Sử dụng đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu theo chiều từ phải sang trái để biến đổi • a2 + 2ab + b2= (a + b)2 dạng a+2+b = (2 +2 + ()2= + )2 a+2+1 = (2 + +12= +)2 • a2 - 2ab + b2= (a + b)2 dạng a - 2+ b = (2 - + ()2= - )2 a - 2+ = (2 - +12= - )2 • Các bước thực - Tách hạng tử có chứa thành dạng : - Thử tính có c khơng? - Nếu ta tách c = a + b *Hướng dẫn học sinh làm cách cách biến đổi vế trái thành vế phải: a 9+ = + 2)2 - Tách hạng tử có chứa 4 = 2= =2 =2 = - Nhẩm tính: = 20 + = 21 =2+10=12 = + 5= Ta thấy = + = ta tách thành tổng hai số Khi ta có: 9+ = + = + 2+ = = Ta biến đổi vế trái thành vế phải Vậy đẳng thức chứng minh b - = - 1)2 Ta thấy (= 3+1=4 Biến đổi vế trái, ta được: - = (= - 1)2 Vậy dẳng thức chứng minh c 23 - = )2 Ta thấy : =2.4 42 +()2 = 16 + = 23 Biến đổi vế trái, ta được: 23 - = (=)2 Vậy dẳng thức chứng minh d 14 - = ( - )2 Ta thấy = (2 +()2=3 + 11=14 Biến đổi vế trái, ta được: 14 - = (=)2 Vậy dẳng thức chứng minh 5.3 Giải pháp 3: Vận dụng giải pháp đẳng thức = để giải toán rút gọn • Sử dụng đẳng thức = = Bài 3: Rút gọn biểu thức sau: b Giải d với a nên C = * Lưu ý học sinh lấy hai vế phải nhớ xác định dấu của biểu thức để lựa chọn kết phù hợp * So sánh hai cách làm cách làm thứ biến đổi đơn giản cách làm bình phương hai vếta phải Vì với cách bình phương hai vế phải kết hợp nhiều cách biến đổi Bài Rút gọn biểu thức : E= Ta thấy biểu thức bên dấu chưa có dạng c ± ta cần làm xuất hệ số trước biểu thức bên dấu Vậy làm để làm xuất hệ số để giá trị biểu thức bên dấu không thay đổi? * Nhân biểu thức dấu với Khi biểu thức E= E= E= Đến ta sử dụng biến đổi câu a để làm tiếp E= = = = = Với tập ta dùng cách bình phương hai vế biểu thức: E2 =)2 E2= E2= 62 E2= E2= 64 = Vì E > nên E = *Trong biến đổi ta cần linh hoạt lựa chọn cách biến đổi phù hợp việc biến đổi đơn giản 5.4 Giải pháp 4: Vận dụng giải pháp vào giải đơn giản chứa nhiều dấu biểu thức phức tạp Để giải dạng toán ta thức bậc hai biến đổi dần thức bậc hai Đối với biểu thức phức tạp ta cần có quan sát phân tích để biểu diễn dạng bình phương vận dụng linh hoạt biến đổi để đơn giản biểu thức Bài Rút gọn biểu thức sau: F= F= = == == == === Bài Chứng tỏ số G ,H, K sau số nguyên G= H= K= Giải: G= Đặt I = = = = = = = = = = = Khi G = = =1 Vậy G số nguyên H= H== H == H = = =1 Vậy H số nguyên K= K= K= K= K= K= K= =1 Vậy K có giá trị nguyên Dùng cách đơn giản biểu thức cách biến đổi linh hoạt biểu thức dấu thức bậc hai thành bình phương biểu thức ta giải toán chứng minh biểu thức chứa phức tạp số nguyên hay thực chất đơn giản biểu thức chứa 5.5 Giải pháp 5: Dùng phương pháp thêm bớt để biến đổi biểu thức thành bình phương biểu thức Bài Rút gọn biểu thức: P= + 1≤ a ≤ 10 TRƯỜNG TH & THCS TRUNG MỸ Số: 05/TM Trung Mỹ, ngày 19 tháng 01 năm 2019 BẢN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỀ NGHỊ CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến huyện Bình Xuyên Trường THCS Trung Mỹ nhận đơn đề nghị công nhận sáng kiến bà: Đặng Thị Lý - Ngày tháng năm sinh: 21/07/1979 Nam, nữ: Nữ - Đơn vị công tác: Trường TH & THCS Trung Mỹ - Chức danh: Giáo viên - Trình độ chun mơn: Đại học tốn - Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo sáng kiến (ghi rõ đồng tác giả, có):100% - Chủ đầu tư tạo sáng kiến (nếu có): - Tên sáng kiến: Một số giải pháp giúp học sinh giải dạng toán rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai - Lĩnh vực áp dụng: + Kiến thức rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai + Áp dụng giảng dạy học sinh lớp từ trung bình trở lên ơn luyện học sinh vào 10 toàn huyện 14 + Phục vụ cho việc bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ cho giáo viên làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp Sau nghiên cứu đơn đề nghị công nhận sáng kiến - Tôi tên là: Trần Văn Chiến - Chức vụ: Hiệu trưởng - Thay mặt trường TH &THCS Trung Mỹ nhận xét, đánh sau: Đối tượng công nhận sáng kiến: Là giải pháp tác nghiệp hoạt động giảng dạy mơn tốn trường THCS Nhận xét, đánh giá nội dung sáng kiến: a) Đảm bảo tính mới, tính sáng tạo vì: - Khơng trùng với nội dung giải pháp đơn đăng ký sáng kiến nộp trước; - Chưa bị bộc lộ công khai văn bản, sách báo, tài liệu kỹ thuật đến mức vào thực được; - Khơng trùng với giải pháp người khác áp dụng áp dụng thử, đưa vào kế hoạch áp dụng, phổ biến chuẩn bị điều kiện để áp dụng, phổ biến; - Chưa quy định thành tiêu chuẩn, quy trình, quy phạm bắt buộc phải thực b) Giải pháp có khả mang lại lợi ích thiết thực: - Mang lại hiệu kinh tế: Học sinh hiểu biết cách vận dụng linh hoạt giải tốn - Mang lại lợi ích xã hội: Nâng cao chất lượng giảng dạy mơn tốn lớp nhà trường c) Về khả áp dụng sáng kiến cho cho học sinh lớp 9, giáo viên THCS Kiến nghị đề xuất: - Đề nghị công nhận sáng kiến bà Đặng Thị Lý 15 -Trường TH & THCS Trung Mỹ đề nghị Hội đồng sáng kiến xét công nhận sáng kiến Xin trân trọng cảm ơn./ HIỆU TRƯỞNG Trần Văn Chiến Mã số 16 - Tên sáng kiến: Một số giải pháp giúp học sinh giải dạng toán rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai - Lĩnh vực áp dụng: Khoa học Tự nhiên - Họ tên tác giả: Đặng Thị Lý - Đơn vị công tác: Trường TH & THCS Trung Mỹ 17 Trung Mỹ, tháng 01/2019 Họ tên, chữ ký người chấm điểm Điểm Số phách Người số 1:……………………………………… Người số 2:……………………………………… Tên sáng kiến: Một số giải pháp giúp học sinh giải dạng toán rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai - Mô tả sáng kiến: + Về nội dung sáng kiến: Để hình thành cho học sinh cách giải dạng toán rút gọn biểu thức cho dạng thức bậc hai có liên quan đến đẳng thức lớp 8,bình phương tổng,bình phương hiệu, tơi thực bước giải pháp sau: - Hình thành cho học sinh dạng biểu thức chứa viết thành dạng bình phương biểu thức qua tập đơn giản - Hướng dẫn học sinh biến đổi biểu thức dạng c ± (c ≥ 0;d ≥ 0) thành dạng bình phương tổng bình phương hiệu (nếu có thể) - Vận dụng giải pháp đẳng thức = để giải toán rút gọn 18 - Vận dụng giải pháp vào giải đơn giản chứa nhiều dấu - Dùng phương pháp thêm bớt để biến đổi biểu thức thành bình phương biểu thức 5.1 Giải pháp 1: Hình thành cho học sinh dạng biểu thức chứa viết thành dạng bình phương biểu thức qua tập đơn giản Bài 1: Tính: a ( + 1)2 b - )2 c + )2 Giải a ( + 1)2 = (2 + + 12 = + + 1= + b - )2 = (2 - + ()2 = - c + )2 = (2 + + ()2 = + Học sinh sử dụng đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu thực khai triển biểu thức thu gọn sau quan sát dạng biểu thức thu Bài 2: Chứng minh đẳng thức 9+ = + 2)2 - = - 1)2 23 - = )2 14 - = ( - )2 Giải Học sinh sử dụng cách làm để giải dạng tập 2: b Biến đổi vế phải ta được: + 2)2 = (2 + 2+ 22 = + + = + e f g h Vậy đẳng thức chứng minh b Biến đổi vế phải ta được: - 1)2 = (2 - 1+ 12 = 3- + = - Vậy đẳng thức chứng minh c Biến đổi vế phải ta được: )2 = 42 - 2.4 +(2 = 16- + = 23 - Vậy đẳng thức chứng minh e Biến đổi vế phải ta được: - )2 = (2 - + ()2 = 3- +11 =14 - Vậy đẳng thức chứng minh 19 Vậy vấn đề đặt muốn chứng minh cách biến đổi vế trái thành vế phải ta làm nào? 5.2 Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh biến đổi biểu thức dạng c ± (c ≥ 0;d ≥ 0) thành dạng bình phương tổng bình phương hiệu (nếu có thể): *Sử dụng đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu theo chiều từ phải sang trái để biến đổi • a2 + 2ab + b2= (a + b)2 dạng a+2+b = (2 +2 + ()2= + )2 a+2+1 = (2 + +12= +)2 • a2 - 2ab + b2= (a + b)2 dạng a - 2+ b = (2 - + ()2= - )2 a - 2+ = (2 - +12= - )2 • Các bước thực - Tách hạng tử có chứa thành dạng : - Thử tính có c không? - Nếu ta tách c = a + b *Hướng dẫn học sinh làm cách cách biến đổi vế trái thành vế phải: e 9+ = + 2)2 - Tách hạng tử có chứa 4 = 2= =2 =2 = - Nhẩm tính: = 20 + = 21 =2+10=12 = + 5= Ta thấy = + = ta tách thành tổng hai số Khi ta có: 9+ = + = + 2+ = 20 = Ta biến đổi vế trái thành vế phải Vậy đẳng thức chứng minh f - = - 1)2 Ta thấy (= 3+1=4 Biến đổi vế trái, ta được: - = (= - 1)2 Vậy dẳng thức chứng minh g 23 - = )2 Ta thấy : =2.4 42 +()2 = 16 + = 23 Biến đổi vế trái, ta được: 23 - = (=)2 Vậy dẳng thức chứng minh h 14 - = ( - )2 Ta thấy = (2 +()2=3 + 11=14 Biến đổi vế trái, ta được: 14 - = (=)2 Vậy dẳng thức chứng minh 5.3 Giải pháp 3: Vận dụng giải pháp đẳng thức = để giải tốn rút gọn • Sử dụng đẳng thức = = Bài 3: Rút gọn biểu thức sau: b Giải d với a nên C = * Lưu ý học sinh lấy hai vế phải nhớ xác định dấu của biểu thức để lựa chọn kết phù hợp * So sánh hai cách làm cách làm thứ biến đổi đơn giản cách làm bình phương hai vếta phải Vì với cách bình phương hai vế phải kết hợp nhiều cách biến đổi Bài Rút gọn biểu thức : E= Ta thấy biểu thức bên dấu chưa có dạng c ± ta cần làm xuất hệ số trước biểu thức bên dấu Vậy làm để làm xuất hệ số để giá trị biểu thức bên dấu không thay đổi? * Nhân biểu thức dấu với Khi biểu thức 23 E= E= E= Đến ta sử dụng biến đổi câu a để làm tiếp E= = = = = Với tập ta dùng cách bình phương hai vế biểu thức: E2 =)2 E2= E2= 62 E2= E2= 64 = Vì E > nên E = *Trong biến đổi ta cần linh hoạt lựa chọn cách biến đổi phù hợp việc biến đổi đơn giản 5.4 Giải pháp 4: Vận dụng giải pháp vào giải đơn giản chứa nhiều dấu biểu thức phức tạp Để giải dạng toán ta thức bậc hai biến đổi dần thức bậc hai Đối với biểu thức phức tạp ta cần có quan sát phân tích để biểu diễn dạng bình phương vận dụng linh hoạt biến đổi để đơn giản biểu thức Bài Rút gọn biểu thức sau: F= F= = == == == === Bài Chứng tỏ số G ,H, K sau số nguyên G= H= K= Giải: 24 G= Đặt I = = = = = = = = = = = Khi G = = =1 Vậy G số nguyên H= H== H == H = = =1 Vậy H số nguyên K= K= K= K= K= K= K= =1 Vậy K có giá trị nguyên Dùng cách đơn giản biểu thức cách biến đổi linh hoạt biểu thức dấu thức bậc hai thành bình phương biểu thức ta giải toán chứng minh biểu thức chứa phức tạp số nguyên hay thực chất đơn giản biểu thức chứa 5.5 Giải pháp 5: Dùng phương pháp thêm bớt để biến đổi biểu thức thành bình phương biểu thức Bài Rút gọn biểu thức: P= + 1≤ a ≤ 25 Nhận xét =2 .1 ta coi số thứ số thứ hai Như ta cần có số thứ bình phương ()2 = a1 (vì a ≥ 1) 12 = Ta biến đổi biểu thức dấu sau: = a1 +.1 +12 = ()2+.1+12 = ( +1)2 = a1 -.1 +12 = ()2.1+12 = ( 1)2 P=+ P= + P= + Với 1≤ a ≤ nên : P = -=2 Ta sử dụng rút gọn biểu thức vận dụng vào toán liên quan Bài Giải phương trình: + =1 ĐKXĐ: x ≥  + =1  + =1  + =1  + =1 Đặt y = (y ≥ 0) phương trình trở thành:  + =1 (*) + Nếu ≤ y