sáng kiến kinh nghiệm một số BIỆN PHÁP GIÚP học SINH làm tốt bài TOÁN HÌNH học TRONG mặt PHẲNG TOẠ độ OXY của kỳ THI THPT QUỐC GIA

KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học - Số năm có kinh nghiệm: 34 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1Phát huy tính tích cực sáng tạ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TrườngTHPT LONG KHÁNH

Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH LÀM TỐT BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ OXY CỦA KỲ

THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Hà Lê Anh Lĩnh vực nghiên cứu:

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2015-2016

BM 01-Bia SKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

––––––––––––––––––

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Hà Lê Anh

2 Ngày tháng năm sinh: 25-1- 1961

3 Nam, nữ: Nam

4 Địa chỉ: 54- Hai Bà Trưng –Phường Xuân Hoà – TX Long Khánh

5 Điện thoại: 0613876529 ĐTDĐ:0986612613

6 E-mail: haleanh_60@yahoo.com

7 Chức vụ: Tổ trưởng tổ Toán HPT Long Khánh

8 Nhiệm vụ được giao:

+ Thành viên HĐBM Toán của Sở GD&ĐT

+ Tổ trưởng tổ Toán THPT Long Khánh

+ Dạy BDHSG

+ Dạy Toán 12C3,10B1, 10B4

9 Đơn vị công tác: Tổ Toán THPT Long Khánh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị cao nhất: Cử nhân ĐHSP

- Năm nhận bằng:1983

- Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học

- Số năm có kinh nghiệm: 34 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

1)Phát huy tính tích cực sáng tạo cho học sinh bằng cách “ quy lạ về quen”

qua dạng toán chứng minh bất đẳng thức hình học trong tam giác bằng phương pháp đại số hóa- lượng giác hóa

2) Một số kinh nghiệm giải hệ phương trình hai ẩn bằng phương pháp thế

3) Phát huy tính tích cực , sáng tạo của học sinh qua bài toán hình học trong mặt phẳng toạ độ Oxy

4) Một số biện pháp giúp học sinh làm tốt bài toán hình học Oxy trong kỳ thi THPT Quốc Gia

BM02-LLKHSKKN

MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH LÀM TỐT BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ OXY CỦA KỲ THI

THPT QUỐC GIA

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1) Trong kỳ thi THPTQG có bài toán hình học giải bằng phương pháp toạ độ trong mp Oxy Là loại toán đòi hỏi phát triển năng lực cao Mức độ vận dụng tốt, điểm 8 trên thang điểm 10.Bài toán này dùng để phát triển năng lực học sinh ,phân loại học sinh giỏi , đáp ứng cho nhu cầu tuyển chọn nhân lực cao Theo kết quả của BGD-ĐT trong kỳ thi THPT năm học 2014-2015 tỉ lệ học sinh làm được bài này là : 10% (Theo kết quả công bố của Bộ GD&ĐT) Có một nghịch lý là số học sinh làm được bài này lại ít hơn số học sinh làm được câu điểm 9 là câu về phương trình, hệ phương trình Lý do là các em thường tiếp thu hình khó hơn tiếp thu đại

số và thời gian học cũng ít hơn Trong thực tế là các em chưa hình thành được một thuật toán giải loại toán này và các kỷ năng chứng minh hình học phẳng ( vốn học

từ lớp 9 ) Đó là khó khăn cơ bản mà học sinh gặp phải

2) Bài toán hình Oxy là nối tiếp của bài toán hình học phẳng ở cấp THCS dùng tư duy hình học và giải quyết bằng ngôn ngữ toạ độ Đề-Các trong mặt phẳng Oxy Như vậy mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng đều mang bản chất của một bài toán hình học phẳng nào đó Thông thường các bài toán dạng này đề

bài thường cho có một tính chất nào đó của hình học phẳng bị “ẩn” Đây là then

chốt của bài toán Thực tế học sinh chỉ cần vượt qua được cửa ải này là các em

làm được bài Vậy làm sao để giúp các em vượt qua “cửa ải” này để đặt chân vào ngôi đền bí ẩn đó

Để đẩy mạnh phong trào dạy tốt , học tốt trong tỉnh nhà Để hình thành cho các em

có một tư duy rõ ràng , mạch lạc để cho các em giải tốt bài toán này góp phần giúp các em có kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia Đó là lý do tôi chọn đề tài này

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1) Yếu tố tâm lý :

Do có tâm lý hình học phẳng là bài toán khó, học sinh ngại hình học phẳng Vì vậy, đây là rào cản tâm lý đối với các em Thực tế giáo viên phải chỉ ra cho học sinh là khó ở chỗ nào và các em có thể vượt qua được chỗ đó bằng những cách nào Bởi vậy, khi trang bị cho học sinh một hệ thống các phương pháp suy luận giải toán hình học toạ độ trong mặt phẳng thì các em tự tin khi làm bài Từ đó phần nào giải toả được áp lực tâm lý cho các em

2)Khó khăn khi dự đoán tính chất

Thông thường tính chất bị dấu nằm trong mối liên hệ giữa ba điểm mà giả thiết cho Bởi vậy rèn luyện cho các em luôn luôn tập trung vào các điểm đó và dựa vào hình vẽ cộng với các phán đoán như ba điểm tạo với nhau góc vuông, tạo với nhau một góc xác định được, ba điểm thẳng hàng, … để phát hiện được tính chất bị “dấu”

Tại sao ta phát hiện được AE  CE ? Chúng tôi hướng dẫn cho các em thấy, phải

tập trung vào mối quan hệ ba điểm là A, C, E của giả thiết Từ đó bằng hình vẽ các

em đoán ra tính chất Vậy dựa vào hình vẽ là một công cụ lợi hại để dự đoán tính

chất Tôi luôn luôn tập dượt cho các em điều này

3)Một khó khăn nữa đối với các em là chứng minh tính chất vừa đoán ra

Điều này đòi hỏi thầy cô giáo phải có một thời gian ôn tập lại một số kỹ năng chứng minh về hình học phẳng, nhất là chứng minh về tứ giác nội tiếp Sau đây tôi chia sẻ với các đồng nghiệp về chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng phương pháp toạ độ, rất có hiệu quả với các em ở phần các giải pháp

4) Sự hình thành tư duy và thuật toán

Tại sao các em lúng túng khi làm loại bài tập này ? Theo tôi các em do ngại khó nên ít tập dượt, mặt khác các em cũng chưa được trang bị một cách đầy đủ các

bước để giải bài tập Do đó, trong tham luận này tôi muốn nêu ra một qui trình

giải bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng Việc khai thác các tính chất hình

học phẳng để định hướng tìm lời giải bài toán hình học toạ độ và xem việc chỉ ra bản chất hình học phẳng sẽ bổ trợ cho giải bài toán Do “Mỗi bài toán hình học toạ

độ trong mặt phẳng luôn chứa đựng một bài toán hình phẳng tương ứng” Vì vậy phân tích bản chất của bài toán hình học phẳng để bổ trợ cho việc giải bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng là một suy nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ động hơn trong việc tìm kiếm lời giải cũng như phân loại một cách tương đối các bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng

a Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong đó yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải trên cơ sở phân tích bài toán hình học phẳng tương ứng

b Trong mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất hình học phẳng cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán

c Cung cấp hệ thống các bài tập cùng dạng để học sinh tự rèn luyện

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

Nội dung này được triển khai thông qua 12 buổi học (mỗi buổi học 3 tiết) Các buổi học chúng tôi nêu vấn đề và định hướng cách suy nghĩ giải toán Bằng cách phân tích trên hình phẳng tương ứng với bài toán, giáo viên phân tích lợi ích của việc “suy nghĩ có định hướng theo bản chất hình học phẳng của bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng”cũng như phân tích cho học sinh thấy rằng việc lựa chọn phương pháp giải không phải là ngẫu nhiên mà luôn chất chứa những nguyên nhân sâu xa rất bản chất Đó chính là cấu trúc của bài toán, hình thức của bài toán và các mối quan hệ “tất yếu”giữa các yếu tố tạo nên bài toán Cũng chính vì điều đó mà việc phân tích bài toán toạ độ trên hình phẳng tương ứng một mặt giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán, mặt khác giúp học sinh biết cách định hướng trong việc tìm lời giải bài toán Để các buổi học đạt hiệu quả, tôi đã thực hiện ngay trong học kỳ 1 lớp 12 Để tăng cường tính chủ động cho học sinh trong buổi học thứ nhất tôi đã cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập đề thi về bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng cho bài học Yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị lời

giải, phân loại các bài toán thành các nhóm tương tự nhau cũng như trả lời câu hỏi:

"tính chất hình phẳng trong bài toán ấy là gì? " Bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng xuất hiện thường xuyên trong các đề thi ĐH với mức độ tương đối khó Vì vậy để giải được dạng toán này chúng ta cần xây dựng phương pháp đặc trưng cho loại toán này là "phân tích bản chất hình học phẳng trong bài toán hình học toạ độ tương ứng”

Giải pháp 1 : Ôn tập kiến thức cũ

Biện pháp ôn tập :

+ Giáo viên lập đề cương ôn tập cho học sinh

+ Học sinh về nhà soạn đề cương chi tiết

+ Giáo viên cử một học sinh đại diện lên thuyết trình

+ Giáo viên cho các em thảo luận và giáo viên chốt lại

Sau đây là các vấn đề các em cần nắm vững để thực hiện

II Đường thẳng:

1)Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ u r  0r được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với 

Nhận xét:– Nếu u r là một VTCP của  thì ku r (k  0) cũng là một VTCP của  – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP

2)Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ n r  0r là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu giá của nó vuông góc với 

Nhận xét: – Nếu n r là một VTPT của  thì kn r (k  0) cũng là một VTPT của  – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT – Nếu u r là một VTCP và n r là một VTPT của  thì u rn r

3)Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua M x y0( 0; 0) và có VTCP u r ( ;u u1 2)

Phương trình tham số của : x x tu

4) Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua M x y0( 0; 0) và có VTCP u r ( ;u u1 2)

5) Phương trình tổng quát của đường thẳng

PT ax by c   0 với a2b2  0 là phương trình tổng quát của đường thẳng

(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn)

 đi qua điểm M x y0( 0; 0) và có hệ số góc k: Phương trình của : y y 0k x x(  0)

(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)

6) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1  1  1 0 và 2: a x b y c2  2  2 0

Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:

7) Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1  1  1 0 và 2:a x b y c2  2  2 0

 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by c   0 và điểm M x y0( 0; 0)

 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by c   0 và hai điểm M x( M;y M),N x( N;y N)

– M, N nằm cùng phía đối với   (ax Mby Mc ax)( N by N c) 0

– M, N nằm khác phía đối với  (ax Mby Mc ax)( Nby N c) 0

 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1  1  1 0 và 2: a x b y c2  2  2 0cắt nhau

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:

+ Bước 1 : Lập hệ trục toạ độ và tính toạ độ các điểm liên quan

+ Bước 2 : Dùng tính chất vuông góc của tích vô hướng để chứng minh

Ví dụ 1 : Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho hình thang vuông ABCD, vuông

tại A và B, biết AD= 2BC H là hình chiếu vuông góc của A lên BD E là trung điểm của đoạn HD H(-1;3), AE có phương trình : 4x+y +3 = 0 C(5; 4)

2 Tìm toạ độ A,B,D ?

Tính chất bị “ẩn “trong bài toán là AE vuông góc CE Bước qua được chốt này

coi như đặt được một chân vào “cung cấm”

dùng kiến thức hình phẳng để chứng minh AE  CE là khá khó với các em, vì phải lấy thêm trung điểm của AB Bởi vậy tôi cho các em lập hệ trục toạ độ có gốc

A và D nằm trên chiều dương trục hoành, D(2a;0) a>0, B(0;b) b> 0 Tìm toạ độ C,

E qua a, b rồi tính uuur uuurAE CE. là xong

Ví dụ 2 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chử nhật ABCD , đỉnh B thuộc

đường thẳng d : 2x – y + 2 = 0 , C thuộc đường thẳng d’ :x – y – 5 = 0

H là hình chiếu của B xuống AC M(9 2;

5 5 ) , K(9 ;2) lần lượt là trung điệm của AH

và CD Tìm toạ độ của B ,C biết hoành độ của C lớn hơn 4

Phân tích :

Trong bài toán này có tính chất là BM

KM Để giải quyết khó khăn khi chứng minh tôi cho các em dùng phương pháp toạ độ bằng cách chọn hệ trục toạ độ Bxy với A(a ;0) a > 0 ; C( 0 ;c) c > 0 dể dàng chứng minh được uuuur uuuurBM KM  0  BM

KM Lưu ý rằng đối với học sinh thì chứng minh bằng phương pháp thuần tuý sơ cấp

là khó khăn hơn phương pháp này Nếu tập cho các em nhuần nhuyễn thì hiệu quả rất lớn Phương pháp này nếu kiên nhẫn

rèn luyện thì học sinh trung bình khá trở lên có thể thực hiện được

Giải pháp 3 : Rèn luyện kỷ năng giải một số bài toán gốc

Các bài toán mà các em gặp phải trong các đề thi thường xuất phát từ các bài toán gốc sau đây :

Bài toán 1: Điểm đối xứng qua đường đường phân giác

Tính chất: Hai đường thẳng  1; 2cắt nhau tại I, đường phân giác của góc của

M là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác.Từ mối quan hệ ba điểm

B; G; M em tìm tọa độ điểm nào? Từ đó các em tìm được tọa đọ điểm M

AD là phân giác trong của góc A, B là điểm biết tọa độ thuộc AB, vậy điểm K đối xứng B qua AD thuộc đường thẳng nào? Áp dụng tính chất đường phân giác các

em phát hiện K thuộc AC

Do M và K là các điểm thuộc AC vậy phương trình AC viết được, suy ra tọa độ A

x y

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, phân giác trong của

góc A có phương trình: x  y 2 0, đường cao kẻ từ B có phương trình:

4x3y 1 0, H (-1;-1) là hình chiếu vuông góc của C lên AB Tìm tọa độ C?

Đề thi khối B – 2008

*Tìm tòi lời giải:

AD là phân giác góc A, H thuộc AB K là điểm đối xứng với H qua AB  K thuộc AC Trên đường thẳng AC xác định được tọa độ điểm K, đường thẳng AC đi qua K và vuông góc với BE  phương trình AC  tọa độ A Do A và H xác định được tọa độ nên viết được phương trình AB, tìm được B, phương trình AC  tọa

độ C

*Lời giải:

K là điểm đối xứng với H qua AD  K (-3;1) AC qua K và vuông góc với BE 

phương trình AC: 3x4y 7 0, tọa độ A (5;7), CH qua H và vuông góc với AH

có phương trình 3x4y 7 0 Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:

Bài toán 2: Dùng tính chất hai đường thẳng vuông góc

Nếu uura uurbthì ura b.ur0

Các bài toán để khai thác tính chất vuông góc của hai đường thẳng hầu hết tính vuông góc đều “ẩn” Dựa vào hình vẽ và bằng trực giác hướng dẫn học sinh phát hiện Bởi vậy việc vẽ hình chính xác là một điều kiện dẫn đến sự phán đoán đúng

Ví dụ 3

Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình vuông ABCD, có A(-2;6),

B(d):x2y 6 0 M và N là hai điểm trên hai cạnh BC và CD sao cho

BM=CN I là giao điểm của AM và BN và 2 14( ; )

Ví dụ 4

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa dộ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(d):

4 0

tọa độ các đỉnh hình vuông

*Tìm tòi lời giải:

Ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm A Từ yếu tố MCNC ta có được một phương trình cho C, vì c có hai ẩn vậy phải tìm một phương trình nữa Dựa vào hình vẽ các

em có thể phán đoán ACMN Nếu phán đoán đúng thì khi đó ta có uuuur uuuuurAC MN 0 ta được phương trình thứ hai, vậy giải quyết được C Khi biết được C thì B và D dễ dàng tìm được Vậy mấu chốt là chứng minh được ACMN

*Lời giải:

+Chứng minh ACMN

Do MAN cân tại AMA=NA vậy A thuộc đường trung trực của MN Do 

vuông ABM bằng  vuông ADN MB=ND  NC=MC vậy C  trung trực MN

Tính chất 3: Xác định toạ độ điểm nhờ ba điểm thẳng hàng

Nếu A,B,C thẳng hàng thì ABuuuurvà uuuurAC cùng phương  uuuurAB=kuuuurAC

Khi hai véc tơ cùng phương ta khai thác được hai phương trình, đây là một lợi thế không nhỏ Khi giả thiết cho hai điểm xác định tọa độ, chúng tôi cho học sinh phát hiện xem có điểm nào khả nghi trên đường thẳng qua hai điểm đó không ? Nếu có thì tiến hành so sánh hai véc tơ tạo thành

Đường thẳng Ơ-le được học sinh học ở lớp 10(phần vectơ) Đây là một tính chất nói về ba điểm thẳng hàng Chúng tôi sau khi cho các em ôn tập lại tính chất đó

Để khai thác tính chất này, chúng tôi cho các em làm các ví dụ sau đây:

H và M(1;1) là trung điểm cạnh BC Xác định A,B,C

*Tìm tòi lời giải:

Gỉa thiết của bài toán đưa đến một liên tưởng về đường thẳng Ơ-le đó là ba điểm thẳng hàng H,G,I với G là trọng tâm tam giác ABC Ta có uuuurHG2uuurGI , từ đấy xác định G Xác định được G là cởi được nút thắt của bài toán Từ G ta xác định A và xác định B,C

Điều gì làm chúng ta nghỉ tới đường thẳng Ơ-le? Đó là giả thiết đề cập đến trực tâm H và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác Dùng tính chất hình phẳng mà học sinh đã được ôn tập: “Trong tam giác ABC, tâm đường tròn ngoại tiếp I, trực tâm

H và trọng tâm G là ba điểm thẳng hàng đồng thời uuuurHG2GIuuur ”

*Lời giải:

+Chứng minh uuuurHG2GIuuur

Tìm tòi lời giải:

Nếu ở ví dụ 11 ta hướng dẫn học sinh

tìm toạ độ trọng tâm G thông qua mối quan hệ 3 điểm thẳng hàng H, G, I thì

bài tập này, chúng ta hướng sự suy nghĩ của học sinh vào cách tìm trực tiếp

điểm A thông qua mối quan hệ giữa

2 Viết phương trình AC

Tìm tòi lời giải:

Để viết phương trình AC ta chỉ cần xác định C Để xác định C

ta phải xác định G Do

 ; 2 

G t t nên G chỉ cần một phương trình với ẩn t Diện tích tam giác chắc chắn có liên quan đến khoảng cách từ C đến AB Theo giả thiết khoảng cách này xác định được Vậy khoảng cách này liên quan đến G chỗ nào? Vấn đề là chỗ đó Theo tính chất trọng tâm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm cạnh

BC, N là điểm trên CD sao cho CN = 2.ND

AN là tính được Gọicạnh hình vuông là p ta có 10

Bài toán 5: Lập phương trình đường thẳng qua một điểm cho trước và tạo với

đường cho trước một góc xác định

Khi một đường thẳng di qua một điểm và tạo với một đường thẳng cho trước một

góc được xác định, thì phương trình đường thẳng đó viết được phương trình.Dấu

hiệu sử dụng kết quả này là giả thiết cho phương trình một đường thẳng và đường

thẳng ‘’đối tác’’ còn lại đi qua một điểm biết tọa độ

*Trong mặt phẳng cho tam giác ABC:

uuuur uuuur Trong mặt phẳng cho 2 đường thẳng  1, 2 lần lượt có phương trình:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A Biết phương

trình cạnh BC là (d): x7y 31 0, điểm N 7;7 thuộc AC, M2; 3  thuộc AB

và ở ngoài đoạn AB Viết phương trình AB, AC

Tìm tòi lời giải:

Tam giác ABC vuông cân tại A, vậy

Phương trình AB: 3x4y 18 0

Phương trình AC: 4x3y490

Trường hợp này AB, AC, BC đồng quy nên loại

Do đó phương trình AB: 4x3y 1 0, AC: 3x4y 7 0

Ví dụ 10:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho P7;8 và hai đường thẳng  d1 : 2x5y 3 0;

 d2 :5x2y 7 0 cắt nhau tại A Viết phương trình đường thẳng  d đi qua P 3tạo với d d1, 2 một tam giác cân tại A có diện tích 29

2

S

Tìm tòi lời giải:

Dễ dàng thấy d1d2, vậy ABC cân tại A thì ABC chính là tam giác vuông cân tại A

3

d là đường thẳng qua P tạo với d1 góc 450

Lời giải:

*Khi 7a 3b Tương tự trên nhưng không thoả yêu cầu (loại)

Giải pháp 4 : Rèn luyện kỷ năng phát hiện tính chất và định hướng tìm tòi lời giải

Bước 1: Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán Trên cơ sở dữ kiện và yêu cầu bài

toán phân tích các yếu tố hình phẳng cần thiết để giải toán

Bước 2: Lập sơ đồ các bước giải bài toán

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ ở bước 2

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác vuông ABC vuông

tại A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC D là điểm đối xứng của

B qua H K là hình chiếu vuông góc của C lên AD Giả sử h(-5 ; -5), K( 9 ; - 3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng x – y + 10 = 0 Tìm toạ độ điểm A (Trích Đề thi THPTQG – 2015 )

Bước 1 Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán

Bước 2 Lập sơ đồ các bước giải bài toán

Do điểm M  x – y + 10 = 0 Vậy M phải là đối tượng mà các em phải xem xét Từ

đó các em phát hiện được mối quan hệ ba điểm H, M, K là tam giác HMK cân

tại M Với phát hiện này ta tìm được toạ độ M(0;10)

Từ hình vẽ ta dự đoán A, K đối xứng với nhau qua HM Nếu điều này đúng thì tìm được toạ độ A Hướng học sinh vào chứng minh MH là trung trực của AK

+ Chứng minh HAHK

+ Viết phương trình đường thẳng AK

+ Tìm giao điểm AK với HM

+ Tìm toạ độ A

Bước 3 Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2

Phương trình đường trung trực HK: 7x + y – 10 = 0

Toạ độ giao điểm J của MH với AK là J( - 3 ; 1 ) Toạ độ A (-15 ; 5 )

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm K(2;2) Đường tròn nội tiếp

tam giác ABC có tâm I(0;1) Đỉnh A ( - 2 ; 5 ) Tìm toạ độ B ; C

(Trích đề thi HSG lớp 12 – Đồng Nai 2015 )

Bước 1 Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau:

Gọi D là giao của AI với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì: DB = DI

Tại sao phát hiện được tính chất này ? Đây là mấu chốt của bài toán Chúng ta hãy

cho các em thấy được mối quan hệ giữa các điểm A, I, B , từ đó phải ngắm điểm D

là tất yếu Vậy , phán đoán DI = DB là có cơ sở Điều tiếp theo là chinh phục dự đoán đó

Bước 2 Lập sơ đồ các bước giải bài toán

+ Chứng minh KD  BC

Bước 3 Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2

Ví dụ 3 Cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB,

P Biết x A  4, tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông

Bước 1 Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau:

Ta có MBC NCDCM DN

Tứ giác AMID nội tiếp đường tròn tâm E( với E là trung điểm của AH) suy ra ED

= EI, mà H là trung điểm của DI EH DI AHDN,

mà CM DN suy ra CM // AH, mặt khác AM // CP nên tứ giác AMCP là hình bình hành, do đó P là trung điểm DC  tứ giác AMPD là hình chữ nhật

Bước 2 Lập sơ đồ các bước giải bài toán

+ Chứng minh tam giác AIP vuông tại I

+ Viết phương trình đường thẳng AI: đi qua I và vuông góc với PI

+ Chứng minh AI = 2 IP, AAI biểu thị toạ độ điểm A theo tham số t AI = 2IP suy ra toạ độ điểm A, rồi viết phương trình AP

+ Viết phương trình DN: qua I và vuông góc với AP, suy ra toạ độ điểm

HAPDN, H là trung điểm ID suy ra toạ độ điểm D

+ Viết phương trình DC: qua D và vuông góc với AD, suy ra toạ độ điểm

PAHDC, P là trung điểm DC suy ra toạ độ điểm C

+ uuurABDCuuur suy ra toạ độ điểm B

Bước 3 Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2

Tứ giác AMID nội tiếp đường tròn tâm E( với E là trung điểm của AH) suy ra ED

= EI, mà H là trung điểm của DI EH DI AHDN,

mà CM DN suy ra CM // AH, mặt khác AM // CP nên tứ giác AMCP là hình bình hành, do đó P là trung điểm DC  tứ giác AMPD là hình chữ nhật

Đường thẳng AI qua I và vuông góc với PI nên có phương trình 3x 4y 22  0

Ví dụ 4 Cho hình vuông ABCD và điểm E thuộc cạnh BC Một đường thẳng qua

A vuông góc với AE cắt CD tại F, đường thẳng chứa trung tuyến AM của tam giác AEF cắt CD tại K Tìm toạ độ điểm D biết A(-6; 6), (-4; 2), K(-3; 0)

Bước 1 Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau:

AF

     nên tam giác AEF cân tại A, mà AM là đường trung tuyến  AM  EF Do đó 3 điểm A, E, F thuộc đường tròn tâm M bán kính MA

Bước 2 Lập sơ đồ các bước giải bài toán

+ Chứng minh AM  EF; A, E, F thuộc đường tròn tâm M

+ Viết phương trình EF: qua M và vuông góc AM

+ Viết phương trình đường tròn (C) tâm M bán kính MA

+ E, F là giao điểm của đường thẳng EF và đường tròn (C), suy ra toạ độ E, F + Viết phương trình CD đi qua F, K Viết phương trình AD: đi qua A và vuông góc với CD, suy ra toạ đô DADCD

Bước 3 Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2

x y

Viết phương trình CD đi qua F, K: 4x 3y 12  0

Viết phương trình AD: đi qua A và vuông góc với CD, suy ra 6 12;

5 5

D 

 

Trường hợp 1: E(0; 4), F(-8; 0) suy ra D(-6;0)

Ví dụ 5 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC;

M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH Trên cạnh CD lấy điểm K sao cho

Bước 1 Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau: MN

là đường trung bình của tam giác HAB / / , 1

Ta có MN BC BH, MC nên N là trực tâm tam giác BCM CNBM, mà MK //

+ uuurABDCuuur suy ra toạ độ điểm A

Bước 3 Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2

MN là đường trung bình của tam giác HAB / / , 1

Ta có MN BC BH, MC nên N là trực tâm tam giác BCMCNBM, mà MK //

Ví dụ 6 Cho hình chữ nhật ABCD có D(4; 5), M là trung điểm đoạn AD, đường

thẳng CM có phương trình x 8y 10  0 Điểm B nằm trên đường thẳng

d x  y y  Tìm toạ độ A, B, C

Bước 1 Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau:

+ B d1 Biểu thị toạ độ điểm B theo tham số b  toạ độ điểm B

+ C thuộc CM nên biểu thị toạ độ điểm C theo tham số c CB CDuuur uuur  0 suy ra toạ độ điểm C

+ uuurABuuurDC toạ độ điểm A

Bước 3 Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2

Ví dụ 7 Cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm của CD, đường thẳng BN

có phương trình là 13x 10y 13  0, điểm M(-1; 2) thuộc đoạn thẳng AC sao cho

AC = 4 AM Gọi H là điểm đối xứng với N qua C, H thuộc đường thẳng : 2 x 3 y 0

   Biết 3AC = 2AB, tìm toạ độ A, B, C, D

Bước 1 Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau:

Gọi I ACBD G, BNAC suy ra G là trọng tâm tâm tam giác BCD

+ Tam giác MNH vuông tại M suy ra phương trình đường thẳng MN

+ NBNMN toạ độ điểm N; C là trung điểm NH suy ra toạ độ C

+ N là trung điểm CD suy ra toạ độ điểm D

+ CMuuuur 3MAuuur toạ độ điểm A, I, B

Bước 3 Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2

Gọi I  ACBD G, BNAC suy ra G là trọng tâm tâm tam giác BCD

Bước 1 Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau:

Gọi I là trung điểm của BD

2

BD

IM IN I thuộc trung trực của MN

Bước 2 Lập sơ đồ các bước giải bài toán

+ Chứng minh I thuộc trung trực của MN

+ Viết phương trình đường trung trực của MN, suy ra toạ độ điểm I, suy ra độ dài

IM, BD, AC

+ Viết phương trình đường tròn đường kính AC, suy ra toạ độ A, C là giao điểm của AC và đường tròn đường kính AC

Bước 3 Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2

Gọi I là trung điểm của BD

1 2

Ví dụ 9 Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AD và BC, biết AB = BC, AD =

7 Đường chéo AC có phương trình x 3y  3 0, điểm M(-2; -5) thuộc đường thẳng AD Viết phương trình CD biết B(1; 1)

Bước 1 Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau:

Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ABCD nội tiếp đường tròn

Mà AB = BC = CD  ·BACCAD· nên AC là đường phân giác trong góc ·BAD Gọi

E là điểm đối xứng của B qua AC suy ra E thuộc AD

Bước 2 Lập sơ đồ các bước giải bài toán

+ Chứng minh AC là phân giác trong góc BAD·

+ Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC suy ra E thuộc AD Viết phương trình BE, suy ra toạ độ điểm FBEAC, F là trung điểm của BE suy ra toạ độ điểm E + Viết phương trình AD đi qua E và M, suy ra toạ độ AADAC

+ D AD  toạ độ điểm D biểu thị theo tham số, AD = 7 suy ra toạ độ D

+ Viết phương trình BC đi qua B và song song AD, suy ra toạ độ CACBC

Bước 3 Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2

Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ABCD nội tiếp đường tròn

Mà AB = BC = CD  ·BACCAD· nên AC là đường phân giác trong góc ·BAD Gọi

E là điểm đối xứng của B qua AC suy ra E thuộc AD