Phép biến đổi tích phân dạng fourier và ứng dụng giải một số phương trình vi phân và tích phân : Luận án TS. Toán học: 62 46 01 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−− −−− PHAN ĐỨC TUẤN PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−− −−− PHAN ĐỨC TUẤN PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62 46 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội-2012 MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương Phép biến đổi Hartley 1.1 Phép biến đổi Fourier 1.1.1 Phép biến đổi Fourier Rd 1.1.2 Phép biến đổi Fourier đoạn hữu hạn 1.2 Phép biến đổi Hartley 1.2.1 Phép biến đổi Hartley Rd 1.2.2 Phép biến đổi Hartley đoạn hữu hạn 13 13 13 16 20 20 38 Chương Phép biến đổi tích phân dạng Fourier đối xứng 49 2.1 Định nghĩa tính chất 49 2.2 Nguyên lý bất định Heisenberg 66 Chương Ứng dụng giải số phương trình vi phân tích phân 74 3.1 Giải phương trình vi phân 74 3.1.1 Giải phương trình vi phân thường 74 3.1.2 Giải phương trình đạo hàm riêng 79 3.2 Giải phương trình tích phân 86 3.2.1 Phương trình tích phân dạng chập với nhân Hermite 86 3.2.2 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel 92 Kết luận 103 Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 104 Tài liệu tham khảo 105 Phụ lục 110 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU d : Số nguyên dương cho trước N : tập hợp số tự nhiên Z : tập hợp số nguyên Z∗ : tập hợp Z \ {0} α : đa số xác định α = (α1 , , αd ) ∈ Nd , |α| = α1 + · · · + αd , Dxα ∂ |α| := α1 ∂x1 ∂xαd d xy : tích vơ hướng x y, xác định xy = x1 y1 + · · · + xd yd , x, y ∈ Rd , |x|2 = x21 + · · · + x2d , xα = xα1 xαd d S : không gian hàm f khả vi vô hạn Rd thỏa mãn sup sup (1 + |x|2 )m |(Dxα f )(x)| < ∞, (m = 0, 1, 2, ) |α|≤m x∈Rd L1 (E) : không gian hàm f khả tích Lebesgue E, với chuẩn f |f (x)|dx = E L2 (E) : không gian hàm f bình phương khả tích Lebesgue E, với chuẩn f 2 |f (x)|2 dx, f, g = = E f (x)g(x)dx E C0 (Rd ) : không gian hàm f liên tục Rd triệt tiêu vô với chuẩn f ∞ = sup |f (x)| x∈Rd l2 (Z) : không gian dãy số a = {an }n∈Z thỏa mãn |an |2 < +∞ với chuẩn a = n∈Z |an |2 n∈Z c0 (Z) : không gian dãy số bị chặn a = {an }n∈Z thỏa mãn lim an = với chuẩn a = sup |an | |n|→∞ n∈Z Hα (x) : đa thức Hermite xác định 2 Hα (x) = (−1)|α| e|x| Dxα e−|x| Φα (x) : hàm Hermite xác định 2 Φα (x) = (−1)|α| e |x| Dxα e−|x| cas(x) : hàm Hartley xác định cas x = cos x + sin x [x] : hàm phần nguyên x MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí lựa chọn đề tài Nhiều vấn đề khoa học công nghệ đưa đến việc giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân Chẳng hạn, tốn tính độ lệch đứng dầm vơ hạn dẫn đến giải phương trình vi phân thường sau (xem [15]) EI du d4 u + k = W (x), −∞ < x < ∞ dx4 dx (0.1) Khi nghiên cứu dao động dây, màng mỏng, sóng âm, sóng tạo thủy triều, sóng đàn hồi, sóng điện trường, dẫn đến giải phương trình truyền sóng sau (xem [10, 15, 47]) ∂ 2u 2∂ u −a = ∂t2 ∂x2 (0.2) Trong học lượng tử, xung lượng hạt biểu diễn qua phương trình tích phân Fredholm sau (xem [1, 12]) ϕ(x) = K(x, y)ϕ(y)dy (0.3) Ω Một vấn đề đặt tìm lời giải cho phương trình vi phân, tích phân vấn đề khoa học công nghệ đưa đến Có nhiều hướng tiếp cận dựa nhiều lý thuyết toán học khác việc giải vấn đề như: điều kiện tồn nghiệm, ổn định nghiệm; giải tìm nghiệm đúng, nghiệm gần đúng, nghiệm suy rộng, v.v Trong số đó, việc sử dụng biến đổi tích phân để giải phương trình kể đời sớm liên tục phát triển tận ngày Có vai trị đặc biệt quan trọng lý thuyết phải kể đến trước hết biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Hartley, biến đổi Laplace, biến đổi Mellin, sau biến đổi Hankel, Kontorovich-Lebedev, Stieltjes, Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết chập liên kết với biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỉ XX Tuy nhiên, trước năm 50 kỉ trước, khơng có nhiều chập liên kết với biến đổi tích phân xây dựng Cho đến kết Kakichev V.A (1967) Kakichev V.A., Thao N X (1998) công bố (xem [31, 33]) phương pháp kiến thiết xây dựng chập suy rộng loạt chập suy rộng liên kết với biến đổi tích phân khác đời Những năm gần đây, có nhiều báo sách ứng dụng biến đổi tích phân, chập liên kết với biến đổi tích phân cơng bố (xem [9, 11, 19, 21, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 32, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 53, 54]) Đáng ý biến đổi Fourier hữu dụng việc giải phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân lý sau (xem [15]): trước tiên, phương trình thay phương trình đại số đơn giản, cho phép tìm nghiệm biến đổi Fourier hàm Nghiệm phương trình ban đầu thu thông qua biến đổi Fourier ngược Thứ hai, biến đổi Fourier nguồn gốc ban đầu để xác định nghiệm bản, minh họa cho ý tưởng xây dựng hàm Green sau Thứ ba, biến đổi Fourier nghiệm kết hợp với định lý chập cung cấp cách biểu diễn nghiệm tường minh cho toán biên ban đầu Các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine Rd , Fourier, Fourier ngược biến đổi Hartley định nghĩa không gian L1 (Rd ) sau (xem [6, 7, 39, 41, 47]): (Tc f )(x) := (Ts f )(x) := (F f )(x) := (F −1 f )(x) := (H1 f )(x) := (H2 f )(x) := f (y) cos(xy)dy, d (2π) Rd f (y) sin(xy)dy, d (2π) (2π) (2π) d d Rd f (y)e−ixy dy, Rd f (y)eixy dy, f (y) cas(xy)dy, d (2π) Rd f (y) cas(−xy)dy, d (2π) (0.4) Rd Rd đó, cas u := cos u + sin u Theo công thức Euler biến đổi Fourier, Fourier ngược Hartley biểu diễn tuyến tính qua hai biến đổi Fourier cosine Fourier sine Rd F −1 = Tc + iTs , F = Tc − iTs , H2 = Tc − Ts H1 = Tc + Ts , Điều đưa đến cho ý tưởng xét biến đổi tích phân Ta,b = aTc + bTs , a, b ∈ C, gọi biến đổi tích phân dạng Fourier Trong số này, biến đổi Hartley có số ưu điểm định như: Chúng đóng vai trị quan trọng xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, xử lý âm (xem [6, 7, 8, 28, 37, 52]) Khi tính tốn số với hàm nhận giá trị thực biến đổi Hartley nhanh biến đổi Fourier biến đổi Hartley hàm nhận giá trị thực hàm nhận giá trị thực, biến đổi Fourier hàm nhận giá trị thực hàm nhận giá trị phức Theo Ví dụ 1.2, với hàm nhận giá trị thực √  2π e−x x > 0, f (x) =  x < 0, ảnh Fourier f hàm nhận giá trị phức (F f )(x) = , + ix ảnh Hartley f hàm nhận giá trị thực (H1 f )(x) = x+1 x−1 , (H f )(x) = x2 + x2 + So với biến đổi Fourier cosine, Fourier sine biến đổi Hartley khả nghịch biến đổi Fourier cosine, Fourier sine lại không khả nghịch Trong sách phép biến đổi tích phân (xem [39]), Olejniczak K J viết: "có lẽ đóng góp giá trị Hartley biến đổi tích phân đối xứng phát triển khởi đầu từ vấn đề truyền tải sóng điện thoại Mặc dù biến đổi bị lãng quên gần 40 năm, nghiên cứu lại thập kỷ qua hai nhà toán học Wang Bracewell - người tạo lý thuyết hấp dẫn đề tài này" Với lí trên, lựa chọn đề tài "Phép biến đổi tích phân dạng Fourier ứng dụng giải số phương trình vi phân tích phân" Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu tính chất tốn tử, xây dựng chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley với hàm trọng Hermite hàm trọng Sử dụng chúng để giải số phương trình vi phân tích phân miền vơ hạn Song song với phương trình xác định miền vơ hạn phương trình xác định miền hữu hạn Do đó, luận án đưa hai biến đổi Hartley hữu hạn xây dựng chập liên kết với biến đổi để giải phương trình miền hữu hạn Ngồi ra, luận án cịn xét biến đổi tích phân dạng Fourier (T f )(x) = √ 2π f (y)[2 cos(xy) + sin(xy)]dy, R nghiên cứu đặc trưng đại số, xây dựng chập liên kết với biến đổi nguyên lý bất định Heisenberg Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu đặc trưng đại số biến đổi tích phân Từ đó, tìm biến đổi ngược ngược từ đẳng thức nhân tử hóa để xây dựng chập, chập suy rộng liên kết với biến đổi tích phân Đối với biến đổi tích phân xây dựng bốn chập mà nhân chúng có dạng [f (x + y) + f (x − y) + f (−x + y) − f (−x − y)]g(y), [f (x + y) + f (x − y) − f (−x + y) + f (−x − y)]g(y), [f (x + y) − f (x − y) + f (−x + y) + f (−x − y)]g(y), [−f (x + y) + f (x − y) + f (−x + y) + f (−x − y)]g(y) Do đó, tích phân có dạng f (±x ± y)g(y)dy, biểu diễn qua chập Nhờ vậy, chúng tơi đưa phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel hệ phương trình tuyến tính Từ kết đại số tuyến tính biến đổi ngược, đưa điều kiện cần đủ để phương trình có nghiệm cơng thức nghiệm tường minh 10 Cấu trúc luận án kết Luận án gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận phụ lục: Chương trình bày số tích chất biến đổi Fourier Rd biến đổi Fourier đoạn hữu hạn Xây dựng chập, chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley với hàm trọng Hermite khơng có hàm trọng Định nghĩa biến đổi Hartley đoạn hữu hạn xây dựng chập, chập suy rộng liên kết với biến đổi tích phân Chương đưa biến đổi tích phân dạng Fourier T Chứng minh số đặc trưng đại số như: + T biến đổi đối xứng không unita + T có đa thức đặc trưng PT (t) = t4 − 5t2 + + T không thỏa mãn đẳng thức Parseval + T thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg + T biến hàm nhận giá trị thực thành hàm nhận giá trị thực + T toán tử khả nghịch với toán tử ngược (T −1 g)(y) = √ 2π g(ξ)[ cos(yξ) + sin(yξ)]dξ R Xây dựng chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley, T với hàm trọng Hermite khơng có hàm trọng Chương sử dụng kết thu Chương Chương vào giải số phương trình vi phân tích phân như: phương trình xác định độ lệch đứng dầm, phương trình xác định độ võng tĩnh dầm, phương trình truyền sóng, phương trình khuếch tán, phng trỡnh Schrăodinger, phng trỡnh tớch phõn dng chp vi nhân Toeplitz - Hankel, nhân chứa hàm Hermite Bên cạnh đó, chúng tơi cịn sử dụng phần mềm Maple để giải nghiệm tường minh cho số phương trình xét Đặc biệt, với công cụ chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley hữu hạn mà lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel sau (xem [48]) λϕ(x) + π b [p(x − y) + q(x + y)]ϕ(y)dy = f (x), (0.5) a giải thu nghiệm dạng chuỗi Phương trình có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác lý thuyết tán xạ, lý 11 dạng chập với nhân gồm nhiều hàm Hermite, nhân Toeplitz - Hankel tồn trục có nghiệm cơng thức nghiệm tường minh Đặc biệt, đưa điều kiện để lớp phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel đoạn hữu hạn có nghiệm với vế phải công thức nghiệm dạng chuỗi Các kết chương cơng bố báo [1, 3] “Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án” 102 KẾT LUẬN Luận án đưa số biến đổi tích phân dạng Fourier, xây dựng chập suy rộng liên kết với biến đổi tích phân đưa lấy làm công cụ để giải số phương trình vi phân, tích phân Luận án thu số kết sau: + Xây dựng số chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley Rd + Đưa hai biến đổi Hartley hữu hạn xây dựng số chập suy rộng liên kết với biến đổi tích phân + Đưa biến đổi tích phân dạng Fourier đối xứng T Chứng minh số đặc trưng toán tử, nguyên lý bất định Heisenberg xây dựng chập suy rộng liên kết với biến đổi Hartley T + Giải số phương trình vi phân quen thuộc cách sử dụng biến đổi tích phân chập suy rộng xây dựng + Đưa điều kiện cần đủ cho lớp phương trình tích phân dạng chập với nhân hàm Hermite, nhân Toeplitz - Hankel toàn trục có nghiệm cơng thức nghiệm tường minh Đặc biệt, điều kiện để lớp phương trình tích phân với nhân Toeplitz Hankel đoạn hữu hạn có nghiệm với vế phải cơng thức nghiệm dạng chuỗi Tiếp theo kết luận án, tác giả nhận thấy có số vấn đề cần nghiên cứu như: mở rộng kết biến đổi tích phân T lên không gian L1 (Rd ); xét biến đổi Hartley hữu hạn nhiều chiều; khắc phục điều kiện tuần hoàn định lý chập biến đổi Hartley hữu hạn nhằm mở rộng lớp phương trình tích phân nhân Toeplitz - Hankel; hàm L2 (R) biểu diễn qua chập liên kết với biến đổi Hartley với hàm trọng Hermite 103 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Tuan N M., and Tuan P D (2009), “Generalized convolutions relative to the Hartley transforms with applications”, Sci Math Jpn, 1(70), pp 77 - 89 Tuan N M., and Tuan P D (2012), “Operator properties and Heisenberg uncertainty principles for a un-unitary integral operator”, Integral Transforms and Special Functions, 23(1), pp - 12 Anh P K., Tuan N M., and Tuan P D (2013), “The finite Hartley new convolutions and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels”, J Math Anal Appl., 397, pp 537 - 549 (DOI: 10.1016/ j.jmaa 2012 07 041) 104 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Agranovich S Z., and Marchenko V A (1963), The Inverse Problem of Scattering Theory, Gordon Breach, New York [2] Arfken G (1985), Mathematical Methods for Physicists, Academic Press [3] Bhatia R (2005), Fourier series, The Mathematical Association of America [4] Bochner S., and Chandrasekharan K (1949), Fourier transforms, Princeton Uni Press [5] Băottcher A., and Silbermann B (2006), Analysis of Toeplitz operators, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin [6] Bracewell R N (1986), The Fourier Transform and Its Applications, McGraw-Hill, N Y [7] Bracewell R N (1986), The Hartley transform, Oxford University Press, Oxford [8] Bracewell R N (1994), “Aspects of the Hartley transform”, Proc IEEE, 82(3), pp 381–387 [9] Britvina L E (2005), “A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution”, Integral Transforms Spec Funct., 16(56), pp 379–389 [10] Brown J W., and Churchill R V (2006), Fourier Series and Boundary Value Problems, McGraw-Hill, N Y [11] Brychkov Y., Glaeske H J., Prudnikov A P., and Tuan V K (1992), Multidimensional Integral Transformations, Gordon and Breach, New York - Philadelphia - London - Paris - Montreux - Tokyo Melbourne - Singapore 105 [12] Chanda K., and Sabatier P C (1977), Inverse Problems in Quantum Scattering Theory, Springer-Verlag, Newyork [13] Cho P S., Kuterdem H G., and II R J M (1998), “A spherical dose model for radio surgery plan optimization”, Phys Med Bio., 43, pp 3145–3148 [14] Churchill R V (1941), Fourier Series and Boundary Value Problems, New York, McGraw-Hill, N Y [15] Debnath L., and Bhatta D (2007), Integral Transforms and Their Applications, Second Edition, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton [16] Folland G B., and Sitaram A (1997), “The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey”, J Fourier Anal Appl., 3(3), pp 207–238 [17] Garcia-Vicente F., Delgado J M., and Peraza C (1998), “Experimental determination of the convolution kernel for the study of the spatial response of a detector”, Med Phys., 25, pp 202–207 [18] Garcia-Vicente F., Delgado J M., and Rodriguez C (2000), “Exact analytical solution of the convolution integral equation for a general profile fitting function and Gaussian detector kernel”, Phys Med and Biol., 45(3), pp 645–650 [19] Giang B T., Mau N V., and Tuan N M (2008), “Convolutions of the Fourier-cosine and Fourier-sine integral transforms and integral equations of the convolution type”, Herald of Polotsk State Uni., L (9), pp 7–16 [20] Giang B T., Mau N V., and Tuan N M (2009), “Operational properties of two integral transforms of Fourier type and their convolutions”, Integral Equation and Operator Theory, 65(3), pp 363–386 [21] Giang B T., Mau N V., and Tuan N M (2010), “Convolutions for the Fourier transforms with geometric variables and applications”, Math Nachr., 283(12), pp 1758 – 1770 [22] Giang B T., and Tuan N M (2010), “Generalized convolutions and the integral equations of the convolution type”, Complex Var Elliptic Equ., 55(4), pp 331–345 106 [23] Glaeske H J (2000), On the convolution structure of Hermite transforms—a survey Geometry, analysis and applications, World Sci Publ., River Edge [24] Glaeske H J (2002), “On a Hermite transform in spaces of generalized functions on Rn ”, Integral Transforms Spec Funct, 13, pp 309–319 [25] Glaeske H J., Kilbas A A., Saigo M., and Shlapakov S A (2001), “Integral transforms with H-function kernels on Lν,r -spaces”, Appl Anal., 79, pp 433–474 [26] Glaeske H J., Prudnikov A P., and Skòrnik K A (2006), Operational calculus and related topics Analytical Methods and Special Functions, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton [27] Glaeske H J., and Tuan V K (1991), “Mapping properties and composition structure of multidimensional integral transform”, Math Nachr., 152, pp 179–190 [28] Hartley R V L (1942), “A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems”, Proc I R E., 30, pp 144–150 [29] Hochstadt H (1973), Integral equations, John Wiley & Sons, N Y [30] Kailath T., Ljung L., and Morf M (1978), “Generalized KreinLevinson equations for efficient calculation of Fredholm resolvents of nondisplacement kernels”, Topics in functional analysis, Adv in Math Suppl Stud., 3, Academic Press, New York-London [31] Kakichev V A (1967), “On the convolution for integral transforms”, Izv ANBSSR, Ser Fiz Mat., (2), pp 48–57, (in Russian) [32] Kakichev V A., and Thao N X (1994), “On the convolution for generalized H-transforms”, Izv Vuzov Mat., (8), pp 21–28, (in Russian) [33] Kakichev V A., and Thao N X (1998), “On the design method of generalized convolution for the integral transforms”, Izv Vuzov Mat., (1), pp 31–40, (in Russian) 107 [34] Kakichev V A., and Thao N X (2000), “Generalized convolutions of H-transform”, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat., (10), pp 79–84, (in Russian) [35] Kakichev V A., Thao N X., and Tuan V K (1998), “On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms”, East-West Jour Math., 1(1), pp 85–90 [36] Kiryakova V (2005), “Obrechkoff integral transform and hyperBessel operators via G-function and fractional calculus approach”, Glob J Pure Appl Math., 1(3), pp 321–341 [37] Millane R P (1994), “Analytic properties of the Hartley transform”, Proc IEEE, 82(3), pp 413–428 [38] Nhan N D V., Duc D T., and Tuan V K (2009), “Reverse weighted lp -norm inequalities for convolution type integrals”, Armen J Math., 2(3), pp 77–93 [39] Olejniczak K J (2000), “The Hartley transform”, The Transforms and Applications Handbook (Poularikas A D., ed.), The Electrical Engineering Handbook Series, CRC Press with IEEE Press, Florida, second ed., pp 341–401 [40] Prudnikov A P., Brychkov Y A., and Marichev O I (2003), Integrals and series Vol 1-2-3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, Moscow, (Second revised edition) [41] Rudin W (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill, N Y [42] Saitoh S (1995), “One approach to some general integral transforms and its applications”, Integral Transform Spec Funct., 3(1), pp 49– 84 [43] Stein E M., and Shakarchi R (2007), Fourier analysis An introduction Princeton Lectures in Analysis, I, Princeton University Press, Princeton and Oxford [44] Thao N X., and Khoa N M (2005), “On the generalized convolution with a weight-function for Fourier, Fourier cosine and sine transforms”, Vietnam J Math., 33(4), pp 421–436 108 [45] Thao N X., and Tuan T (2003), “On the generalized convolution for I- transform”, Act Math Vietnam, 28(2), pp 159–174 [46] Thao N X., Tuan V K., and Hong N T (2008), “Generalized convolution transforms and Toeplitz plus Hankel integral equation”, Frac Calc App Anal., 11(2), pp 153–174 [47] Titchmarsh E C (1986), Introduction to the theory of Fourier integrals, Chelsea, New York [48] Tsitsiklis J N., and Levy B C (1981), “Integral Equations and Resolvents of Toeplitz plus Hankel Kernels”, Technical Report LIDSP-1170, Laboratory for Information and Decision Systems, M.I.T., silver ed [49] Tuan N M., and Giang B T., “Inversion theorems and the unitary of the integral transforms of Fourier type”, Integ Transform and Spec Func., (accepted) [50] Tuan N M., and Huyen N T T., “The Hermite Functions Related to Infinite Series of Generalized Convolutions and Applications”, Complex Anal Oper Theory, (DOI 10.1007/s11785-010-0053-x) [51] Tuan N M., and Huyen N T T (2010), “The solvability and explicit solutions of two integral equations via generalized convolutions”, J Math Anal Appl., 369, pp 712–718 [52] Villasenor J D (1994), “Optical Hartley transform”, Proc IEEE, 82 (3), pp 391–399 [53] Yakubovich S B (1996), Index transforms, World Scientific Publ, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong [54] Yakubovich S B., and Luchko Y (1994), The Hypergeometric Approach to Integral Transforms and Convolutions, Mathematics and its applications, Kluwer Acad Publ, Dordrecht/ Boston/London, Vol 287 109 PHỤ LỤC Mã lệnh Maple cho ví dụ Luận án sử dụng phần mềm Maple để giải phương trình Sau đoạn mã lệnh cho ví dụ tương ứng Ví dụ 3.10 > restart; with(student); cas:=x->cos(x)+sin(x): q0:=x->exp(-(1/2)*x^2): q1:=x->2*x*exp(-(1/2)*x^2): k1:=sqrt(5)*q1: k2:=sqrt(5)*q0: p:=x->(x+1)*exp(-x^2); a:=int(k1(u)*cas(x*u),u=-infinity infinity)/sqrt(2*Pi): b:=int(k2(u)*cas(x*u),u=-infinity infinity)/sqrt(2*Pi): c:=int(p(u)*cas(x*u),u=-infinity infinity)/sqrt(2*Pi): hk1:=unapply(a, x): hk2:=unapply(b, x): hp:=unapply(c, x): A:=x->q0(x)*(hk1(-x)-hk1(x))+q1(x)*(hk2(-x)-hk2(x)): B:=x->q0(x)*(hk1(-x)+hk1(x))+q1(x)*(hk2(-x)+hk2(x)): DD:=x->1+A(x)+A(-x)+A(x)*A(-x)-B(x)*B(-x): D1:=x->(1+A(-x))*hp(x)-B(x)*hp(-x): e:=int(D1(u)*cas(x*u)/DD(u),u =-infinity infinity)/sqrt(2*Pi): phi:=unapply(e,x): D1D:=simplify(D1(x)/DD(x)); HD1D:=simplify(phi(x)); Dd:=simplify(DD(x)); nghiem:=HD1D; 110 #Thử lại Doubleint((k1(u)*q0(x+u+v)+k2(u)*q1(x-u-v))*phi(v), u =-infinity infinity,v =-infinity infinity)/Pi: K:=value(%); KK:=unapply(K,x): VTrai:=simplify(phi(x)+KK(x)); Chạy chương trình ta nhận kết Dd := 2√ 1 2√ D1D := e− x 2(2 + x + 8e−x 5x2 ) 2 HD1D := − x2 e− x + xe−x + e−x + e− x 25 2 16 nghiem := (x + 1)e−x − x2 e− x + e− x 25 V T rai := (x + 1)e−x Ví dụ 3.11 >restart: cas:=x->cos(x)+sin(x): p:=x->2*x*exp(-x^2): q:=x->-2*x*exp(-x^2): f:=x->9*sqrt(3)*x*exp(-x^2/2): a:=int(p(u)*cas(x*u),u=-infinity infinity)/sqrt(2*Pi): b:=int(q(u)*cas(x*u),u=-infinity infinity)/sqrt(2*Pi): c:=int(f(u)*cas(x*u),u=-infinity infinity)/sqrt(2*Pi): hp:=unapply(a,x): hq:=unapply(b,x): hf:=unapply(c,x): A:=x->1+hp(x)+hp(-x)+hq(x)-hq(-x): B:=x->hp(x)-hp(-x)+hq(x)+hq(-x): DD:=x->A(x)*A(-x)-B(x)*B(-x): D1:=x->A(-x)*hf(x)-B(x)*hf(-x): e:=int((D1(u)*cas(x*u))/DD(u), u=-infinity infinity)/sqrt(2*Pi): 111 phi:=unapply(e,x): Dd:=simplify(DD(x)); D1D:=simplify(D1(x)/DD(x)); HD1D:=simplify{phi(x)}; nghiem:=HD1D; # Thử lại k:=int((p(x-u)+q(x+u))*phi(u), u=-infinity infinity)*sqrt(2/Pi): K:=unapply(k,x): VTrai:=simplify(phi(x)+K(x)); Chạy chương trình ta nhận kết Dd := √ 2√ D1D := 3xe− x (1 + 2xe− x 2) √ x2 x2 x2 HD1D := −16x2 e− + 24e− + 3xe− √ x2 x2 x2 nghiem := −16x2 e− + 24e− + 3xe− √ x2 V T rai := 3xe− Ví dụ 3.12 Giải phương pháp nhân suy biến >restart; p:=x->sin(3*x): q:=x->2*cos(x): f:=x->8*(cos(x))^3: cas:=x->cos(x)+sin(x): k[1]:=x->sin(3*x)/Pi: k[2]:=x->-cos(3*x)/Pi: k[3]:=x->2*cos(x)/Pi: k[4]:=x->-2*sin(x)/Pi: h[1]:=x->cos(3*x): h[2]:=x->sin(3*x): h[3]:=x->cos(x): h[4]:=x->sin(x): for i from to for j from to 112 a[i,j]:=int(h[i](x)*k[j](x),x=0 2*Pi): end do: b[i]:=int(h[i](x)*f(x),x=0 2*Pi): end do: for i from to equ[i]:=x[i]-b[i]: for j from to equ[i]:=equ[i]+a[i,j]*x[j]: end do: end do: equ:={equ[1],equ[2],equ[3],equ[4]}: sol:=solve(equ,{x[1],x[2],x[3],x[4]}): for i from to a[i]:=eval(x[i],sol): end do: u:=x->f(x)-k[1](x)*a[1]-k[2](x)*a[2] -k[3](x)*a[3]-k[4](x)*a[4]: nghiem:=u(x); Chạy chương trình ta nhận kết nghiem := cos3 x − sin(3x) − cos(3x) − cos x Giải phương pháp sử dụng chập Hartley >restart; N:=1000: p:=x->sin(3*x): q:=x->2*cos(x): f:=x->8*(cos(x))^3: cas:=x->cos(x)+sin(x): pp:=n->int(p(x)*cas(n*x),x=0 2*Pi)/(2*Pi): qq:=n->int(q(x)*cas(n*x),x=0 2*Pi)/(2*Pi): ff:=n->int(f(x)*cas(n*x),x=0 2*Pi)/(2*Pi): A:=unapply(1+pp(n)+pp(-n)+qq(n)-qq(-n),n): B:=unapply(pp(n)-pp(-n)+qq(n)+qq(-n),n): DD:=unapply(A(n)*A(-n)-B(n)*B(-n),n): D1:=unapply(A(-n)*ff(n)-B(n)*ff(-n),n): 113 ngh:=0: for n from -N to N if (abs(n)-3)*(abs(n)-1)*(abs(n)-2)*n0 then ngh:=ngh+D1(n)*cas(n*x)/DD(n): else ngh:=ngh+limit(D1(m)*cas(n*x)/DD(m),m=n): end if: end do: phi:=unapply(ngh,x): nghiem:=phi(x); # So sánh với nghiệm giải phương pháp nhân suy biến err:=simplify(8*(cos(x))^3-sin(3*x) -cos(3*x)-4*cos(x)-phi(x)); Chạy chương trình ta thu kết nghiem = cos3 (x) − cos x − sin x cos2 x + sin x, err := Ví dụ 3.13 Giải phương pháp nhân suy biến >restart; p:=x->cos(x): q:=x->2*sin(2*x): f:=x->3*x: cas:=x->cos(x)+sin(x): k[1]:=x->cos(x)/Pi: k[2]:=x->sin(x)/Pi: k[3]:=x->2*sin(2*x)/Pi: k[4]:=x->2*cos(2*x)/Pi: h[1]:=x->cos(x): h[2]:=x->sin(x): h[3]:=x->cos(2*x): h[4]:=x->sin(2*x): for i from to for j from to a[i,j]:=int(h[i](x)*k[j](x),x=0 2*Pi): end do: 114 b[i]:=int(h[i](x)*f(x),x=0 2*Pi): end do: for i from to equ[i]:=x[i]-b[i]: for j from to equ[i]:=equ[i]+a[i,j]*x[j]: end do: end do: equ:={equ[1],equ[2],equ[3],equ[4]}: sol:=solve(equ,{x[1],x[2],x[3],x[4]}): for i from to a[i]:=eval(x[i],sol): end do: u:=x->f(x)-k[1](x)*a[1]-k[2](x)*a[2] -k[3](x)*a[3]-k[4](x)*a[4]: nghiem:=u(x); Chạy chương trình ta kết nghiem := 3x + sin x + sin(2x) − cos(2x) Mã lệnh giải phương pháp sử dụng chập Hartley hoàn toàn tương tự mã lệnh Ví dụ 3.12 Ví dụ 3.14 Mã lệnh giải phương trình tương tự mã lệnh Ví dụ 3.12 Dưới mã lệnh thử lại nghiệm >restart; VTrai:=1+int((sqrt(2)/(sin(x-u)-3)+sqrt(3)/(cos(x+u)+2)), u=0 2*Pi)/Pi; Chạy chương trình ta kết V T rai := Ví dụ 3.15 Mã lệnh giải phương trình tương tự mã lệnh Ví dụ 3.12 Dưới mã lệnh thử lại nghiệm >restart; tg:=sin(x)+(1/Pi)*(int(sin(x-u)*sin(u),u=0 2*Pi) +sqrt(3)*cos(x)*int(sin(t)/(cos(t)+2),t=x (x+2*Pi)) -sqrt(3)*sin(x)*int(cos(t)/(cos(t)+2),t=x (2*Pi+x))): VTrai:=simplify(tg); 115 Chạy chương trình ta kết √ V T rai := (5 − 3) sin x − cos x 116