Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề: SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ. Biên soạn bằng bản word, font Times New Roman, MathType 6.9. Tài liệu được chia làm các phần: Lý thuyết cơ bản, bài tập từ dễ đến khó, lời giải chi tiết. Đây là tài liệu dành cho học sinh lớp 6 ôn thi học sinh giỏi, giáo viên làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 năm học 20202021.
CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Số nguyên tố + Số nguyên tố số tự nhiên lớn có ước dương + Số ngun tố nhỏ 2, số nguyên tố chẵn nhất.Tất số nguyên tố lại số lẻ Hợp số + Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ước dương + Ước nguyên tố nhỏ hợp số a số không vượt a Phân tích số thừa số nguyên tố + Là viết số dạng tích nhiều thừa số, thừa số số nguyên tố lũy thừa số nguyên tố + Dù phân tích thừa số thừa số nguyên tố cách cuối ta kết Số nguyên tố + Hai hay nhiều số gọi nguyên tố UCLN chúng + Hai số tự nhiên liên tiếp hai số nguyên tố Hệ + Số a > khơng có ước ngun tố từ đến a a số nguyên tố + Tập hợp số nguyên tố vô hạn B.CÁC DẠNG TỐN DẠNG SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN * Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n * Mọi số nguyên tố lớn có dạng 4n �1 * Mọi số nguyên tố lớn có dạng 6n �1 Bài 1: Cho p số nguyên tố số 8p+1 8p-1 số nguyên tố, hỏi số thứ (ngồi số ngun tố, số cịn lại) số nguyên tố hay hợp số? HD: Với p =3 ta có 8p+1=25 hợp số, cịn 8p-1 số nguyên tố Với p �3 ta có 8p-1,8p,8p+1 số nguyên tố liên tiếp nên có số chia hết cho 3.Do p nguyên tố khác nên 8p khơng chia hết cho 3,do 8p-1 8p+1 có số chia hết cho Vậy số thứ hợp số Bài Hai số 2n 2n (n>2) đồng thời số nguyên tố không? Tại sao? HD: Trong số nguyên liên tiếp 2n 1, 2n , 2n có số chia hết cho 3, 2n không chia hết cho 3, 2n 2n có số chia hết cho lớn Vậy 2n 1, 2n không đồng thời số nguyên tố Bài Chứng minh p p+2 hai số nguyên tố lớn tổng chúng chia hết cho 12 HD: Ta có: p + (p + 2) = 2(p + 1) p số nguyên tố lớn nên p số nguyên tố lẻ suy ra: p 1M2 � 2( p 1)M4 (*) p, p+1, p+2 số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho 3, mà p p+2 không chia hết cho nên: p 1M3 � 2( p 1) M3 (**) 12 (đpcm) Từ * và** suy ra: 2( p 1)M Bài Tìm số nguyên tố p cho p+10 p+14 số nguyên tố HD: Với p = p + = 13 p + 14 = 17 số nguyên tố Với p > p 3k �1 Nếu p 3k p 14 3k 15M3 ; Nếu p 3k p 10 3k 9M3 ; Vậy với p p 10 p 14 số nguyên tố Bài a) Tìm số lẻ liên tiếp số nguyên tố b) Tìm số nguyên tố p cho p vừa tổng vừa hiệu hai số nguyên tố HD: a) Trong số lẻ liên tiếp có số chia hết cho Vậy số nguyên tố cho phải có số chia hết cho số nguyên tố lẻ liên tiếp 3, 5, b) Giả sử p p1 p2 p3 p4 với p1 , p2 , p3 , p4 số nguyên tố + Vì p1 , p2 số nguyên tố nên p , suy p lẻ + Trong hai số p1 , p2 phải có số chẵn, hai số p3 , p4 phải có số chẵn Chẳng hạn p2 p4 Khi đó: p p1 p3 � p4 p3 Ta có p1 , p1 2, p1 số nguyên tố lẻ liên tiếp nên theo câu a) p1 từ p Thử lại: Bài Tìm số tự nhiên k để dãy: k 1, k 2, k 3, , k 10 chứa nhiều số nguyên tố HD: Với k = ta có dãy 1, 2,3, ,10 chứa số nguyên tố 2, 3, 5, Với k = ta có dãy 2, 3, 4, , 11 chứa số nguyên tố 2, 3, 5, 7, 11 Với k = ta có dãy 3, 4, 5, , 12 chứa số nguyên tố 3, 5, 7, 11 Với k �3 dãy k 1, k 2, k 3, , k 10 chứa số lẻ liên tiếp, số lẻ lớn nên chia có số chia hết cho 3, mà số chẵn dãy hiển nhiên không số nguyên tố Vậy dãy số ngun tố Tóm lại k=1 dãy k 1, k 2, , k 10 chứa nhiều số nguyên tố Bài Ta gọi p, q hai số tự nhiên liên tiếp, p q khơng có số ngun tố khác Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p q r số nguyên tố HD: Nếu số nguyên tố p, q, r khác p, q, r có dạng 3k �1 suy p , q , r chia cho dư Khi p q r M3 p q r nên p q r hợp số Vậy p = 3, q = 5, r = 7, p q r 32 52 83 số nguyên tố Bài Tìm số nguyên tố cho p q q p r HD: Giả sử có số nguyên tố p, q, r cho p q q p r Khi r nên r số lẻ, suy p, q khơng tính chẵn lẻ Giả sử p = q số lẻ Khi ta có 2q q r Nếu q không chia hết cho q �1 (mod 3) , vơ lí Mặt khác q lẻ nên 2q �1 (mod 3), từ suy 2q q M3 � r M Vậy q = 3, lúc r 23 32 17 số nguyên tố Vậy p 2, q 3, r 17 p 3, q 2, r 17 Bài a) Chứng minh số dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố Khi chia cho 30 kết sao? b) Chứng minh tổng n lũy thừa bậc số nguyên tố lớn số nguyên tố (n,30) = HD: a) Giả sử p số nguyên tố p 30k r với r 30 Nếu r hợp số r có ước nguyên tố q � 30 � q 2;3;5 Nhưng với q =2; 3; q chia hết cho 2; 3; 5, vơ lí Vậy r = r số nguyên tố Khi chia cho 60 kết khơng cịn nữa, chẳng hạn p= 109= 60.1+ 49, 49 hợp số b) Số nguyên tố p chia cho 30 dư 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Với r = 1, 11, 19, 29 p �1 (mod 30) Với r = 7, 13, 17, 23 p �19 (mod 30) Suy p �1 (mod 30) Giả sử p1, p2 , pn số nguyên tố lớn 4 Khi q p1 p2 pn �n(mod 30) � q 30k n số nguyên tố nên (n,30)=1 Bài 10 Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c cho abc ab bc ca HD: Vì a, b, c có vai trị nên giả sử a �b �c Khi ab bc ca �3bc � abc 3bc � a � a (vì a số nguyên tố) Với a =2 ta có 2bc 2b 2c bc � bc 2(b c) �4c � b � b b = + Nếu b = 4c 4c thõa với c số nguyên tố + Nếu b = 6c 5c � c � c c Vậy cặp số (a, b, c) cần tìm (2, 2, p), (2, 3, 3), (2, 3, 5) hoán vị chúng, với p số nguyên tố Bài 11 Cho dãy số nguyên dương a1 , a2 , , an xác định sau: a1 , an ước nguyên tố lớn a1a2 a3 an 1 với n �2 Chứng minh ak �5 với k HD: Ta có a1 2, a2 , giả sử với n �3 mà có số ước nguyên tố lớn số A 2.3.a3 an 1 A khơng thể chia hết cho 2, cho Vậy xảy A 5m với m �2 , suy A 5m 1M4 Mà A 2.3.a3 an 1 không chia hết cho a3, an 1 số lẻ, vô lí Vậy A khơng có ước ngun tố 5, tức ak �5 , k �N * Bài 12 Tìm tất số nguyên tố p để p p số nguyên tố HD: Với p = ta có p p 2 2 không số nguyên tố Với p = ta có p p 32 17 số nguyên tố Với p > ta có p p ( p 1) (2 p 1) Vì p lẻ p không chia hết p 1M3 p 2 p 1M , p hợp số Vậy, với p=3 p p số nguyên tố DẠNG ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ FERMAT p số nguyên tố (a,p) = a p 1 �1 (mod p) Bài Nhà toán học Pháp Fermat đưa công thức 22 n để tìm số nguyên tố với n tự nhiên Hãy tính giá trị cơng thức n = Với giá trị chứng tỏ ba tính chất sau: a) Tổng hai chữ số đầu cuối tổng chữ số cịn lại b) Tổng bình phương chữ số số phương c) Hiệu tổng bình phương hai chữ số đầu cuối với tổng bình phương chữ số cịn lại tổng chữ số số HD: Ta thay n = vào công thức Fermat được: 22 65537 số nguyên tố Số ngun tố 65537 có ba tính chất sau: a) Tổng hai chữ số đầu cuối + = 13 tỏng ba chữ số cịn lại 5+5+3=13 b) Tổng bình phương chữ số 62 52 52 32 36 25 25 49 144 số phương 144 122 c) Tổng bình phương hai chữ số đầu cuối 62 36 49 85 Tổng bình phương ba chữ số lại 52 52 32 25 25 59 Tổng chữ số 26 Ta nhận thấy 85 59 26 Hiệu tổng chữ số số nguyên tố 65537 n 1 10 n1 Bài Cho n �N * , chứng minh rằng: 22 19 23 HD: 10 n1 Ta chứng minh 22 19M23 với n �1 1 210 n� (mod 22) Ta có: 210 �1(mod1) � 10 n1 Theo định lý Fermat: 222 �1(mod 23) � 22 10 n1 Mặt khác: 22 10 n1 19 23 nên 22 n1 32 210 n 1 n1 hợp số 22k 2, (k N) 10 n 1 222 k �4(mod 23) � 22 19M23 19 hợp số với n �N * n 1 Ta chứng minh: 23 32 5M 11 với n �1 Bài Tìm số nguyên tố p cho p chia hết cho p HD: Giả sử p số nguyên tố thỏa: p 1Mp Theo định lý Fermat: p �2(mod p) � p 2Mp � (2 p 1) (2 p 2) Mp � p Với p = ta có p 9M3 Bài Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh có vơ số số tự nhiên n thỏa n.2 n chia hết cho p HD: Ta có p 1 �1(mod p ) , ta tìm n ( p 1) cho n.2n �1(mod p ) ( p 1) ( p�� 1).2 m (mod p) Ta có: n.2n �m n.2n m 1(mod p) m kp 1, (k N *) Vậy, với n (kp 1)( p 1), (k �N *) n.2n 1Mp Bài Cho p số nguyên tố, chứng minh số p có ước nguyên tố có dạng pk HD: Gọi q ước nguyên tố p q lẻ, nên theo định lí Fermat: 2q 1 1Mq � (2 p 1, 2q 1 1) 2( p, q 1) 1Mq � q 1Mp , (q 1, p ) 1Mq , vơ lí Mặt khác: q-1 chẵn suy q 1M2 p � q pk p 1 Bài Giả sử p số nguyên tố lẻ m Chứng minh m hợp số lẻ không chia hết cho 3m1 �1 (mod m) HD: 3p 1 3p 1 3p 1 3p 1 a.b , với a ,b 4 a, b số nguyên lớn nên m hợp số Ta có: m Mà m p 1 p 2 p lẻ nên m lẻ m �1 (mod 3) Theo định lí Fermat, ta có: p 9Mp 9p ( p,8) nên p 9M p � m 1M Mp p 1 Vì m 1M2 nên m 1M2 p , đó: 3m1 1M32 p 1M m (đpcm) Bài Chứng minh dãy số 2003 23k với k 1, 2,3 chứa vô hạn số lũy thừa số nguyên tố HD: Giả sử tồn số nguyên tố p cho: 2003 23k p n (1) Trong k,n số nguyên dương Từ (1) dễ thấy p không chia hết cho số nguyên tố 23 nên (p,23)=1 Theo định lí nhỏ Fermat p 22 chia hết cho 23, suy p 22t có dạng p 22t 23s với số nguyên dương t Từ p 22t n (1 23s ) p n p n 23s p n 2003 23k 23s p n hay p 22t n 2003 23( k sp n ) với t 1, 2,3, Bài toán giải đầy đủ ta tồn số nguyên tố p thõa mãn (1) Chẳng hạn: Với p = có 2003 23.91 212 Với p = có 2003 23.8 37 Với p = có 2003 23.6 2141 Với p = 2003 tồn k theo định lí Fermat thỏa mãn 2003 23k 200323 Bài Tìm bảy số nguyên tố cho tích chúng tổng lũy thừa bậc sáu bảy số HD: Gọi bảy số nguyên tố p1, p2, p13, ., p7 6 6 6 Ta có: p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 (*) Ta cần dùng định lí Fecma nhỏ: Nếu số nguyên a không chia hết cho a �1(mod 7) (Có thể chứng minh trực tiếp điều thông qua việc biến đổi a (7k r )3 7t �1 với r thỏa mãn �r �6 , t số nguyên) Giả sử bảy số nguyên tố có k số khác với �k �7 + Nếu k = 0, nghĩa bảy số ta có 7 7 7 = 76+ 76+ 76+ 76+ 76+ 76+ 76 thỏa mãn (*) + Nếu k = 7, nghĩa bảy số số nguyên tố khác vế trái (*) khơng chia hết cho 7, vế phải (*) chia hết cho theo định lí Fec ma, điều khơng xảy Vậy xảy bảy số nguyên tố đề DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Bài Tìm n �N * để: a) n số nguyên tố b) n 2003 n 2002 số nguyên tố HD: a) Ta có: n (n 4n 4) 4n (n 2) (2n) ( n 2n)( n 2n) Nếu n số nguyên tố n 2n � n Thử lại: Với n n số nguyên tố Vậy, với n = n số nguyên tố b) Ta có: n 2003 n 2002 n (n 2001 1) n(n 2001 1) n n Với n ta có: n 2001 1Mn3 1Mn n => n 2003 n 2002 1Mn3 n n n nên n 2003 n 2002 hợp số Với n = n 2003 n 2002 số nguyên tố Bài a) Tìm số nguyên số p để 2p+1 lập phương số tự nhiên b) Tìm số nguyên tố p để 13p+1 lập phương số tự nhên HD: a) Giả sử p n (với n �N ); n số lẻ nên n 2m ( m �N ), p (2m 1)3 � p m(4m 6m 3) Vì p số nguyên tố nên m , suy p 13 Thử lại: p 2.13 27 33 Vậy p 13 b) Giả sử 13 p n3 (n N ); p suy n �3 13 p n � 13 p (n 1)(n n 1) 13 p số nguyên tố, mà n n n => n 13 n p + Với n 13 n 14 , 13 p n3 2743 � p 211 số nguyên tố + Với n p n n 13 � n , p số nguyên tố Vậy với p=2, p=211 13p+1 lập phương số tự nhiên Bài Tìm tất số nguyên x, y thỏa x y HD: Giả sử x, y số nguyên tố thỏa: x y Khi x y , suy x số lẻ, đặt x 2n 1(n �N *) Ta có: (2n 1)2 y � 4n 4n y � y 2(n n) M2 � y M2 , mà y số nguyên tố nên suy y = Với y = 2, ta có x Thử lại với x , y x y Bài Tìm số nguyên tố x, y , z thỏa x y z HD: Vì x, y số nguyên tố nên x �2, y �2 suy z �5 z số nguyên tố lẻ nên x y số chẵn suy x=2, z y Nếu y lẻ y 1M3 , suy zM3 , vơ lí Vậy y chẵn, suy y=2, z 22 Vậy số nguyên tố cần tìm x y 2; z Bài Chứng minh 2n 4n ( n �N *) số nguyên tố n 3k với k �N HD: Đặt n 3k m với (m, 3)=1 Giả sử m>1, xét hai trường hợp: i) m 3l 1(l �N *) Ta có: k k k 2n 4n 23 (3l 1) 43 (3l 1) a (3l 1) a (6l 2) , (với a 23 ), suy 2n 4n a(a 3l 1) a (a 6l 1) a a 1Ma a � n 4n hợp số ii) m 3l 2, (l �N *) Ta có: k 2n 4n 23 (3l 2) k 43 (3l 2) a3l 2 a 6l 4 a(a 6l 3 1) a (a3l 1) a2 a 1Ma a k (với a 23 ) Suy 2n 4n hợp số Vậy m = tức n = 3k Bài Cho a, b, c, d �N * thỏa mãn ab cd Chứng minh rằng: A a n b n c n d n hợp số với n �N HD: Giả sử (a, b)=t, đó: a ta1 , c tc1 với ( ( a1 , c1 ) Từ ab = cd suy a1b c1d � b Mc1 Đặt: b kc1 � c1d a1.kc1 � d ka1 n n n n n n n n n n n n n n n n Khi đó: A a b c d t a1 k c1 t c1 k a1 (k t )(a1 c1 ) Vì k , t , a1 , c1 �N * nên A hợp số Bài Tìm tất số nguyên tố p dạng n(n 1) ( n �1 ) HD: n(n 1) n n (n 1)( n 2) 1 2 Với n = ta có p = Với n = ta có p = Với n > n2 n+2 >1 nên p hợp số Ta có: p Vậy với n = 2, n = p số nguyên tố có dạng n(n 1) 1 ab Bài Tìm tất số có hai chữ số ab cho số nguyên tố a b HD: Vì a,b có vai trị nên giả sử a > b ab p với p số nguyên tố.* Giả sử a b Suy abMp � a Mp b Mp � p � 2,3, 5, 7 � � a p p2 a p2 p ( a p )( p b ) p � � Từ * ta có ab=ap-bp � � b p 1 �p b � Với p = ta có ab 21 ab 12 Với p = ta có ab 62 ab 26 Với p = p = ta có a có chữ số (loại) Vậy số ab cần tìm 12, 21, 26, 62 Bài Cho số p bc a, q a b c, r c a b số nguyên tố ( a, b, c �N * ) Chứng minh ba số p, q, r có hai số HD: Ba số a, b, c có hai số có tính chẵn lẻ Giả sử a,b chẵn lẻ, p b c a số nguyên tố chẵn, p = Từ suy a = b = 1; q = c +1 r = c+ nên q = r Bài 10 a) Cho 2k số nguyên tố (gọi nguyên tố Fermat) Chứng minh k = k = 2n b) Cho 2k - số nguyên tố (gọi số nguyên tố Mersenne) Chứng minh k số nguyên tố HD: a) Giả sử phản chứng k > k �2n với n Khi k = 2n t, với t lẻ > Vơ lí với 2k + số nguyên tố Vậy k = k = 2n b) Giả sử k = m t với < t < k => 2k - = 2t 1M2t � 2k hợp số 2t -1 >1 m Vậy k số nguyên tố DẠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN NHỜ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT SỐ NGUYÊN TỐ Trong nhiều trường hợp giải phương trình nghiệm nguyên dẫn đến việc xét số nguyên tố t t số dạng n a b Một số tính chất ước số nguyên tố số n để sử dụng vào giải phương trình: * Mệnh đề Nếu số nguyên tố p 2t k với số nguyên dương t, k k lẻ, ước số t t n a b p ước số chung a b Chứng minh: + Giả sử p không ước số số a p khơng ước số số b � (a, p) (b, p) Theo định lí nhỏ Fermat a p 1 �1(mod p ) hay a 2t k �1 (mod p) t t t + Tương tự b k �1 (mod p) suy a k b k �2 (mod p) * t t t t Mặt khác sử dụng đẳng thức đáng nhớ ta có (a ) k (b )k (a b ).M n.M k lẻ M số nguyên t t Theo giả thiết n Mp � (a b )Mp , mâu thuẫn với * Tương tự p khơng ước số p p khơng ước số a dẫn đến mâu thuẫn Vậy số nguyên tố p phải ước số chung số a số b * Mệnh đề 2: Giả sử a b nguyên tố ước số nguyên tố lẻ a2 + b2 có dạng 4m + (mà khơng có dạng 4m + 3) m số nguyên dương Chứng minh: + Xét ước số nguyên tố p = 4m + = 2(2m + 1) +1 Theo mệnh đề p ước số nguyên tố n = a2 + b2 p ước số chung a b � p , mâu thuẫn Vì p lẻ nên p có dạng p = 4m + + Ta thử vận dụng tính chất vào giải số phương trình nghiệm nguyên Bài Giải phương trình nghiệm nguyên x y (1) HD: Phương trình (1) � x y 23 � x ( y 2)( y y 4) (2) Nếu y chẵn vế phải (2) chia hết cho � x lẻ, x 2t � x 4t 4t không chia hết cho 4, mâu thuẫn Vậy y số lẻ, y 2k � y y 4k nên phải có ước số nguyên tố lẻ dạng 4m + (vì tích số dạng 4m + lại có dạng 4k + 1) Suy x có ước số nguyên tố dạng p = 4m + 3, trái với mệnh đề Vậy phương trình (1) khơng có nghiệm ngun Bài 2.Tìm tất cặp số nguyên dương ( x, y ) cho 1995 HD: x2 y số nguyên dương ước số x y x2 y k nguyên dương k ước số 1995 = 5.3.7.19 = 5n với n = 3.7.19 Các số x y nguyên tố 3, 7, 19 có dạng 2(2m + 1) + = 4m +3 Gọi ước chung lớn x, y d ( x, y ) x du , y dv với ( u , v) Giả sử Theo giả thiết x y k ( x y ) � d (u v ) k (u v) (1) Xét hai trường hợp: 1) k ước số n � k có ước số nguyên tố dạng 4m + Áp dụng mệnh đề vào (1) u v không chứa ước số nguyên tố k nên k ước số d � d k t Từ (1) có t (u v ) u v , u u v �u v u � (1) vô nghiệm 2) k = 5m với m ước số m Lúc (1) trở thành d (u v ) 5m(u v) Lập luận m ước số d Suy d = m.t Từ ta có t (u v ) 5(u v) (2) Từ (2) có u v �5(u v ) A u v 5(u v) �0 (3) Mặt khác A � 4u �20 u 25 4v 20v 25 50 (2u 5)2 (2v 5) 50 12 72 50 A Kết hợp với (3) phải có A= u 3 u2 � � Điều xảy 2u �1 v=1, nghĩa � � v 1 v 1 � � �x 3m �x 2m Từ A = (2) suy t � d m Các số x, y phải tìm � � m �y m �y m ước n = 3.7.19, nghĩa m lấy giá trị sau: 1, 3, 7, 19, 21, 57, 133, 399 Bài Tìm số nhỏ tập hợp số phương dạng 15a + 16b 16a -15b với a, b số nguyên dương HD: Giả sử 15a + 16b = m2 16a -15b = n2 (1) với m, n số nguyên dương Khi đó: m4 n (15a 16b)2 (16a 15b)2 (152 162 )(a b ) 481(a b ) hay m n 13.37(a b ) (2) Các số nguyên tố 13 37 có dạng p 22 k với k lẻ Giả sử (m, n) d � m du, n dv với (u,v) =1 => (2) trở thành d (u v ) 481(a b ) (3) Vì (u,v) = nên u v không chứa ước số nguyên tố 13 37 481 ước d � d 481.t Để cho m, n nhỏ nhất, ta lấy t = 4 Lúc (3) trở thành 4813 (u v ) a b2 (4) Từ (1) có m n 31b a hay 4813 (u v ) 31a b (5) Có thể chọn u v để m, n nhỏ nhất, lúc a = 31b a b 4813.2 Từ có b = 481 a = 31.481 suy m = n = 481 Bài Tìm số có chữ số mà có ước HD: Giả sử p q hai số nguyên tố khác nhau, pq có ước 1, p, q, pq số p2q có ước 1, p, p2, q, pq, p2p Do số phải tìm có dạng pn Vì số pn có n + ước nên muốn có ước rõ ràng n = Số p4 số có chữ số p = Vậy số phải tìm 54 = 625 Bài Tìm số nguyên tố biết ba số hiệu lập phương hai số HD: Gọi ba số nguyên tố a, b, c Ta có c a b3 chẳng hạn => c (a b)(a ab b ) Muốn c số nguyên tố a - b = 1, điều xảy số nguyên tố a = 3, b = Suy ra: c = 27 - = 19 Vậy ba số nguyên phải tìm 2; 3; 19 Bài Xét dãy số nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; ta lập hai dãy số = + 3; = + 5; 12 = + 7; 18 = + 11; 24 = 11 + 13; = 2.3; 15 = 3.5; 35 = 5.7; 77 = 7.11; 143 = 11.13; Có hay khơng số hạng dãy thứ số hạng dãy thứ hai HD: Nhận xét: + Ở dãy thứ số hạng theo thứ tự tổng hai số nguyên tố liền tất số hạng dãy (trừ số hạng đầu 5) chẵn + Ở dãy thứ hai số hạng theo thứ tự tích hai số nguyên tố liền tất số hạng dãy (trừ số hạng đầu 6) lẻ Do ta kết luận rằng: khơng có số hạng dãy thứ số hạng dãy thứ hai Bài Tìm số nguyên tố p biết p + p +4 số nguyên tố HD: Do p �1 khơng phải số nguyên tố, nên p có dạng p = 3k Nếu p = 3k + p + = 3k + hợp số Nếu p = 3k + p + = 3k + hợp số Do p p + = + =5 số nguyên tố, p + =3 +4 =7 số nguyên tố Bài Có số có ba chữ số mà chữ số ước nguyên tố chúng? HD: Các ước nguyên tố có chữ số là: 2; 3; Nếu số phải tìm bắt đầu chữ số phải chia hết cho tận Chữ số thứ hai phải 2, số 232 khơng chia hết cho 3, số 252 không chia hết cho số 272 không chia hết cho Vậy số phải tìm 222 Tương tự số phải tìm mà bắt đầu chữ số số 555 Bây bắt đầu hai chữ số cuối phải tạo thành số chia hết cho 3, chúng và Thử lại thấy có số 333 thích hợp Cuối bắt đầu hai chữ số cuối phải tạo thành số chia hết cho Thử lại thấy có hai số 777 735 thích hợp Tóm lại có số thỏa mãn là: 222; 333; 555; 735; 777 Bài Một xí nghiệp điện tử ngày giao cho cửa hàng số máy tivi Số máy số có ba chữ số mà tăng chữ số đầu lên n lần, giảm chữ số thứ hai thứ ba n lần số lớn gấp n lần số máy giao Tìm n số máy tivi giao HD: Giả sử số máy tivi giao abc 100a 10b c Ta có: 100(a n) 10(b n) (c n) n(100a 10b c ) hay 100a 100n 10b 10n c n 100an 10bn cn 89n Từ ta được: 100a 10b c n 1 Nhưng 89 số nguyên tố nên n - phải n phải chia hết cho n-1 Trong hai trường hợp ta tìm n =2 abc 178 10 Vậy số máy tivi giao 178 Bài 10 Những số nguyên tố ước số có dạng 111 11? HD: Trước hết ta nhận xét số có dạng 111 11 khơng chia hết cho số nguyên tố Giả sử p số nguyên tố khác Ta xét p + số sau: 1, 11, 111, 1111, ,111 11 hai số chia cho p có số dư giống nhau, hiệu chúng 11 1100 chia hết cho p số có dạng 111 11 có ước tất số nguyên tố trừ hai số nguyên tố DẠNG CÁC BÀI TOÁN VỀ HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU Hai số a b nguyên tố ƯCLN(a, b) = Các số a, b, c nguyên tố ƯCLN(a, b, c) = Các số a, b, c đôi nguyên tố ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a) = Bài tập Chứng minh rằng: Mọi số nguyên dương n, số 21n + 14n + nguyên tố HD: Gọi d ước chung = chia hết cho d => hay d = ƯC(21n + 1; 14n + 3) = 14n + nguyên tố Bài tập 2: Chứng tỏ p = a + b số nguyên tố a b hai số nguyên tố HD: Giả sử a b hai số không nguyên tố Ta suy a b phải có ước số chung d >1 => a:d b:d Do đó: a+b :d => p:d Số tự nhiên p, ngồi 1và p cịn có ước số chung d >1 nên p hợp số, trái với dề cho Vậy a b nguyên tố p = a + b số nguyên tố Bài tập Tìm n N* để số sau nguyên tố nhau: 4n + 3; 2n + Bài tập Tìm n để 9n+24 3n+4 số nguyên tố nhau? Bài tập Cho a,b hai số nguyên tố chứng tỏ ab a+b nguyên tố Bài tập Tìm số tự nhiên n để số 9n+24 3n+4 số nguyên tố Bài tập 7: Tìm ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) với (n €N*) Tìm điều kiện n để hai số nguyên tố HD: Gọi ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) = d với (n €N*) Ta có: 7n +3 Md, 8n - Md 8.( 7n +3) – 7.( 8n - 1) Md 31 Md d = 31 Để hai số ngun tố d ≠ 31 Mà 7n + M31 7n + - 31 M31 7(n - 4) M31 n – M31( 31 nguyên tố nhau) n = 31k + 4( với k số tự nhiên) Do d ≠ 31 n ≠ 31k + Vậy hai số 7n +3, 8n – nguyên tố n ≠ 31k + 4( với k số tự nhiên) Bài tập 8: Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp nguyên tố HD: Hai số lẻ liên tiếp có dạng 2n + 2n + (n �N) Gọi d ước số chung chúng Ta có: 2n + Md 3n + M d 11 nên (2n + 3) - (2n + 1) M d hay M d d d ước chung số lẻ Vậy d = tức hai số lẻ liên tiếp nguyên tố Bài tập Chứng minh rằng: a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) hai số nguyên tố b) Hai số lẻ liên tiếp hai số nguyên tố c) 2n + 3n + ( n �N ) hai số nhuyên tố HD: a) Gọi d �uc( n, n 1) � ( n 1) n Md � 1Md � d Vậy n n + hai số nguyên tố b) Gọi d �uc(2n 1, 2n 3) � (2n 3) (2n 1) Md � 2Md � d � 1, 2 Nhưng d �2 d ước số lẻ Vậy d=1 c) Gọi d �ƯC (2n 1,3n 1) � 3(2n 1) 2(3n 1) Md � 1Md � 1Md Bài tập 10 Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh hai số sau hai số nguyên tố a) a a+b b) a2 a+b c) ab a+b HD: a) Gọi d �ƯC ( a, a b) � ( a b) a Md � bMd Ta lại có a Md nên d �ƯC (a, b) , d = 1(vì a, b hai số nguyên tố nhau) Vậy (a, a + b) = b) Giả sử a2 a + b chia hết cho số nguyên tố d a chia hết cho d, b chia hết cho d Như a b chia hết cho số nguyên tố d, trái với giả thiết (a, b) = Vậy a2 a + b hai số nguyên tố c) Giả sử ab a + b chia hết cho số nguyên tố d Tồn hai thừa số a b, chẳng hạn a, chia hết cho d, b chia hết cho d, trái với (a, b) = Vậy (ab, a + b) = Bài tập 11 Tìm số tự nhiên n để số 9n + 24 3n + số nguyên tố HD: Giả sử 9n + 24 3n + chia hết cho số nguyên tố d 9n 24 3(3n 4) Md � 12Md � d � 2;3 Điều kiện để (9n + 24, 3n + 4) = d �2 d �3 Hiển nhiên d �3 3n + khơng chia hết cho Muốn d �2 phải có hai số 9n + 3n + không chia hết cho Ta thấy: 9n + số lẻ � 9n lẻ � n lẻ, 3n + số lẻ � 3n lẻ � n lẻ Vậy điều kiện để (9n + 4, 3n + 4) = n số lẻ C/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + p + 10 b) p + 10 p + 20 c) p +2, p + 6, p +8, p + 12, p + 14 Bài Chứng minh n n2 + số nguyên tố n3 số nguyên tố Bài Chứng minh a, a + k, a + 2k ( a, k �N * ) số nguyên tố lớn k chia hết cho Bài Chứng minh p số nguyên tố lớn (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24 Bài Một số nguyên tố p chia cho 42 có dư hợp số r Tìm r 12 Bài Một số nguyên tố p chia cho 30 có số dư r Tìm r biết r không số nguyên tố { { hợp số với n �1 Bài Chứng minh số 11 1211 n n Bài Tìm n số cho 10101 0101 (n chữ số n + chữ số xen kẽ nhau) số nguyên tố Bài Các số sau số nguyên tố hay hợp số a) A = 11 1(2001 chữ số 1); b) B = 11 (2000 chữ số 1); c) C = 1010101; d) D = 1112111; e) E = 1! + 2! + 3! + +100!; g) G = - 28; h) H= 311141111 Bài 10 Cho n �N * ,chứng minh số sau hợp số: a) A = 22 n1 3; n1 7; n 13 b) B = 22 c) C = 22 Bài 11 p số nguyên tố lớn 5, chứng minh p �1 (mod 240) n Bài 12 Chứng minh dãy an 10 có vơ số hợp số Bài 13 Chứng minh với số nguyên tố p có vơ số dạng 2n n chia hết cho p Bài 14 Tìm n �N * để n3 n n số nguyên tố Bài 15 Tìm số x, y �N * cho x y số nguyên tố n(n 1)(n 2) ( n �1 ) Bài 17 Cho n �N * , chứng minh A n4 4n hợp số với n>1 Bài 16 Tìm tất số nguyên tố p có dạng Bài 18 Giải phương trình nghiệm nguyên 4(a x)( x b) b a y (1) a, b số nguyên cho trước a > b Bài 19 Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a) x y 585 b) x y 1210 Bài 20 Chứng minh với số tự nhiên n, số sau hai số nguyên tố nhau: a) 7n + 10 5n + ; b) 2n + 4n + Bài 21 Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh số sau hai số nguyên tố nhau: a) b a - b (a > b) ; b) a2 + b2 ab Bài 22 Chứng minh số c nguyên tố với a với b c ngun tố với tích ab Bài 23 Tìm số tự nhiên n, cho: a) 4n - chia hết cho 13 ; b) 5n + chia hết cho ; c) 25n + chia hết cho 53 Bài 24 Tìm số tự nhiên n để số sau nguyên tố nhau: a) 4n + 2n + ; b) 7n + 13 2n + ; c) 9n + 24 3n + ; d) 18n + 21n + 13 Bài 25 Chứng minh có vơ số số tự nhiên n để n + 15 n + 72 hai số nguyên tố Bài 26 a) Viết số 7, 8, 9, 10 thành tổng hai số nguyên tố lớn b) Chứng minh với số tự nhiên n lớn biểu diễn dạng tổng hai số nguyên tố lớn HƯỚNG DẪN GIẢI Bài a) b) Đáp số: p = Xét p dạng: p = 3k, p = 3k + 1, p = 3k + (k �N) c) Đáp số: p = Xét p dạng : p = 5k, p = 5k + 1, p = 5k + 2, p = 5k + 3, p = 5k + (k �N) Bài n = Bài Số nguyên tố lớn có dạng 6n +1, 6n + Do số a, a + k, a + 2k phải có số có dạng, hiệu k 2k chia hết cho 6, suy k chia hết cho Bài Ta có ( p 1) p( p 1) M3 mà (p,3) = nên ( p 1)( p 1)M3 (1) p số nguyên tố lớn nên p số lẻ, p - p + hai số chẵn liên tiếp Trong hai số chẵn liên tiếp, có số bội nên tích chúng chia hết cho (2) Từ (1) (2) suy (p -1)(p + 1) chia hết cho hai số nguyên tố Vậy (p - 1)(p + 1) M24 Bài Ta có p = 42k + r = 7k + r (k, r �N, < r < 42) Vì p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2, 3, Các hợp số nhỏ 42 không chia hết cho 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39 Loại số chia hết cho 3, cho 7, 25 Vậy r = 25 Bài Ta có p = 30k + r = 5k + r (k,r �N,0 < r < 30) Vì p số nguyên tố nên p không chia hết cho 2, 3, Các hợp số nhỏ 30 không chia hết cho 9, 15, 21, 25, 27 Loại số chia hết cho 3, khơng cịn số Vậy r khơng phải hợp số r hợp số số nguyên tố, suy r =1 n 1) { { 11 10 { { 11 { 11 1(10 { Bài 11 1211 n n n 1 n n 1 n 1 suy đpcm (10n 1 1)(10n 1 1) 9.11 n =1: p = 101 số nguyên tố n > 1: p hợp số Bài 9.Tất hợp số 1M3 { 11412 43 a) A 11 Bài p 1010 101 2001 2001 11 { M b) B 11 2000 c) C 1010101M 101 d) D 1112111 1111000 1111M 1111 e) EM3 1! 2! 3M , cịn 3! 4! 100! chia hết cho g) G = - 28 chia hết cho h) H = 311141111 = 311110000 + 31111 chia hết cho 31111 11; C M29 Bài 10 Chứng minh AM7; B M Bài 11 240 = 24 14 Bài 12 n = 6k + 4, k �N Bài 13 p = lấy n chẵn; p > lấy n = (pk - 1)(p -1), k �N* Bài 14 n3 n n (n 1)(n 1) , n =2 Bài 15 x y ( x x y y ) x y ( x y ) (2 xy ) ( x xy y )( x xy y ) x y x y số nguyên tố n(n 1)(n 2) ( n 3)( n 2) 1 6 Với n �4 n +3 >6 n2 + > 17 n + n2 +2 số chẵn, số chia hết cho 3; hai số chia hết cho 6, p hợp số với n = 1, 2, p = 2, 5, 11 số nguyên tố Bài 17 n chẵn A chia hết cho n lẻ, đặt n = 2k +1 (k �N*), ta có: Bài 16 p n 4n n 42 k 1 (n 22 k 1 )2 2.n 22 k 1 (n 22 k 1 n.2 k 1 )( n 2 k 1 n.2 k 1 ) � ( n 2k ) 2 k � (n 2k ) 2 k � � �� � � Bài 18 Giả sử phương trình (1) có nghiệm x,y nguyên Xét nghiệm y nguyên dương Vì a > b nên từ (1) có x �a, x �b 4(a x)( x b) , suy b < x (4n + 8) - 2(2n + 3) Md � 2Md Do d ước số lẻ 2n + nên d = Bài 21 a) Gọi d �ƯC b, a b a bMd , bMd , a Md Ta có a, b nên d = b) Giả sử a b ab chia hết cho cho số nguyên tố d vơ lí Bài 22 Giả sử ab c chia hết cho số ngun tố d vơ lí Bài 23 a) 4n 5M 13 � 4n 13M 13 � 4n 8M 13 � n M 13 Do (4, 13) = nên n + M13 Đáp số: n = 13k - (k �N * ) b) Đáp số: n = 7k - (k �N) 15 c) 25n 3M53 � 25n 53M 53 � Đáp số: n = 53k + (k N) Bài 24 a) n không chia hết cho b) n số chẵn c) n số lẻ d) Giả sử 18n + 21n + chia hết cho số nguyên tố d 21n 18n 3 Md � 21Md Vậy d � 3;7 Hiển nhiên d �3 21n + không chia hết cho Như (18n +3, 21n + 7) �1 � 18n 3M7 (còn 21n + chia hết cho 7) � 18n 21M7 � 18 n 1 M7 � n 1M7 Vậy n �7 k 1( k �N ) 18n 3, 21n Bài 25 Bài toán khơng u cầu tính giá trị n mà cần vô số giá trị n để n 15, n 72 Do ngồi cách giải giải sau: Gọi d �ƯC n 15, n 72 57 Md Do n 15Md ,57Md nên tồn n cho d = Nếu ta chọn n = 57k - 14 n + 15 = 57k + (k = 1, 2, 3, ….) (n + 15, n + 72) = 1, rõ ràng có vơ số giá trị n DẠNG 6: TỐN TÌM SỐ NGUN TỐ Bài 1:Tìm số nguyên tố p, cho p + p + số nguyên tố HD: Số p có dạng: 3k; 3k + 1; 3k + với (k N*) - Nếu p = 3k p = (vì p số nguyên tố), p + = 5, p + = số nguyên tố - Nếu p = 3k + p +2 = 3k + chia hết cho > nên p + hợp số (trái với giả thiết) - Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho > nên p + hợp số (trái với giả thiết) Bài 2: Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r, r hợp số Tìm r HD: Ta có p = 42k + r = 2.3.7.k + r (k , r N, < r < 42) Vì p số nguyên tố nên r không chia cho hết 2, 3, Các hợp số < 42 không chia hết cho 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39 Loại số chia hết cho 3, số chia hết cho ta r = 25 Vậy r = 25 Bài 3:Tìm tất giá trị số nguyên tố p để: p + 10 p + 14 số nguyên tố HD: (Phương pháp: Chứng minh nhất) + Nếu p = p + 10 = + 10 = 13 p + 14 = + 14 = 17 số nguyên tố p = giá trị cần tìm + Nếu p => p có dạng 3k + dạng 3k – 16 * Nếu p = 3k + p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) : * Nếu p = 3k – p + 10 = 3k + = 3(k + 3) : Vậy p p + 10 p + 14 hợp số => không thỏa mãn Do đó: giá trị cần tìm là: p = Bài 4:Tìm số nguyên tố p để p + 2; p + 6; p + 18 số nguyên tố HD: Bằng cách giải tương tự tập số 1, học sinh dễ dàng tìm p = thoả mãn Xong không chứng minh p = giá trị dễ dàng thấy p = 11 thoả mãn Vậy với tập này, học sinh cần vài giá trị p thoả mãn đủ Bài 5:Tìm k để 10 số tự nhiên liên tiếp: k + 1; k +2; k +3; k +10 có nhiều số nguyên tố HD: Giáo viên hướng dẫn học sinh rút nhận xét: Trong 10 số tự nhiên liên tiếp, có số chẵn số lẻ (trong số chẵn, có nhiều số nguyên tố chẵn 2) Vậy: 10 số có khơng q số nguyên tố +) Nếu k = 0, từ đến 10 có số nguyên tố: 2; 3; 5; +) Nếu k = từ đến 11 có số nguyên tố: 2; 3; 5; 7; 11 +) Nếu k > từ trở khơng có số chẵn số nguyên tố Trong số lẻ liên tiếp, có số bội số đó, dãy có số nguyên tố Vậy với k = 1, dãy tương ứng: k + 1; k + 2, k + 10 có chứa nhiều số nguyên tố (5 số nguyên tố) Bài 6:Tìm tất số nguyên tố p để: 2p + p2 số nguyên tố HD: Xét hai trường hợp: +) p p = p = * Nếu p = => 2p + p2 = 22 + 22 = P * Nếu p = => 2p + p2 = 22 + 32 = 17 �P +) p > ta có 2p + p2=(p2 – 1) + (2p + 1) p lẻ => (2p + 1) M3 p2 – = (p + 1)(p – 1) M3 => 2p + p2 P Vậy: Có giá trị p = thoả mãn Bài tập số7: Tìm tất số nguyên tố cho: p | 2p + HD: Vì p �P ,p | 2p + => p Ta thấy: |p p Theo định lý Fermatm ta có: p | 2p-1 – Mà p | 2p + (giả thiết) => p | 2.2p-1 – + => p | 2(2p-1 – 1) + => p | [vì p | 2(2p-1 – 1)] Vì p �P p | => p = Vậy: p = số nguyên tố thoả mãn tính chất p | 2p + Tóm lại: Các tốn thuộc dạng: Tìm số nguyên tố thoả mãn điều kiện cho trước loại tốn khơng khó loại toán số nguyên tố Qua loại toán này, giáo viên cần cố gắng trang bị cho học 17 sinh kiến thức số nguyên tố Đặc biệt giúp học sinh nắm vững: Số số nguyên tố chẵn nhỏ tập số nguyên tố Dựa vào cách viết số nguyên tố dạng a.x + b, (a,b) = Rèn kỹ xét trường hợp xảy ra, phương pháp loại trừ trường hợp dẫn đến điều vơ lý Qua dạng tốn này, giáo viên cần giúp học sinh rèn luyện tư lôgic, tư sáng tạo, tính tích cực chủ động làm DẠNG 7: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ NGUYÊN TỐ HAY HỢP SỐ Bài 1: Chứng minh số sau hợp số: a) + 27 + 311+ 513 + 717 + 1119 c) 42525 - 3715 b) 21123 + 23124 + 25125 d) 195354 - 15125 HD: Nhận xét: + Các chữ số cuối 1n + Các chữ số cuối 5n với n > + Các chữ số cuối 22 lặp lại theo chu kỳ: 4k + m (với k N, m = 0, 1, 2, 3), tức là: - n = 0, 4, 8, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 1, 5, 9, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 2, 6, 10, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 3, 7, 11, , 4k + có chung chữ số cuối + Các chữ số cuối 3n lặp lại theo chu kỳ 4k + m (với k N, m = 0, 1, 2, 3), tức là: - n = 0, 4, 8, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 1, 5, 9, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 2, 6, 10, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 3, 7, 11, , 4k + có chung chữ số cuối + Các chữ số cuối 7n lặp lại theo chu kỳ 4k + m (với k N, m = 0, 1, 2, 3), tức là: - n = 0, 4, 8, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 1, 5, 9, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 2, 6, 10, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 3, 7, 11, , 4k + có chung chữ số cuối Vậy áp dụng điều ta có: a) + 27 + 311+ 513 + 717 + 1119 có chữ số tận => + 27 + 311+ 513 + 717 + 1119 chia hết cho Vậy hợp số b) 21123 + 23124 + 25125 có chữ số tận => 21123 + 23124 + 25125 chia hết cho Vậy hợp số c) 42525 - 3715 có chữ số tận 18 => 42525 - 3715 chia hết cho Vậy hợp số d) 195354 - 15125có chữ số tận => 195354 - 15125chia hết cho Vậy hợp số Bài 2: Cho biết p 8p - số nguyên tố, CMR: 8p + hợp số HD: Ta xét trường hợp: + Nếu p = => 8p - = 15 hợp số (loại 8p - số nguyên tố) + Xét p > - Nếu p = 8p - = 23 số nguyên tố, lúc đó: 8p + = = 25 hợp số - Với p > ta xét tích (8p - 1).8p.(8p+1) mà p 8p - hai số nguyên tố nên (8p+ 1) 8p + hợp số 2) a) số nguyên tố > có dạng 4n + (n N*) b) CMR số nguyên tố > có dạng 6n + (n N*) 2) a) Khi chia số tự nhiên A > cho số dư 0, 1, 2, Trường hợp có số dư A hợp số ta khơng xét, cịn trường hợp có số dư Với trường hợp số dư 1, ta có A = 4n + Với trường hợp số dư 3, ta có A = 4m + b) Khi chia số tự nhiên A cho ta có số dư 0, 1, 2, 3.4, Trường hợp số dư 0, 2, 3, ta có A nên A hợp số với trường hợp dư 1, A = 6n + Với trường hợp số dư 1, A = 6n + Với trường hợp số dư 5, A = 6m + = 6m + - = 6(m+1)-1 = 6n-2 (với n = m+ 1) n n Bài 3: CMR: Nếu - (n > 2) + hợp số HD: Xét số A = (2n-1) 2n (2n+1) A tích ba số tự nhiên liên tiếp nên A Mặt khác 2n - số nguyên tố (theo giả thiết) 2n không chia hết cho Vậy 2n+1 phải chia hết cho (đpcm) Bài 4:Chứng minh rằng: (p – 1)! chia hết cho p p hợp số, không chia hết cho p p số nguyên tố HD: +) Xét trường hợp p hợp số: Nếu p hợp số p tích thừa số nguyên tố nhỏ p số mũ luỹ thừa lớn số mũ luỹ thừa chứa (p – 1)! Vậy: (p – 1) !: p (điều phải chứng minh) 19 +) Xét trường hợp p số nguyên tố: Vì p � P => p nguyên tố với thừa số (p –1)! (vì p > p-1 => (p – 1)! : p (điều phải chứng minh) Bài 5:Cho 2m – số nguyên tố Chứng minh m số nguyên tố HD: Giả sử m hợp số => m = p.q ( p, q � N; p, q > 1) Khi đó: 2m – = 2p,q - = (2p)q – = (2p – 1)(2p(q-1) + 2p(q-2) + .+ 1) p > (giả thiết) điều giả sử => 2p – > (2p(q-1) + 2p(q-2) + .+ 1) > Dẫn đến 2m – hợp số (trái với giả thiết 2m –1 số nguyên tố) Điều giả sử xảy Vậy m phải số nguyên tố (điều phải chứng minh) Bài 6:Chứng minh rằng: 1994! – có ước số nguyên tố lớn 1994 HD: (Chứng minh phương pháp phản chứng) Gọi p ước số nguyên tố (1994! – 1) Giả sử p 1994 => 1994 1993 : p 1994! : p mà (1994! – 1) : p => : p (vô lý) Vậy: p nhỏ 1994 hay p > 1994 (điều phải chứng minh) Bài 7:Chứng minh rằng: n > n n! có số ngun tố (từ suy có vơ số số ngun tố) HD: Vì n > nên k = n! – > 1, k có ước số nguyên tố p Ta chứng minh p > n Thật vậy: p n n! : p Mà k : p => (n! – 1) : p.Do đó: : p (vơ lý) Vậy: p > n=>n < p < n! – < n! (Điều phải chứng minh) DẠNG 8: SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ A/ LÝ THUYẾT: + Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước + Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước + Để chứng tỏ số tự nhiên a > hợp số, cần ước khác a Chú ý: 10n = 10….0 = 2n.5n n chữ số + Cách xác định số lượng ước số: Khi phân tích M thừa số nguyên tố, ta có M = ax.by….cz ước M (x + 1)(y + 1)…(z + 1) + Nếu ab MP với P số nguyên tố a MP b MP Đặc biệt: Nếu an MP a MP B/ VÍ DỤ: Ví dụ 1: Cho A = + 52 + 53 +……+5100 a) Số A số nguyên tố hay hợp số? b) Số A có phải số phương khơng? Giải: a) Có A > 5; A M5 ( Vì số hạng chia hết cho 5) nên A hợp số b) Có 52 M25, 53 M25;… ;5100M25, M25 nên A M25 Số A M5 A M25 nên A khơng số phương 20 Ví dụ 2: Số 54 có ước Giải: Có: 54 = 33 Số ước 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = ước Tập hợp ước 54 là: Ư(54) = 1; 2;3; 6;9;18; 27;54 Ví dụ 3: Tìm số ngun tố p cho p + , p + số nguyên tố Giải: Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + = số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm C/ BÀI TẬP: 1) Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nhỏ ba số đó? 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 hay khơng? 3) Tìm số ngun tố p, cho số sau số nguyên tố a) p + p + 10 b) P + 10 p + 20 4) Cho p số nguyên tố lớn Biết p + số nguyên tố Chứng minh p + 1chia hết cho 5) Cho p p + số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + hợp số 6) Cho a, n �N*, biết an M5 Chứng minh: a2 + 150 M25 Giải: 1) Tổng số nguyên tố 1012 số chẳn nên ba số nguyên tố phải có số chẳn số số số nhỏ ba số nguyên tố cho 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 số lẽ nên hai số nguyên tố phải số số thứ hai là: 2003 – = 2001 chia hết hợp số Vậy không tồn tai hai số nguyên tố có tổng 2003 3) a/ Vì p số ngun tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + 10 = 13 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm b/ Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + 20 = 3k + 21 chia hết cho lớn nên p + 20 hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm 4) Do p số nguyên tố lớn nên p lẽ, => p + số chẵn nên p + M2 p số nguyên tố lớn nên có dạng 3k + 3k + (k �N) Dạng p = 3k + không xãy Dạng p = 3k + cho ta p + = 3k + M3 Từ (1) (2) suy p + M6 5) p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k + 3k + (k �N) Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết hợp số, trái với đề Vậy p có dạng 3k + p + = 3k + chia hết p + hợp số 6) Có an M5 mà số nguyên tố nên a M5 => a2 M25 Mặt khác 150 M25 nên a2 + 150 M25 21 (1) (2) CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ NGUYÊN TỐ Bài tập số 1: Tìm số nguyên tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Giải: Gọi số nguyên tố phải tìm là; a, b, c ta có: a.b.c = 5(a+b+c) => abc M5 Vì a, b, c có vai trị bình đẳng Giả sử: a M5, a �P => a = Khi đó: 5bc = 5(5+b+c) 5+b+c = bc bc-b-c +1 = b(c-1) – (c-1) = (c-1)(b-1) = Do vậy: b-1 = => b=2 Và c-1 = c=7 b-1 = => b=3 (loại c = P) c-1 = c=4 Vai trị a, b, c, bình đẳng Vậy số (a ;b ;c) cần tìm (2 ;5 ;7) Bài tập số 2: Tìm p, q �P cho p2 = 8q + Giải: Ta có: p2 = 8q + => 8q = p2 – 8q = (p+1)(p-1) (1) 2 Do p = 8q + lẻ => p lẻ => p lẻ Đặt p = 2k + (2) Thay (2) vào (1) ta có: 8q = 2k(2k + 2) 2q = k(k + 1) (3) Nếu q = => = k(k+1) => khơng tìm k Vậy q 2, q �P , q => (2,q) = Từ (3) ta có: k = q = k + => k = q = Thay kết vào (2) ta có: p = 2.2 + = Hoặc q = k = k + q=1 (không thoả mãn) k=1 Vậy cặp số (q,p) (5;3) cặp số cần tìm Tóm lại: Ngồi dạng tập số nguyên tố Phần số ngun tố cịn có nhiều tập dạng khác mà giải chúng học sinh cần phải vận dụng cách linh hoạt kiến thức có liên quan: ước số, bội số, chia hết phải xét khả xẩy Khi giảng dạy giáo viên cần giúp học sinh giải theo dạng để củng cố khắc sâu kỹ giải loại I Các tập có hướng dẫn: Bài 1: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số chẵn hay số lẻ HD: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố lại số lẻ Do tổng 25 số nguyên tố số chẵn Bài 2: Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ ba số ngun tố 22 HD: Vì tổng số nguyên tố 1012, nên số ngun tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ Vậy số nguyên tố nhỏ số nguyên tố Bài 3: Tổng số nguyên tố 2003 hay khơng? Vì sao? HD: Vì tổng số nguyên tố 2003, nên số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn Do số ngun tố cịn lại 2001 Do 2001 chia hết cho 2001 > Suy 2001 số nguyên tố Bài 4: Tìm số nguyên tố p, cho p + p + số nguyên tố HD: Giả sử p số nguyên tố - Nếu p = p + = p + = số nguyên tố - Nếu p �3 số nguyên tố p có dạng: 3k, 3k + 1, 3k + với k �N* +) Nếu p = 3k � p = � p + = p + = số nguyên tố +) Nếu p = 3k +1 p + = 3k + = 3(k + 1) � p + M3 p + > Do p + hợp số +) Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) � p + M3 p + > Do p + hợp số Vậy với p = p + p + số nguyên tố Bài 5: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + hợp số HD: Vì p số nguyên tố p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + với k �N* - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) � p + M3 p + > Do p + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố) - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 3) � p + M3 p + > Do p + hợp số Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + p + hợp số Bài 6: Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 4n +1 4n – HD: Mỗi số tự nhiên n chia cho có số dư: 0; 1; 2; Do số tự nhiên n viết dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2,4k +3 với k �N* - Nếu n = 4k � nM4 � n hợp số - Nếu n = 4k + � nM2 � n hợp số Vậy số nguyên tố lớn có dạng 4k + 4k – Hay số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n – với n �N* Bài 7: Tìm số nguyên tố, biết số tổng hai số nguyên tố hiệu hai số nguyên tố HD: Gi�s�a, b, c, d, e l�c� c s�nguy� n t�v�d >e Theo b� i ra: a =b +c =d - e (*) T�(*) � a >2 � a l�s�nguy� n t�l� � b +c v�d - e l�s�l� Do b, d l�c� c s�nguy� n t�� b, d l�s�l�� c, e l�s�ch� n � c =e =2 (do c, e l�c� c s�nguy� n t� ) � a =b +2 =d - � d =b +4 V� y ta c� n t� m s�nguy� n t�b cho b +2 v�b +4 c� ng l�c� c s�nguy� n t� Bài 8: Tìm tất số nguyên tố x, y cho: x2 – 6y2 = HD: 23 Ta c� : x2 6y2 1� x2 1 6y2 � (x 1)(x 1) 6y2 Do 6y2 M2 � (x 1)(x 1)M M�x - +x +1 =2x � x - v�x +1 c�c� ng t� nh ch� n l� � x - v�x +1 l�hai s�ch� n li� n ti� p � (x 1)(x 1)M � 6y2 M � 3y2 M4 � y2 M2 � yM2 � y � x Bài 9: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + 1M6 HD: Vì p số nguyên tố p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + với k �N* - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) � p + M3 p + > Do p + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố) - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) (1) Do p số nguyên tố p > � p lẻ � k lẻ � k + chẵn � k + 1M2 (2) Từ (1) (2) � p + 1M6 II Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + p + 10 b) p + 10 p + 20 c) p + 10 p + 14 d) p + 14 p + 20 e) p + 2và p + f) p + p + 14 g) p + p + 10 h) p + p + 10 Bài 2: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14 b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 c) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 d) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 e) p + 6, p + 12, p + 18, p + 24 f) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32 g) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16 Bài 3: a) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp số b) Cho p 2p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 4p + hợp số c) Cho p 10p + số nguyên tố (p > 3) C minh rằng: 5p + hợp số d) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp số e) Cho p 4p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 2p + hợp số f) Cho p 5p + số nguyên tố (p > 3) C minh rằng: 10p + hợp số g) Cho p 8p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p - hợp số h) Cho p 8p - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p + hợp số i) Cho p 8p2 - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 + hợp số j) Cho p 8p2 + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 - hợp số Bài 4: Chứng minh rằng: a) Nếu p q hai số nguyên tố lớn p2 – q2 M24 b) Nếu a, a + k, a + 2k (a, k �N*) số nguyên tố lớn k M6 Bài 5: a) Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư r hợp số Tìm số dư r 24 b) Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r Tìm số dư r biết r khơng số nguyên tố Bài 6: Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số nguyên tố sinh đơi chia hết cho Bài 7: Cho số nguyên tố lớn 3, số sau lớn số trước d đơn vị Chứng minh d chia hết cho Bài 8: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết viết số theo thứ tự ngược lại ta số lập phương số tự nhiên Bài 9: Tìm số tự nhiên có chữ số, chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số viết dạng tích số nguyên tố liên tiếp Bài 10: Tìm số nguyên tố lẻ liên tiếp số nguyên tố Bài 11: Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p2 + q2 + r2 số nguyên tố Bài 12: Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c cho a.b.c < a.b + b.c + c.a Bài 13: Tìm số nguyên tố p, q, r cho pq + qp = r Bài 14: Tìm số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + = z Bài 15: Tìm số nguyên tố abcd cho ab, ac l�c� c s�nguy� n t�v�b2 cd b c Bài 16: Cho số p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c �N*) số nguyên tố Chứng minh số p, q, r có hai số Bài 17: Tìm tất số nguyên tố x, y cho: a) x2 – 12y2 = b) 3x2 + = 19y2 c) 5x2 – 11y2 = d) 7x2 – 3y2 = e) 13x2 – y2 = f) x2 = 8y + Bài 18: Tìm số nguyên tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Bài 19: Chứng minh điều kiện cần đủ để p 8p2 + số nguyên tố p = Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu a2 – b2 số nguyên tố a2 – b2 = a + b Bài 21: Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 6n + 6n – Bài 22: Chứng minh tổng bình phương số nguyên tố lớn số nguyên tố Bài 23: Cho số tự nhiên n �2 Gọi p1, p2, , pn số nguyên tố cho pn �n + Đặt A = p1.p2 pn Chứng minh dãy số số tự nhiên liên tiếp: A + 2, A + 3, , A + (n + 1) Không chứa số nguyên tố Bài 24: Chứng minh rằng: Nếu p số nguyên tố 2.3.4 (p – 3)(p – 2) - 1Mp Bài 25: Chứng minh rằng: Nếu p số nguyên tố 2.3.4 (p – 2)(p – 1) + 1Mp 25 ... Tìm số nguyên tố nhỏ ba số nguyên tố 22 HD: Vì tổng số ngun tố 1012, nên số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ Vậy số nguyên tố nhỏ số nguyên tố Bài 3: Tổng số. .. Tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số chẵn hay số lẻ HD: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố lại số lẻ Do tổng 25 số nguyên tố số chẵn Bài 2: Tổng số nguyên tố... p + hợp số 6) Cho a, n �N*, biết an M5 Chứng minh: a2 + 150 M25 Giải: 1) Tổng số nguyên tố 1012 số chẳn nên ba số nguyên tố phải có số chẳn số số số nhỏ ba số nguyên tố cho 2) Tổng hai số nguyên