CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ TOÁN 9

Chuyên đề: CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ. Biên soạn bằng bản word, font Times New Roman, MathType 6.9. Tài liệu được chia làm các phần: Lý thuyết cơ bản, bài tập từ dễ đến khó, lời giải chi tiết. Đây là tài liệu dành cho học sinh lớp 9 ôn thi học sinh giỏi, giáo viên làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 năm học 20202021.

Chuyên đề 1: Biến đổi đại số 1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ:  Căn bậc hai số thực a số thực x cho x  a Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu  số thực khơng âm x mà bình phương a : a �0 � �x �0 � �2 � �a  x �x  a Với hai số thực khơng âm a, b ta có: a � b a b  Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý:  + A �0 �A A2  A  � A A0 � + A2 B  A B  A B với A, B �0 ; a A2 B  A B   A B với A  0; B �0 + + A  B A.B  B2 A.B với AB �0, B �0 B M M A  với A  ;(Đây gọi phép khử thức mẫu) A A   M Am B M với A, B �0, A �B (Đây gọi phép  A  B A� B trục thức mẫu) 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n 1.2.1 CĂN THỨC BẬC + Kiến thức cần nhớ:  Căn bậc số a kí hiệu  Cho a �R; a  x � x3   Mỗi số thực a có bậc  Nếu a   a 3 a số x cho x  a a a 0   Nếu a  Nếu a  3 a 0 a 0 a a với  b �0 b 3b ab  a b với a, b    ab� a  b A B  A3 B   3  A  B A  B 3 AB với B �0 B A B3 A2 m3 AB  B với  A ��B  A �B A �3 B 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n R, n N ; n Căn bậc n số a số mà lũy Cho số a �γ thừa bậc n a  Trường hợp n số lẻ: n  2k  1, k �N Mọi số thực a có bậc lẻ nhất: k 1 a  x � x k 1  a , a  k 1 a  , a  a  , a  k 1 a  Trường hợp n số chẵn: n  2k , k �N k 1  Mọi số thực a  có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi bậc 2k số học a ) Căn bậc chẵn âm kí hiệu  2k a , 2k a  x ۳ x x 2k  a ; =2 k a x  x x 2k  a Mọi số thực a  khơng có bậc chẵn Bài tập 1: Phân tích biểu thức sau thành tích: a) P  x  b) P  x  3 c) P  x  x  Lời giải:    x    x  2   x  x  3 2 a) P   x    x    x      2x  b) P   x   2 c) P   x  1  x   x  x  1  x  x  1 Bài tập 2: Rút gọn biểu thức: a) A  x  x  x  x �0 b) B  x  x   x  x  x � c) C     10  Lời giải: 1� a) A  x  x  x   x  � � x  � x  2� � + Nếu x �۳ + Nếu x <   x x x x 1  x �A 2 x 1  x  � A2 x 2 b) B  x  x 1  x  x 1  x 1  x 1   x 1  x 1  Hay B     4x 1 1    4x 1 1  4x 1 1  4x 1 1 4x 1 1  4x 1  + Nếu x 1�� 0�۳4 x 1 x x x    x   suy B  x  + Nếu x  �< 0  x 1 x     x   suy B   c) Để ý rằng:     � 74  2 Suy C     10(2  3)    28  10  9 5   3 Hay C    5(5  3)   25     Bài tập 3: Chứng minh: a) A     số nguyên b) B   84 84 số nguyên  1 9 c) Chứng minh rằng: x  a  a  8a  a  8a  với  a 3 3 a � số tự nhiên  d) Tính x  y biết x  x  2015  y  y  2015  2015 Lời giải: a) Dễ thấy A  0, Tacó A2   72  72          14  2.5  Suy A  2 b) Áp dụng đẳng thức:  u  v   u  v  3uv  u  v  Ta có: � � 84 84 � 84 84 84 84 � �  � B  �3   1 1  �3  1 � � 9 � 9 9 � � � � � � 84 84 � �3  � Hay  1 � 9 � � � � 84 � � 84 � 84 B3   3 �  1 B � B   3  B � B   B � B  B   � � � � � � � 81 � � � � 1� �  B  1  B  B    mà B  B   � �B  �  suy B  � 2� Vậy B số nguyên 2 c) Áp dụng đẳng thức:  u  v   u  v3  3uv  u  v  Ta có x3  2a    2a  x � x3   2a  1 x  2a  �  x  1  x  x  2a   Xét đa thức bậc hai x  x  2a với    8a �0 + Khi a  1 ta có x    8 + Khi a  , ta có    8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x  a  8a  a  8a  Vậy với a � ta có: x  a   a  3 3 số tự nhiên d) Nhận xét:  x  2015  x   x  2015  x  x  2015  x  2015 Kết hợp với giả thiết ta suy x  2015  x  y  2015  y � y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y � x  y  Bài tập 4: a) Cho x   10    10  Tính giá trị biểu thức: x  x3  x  x  12 x  x  12 b) Cho x   Tính giá trị biểu thức B  x  x  x  3x  1942 c) Cho x    Tính giá trị biểu thức: P P  x  x  x  x  x  2015 Giải: a) Ta có: � � x  �  10    10  �   10   10  � � � x2        1  8   1      1 2 � x   Từ ta suy  x  1  � x  x  x Ta biến đổi: P    x    x  x   12 42  3.4  12   x  x  12  12 b) Ta có x   �  x  1  � x  x  x   Ta biến đổi biểu thức P thành: P  x ( x3  x  x  3)  x  x  x  x     x3  x  x    1945  1945 c) Để ý rằng: x  22   ta nhân thêm vế với  để tận 3 2 dụng đẳng thức: a  b   a  b   a  ab  b  Khi ta có:    1    1 �   1 x  � x  x  � x  1 x  Ta biến đổi: 3 3   x  1 � x3  x  x   P  x  x  x  x  x  2015   x  x  1  x3  3x  x  1  2016  2016 � y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y � x  y  Bài tập 5: Cho x, y, z  xy  yz  zx  a) Tính giá trị biểu thức:  1 y   1 z   y  1 z   1 x   z  1 x   1 y  Px 2  y2 x y z b) Chứng minh rằng:  x   y   z   x2  z2 xy  1 x   1 y   1 z  2 Lời giải: a) Để ý rằng:  x  x  xy  yz  zx  ( x  y )( x  z ) Tương tự  y ;1  z ta có:  1 y   1 z  x 1 x 2 x  y  x  y  z  z  x  z  y  x  y  x  z  x y  z Suy P  x  y  z   y  z  x   z  x  y    xy  yz  zx   b) Tương tự câu a) Ta có: x y z x y z      2  x 1 y 1 z  x  y  x  z  x  y  y  z  z  y  z  x  x y  z  y  z  x  z  x  y  x  y  y  z   z  x  xy   x  y  y  z  z  x xy  1 x   1 y  1 z  2 � y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y � x  y  Bài tập 6: a) Tìm x1 , x2 , , xn thỏa mãn: x12  12  x2  22   n xn  n  x1  x2   xn   n  4n  với n nguyên dương Tính 2n   2n  f (1)  f (2)   f (40) b) Cho f (n)  Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với:    x12  12    x2  22     xn  n  n  0 2 Hay x1  2, x2  2.2 , , xn  2.n �x  y  4n � � x  n  1, y  n  � b) Đặt �xy  4n  �x  y  � Suy x  xy  y x  y 3    x  y3   x y x y 2 Áp dụng vào tốn ta có: f ( n)  f  1  f     f  40        1� 3  13  �   2n  1   2n  1  53  33      813  793 � �  813  13  364 � y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y � x  y  Bài tập a) Chứng minh rằng: 1     Chứng 1 3 79  80 1 1 � �      2� 1 � 2 3 n n 1 � n 1 � 1 1       n  với b) Chứng minh: n   n số nguyên dương n �2 Lời giải: minh rằng: 1    , 1 3 79  80 a) Xét A  1    2 4 80  81 Dễ thấy A  B B 1 1      1 2 3 79  80 80  81 Ta có A  B  Mặt khác ta có: Suy A  B  k  k 1     2    k 1  k k 1  k        k 1  k   k 1  k  81  80  81   Do A  B suy A  A  B  � A  b) Để ý rằng: 1   k k 1 k (k  1)  k 1  k   2k k  với k nguyên dương Suy � � � � �1 � � �1 VT  � 1   �  1 � �  � � � � 3� n 1 � � n 1 � � 2� �2 �n c) Đặt P  Ta có: 1 1      n n  n 1  2   với số tự nhiên n �2 n n n  n 1 Từ suy  n 1  n    n 1  n   2   2 n 1  n n n  n 1 2 n  n  n 1   n  n  hay  T         n   n  � � T  1 �   1       n  n   � � � 2  Do đó: � � Hay n   T  n  � y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y � x  y  Bài tập a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b2  b  c  c  a  Chứng minh rằng: a) Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: a  b2  c  x  y  y  z  z  x  (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014) Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có a   b2 b2   c c   a a 1 b  b 1 c  c  a �    2 2 2 Đẳng thức xảy � a   b2 � a2   b2 � �2 � b   c2 � � b   c � a  b  c  (đpcm) � � � 2 c   a c   a � � � b) Ta viết lại giả thiết thành: x  y  y  z  z  x  Áp dụng bất đẳng thức : 2ab �a  b ta có: x  y  y  z  z  x �x   y  y   z  z   x  Suy VT �VP Dấu xảy khi: 10 Rút gọn A tìm x để A  Câu 13 3 x xx   Tìm tất x3  x x3  x x 1 giá trị x để P  2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  P  : y   x đường thẳng 1) Cho biểu thức P   d  : y  mx  ( m tham số) chứng minh với giá trị m , đường thẳng  d  cắt  P  hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 �2 Câu 14 Cho biểu thức C  a 2   a  16 a 4 a 4 1) Tìm điều kiện a để biểu thức C có nghĩa rút gọn C 2) Tính giá trị biểu thức C a   Câu 15 � x 7 � x 3   Cho biểu thức A  � � x  2 x 1 2x  x  � �: x  10 x � �  x  0, x �4  1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Câu 16 x 1 , x  x 1 � x 1 � x2  2) Cho biểu thức P  � với x  x �1 � x  � x 1 �x  x 1) Tính giá trị biểu thức A  15 x 1 x b) Tìm giá trị x để P  x  a) Chứng minh P  Câu 17) Cho a       Chứng minh a  2a   Câu 18) Cho a   10    10  a  a3  a  6a  a  2a  12 Tính giá trị biểu thức: T  Câu 19) Giả thiết x, y , z  xy  yz  zx  a Chứng minh rằng:  a  y   a  z   y  a  z   a  x x a  x2 2 ax a y  a  y2 z a  z2  2a Câu 20 Cho a    61  46  a) Chứng minh rằng: a  14a   b) Giả sử f  x   x  x  14 x  28 x  x  19 Tính f  a  Câu 21 Cho a  38  17  38  17 Giả sử có đa thức f  x    x3  x  1940  Câu 22 Cho biểu thức f  n   2016 Hãy tính f  a  2n   n  n  1 n  n 1 Tính tổng S  f  1  f    f  3   f  2016  Câu 23) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 16 1 1 �      n Câu 24) Chứng minh với số nguyên dương n  , ta có 1 1 65      3 n 54 Câu 25) Chứng minh rằng: 43 1 44      44   2002 2001  2001 2002 45 (Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002) Câu 26) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 1     1 2 1 3  2 n 1  n  1 n   n n Câu 27) Chứng minh với số nguyên dương n  , ta có: 10 3n  3n  1  12 3n 3n  3 n  LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHUYÊN ĐỀ 1) Lời giải: 1) Với x  64 ta có A  B      64    64  x 1 x  x  x 1 x  x x  x   x x  2x  1 x xx  x 1 x 2 x 1 A 2 x 2 x x 1  � :  �  B 2 x x 1 x � x   x � x  �  x  (do x  ) Với x  , ta có: Lời giải: 17 36  10   36  1) Với x  36 , ta có A  2) Với x �0, x �16 ta có: � x x 4 x 4 �  x  16  x  x 2 � x 2  B�   � x  16 x  16 �x  16  x  16   x  16  x  16 � � x 2� x 4 x 2� 3) Biểu thức B  A  1  � � � x  16 x  16 � x  � �       B  A  1 nguyên, x nguyên x  16 ước , mà U     �1; �2 Ta có bảng giá trị tương ứng: Kết hợp điều kiện, để B  A  1 nguyên x � 14;15;16;17 3) Lời giải: A   x  x  10 x  x  25    x 5 x 5 x 5 A x x 10 x    x  x  25 x 5    x 5        x  5  x  5 x   10 x  x  10 x  25 x 5  x 5 x 5   x 5  � A x 5 Với x  ta có: x 5 x  Vậy  2   35 4) Lời giải: 1) P  2) P  18 x  �  x 3  x  x 3    x   3x  x 3   x 3  � x   � x  36 (thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 3 �  � Pmax  x  (TM) x 3 03 3) Với x �0, P  Lời giải: A  5 5   52 1   5 5    2   5   2  52   1  1   3   3 5 3 5 1   15    15   5 4  552  �� � � x B�  : 1   x  0 �� � x  �� x x  x � �x  x � x � � x 3 �  � �� x  :  � x 3� x x x 3 �� �   � x 1 � x  : x 3 � x �    x 3 6� � � x 3 �     � � � � x 1 x x x  Lời giải: Với x �0 x �9 ta có: � � x 3 x 3 x 9� x 3 A�  3 � x 3 x x 3 � x 9 � �  B 21    42  62   3 42  62   15 15 19  21  1  1    15  3  2       15 15  15 15  60 7) Lời giải: Với điều kiện cho thì: P 2x  x 2 x     x x   x   x  2 x  x Lời giải: Ta có: A    1 1     1 2 3 120  121 1   1   1   2 2  2     120  121 120  121  120  121 1 2 120  121    1 1 1       121  120  1  121  10 (1) Với k ��* , ta có: Do B   2   2 k k k k  k 1  k 1  k  1   35         36  35  � B     36    1    10 (2) Từ (1) (2) suy B  A �B2 Lời giải: x3  y x y x y  1) P  x  xy  y  x  y   x  y  x  y 20  2) Với x     y     Thay vào P ta được: P    1   3    1  3  3 10.Lời giải: Ta có:  Q     a b    b b  2a a a b a b   a a b b a b   a  b   3  b b  2a a  a  b a  ab  b   a a  3a b  3b a  b b  2a a  3a  ab ba  a  b a  ab  b    a  a b a a b 3a a  3a b  3b a  3a a  3a b  3b a   a  b a  ab  b    a b  a b  0   (ĐPCM) 11 Lời giải: A x  x  x  x  19 x  x   x 9 x  x  12 x  x  x 2  x 3   x  x  19 x 3  x4   x 5 x 4 x  x   x  x  19  x  x  15  x 3  x 4      x  3  x 1  x  4 x 4 x 1 x 3 12 Lời giải: 21   A 1 x x 2 x Với       4 x 2 x 2 x 4 x 4 x 4 x 2 x A 1 �  � x  � x  16 (nhận) Vậy A  x  16 2 x 3 13 Lời giải: 1) ĐKXĐ: x �3 3 x xx �P   x 3  x x3  x x 1    x3 x   3  x   x x x 1   x  x2 x3  3  x  3  x x 1 Vì P  � x  x   �  x  3  x      �x�3�� 0�۹ x x x Vậy x �3 x �4 2) Phương trình hồnh độ giao điểm  P   d  là: x  mx   có   m   với m , nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2  m x1 x2  1 �  x1  x2    m  � x12  x22  x1 x2  m 2 �  x1  x2   x1 x2  m2 �  x1  x2    1  m 2 2 �  x1  x2   m  �4 với m � x1  x2 �2 với m (ĐPCM) 14 Lời giải: a �0 � a �0 � � � a  16 �0 a �16 � � �� � 1) Biểu thức C có nghĩa khi: � a �16 � a  �0 � � a  �0 � � a �0 � 22 a 0, a 16 a 2   a  16 a 4 a 4 Rút gọn C   a  a 4 a 4  2  a 4 a 4   a  4  a  a   a    a  4  a  4   a  4  a  4 a  a  4 a   a  a  a      a2    a 4 2 2) Giá trị C a    Ta có: a  a         2 5 � a Vậy C  a  a 4   a4 a a 4  a 4   52 52 2   9 2 52  15 Lời giải: 1) Với x  0, x �4 biểu thức có nghĩa ta có: � x 7 � 3 A� � x   x 1  2x  x  � �: x  10 x � �      2 x 1      x  2 x 1 A  x  2 x 1 x 3    x 2  x 7 x  x 2 x 3 :  x 3 x  x 2  x Vậy với x  0, x �4 x 1 x x 1 2) Ta có x  0, x  0, x �4 nên A  x  0, x  0, x �4 x 1 23 A x 5    , x  0, x �4 �  A  , kết hợp với A x 1 2 x 1 2   nhận giá trị số nguyên A� 1, 2 1 A  � x  x  � x  � x  thỏa mãn điều kiện A  � x  x  � x  � x  không thỏa mãn điều kiện Vậy với x  A nhận giá trị nguyên 16 Lời giải: 1) Với x  ta có A  2) a) � x2 x P� � x x 2 �   1  1   � � x 1 � x 1 x  �  � x 1 � x x  � �  x 1  � x 1 � x 1 x x 1 x b) Theo câu a) P  � 2P  x  �  � � x 2  x 5 x x   x  x � x  x   x  1� 1 � � x  � x  � � x  � x  2� �   17 Giải:   a2              62   1 62    a   Do  a  1  hay a  2a   18 Giải: 24       Do a  nên   a   16  10        8 a    1     Vì a  nên a   Do  a  1  hay a  2a  Biểu diễn T   2a    a  2a   a  2a  12  42  3.4    12 19 Giải: 2 Ta có: a  x  x  xy  yz  zx   x  y   x  z  Tương tự ta có: a  y2   y  x   y  z  ; a  z2   z  x   z  y  Từ ta có: x a y az  y az ax  2 ax 2 a  y2 x  x  y  y  z  z  x  z  y  x  y  x  z  y  z  x ; z ax a y  a  z2  x  x  y  Tương tự:  z  x  y  Vậy VT  x  y  z   y  z  x   z  x  y    xy  yz  zx   2a 20 Giải: a) Vì 61  46  1  1 Từ a        � a2   2  � a   10 � a  14a   b) Do f  x    x  14 x    x    x  14a   nên ta f  a   21 Giải: Vì a  38  17  38  17  3.3 38  17 38  17 25 � a3  76  3a � a  3a  76 � f  a    76  1940  22 Nhân tử mẫu f  n  với 2012  20162016 n   n , ta được: f  n    n  1 n   n n Cho n từ đến 2016 , ta được: f  1  2  1; f    3  2; ; f  2016   2017 2017  2016 2016 Từ suy ra: S  f  1  f    f  3   f  2016   2017 2017  23 Giải: 1 1 Vì n số nguyên dương nên: �     �  (1) Mặt n khác, với k �1 ta có: 4 � �  2  2�  � Cho k  2,3, 4, , n ta có: k 4k 4k  �2k  2k  � 4 2 2       2 2 4.2 4.2  2.2  2.2  4 2 2       2 4.3 4.3  2.3  2.3  4 2 2       2 4.4 4.4  2.4  2.4  ………… 4 2 2  2     n 4n 4n  2n  n  n  n  Cộng vế với vế ta được: 1 1 2         1  (2) Từ (1) (2) suy 2 n 2n  3 điều phải chứng minh 24 Giải: 26 1 1     Thực làm trội phân số vế trái 3 n cách làm giảm mẫu, ta có: Đặt P  2 1     , k  k k  k  k  1  k  1  k  1 k k  k  1 Cho k  4,5, , n � 1 � �1 � � �1 1 � �1 P  �3   � �   � � �  �  � � �3.4 4.5 � �4.5 5.6 �  n  1 n n  n  1 � � �  251 1 251 65 65      Do P  (đpcm) 108 3.4 n  n  1 108 3.4 27 64 25 Giải: Đặt Sn  1    1   n  1 n  n n  Để ý :  k  1  k  1 k  k k    k  1 k  k k    , k �  k  k  1 k  k k   k  1 k  k  k  1 k k 1 Cho k  1, 2, , n cộng vế với vế ta có: Sn  1 1 1        1 2 n n 1 n 1 Do S 2001   2002 Như ta phải chứng minh: 43 44 1  1  �   44 45 2002 45 2002 44 27 � 44  2002  45 � 1936  2002  2025 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh 26 Giải: Để giải tốn ta cần có bổ đề sau: Bổ đề: với số thực dương x, y ta có: x y  y x �x x  y y Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương x y  y x �x x  y y � x x  y y  x y  y x �0 �x �     x y y x y   y  x �0 �  x  y  x y    x  y �0 �0 Bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề ta có:  n  1 �  n  1 Vì thế:  n   n n  n n    n  1 n 1  n   n n n n    n  1 n 1     2 1 3  2  n  1 n   n n 1    n  Mà theo kết câu 25 1   n  1 n  n thì: 1 1     1 Vậy 1  n 1  n  1 n  n n  toán chứng minh Câu 27) 28 Giải: Để ý phân số có tử mẫu đơn vị, nên ta nghĩ đến đẳng thức n n 1   � n2  n2  n  � n   Kí hiệu n2 n 10 3n  3n  P  Ta có: 12 3n 3n  �1 10 3n  3n  � �1 10 3n  3n  � P  � � � � 3n 3n  � 3n 3n  � �3 12 �3 12 �1 3n  3n � �1 10 3n  3n  �  � � � � 3n 3n  � �3 10 3n  3n  � �3 12 1 1 3n  3n  3n 3n     3 n  n      3 10 3n  3n 3n  3n  Từ suy P  Bất đẳng thức chứng minh n 1 29 ... n số a số mà lũy Cho số a �γ thừa bậc n a  Trường hợp n số lẻ: n  2k  1, k �N Mọi số thực a có bậc lẻ nhất: k 1 a  x � x k 1  a , a  k 1 a  , a  a  , a  k 1 a  Trường hợp n số. .. 9? ?? 5   3 Hay C    5(5  3)   25     Bài tập 3: Chứng minh: a) A     số nguyên b) B   84 84 số nguyên  1 9 c) Chứng minh rằng: x  a  a  8a  a  8a  với  a 3 3 a � số. .. Ta có: � � 84 84 � 84 84 84 84 � �  � B  �3   1 1  �3  1 � � 9 � 9 9 � � � � � � 84 84 � �3  � Hay  1 � 9 � � � � 84 � � 84 � 84 B3   3 �  1 B � B   3  B � B   B � B 