CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG: SO SÁNH

Chuyên đề: SO SÁNH. Biên soạn bằng bản word, font Times New Roman, MathType 6.9. Tài liệu được chia làm các phần: Lý thuyết cơ bản, bài tập từ dễ đến khó, lời giải chi tiết. Đây là tài liệu dành cho học sinh lớp 6 ôn thi học sinh giỏi, giáo viên làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 năm học 20202021.

CHUYÊN ĐỀ: SO SÁNH Dạng 1:SO SÁNH LŨY THỪA A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ * Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a(n thừa số a với a thuộcQ) Qui ước: a * Các phép tính luỹ thừa: - Nhân luỹ thưa số: - Chia luỹ thừa số : - Luỹ thừa tích: (a.b) - Luỹ thừa thương: (a : b ) - Luỹ thừa luỹ thừa: (a - Luỹ thừa tầng: a - Luỹ thừa với số mũ âm: a B/ CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH LŨY THỪA I/ Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa so sánh hai luỹ thừa số số mũ - Nếu luỹ thừa số ( lớn 1) luỹ thừa có số mũ lớn lớn (a >1)  m > n - Nếu luỹ thừa số mũ (lớn 0) lũy thừa có số lớn lớn (n > 0)  a > b II/ Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu phép nhân A > B B > C A > C A.C < B.C (với C > 0)  A < B Bài 1: So sánh: 20 10 a, 99 9999 HD: 200 300 b, 500 300 c, 9920   992    99.101 10 a, Ta có: b, Ta có: 2300   23  1000 Mà: 3500   35  100 100 Mà : 143 d, Ta có : Bài 2: So sánh : 11 a, 27 81 HD : 85     143100  343 100 7300     3500  7300  9100 100 ,  343100  215  2.214  3.214   2   3.47 7 b, 625 125 2711  333 ;818  332 b, Ta có : 6255  520 ;1257  521 c, Ta có : 536  12512 ;1124  12112 a, Ta có: 100  2300  3200 a, Ta có : d, Ta có : Bài 3: So sánh : 23 22 a, 6.5 HD:  999910 3200   32   8100 9 100 c,Ta có : 100 10 , , Vậy  3.4 36 24 c, 11 32 n  n ;23n  8n b, 199 20 15 2003 523  5.522  6.522 d, 3.4 99 21 c, 11 2n 3n d, 19920  20020   8.5 b, Ta có: 1121  27 21   33  c, Ta có: Bài 4: So sánh: 50 75 a, 107 73 HD : 21 20  260.540 200315  200015   24.53  15  260.545  363  399 35 91 b, 12 c, 54 21 d, 10750  10850  2100.3150 7375  7275  2225.3150 a, Ta có : 291   213   81927 b, Ta có : 54   2.27   4 535   55   31257 12 12 12 12 21  98  108  1004  100.1003 c, Ta có : d, Ta có : 3 3 Và  512  500  100  125.100 Bài 5: So sánh: 143 119 a, Bài 6: So sánh: 12 a, 63 16 HD : 863 1995 b, 976 2005 1997 c, 299 501 b, 23 15 c, d, 127 23 18 513 637  647   82   814 a, Ta có : Và 1612    12  248  23.16  816 5299  5300   53  b, Ta có :   35  100 100 323  32 21   33   9.277  3300  2501 c, Ta có : 127  128   23 d, Ta có : Bài 7: So sánh : 15 a, 21 27 49 Bài 8: So sánh: a, 202 HD: 303 23  23 b,  32  202303   2.101 a, Ta có : và 161  18 51318  51218    2.101 Và  32   329  245 b, Ta có : Vậy 2 45  1813   18  660 18  2162 10 10 c, 2004  2004 2005 1979 c, 11 1320 37 101   32.101 101 2 , Mà : 8.101  8.101.101  9.101 45 52 13 13 , Mà   16  18 13 111979  111980   113  371320   37  13   23.1013  3.101 303202   3.101 Và 45 44 44 43 b, 72  72 72  72 202 303 c, Ta có : 2 515   52   5.257 660  1331660  1369660 27 63 28 Bài 9: Chứng minh :   HD : 27 63 527  263 : Ta có :     125     128 Ta chứng minh : 263   29   512  : Ta có : Ta chứng minh : Bài 10: So sánh : 50 75 35 91 a, 107 73 b, HD : 50 10750  10850   4.27   2100.3150 a, Ta có : 75 7375  7275   8.9   2225.3150 Và 63 28 291  90    b, Ta có : Và 18 528   54   6257 c, 125 25 54 81 d,  3218 535  536   52  18  2518 Bài 11: So sánh : 28 14 21 11 14 10 21 a, 26 b, 124 c, 31 17 d, 64 Bài 12: So sánh : 35 30 30 30 10 91 12 a, b, 54 21 c,   3.24 Bài 13: So sánh: 21 299 501 81 31 a, b, 345 342.348 c, d, HD: 31 10 21 20 10 c, Ta có:  2.8  3.3  3.9 299 d, Ta có: Bài 14: So sánh:  5300  125100 3501  3500  243100 10 b, 10 48.50 a, 523 6.522 HD : a, Ta có : b, Ta có : 5 10 10 1010  210.510  2.29.510 48.50  3.2    3.2 10 Vậy : 10  48.50 1255   53   515 Vậy : 125  25 257   52   514 354   36   7299 281   29   5129 9 d, Ta có : 54 81 d, 523  5.522  6.522 c, Ta có : c, 125 25 , Vậy :  54 Bài 15: So sánh: 13 a, (32) (16) 30 50 b, (5) ( 3) HD : a, Ta có : 81  32  c, 528 2614  329    25   245  16   16 13 13    24  13  252 245  252   32    16  Mà : b, Ta có : c, Ta có :  5 30  3 50  530   53  10  12510  350   35  10  24310 528   52  14  2514 2614 < 13 10 10 Mà : 125  243 d, 421 647 21   43   647 d, Ta có : Bài 16: So sánh: a, 231 321 HD : b, 2711 818 c, 6255 1257 321  3.320   32   3.910 10 a, Ta có : 2711   33   333 31 10  2.8 11 b, Ta có : 1257   53   521 536  12512 d, Ta có : Bài 17: So sánh: a, 333444 444333 HD : 818   34   324 6255   54   520 c,Ta có : d, 536 1124 24 12 11  121 , b, 200410+20049 200510 10 10 Mà : 3.9  2.8 33 24 Mà :  20 21 Mà :  12 12 Mà : 125  121 c, 3452 342.348 a, Ta có : 333444   3.111 b, Ta có : Mà : 8991 111  64 111 200410  20049  20049  2004  1  2005.20049  2005.20059 111 4.111  8991111.111333 333 111 444333   4.111 3.111  64111.111333 333 3452  345.345  (342  3)345  342.345  1035 342.348  342  345  3  342.345  1026 Mà : 342.345  1035  342.345  1026 c, Ta có : Bài 18: So sánh: a, 199010 + 19909 199110 b, 12.131313 13.121212 HD : 10 199010  19909  19909  1990  1  1991.19909 a, Ta có : Và 1991  1991.1991 9 Mà : 1991.1990  1991.1991 12.131313  12.13.10101 13.121212  13.12.10101 b, Ta có : 222 333 Bài 19: So sánh: A  222 B  333 HD : Ta có : 222333   2223  111   23.1113  333222   3332  111 20 10 Bài 20: So sánh : 2009 20092009 31 69 Bài 21: So sánh : HD:   8.111.1112    32.1112  111      512  5     625 269  263.26  29 22 531 111 28 3 7 111   888.1112    9.1112  111 3 Và Bài 22: So sánh: A      1000 B  1.2.3.4 11 HD:   1000  1000  103.103  106 A      1000  Ta có: Và B   2.5  3.4   6.7   8.9  10.11  103.103  106 Bài 23: So sánh : 17  26  HD: 99 111 , Ta có : 17  16  4; 26  25  nên 17  26      10  100  99 Bài 24: So sánh: 50 75 98.516 1920 b, 71 & 37 a, HD: a, Ta có: 98.516  316.516  1516  1916  1920 b, Ta có: 50 7150  7250   8.9   2150.3100 3775  3675   4.9  Bài 25: So sánh số sau đây: a/ 1619 825 d/ 523 6.522 g/ 2100 3200 75  2150.3150 b/ 2711 818 e/ 7.213 216 h/ 5100 3500 c/ 6255 1257 f/ 32n 23n (n ∈ N*) 30 30 30 10 i/   3.24 HD: 19 19 76 25 25 75 76 75 19 25 a/ 16  (2 )  ;8  (2 )     16  b/ c/ 625 d/ e/ 7.2 f/ 3) g/ h/ i/ Vậy Bài 26: So sánh số sau: a/ 199 b/ c/ A= 72 HD: a/ Ta có: 199 2003 => => 2003 b/ Ta có: 11 c/ Ta có 44 44 43 43 A= 72 (72  1)  72 71 B  72 (72  1)  72 71 => A > B Bài 27: So sánh e, 9920 999910 b, 3500 7300 f, 111979 371320 c, 3.4 g, 1010 48.505 d, 202303 303202 h, 199010 + 1990 199110 HD: e) Ta thấy : 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 b) Tương tự câu a, ta có : 3500 = (35)100 = 243100 7300 = (73)100 = 343100 100 100 500 Vì 243 < 343 nên < 7300 c) Ta có : = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47 d) Ta có : 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202 f) Ta có : 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (1) 371320 = 372)660 = 1369660 (2) Từ (1) (2) suy : 111979 < 371320 g) Ta có : 1010 = 210 510 = 29 510 (*) 5 10 10 48 50 = (3 ) (2 ) = (**) Từ (*) (**) => 1010 < 48 505 h) Có : 199010 + 19909 = 19909 (1990+1) = 1991 19909 199110 = 1991 19919 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 < 199110 Bài 28: Chứng tỏ : 527 < 263 < 528 HD: Với , học sinh lớp không định hướng cách làm , giáo viên gợi ý: chứng tỏ 263> 527 263 < 528 Ta có : 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) 63 7 Lại có : = (2 ) = 512 528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 (2) 27 63 Từ (1) (2) => < < Bài 29: So sánh : a) 10750 7375 b) 291 535 HD: a) Ta thấy : 10750 < 10850 = (4 27)50 = 2100 3150 (1) 7375 > 7275 = (8 9)75 = 2225 3150 (2) Từ (1) (2) => 10750 < 2100 3150 < 2225 3150 < 7375 b) 291 > 290 = (25)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 = 2518 => 291 > 3218 > 2518 > 535 Vậy 291 > 535 Bài 30: Chứng minh : 21995 < 5863 HD: Có 210 =1024, 55 =3025  210 (211)24 > (211) 26 = 2270  21720.2270 < 21720 3172 < 5860 Vậy 21990 3675 = (4.9) 75 = 2150 3150 mà 2150 3150 > 2150.3100 Từ (1), (2), (3) suy ra: 3775 > 7150 Bài 33: So sánh số: 50 HD: 50 999 100 75 50 Bài 34: Viết theo từ nhỏ đến lớn: ;3 HD: (1) (2) (3) Từ(1),(2) (3) => Bài 35: So sánh: �1� � � b, � � � � �1 � � 300 � � 200 � a, �2 �và �3 � HD : �1 � �� �8 � 100 1 �1 � �1 � 1  15 � �  16 � �  15 16 �8 � , mà : �4 � 1 �1 � �1 � 1  36 � �  35 � �  36 35 � 16 � 16 mà : �32 � 32 b, Ta có : c, Ta có : Bài 36: So sánh: 100 1 �1 � 1 1 �1 � 1  100  � �  100  100  � �  100  100 300 200 100 �8 � �9 � , Mà : a, Ta có : �1 � � � a, �243 � HD: 13 100 500 �1 � �1 � �16 � � � 2009 2999 b, � � �2 � c, (2008  2007) (1997  1998) �1 � �83 � � � 13 �1 � � � 45 �243 � a, Ta có : 13 500 1 �1 � �1 � 1  500 � �  100  400 � �  500 400 �2 � , mà: �16 � 16 2009 2999 2999  2008  2007   12009   1997  1998   1  1 , Mà: 1>-1 b, Ta có : c, Ta có : Bài 37: So sánh : 15 �1 � � � �243 � b, �3 � �� �8 � a, Ta có: 20 �1 � �3 � � � � � 10 � � 10 � b, � 1 199 300 a, Bài 38: So sánh: �1 � �1 � �1 � � �  � �  52  45  � � �83 � �81 � �243 � 100 �1 � � � a, �80 � HD: �1 � �1 � � � � � 16 � c, �32 � � �5 � � � �243 � �1 � �1 � �1 � � � � � 28 � � 30 �80 � �81 � �243 � 5 243 125 243 243 �3 � �5 �    � � 15 � � 15  15  15  15 15 3 b, Ta có: �8 � �243 � � 1� � 1� � �� � 11 M � 1 � 1 � 1 � � 1 � � � � 4� � 9� � 16 � � 100 �với 19 Bài 39: So sánh:  32 Bài 40: So sánh: Bài 41: So sánh: 11 a, 27 81  18 13 b, 625 125 20 15 g, 199 2003 15 e, 21 27 49 30 30 30 10 Bài 42: So sánh:   3.24 HD:     430  230.230  23 10 15 Ta có: 30 30 30 24 Vậy    3,2 Bài 43: So sánh:  33 HD: 36 13 24 16 c, 11 d, 7.2 99 45 44 44 43 21 h, 11 i, 72  72 72  72    810.315  810.310  2410.3 29  14 Ta có:  36  29 33  14 => 36  33  29  14 Bài 44: So sánh: HD: Ta có: A  20  20  20   20 ( 2018 dấu căn) với B  20   A  20  , Ta lại có: 20  25   A  20  20  20   25  Bài 45: Chứng minh rằng: A      Bài 46 : Chứng minh : , A  B  (2018 dấu căn) số không nguyên B  56  56  56   56 (2018 dấu căn) số không nguyên Dạng 2: SO SÁNH BIỂU THỨC PHÂN SỐ Phương pháp chính: Tùy tốn mà ta có cách biến đổi a a am    b b  m ngược lại, + Cách 1: Sử dụng tính chất: b (Chú ý ta chọn phân số có mũ lớn để biến đổi ) + Cách 2: Đưa hỗn số + Cách 3: Biến đổi giống để so sánh Bài 1: So sánh: 19 2005 72 98 a, 19 2004 b, 73 99 Bài 2: So sánh qua phân số trung gian: 18 15 72 58 b, 31 37 b 73 99 HD: 18 18 18 15   a, Xét phân số trung gian là: 37 , Khi ta có: 31 37 37 72 72 72 58   b, Xét phân số trung gian 99 , Khi ta có: 73 99 99 n n 1 Bài 3: So sánh : n  n  HD : n Xét phân số trung gian : n  Bài 4: So sánh: 12 13 64 73 19 17 67 73 a, 49 47 b, 85 81 c, 31 35 d, 77 83 d, Xét phần bù Bài 5: So sánh : 456 123 2003.2004  2004.2005  149 449 a, 461 128 b, 2003.2004 2004.2005 c, 157 457 Bài 6: So sánh: 20082008  20082007  100100  100101  A B  A  B  20082009  20082008  10099  100100  a, b, HD: 2008  20082007  1 20082008  20082008   2007 20082008  2008  B A   A   2009 2009 2009 2008  20082008  1 2008  2008   2007 2008  2008 a, 100 100101  100101   99 100101  100 100  100  1 B   B    A 100100  100100   99 100100  100 100  10099  1 b, Ta có : Bài 7: So sánh: 1315  1316  19991999  19992000  A  16 B  17 A B 13  13  19991998  19991999  a, b, HD: B a, 15 1316  1316   12 1316  13 13  13  1   B    A 1317  1317   12 1317  13 13  1316  1 Vậy A>B 1999 1999  1999   1998 1999  1999 1999  1999  1 B   B    19991999  19991999   1998 19991999  1999 1999  19991998  1 2000 2000 b, Bài 8: So sánh: 100100  10098  A B  10099  10097  a, HD: a, 2000 b, A 1011  1010  B  1012  1011  98 100100  100100   9999 100100  102 100  100  1 A   A    B 10099  10099   9999 10099  10 100  10097  1 1011  1011   11 1011  10 10  10  1   A    B 1012  1012   11 1012  10 10  1011  1 Vậy A>B 10 A b, Bài 9: So sánh: 107  108  A B 10  10  a, HD: 107  107   13 13 A   1 7 10  10  10  a, 108  108 A B 10  10  b, 108  108   13 13 13 13   1   A  B 8 10  10  10  mà: 10  10  108  108   3 A   1 8 10  10  10  b, 108 108   3 3 B   1   A  B 8 10  10  10  Mà: 10  10  Bài 10: So sánh: 1920  1921  1002009  1002010  A  20 B  21 A B  19  19  1002008  1002009  a, b, HD: 1920  1920   13 13 A  20    20 20 19  19  19  a, B 1921  1921   13 13 13 13    21  21  A  B 21 21 20 19  19  19  , Mà: 19  19  2009 100 2010  1002010   99 100  100  1 B   B   A 100 2009  1002009   99 100  1002008  1 b, , AB B =A B b, 2004 102005  102005   10  10  1   B   A 102006  102006   10  10 2005  1 Vậy A>B Bài 12: So sánh: 101992  101993  A  1991 B  1992 10  10  a, HD: a, b, b, A 1010  1010  B  1010  1010  1992 101993  101993   10  10  1 B  1992   B  1992  A 10  10   10  101991  1 A B>A 10  10   2    10 10 10 10  10  10  10 10 1010  1010   2 2 B  10    10  10  A  B 10 10 10  10  10  , mà: 10  10  Bài 13: So sánh: 1020  1021  152016  152017  A  21 B  22 A  2017 B  2018 10  10  15  15  a, b, HD: 21 1021  1021   54 1021  60 10  10   B  22   B  22   A 10  10   54 1022  60 10  1021   a, , Vậy A>B 2016 2017 2017 2017 15  15   74 15  75 15  15   B  2018   B  2018   A 15  15   74 152018  75 15  152017   b, A>B Bài 14: So sánh: 1020  1021  2021  2022  A  21 B  22 A  22 B  23 10  10  20  20  28 a, b, HD: 20 1021  1021   26 1021  30 10  10  3 B  22   B  22  22  A 10  10   26 10  30 10  1021  3 a, , A>B 21 22 22 22 20  20   52 20  60 20  20  3 B  23   B  23   A 20  28 20  28  52 2023  80 20  20 22   b, Vậy A>B 100 69 100  100  A B 99 100  Và 10068  Bài 15: So sánh: HD: Quy đồng mẫu ta có: A   100100  1  10068  1 B   10069  1  10099  1 , A  B   100  1  10068  1   10089  1  10099  1 100100  10099  10069  10068 Xét hiệu = 99 99 68 68 99 68  100.100  100  100.100  100  99.100  99.100  99  10099  10068    A  B Bài 16: So sánh: 218  220  1523  1522  A  20 B  22 A  22 B  21  3 15  138 15  a, b, HD: a, Chú ý trường hợp ta trừ tử mẫu với số ta đảo chiều bất đẳng thức 18 220  220   220  12   3 B  22   B  22   A 3   222  12 22  220   Vậy B>A A b, 22 1523  1523   63 1523  60 15  15     A    B 1522  138 1522  138  63 1522  75 15  1521   Bài 17: So sánh: A , Vậy A>B 10  10  B  15 15 10  11 10  14 14 M 7a 7b c N 7a  2015 7bc  2015 , Bài 18: Cho a, b,c độ dài cạnh cảu tam giác và: Hãy so sánh M N 7 15 15 7 N  2005  2006 M  2005  2006 10 10 10 10 Bài 19 : So sánh : Bài 20: So sánh: 2004 2005 2004  2005 2000 2001 2000  2001 A  B A  B 2005 2006 2005  2006 2001 2002 2002  2002 a, b, HD: 2004  2005 2004 2005 2004 2005 B     A 4011 4011 4011 2005 2006 a, 2000  2001 2000 2001 2000 2001 B     A 4004 4004 4004 2001 2002 b, Bài 21: So sánh: 1382  690 1985.1987  5(11.13  22.26) A A B 1372  548 1980  1985.1986 22.26  44.54 a, b, HD: 1985  1986  1  1985.1986  1985  1985.1986  1984 A   1 1980  1985.1986 1980  1985.1986 1985.1986  1980 a,  11.13  22.26  138 1 A   1 B  1   A  B  11.13  22.26  4 137 137 mà: 137 b, Bài 22: So sánh: 33.103 3774 244.395  151 423134.846267  423133 A B B A 5.10  7000 5217 244  395.243 423133.846267  423134 a, b, HD: 33 34 7000  7.103  A  B 47 47 => A1) n  n3 a, (n>0) b, HD: n n2 n2 A   A   B n 1 n 1 n  a, Ta có : A n2  n2   2   1 2 n 1 n 1 n 1 b, Ta có : n2  n2   1 2 2 2 B   1  1   A  B n 4 n 4 n 4 2n  , Mà: n  2n  Và Bài 32: So sánh: 10 10 11 2016 2016 2017 2015 A  10  B  10  A  B  20 30 50 50 50 50 100 100 10020 10030 a, b, HD: 10 10 1 A  10   B  10  10   10  A  B 50 50 50 50 50 50 , Mà: 50 50 a, 2016 2015 2016 2015 1 A   B     A  B 20 30 30 20 20 30 30 100 100 100 100 100 100 , mà: 100 10020 b, Bài 33: So sánh: n n 1 n 3n  B A B A n  n4 2n  6n  a, b, HD: n n 1 n 1 A   B n3 n3 n4 a, n 3n 3n  A   B 2n  6n  6n  b, Bài 34: So sánh: 7 2003.2004  2004.2005  A B A  B  8 8 2003.2004 2004.2005 , b, a HD: 3 3 4 A     B       A  B 8 8 , 8 8 , Mà: 84 83 a, 1 1 1 1 A  1 B  1   A  B 2003.2004 , 2004.2005 , Mà: 2003.2004 2004.2005 b, Bài 35: So sánh : 22010  22012  3123  3122 A  2007 B  2009 A  125 B  124  1  1 a, b, HD: 22010  23  7 22012  23  7 A   2002 B  23  2009 2007 2009 1 1 1 1 a, 125 8 3123    1   93 9  A B   1249 125 125 125 1 1 3  , Tương tự : 3 1 b, 2 2 A     60.63 63.66 117.120 2011 Bài 36: So sánh : 5 5 B      40.44 44.48 48.52 76.80 2011 HD: 3 � �1 � � 3A  �      � �  � 117.120 2011 � �60 120 2011 � �60.63 63.66 � �1  2�   � 120 2011 � 60 2011 � A  180 2011 4 � �1 � � 4B  �     � �   � 76.80 2011 � �40 80 2011 � �40.44 44.48 � 20 �1  5�  �  �80 2011 � 16 2011 B   A 64 2011 > 180 2011 1 1 1 S     10 41 42 với Bài 37: So sánh tổng HD: 1 1 1 1 1 1 1         S    10 8 41 42 40 40 20 nên 20 7 15 15 7 A  2005  2006 B  2005  2006 10 10 10 10 Bài 38: So sánh không qua quy dồng : HD: 7 8 7 7 8 7 A  2005  2006  2006 B  2005  2005  2006 10 10 10 10 10 10 , 9 19 9 19 A  2012  2011 & B  2011  2012 10 10 10 10 Bài 39: So sánh: HD: 9 9 10 A  2012  2011  2011 10 10 10 9 9 10 10 10 B  2011  2012  2012  2012  A  B 2011 10 10 10 10 , Mà: 10 Bài 40: So sánh : HD: A B   B  20092009  20092010  B  20092010  20092011  20092010   2011 A 20092011   2011 a 1 b 1 & b với a, b số nguyên dấu a # b Bài 41: So sánh phân số : a HD: a 1 b 1  1 &  1 a b b Ta có : a 1 1  0&   0&  b b *Nếu a>0 b>0 a *Nếu a K - K + < K + - Nếu m < n K - < K - K + > K + (còn gọi phương pháp so sánh phần bù) * Với biểu thức tổng số a (với a ∈ N*) ta có vận dụng so sánh sau: 1 1   a a 1 < a < a 1 a Bài 1: Cho S =1 + + So sánh S với 5.2 HD: 2.S = 10 10 8 10 2S- S =  hay S     2  4.2  5.2 Bài 2: Cho A = + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201272 B = 201273 - So sánh A B HD: Ta có 2012A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201273 Lấy 2012A – A = 201273 – Vậy A = (201273 – 1) : 2011 < B = 201273 - 310.11  310.5 210.13  210.65 B C  39.24 28.104 Bài 3: So sánh hai biểu thức: ; HD: 310.11  310.5 310 (11  5)  3 39.24 39.16 210.13  210.65 210 (13  65) 22.78 C   3 28.104 28.104 104 Vậy B = C Bài 4: So sánh biểu thức A B trường hợp: a) A = B = b) C = D = B HD: - Ở câu a, biểu thức A B có chứa luỹ thừa số 10 -> ta so sánh 10A và10B - Ở câu b, biểu thức C D có chứa luỹ thừa số nên ta so sánh C D a) Ta có A = => 10A = 10 = = B = => 10B = 10 = = Vì 1016 + < 1017 + nên => => 10A > 10B hay A > B b) Ta có C = => C = = D = => D = = Vì 22008 – > 22007 – nên => > => C > D hay C > D Bài 5: So sánh M = N = HD: Ta có: = = = = Vì => < => M < N 19 30  19 31  31 32 Bài 6: So sánh M N biết: M = 19  ; N = 19  HD: 19.(19 30  5) 19 30  19 31  95 90 31 31 31 31 M = 19  nên 19M = 19  = 19  = + 19  19.(19 31  5) 19 32  95 19 31  90 32 32 32 32 N = 19  nên 19N = 19  = 19  = + 19  90 90 31 32 Vì 19  > 19  90 90 31 32 Suy + 19  > + 19  Hay 19M > 19N => M > N 1 1 1     2 2 2 Bài 7: So sánh 101 102 103 104 105 3.5 HD: 1 n  (n  1) n  n  1      (n  1).n (n  1).n (n  1)n n Nếu n số tự nhiên lớn ta có: n  n 1   n 1 n => n Áp dụng vào toán ta được: 1   101 100 101 1   102 101 102 1   105 104 103 1 1 105  100        2  2 2 101 102 105 100 105 100.105 5.3.7 3.7 1    2 2 105 3.7 Vậy 102 �1 ��1 ��1 � �1 � �  1� �  1� �  1�  �  1� 100 ��3 ��4 � � �và Bài 8: So sánh A = �2 HD: A tích 99 số âm Do đó: -A = ) -A = Để dễ rút gọn ta viết tử dạng tích số tự nhiên liên tiếp sau: -A = Vậy A < Dạng 4: TỪ VIỆC SO SÁNH LŨY THỪA, TÌM CƠ SỐ (SỐ MŨ) CHƯA BIẾT Phương pháp chính: Từ mệnh đề so sánh cho, việc phân tích lũy thừa đưa hai về hai lũy thừa số (cùng số mũ) lập luận tìm số (số mũ chưa biết) Tùy theo điều kiện cho số (số mũ) ta tìm số (số mũ) tương ứng Bài 1: Tìm x thuộc N Biết : a/ 16 b/ HD: a/ 16 => (2) Bài 2: Tìm số tự nhiên n cho : a) < 3n 234 b) 8.16 2n HD: đưa số lũy thừa có số Bài 3: Tìm số tự nhiên n biết : 415 915 < 2n 3n < 1816 216 Gợi ý: quan sát , nhận xét số mũ lũy thừa tích để đưa số Bài 4: Cho A = + 32 + 33 + …….+3100 Tìm số tự nhiên n, biết 2A + = 3n HD: Có A = + 32 + 33 + …….+3100 3A = 32 + 33 + 34 +…….+3101 Suy ra: 3A – A = 3101 – Hay: 2A = 3101 – => 2A + = 3101 , mà theo đề ta có: 2A + = 3n Suy ra: 3101 = 3n => n = 101 Bài 5: Tìm số nguyên dương m n cho: HD: Ta có : (1) Dễ thấy m Ta xét trường hợp: 1/ Nếu m-n = (1) ta có 2n(2-1) = 2/ Nếu m-n số lẻ lớn nên vế trái (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ phân tách thừa số nguyên tố Còn vế phải (1) chứa thừa số nguyên tố => Mâu thuẩn Vậy n = ; m = đáp số Bài 6: Tìm số nguyên dương n biết: a) 64 < 2n < 256 b) 243 > 3n  HD: a) 64 < 2n < 256 => 26 < 2n < 28 => < n < , n nguyên dương Vậy n = b) 243 > 3n  => 35 > 3n  32 => > n  , n nguyên dương Vậy n = 4; 3; Bài 7: Tìm số nguyên n lớn cho: n200 < 6300 HD: Ta có: n200 = (n2)100 ; 6300 = (63)100 = 216100 Để n200 < 6300  (n2)100 < 216100  n2 < 216 n Z (*) Số nguyên lớn thoã mãn (*) n = 14 Bài 8: Tìm số nguyên n thoã mãn: 364 < n48 < 572 HD: Ta giải bất đẳng thức 364 < n48 n48 < 572 Ta có : n48 > 364  (n3)16 > (34)16  (n3)16 > 8116  n3 > 81 Vì n  Z nên n > (1) 48 72 24 24 24 Mặt khác n <  (n ) < (5 )  (n ) < 12524 n2 < 125 n  Z => -11  n  11 (2) Từ (1) (2) => < n  11 Vậy n   5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 * Từ tốn thay đổi câu hỏi để tốn sau: Số1: Tìm tổng số nguyên n thoã mãn: 364 < n48 < 572 ( giải tương tự ta có số ngun n thỗ mãn 5+6+7+8+9+10+11=56) Số2: Tìm tất số nguyên có chữ số cho 364 < n48 < 572 ( số 5; 6; 7; 8; 9;) Số3: Tìm tất số ngun có chữ số cho 364 < n48 < 572 ( số 10; 11) Bài 9: Tìm n  Z biết: a) 32 < 2n  512 b*) 318 < n12  208 ... 16 � � 100 �với 19 Bài 39: So sánh:  32 Bài 40: So sánh: Bài 41: So sánh: 11 a, 27 81  18 13 b, 625 125 20 15 g, 199 2003 15 e, 21 27 49 30 30 30 10 Bài 42: So sánh:   3.24 HD:    ... 212315 Bài 43: So sánh: 2007  22004  C  2006 D  2003  1 Bài 44: So sánh: n a 1 an A B n a n a 1 Bài 45: So sánh: 20162017 20152016 A B 20162016 20152015 Bài 46: So sánh: 510 610 A... 536   52  18  2518 Bài 11: So sánh : 28 14 21 11 14 10 21 a, 26 b, 124 c, 31 17 d, 64 Bài 12: So sánh : 35 30 30 30 10 91 12 a, b, 54 21 c,   3.24 Bài 13: So sánh: 21 299 501 81 31 a, b,