CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG: PHÂN SỐ

Chuyên đề: PHÂN SỐ. Biên soạn bằng bản word, font Times New Roman, MathType 6.9. Tài liệu được chia làm các phần: Lý thuyết cơ bản, bài tập từ dễ đến khó, lời giải chi tiết. Đây là tài liệu dành cho học sinh lớp 6 ôn thi học sinh giỏi, giáo viên làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 năm học 20202021.

CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ Dạng 1: TÌM N ĐỂ PHÂN SỐ TỐI GIẢN Bài 1: Tìm n �N để phân số tối giản: n7 n  13 2n  3n  A B C A n2 n2 4n  7n  a, b, c, d, HD: n29 A  1 n2 n2 a, Để A tối giản n  tối giản hay n  �3k  n �3k  2(k �N ) n   15 15 A  1 n2 n2 b, 15 Để A tối giản n  tối giản hay n  �3k  n �3k  2(k �N ) n  �5h  n �5h  2(h �N ) c, Gọi d =UCLN( 2n+3; 4n+1) => 2( 2n+3) - (4n +1) Md=> Md, Để C tối giản d # hay 2n+3 # 5k => 2n+8 # 5k=>n # 5k – (k �N) d, Gọi d=UCLN (3n+2; 7n+1) => 7(3n+2) - 3(7n+1) Md => 11 Md, Để A tối giản d # 11 hay 3n+2 # 11k=> n # 11k+3 (k �N) Bài 2: Tìm n �N để phân số tối giản: 8n  193 2n  18n  21n  A C A A 5n  4n  21n  6n  a, b, c, d, HD: d  UCLN  3n  2; 2n     2n     5n   Md  31Md a, Gọi  31   31  2n   31M  31   n  19  M Để A tối giản d �31  2n  M n # 31k – 19 (k �N) d  UCLN  8n  193;4n  3   8n  193   4n  3 Md  187 Md b, Gọi Mà 187  11.17 , Nên để C tối giản thì: d �11, d �17  11  4n   11 M  11  4n  M  11  n  M  11k  n �11k   k �N  d �11  4n  M TH1:  17  4n   17 M  17   n   M  17  n �17 h   h �N *  d �17  4n  M TH2: d  UCLN  18n  3;21n     18n  3   21n   Md  21Md c, Gọi Mà 21  3.7 , Nên để A tối giản d �3,7  3 d �3,  21n  M Thấy hiển nhiên   18n    6n  1 M   6n   M   n �7k  d �7  18n  M Với d  UCLN  21n  3;6n     21n  3   6n   Md  22 Md d, Gọi Mà 22 = 2.11, Nên để A tối giản thì: d �2, d �11 TH1: d �2  21n  �2k  n số chẵn  11  6n   22 M  11  n  M  11  n �11k  TH2: d �11  6n  M n3 B n  12 Bài 3: Tìm n �N để phân số tối giản: A 21n  6n  rút gọn Bài 4: Tìm n để HD: Giả sử tử mẫu chia hết cho số nguyên tố d => 22 Md=> d=2 d=11 TH1: d=1=> 6n+4 M2 với n 21n +3 M2 n lẻ TH2: d=11=> 21n +3 M11=> n – M11=> n = 11k +3 => Với n= 11k+3 => 6n+4 M11 7n  n n Bài 5: CMR phân số : số tự nhiên với n �N phân số phân số tối giản ? HD : 7n  Vì phân số số tự nhiên với n nên 7n  1M6 => n lẻ n không chia hết cho n n ; Vậy phân số tối giản A a3  2a  a  2a  a  Bài 6: Cho biểu thức a/ Rút gọn biểu thức b/ CMR a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a phân số tối giản n3 Bài 7: Tìm tất số tự nhiên n để n  12 phân số tối giản 3n  M  n  có giá trị số nguyên Bài 8: Tìm giá trị nguyên n để phân số HD: 3n  M �Z  3n  1Mn    n  1  2Mn   Mn  n 1 Dạng 2: CHỨNG MINH PHÂN SỐ LÀ TỐI GIẢN Bài 1: Chứng minh phân số sau tối giản: n3  2n n 1 2n  5n  a, 2n  b, 3n  c, 3n  d, n  3n  HD: n  1Md � d  UCLN  n  1;2n  3  �   n  1   2n  3 Md  1Md  d  �1 n  M d � a, Gọi 2n  3Md � d  UCLN  2n  3;3n  5  �   2n  3   3n   Md  1Md  d  �1 n  M d � b, Gọi 5n  3Md � d  UCLN  5n  3;3n    �   3n     5n  3 Md  1Md  d  �1 n  M d � c, Gọi � n  1Md � 4 d  UCLN  n  2n; n  3n  1  n  n  2n    n  3n  1 Md  � n  2n Md � d, Gọi � n Md n Md � �   1Md  d  �1   n  2n   n  n  1 Md  � �2 n  M d n  M d � � Bài 2: Chứng minh phân số sau tối giản: 2n  16n  14n  2n  a, 6n  b, 21n  c, 2n(n  1) d, 4n  HD: d  UCLN  16n  5;6n     6n     16n   Md  1Md  d  �1 a, Gọi 14n  3Md � d  UCLN  14n  3;21n    �   14n  3   21n   Md 1Md  d  �1 21 n  M d � b, Gọi � n  2n  1 Md � 2n  n Md n Md � � � d  UCLN  2n  1;2n  2n   �  �  � 2n  1Md 2n  2n Md 2n  2n Md � � � c, Gọi   2n  1  2n Md  1Md  d  �1 �2n  3Md d  UCLN  2n  3;4n    �   4n     2n  3 Md  2Md  d  �1, d  �2 �4n  8Md d, Gọi Vì 2n  3Md mà 2n+3 số lẻ nên d lẻ, d  �2 loại Bài 3: Chứng minh phân số sau tối giản: 3n  n 12n  a, 5n  b, n  c, 30n  HD: 5n  3Md � d  UCLN  5n  3;3n    �   3n     5n  3 Md  1Md  d  �1 n  M d � a, Gọi �n  1Md d  UCLN  n; n  1  �   n  1  n Md  1Md  d  �1 �n Md b, Gọi 12n  1Md � d  UCLN  12n  1;30n    �   12n  1   30n   Md  1Md  d  �1, 30 n  M d � c, Gọi Bài 4: Tìm n �Z để phân số sau số nguyên: n 2n  a, n  b, n  c, n  HD: A �Z  n  �U     �1; � 2; �3; � 6  n    n3 a, Để n n44 B   1 �Z  n  �U     �1; �2; �4 n4 n4 n4 b, Để 2n  n   1 C   2 �Z  n  �U  1   �1  n �  n3 n3 n3 c, Để 12 D �Z  3n  �U  12    �1; �2; �4 3 3n  d, Để , Vì 3n  1M Bài 5: Tìm n �Z để phân số sau số nguyên: 3n  a, n  HD: 6n  b, 2n  3n  c, n  12 d, 3n  6n  d, 3n  3n  3n   5   3 �Z  n  �U  5   �1; �5 n 1 n 1 n 1 a, Để 6n  6n   13 13 B   3 �Z  n  �U  13   �1; m13 2n  2n  2n  b, Để 3n  3n   7 C   3 �Z  n  �U     �1; �7 n 1 n 1 n 1 c, Để 6n  6n   5 D  2 �Z  3n  �U     �1; �5 3n  3n  3n  d, Để 63 A 3n  với n �N, tìm n để A số tự nhiên Bài 6: Cho phân số � Bài 7: Tìm n Z để phân số sau số nguyên: n2  n  10 n3 2n  a, 2n  b, 2n  c, d, n  HD : a, Ta có : 2n – =2(n-4) => n+10 M2 n+10 Mn – hay n số chẵn n  10Mn  A b, Ta có : 2n – =2(n – 1)=> n+3 M2 n+3 Mn – hay n số lẻ n  3Mn  c, Ta có : 2n+3 M7 => 2n+10 M7= >n+5 M7 => n= 7k – (k �N ) d, Ta có : n  2n  2n  3Mn   n( n  2)  2n   Mn   n( n  2)  2(n  2)  Mn  =>7 Mn+2 8n  193 4n  cho: Bài 8: Tìm n �N để a, Có giá trị số tự nhiên b, Là phân số tối giản c, Với n từ 150-170 A rút gọn HD : 187 A 2 4n  để A số tự nhiên 4n+3 �U(187) =  �1; �11; �17; �187 a, 187 b, Để A tối giản 4n  tối giản hay 187 không chia hết cho 4n+3 hay 4n+3 # 11k 4n+3 # 17 100 �11k  �170 � � 100 �17h  �170 c, Để A rút gọn n = 11k + n = 17h – 5=> � A A 3a  5b  5a  8b  phân số tối giản Bài 9: CMR (a – 1; b+1) HD: Gọi d=UCLN(3a+5b+2; 5a+8b+3) => 5(3a+5b+2) – 3(5a+8b+3) Md=> b+1 Md Và 8(3a+5b+2) – 5(5a+8b+3) Md=> a – Md => d �UC( a – 1; b+1) Mà UCLN( a – 1; b+1) =1 => d =1; - n4 A B n  n  số nguyên Bài 10: Tìm n �Z cho n9 A n  (n �Z, n > 6), Tìm n để phân số có giá trị nguyên dương Bài 11: Cho phân số 75 A 5n  (n �N*) Tìm n để Bài 12: Cho phân số a, Phân số A số tự nhiên b, A rút gọn 2n  Bài 13: Tìm n �N để n  số nguyên 2001 2002 ; ; ; ; ; n  2003 n  2004 Bài 14: Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau tối giản: n  n  n  HD: a Các phân số cho có dạng: n   a với a=1; 2; 3; ; 2001; 2002 a Để n   a tối giản UCLN(n+2+a;a) =1, => UCLN(n+2; a)=1=> n+2 a nguyên tố Với số 1,2,3, , 2002 n+2 nhỏ n+2=2003( Vì 2003 số nguyên tố) 19 n Bài 15: Tìm n để tích hai phân số n  có giá trị ngyên P 3x  3x  số nguyên Bài 16: Tìm x để giá trị biểu thức: 2017  x T 10  x , tìm giá trị ngun x để: T có giá trị nguyên, T có giá trị lớn Bài 17: Cho x2 M x  , biết x số hữu tỉ âm, M số nguyên, Tìm x Bài 19: Cho Dạng 3: TÌM N ĐỂ PHÂN SỐ CĨ GTLN HOẶC GTNN Bài 1: Tìm n �Z để phân số sau có GTNN: 6n  6n  x  13 2x  A B A B 2n  3n  x3 x 1 a, b, c, d, HD: 13 13 A  3 2n  nhỏ 2n  số dương lớn a, Do n �Z nên 2n+3 �Z , Để 2n+3 số nguyên dương nhỏ nhất=> 2n+3 =1=> n = -1 5 B  2 3n  nhỏ 3n  số dương lớn b, Do n �Z nên 3n+2 �Z , Để hay 3n+2 số nguyên dương bé => 3n+2 =1 =>n = -1/3( loại) nên 3m+2 =2=> n=0 16 16 A  1 x  nhỏ x  số dương lớn c, Do x �Z nên x+3 �Z Để hay x+3 số nguyên dương nhỏ hay x+3 =1=> x = - 2 B  2 x  nhỏ x  số âm nhỏ d, Do x �Z nên x+1 �Z để hay x+1 số nguyên âm lớn hay x+1 = - => x = - Bài 2: Tìm n �Z để phân số sau có GTNN: 10 x  25 3x  20a  13 3 E A B D 2x  x 1 4a  2x  a, b, c, d, HD: 5 E  5 x  nhỏ x  số âm nhỏ a, Do x �Z nên 2x+4 �Z Để hay 2x+4 số nguyên âm lớn hay 2x+4 = - => x= - 5/2 (loại) 2x+4 = - => x= - 10 10 A  3 x  nhỏ x  số âm nhỏ b, Do x �Z nên x-1 �Z Để hay x -1 số nguyên âm lớn hay x - = - 1=> x=0 2 B  5 4a  nhỏ 4a  số dương lớn c, Do a �Z nên 4a+3 �Z Để hay 4a+3 số nguyên dương nhỏ hay 4a+3 =1=> a =-1/2(loại) hay 4a+3 =2 => a = -1/4(loại) hay 4a+3=3=> a=0 3 D x  nhỏ 2x – số nguyên dương bé d, Do x �Z nên 2x-5 �Z , Đề hay 2x – =1=> x =3 Bài 3: Tìm n �Z để phân số sau có GTNN: 4n  2n  8 x 3 A B C E 2n  n2 x 3 2n  a, b, c, d, HD: 5 2 2n  nhỏ 2n  số dương lớn a, Do n �Z nên 2n+3 �Z , Để A = => 2n+3 số nguyên dương nhỏ => 2n+3=1=> n= - 7 B  2 n  nhỏ n  số dương lớn b, Do n �Z nên n+2 �Z , Để => n+2 số nguyên dương nhỏ nhất=> n+2 =1=> n= - 5 C  1  x  nhỏ x  số âm nhỏ c, Do x �Z nên x-3 �Z , Để => x – số nguyên âm lớn => x – = - => x= 3 2n  nhỏ 2n  số dương lớn d, Do n �Z nên 2n-5 �Z , Để => 2n-5 số nguyên dương nhỏ => 2n-5 =1=>n=3 x A 5x  Bài 4: Tìm n �Z để phân số sau có GTNN: HD : � 5x � � � A � 1 � � � �5 x  � � x  �nhỏ x  số âm nhỏ Do x �Z nên 5x-2 �Z , Để  x  (loại) 5x - 2= - => x = => 5x - số nguyên âm lớn => 5x - 2= -1 � Bài 5: Tìm n Z để phân số sau có GTLN 14  n n 1 7 x C D E C n2 4n x5 4 x a, b, c, d, HD: 3 C  1 n  lớn n  số dương lớn a, Do n �Z nên n-2 �Z , Để n – số nguyên dương nhỏ => n - = 1=> n = 10 10 D  1  n lớn  n số dương lớn b, Do n �Z nên – n �Z , Để hay – n số nguyên dương nhỏ => – n = => n = 2 E  1  x  lớn x  số dương lớn c, Do x �Z nên x-5�Z , Để hay x – số nguyên dương nhỏ => x – = 1=> x = 1 C  x lớn  x số dương lớn d, Do x �Z nên 4+x �Z , Để hay 4+x số nguyên dương nhỏ => + x = => x = Bài 6: Tìm n �Z để phân số sau có GTLN x  19 3 3n  D D C x9 2x  2 n  a, b, c, HD: 26 26 D  5 x  lớn x  số dương lớn a, Do x �Z nên x-9 �Z , Để hay x – số nguyên dương nhỏ => x – =1=> x = 10 3 D x  lớn x  số ấm nhỏ b, Do x �Z nên 2x-5 �Z ,Để hay 2x -5 số nguyên âm lớn => x – 5= - 1=> x = �6n  � � � C � � �3  � �2n  � � 2n  �lớn c, Do n �Z nên -2n + �Z , Để hay 2n  số dương lớn nhất, hay -2n + số nguyên dương bé => -2n+3 =1 => n =1 Bài 7: Tìm n �Z để phân số sau có GTNN: 7n  2n  8 x A B D A x 3 2n  n2 n3 a, b, c, d, Bài 8: Tìm n �Z để phân số sau có GTNN: x3 14  x B C D x2 4 x x5 a, b, c, � Bài 9: Tìm n Z để phân số sau có GTLN E a, C x5 b, E n 1 n 5 c, D 6n  3n  d, E 2n  n2 Bài 10: Tìm n �Z để phân số sau có GTLN 4n  2n  n 1 A B C n 5 2n  n2 a, b, c, � Bài 11: Tìm n Z để phân số sau có GTLN 7n  2n  3n  F G I 2n  n2 2n  a, b, c, 10n  B 4n  10 Đạt giá trị lớn nhất, Tìm GTLN Bài 12: Tìm số tự nhiên n để HD :  2n    22 11 B    2n   2n   6n A x  đạt giá trị nhỏ Bài 13: Tìm số nguyên n cho Bài 14: Tìm giá trị nguyên x để: 8 x A B  x có giá trị lớn x  có GTNN a, b, Bài 15: Tìm GTNN phân số : A d, d, E 6n  3n  K 6n  3n  ab ab x  19 2 x  , C  x  y x+y=1 Bài 16: Tìm GTNN biểu thức: Bài 17: Tìm số tự nhiên a, b nhỏ cho a  b (1) HD: A �a � b� � �b � b �N nên a Mb => a=b.k (k �N) Từ a  b => a   k �2 7 Và a > b => b , thay a = b.k vào (1) ta b k  b  k  b 7 7 Mà k �2 => k �2  b �2 mà b nhỏ nên b  , k = => a  2  n M x y Bài 18: Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục x, hàng đơn vị y, Gọi a, Tìm n để M=2 HD: b, Tìm n để M nhỏ 10 x  y   y  x a, Ta có: x  y , Mà x,y chữ số nên x=1 y=8 x  y  9x 9x M  1 1 y y x y x y 1 1 x để M nhỏ x lớn hay y lớn x nhỏ nhât b, Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN SỐ 30  43 a  1 b Bài 1: Tìm a, b, c, d �N* , biết : c d 17 11 Bài 2: Cộng tử mẫu phân số 21 với số nguyên rút gọn ta phân số 13 Hãy tìm số nguyên ? Bài 3: Khi cộng tử mẫu phân số với số ngun x phân số có giá trị Tìm số nguyên x? Bài 4: Tìm phân số tối giản, Biết cộng tử mẫu phân số với mẫu số số lớn giấp hai lần phân số ban đầu ? HD: a Gọi phân số tối giản lúc đầu b , cộng mẫu số vào mẫu số ta phân số : a a a  b  b 2b phân số nhỏ phân số b lần, ab Để 2b gấp hai lần phân số ban đầu a+b giấp lần a => Mẫu số b phải giấp lần tử số a, phân số tối giản thỏa mãn điều kiện a a 21 Bài 5: Tìm phân số tối giản b nhỏ nhât khác cho chia b cho phân số 14 35 ta kết số tự nhiên Bài 6: Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau tối giản: HD : 2001 2002 ; ; ; ; ; n3 n4 n5 n  2003 n  2004 a a , a  1, 2,3, , 2002 Các phân số có dạng n   a , để n   a tối giản : UCLN (a; n  a  2)   UCLN (n  2; a )   n+2 a hai số nguyên tố Với số : 1,2,3, ,2002 n+2 nhỏ =>n+2=2003 số nguyên tố=> n=2001 1 1 51      a , a , a , , a50 a50 , Chứng minh 50 số Bài 7: Cho 50 số tự nhiên: , t/ m : a1 a2 a3 có hai số ... phân số với số nguyên x phân số có giá trị Tìm số nguyên x? Bài 4: Tìm phân số tối giản, Biết cộng tử mẫu phân số với mẫu số số lớn giấp hai lần phân số ban đầu ? HD: a Gọi phân số tối giản... b , cộng mẫu số vào mẫu số ta phân số : a a a  b  b 2b phân số nhỏ phân số b lần, ab Để 2b gấp hai lần phân số ban đầu a+b giấp lần a => Mẫu số b phải giấp lần tử số a, phân số tối giản thỏa...  n  số nguyên Bài 10: Tìm n �Z cho n9 A n  (n �Z, n > 6), Tìm n để phân số có giá trị nguyên dương Bài 11: Cho phân số 75 A 5n  (n �N*) Tìm n để Bài 12: Cho phân số a, Phân số A số tự