Chuyên đề: TOÁN TÌM SỐ. Biên soạn bằng bản word, font Times New Roman, MathType 6.9. Tài liệu được chia làm các phần: Lý thuyết cơ bản, bài tập từ dễ đến khó, lời giải chi tiết. Đây là tài liệu dành cho học sinh lớp 6 ôn thi học sinh giỏi, giáo viên làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 năm học 20202021.
CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN SỐ HỌC “TOÁN LỜI VĂN” I/ PHƯƠNG PHÁP DÙNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG - Mỗi đại lượng sơ đồ hóa đoạn thẳng - Với sơ đồ đoạn thẳng ta thể trực quan đại lượng toán quan hệ chúng đẽ dàng tìm đáp án tốn * LOẠI TỐN TÍNH SỐ TUỔI Bài 1: Tuổi anh gấp lần tuổi em trước Khi anh tuổi em tổng số tuổi hai người 28 Tính số tuổi người HD: Gọi độ dài đoạn thẳng AB biểu thị số tuổi em trước tuổi anh biểu thị đoạn thẳng AC gấp lần đoạn thảng AB ta có mơ hình quan hệ toán sau A A Tuổi em trước B Tuổi em B A A D D (tuổi anh trước kia) C C 28 Tuổi em sau E (tuổi anh nay) Do anh em số tuổi định nên ta biểu thị tuổi anh trước (tức tuổi em nay) đoạn AD, tuổi anh sau đoạn AE BD = DC = CE số tuổi anh em Từ sơ đồ ta tính AB = Vậy tuổi em tuổi Tuổi anh 12 tuổi Bài 2: Hiện nay, tuổi mẹ gấp lần tuổi Bốn năm trước đây, tuổi mẹ gấp lần tuổi Tính tuổi mẹ, tuổi HD: Hiện nay, tuổi mẹ gấp bốn lần tuổi nên hiệu số tuổi mẹ số lần là: - = (lần) 25 Bốn năm trước đây, tuổi mẹ gấp lần tuổi nên hiệu số tuổi mẹ bốn năm trước gấp tuổi trước là: - = (lần) Vì hiệu số tuổi hai mẹ khơng đổi nên lần tuổi cịn lần tuổi bốn năm trước, hay tuổi mẹ tuổi bốn năm trước Tuổi tuổi năm trước tuổi Ta có sơ đồ: Tuổi nay: | -| -| -| -| -| tuổi Tuổi năm trước: | -| -| -| Hiệu số phần là: - = (phần) Tuổi là: : 2x5 =10 (tuổi) Tuổi mẹ là: 10x4 = 40 (tuổi) Vậy 10 tuổi; mẹ 40 tuổi Bài 3: Tuổi bà gấp đôi tuổi mẹ, tuổi tuổi mẹ Tính tuổi người, biết tổng số tuổi mẹ 36 HD: Theo ta có sơ đồ: Tuổi con: | -| Tuổi mẹ: | -| -| -| -| -| 36 tuổi Tuổi là: 36 : (1 + 5) = (tuổi) Tuổi mẹ là: 36 - = 30 (tuổi) Tuổi bà là: 30x2 = 60 (tuổi) Bài 4: Tuổi bố gấp lần tuổi anh, tuổi anh gấp lần tuổi em Tuổi bố cộng với tuổi em 42 tuổi Tính tuổi người HD: Tuối bố gấp lần tuổi anh, tuổi anh gấp lần tuổi em Vậy tuổi bố gấp = ( lần ) tuổi em, 26 tuổi bố + tuổi em = 42 tuổi Ta có sơ đồ: Tuổi em: | -| Tuổi bố: | -| -| -| -| -| -| 42 tuoi Tuổi em 42 : (1 + 6) = tuổi Tuổi bố 42 – = 37 tuổi Bài 5: Năm 2000, bố 40 tuổi, Mai 11 tuổi, em Nam tuổi Đến năm nào, tuổi bố tổng số tuổi hai chị em? HD: Năm 2000, chênh lệch tuổi bố tổng số tuổi hai chị em là: 40 - (11 + 5) = 24 (tuổi) Cứ năm người tăng thêm tuổi nên chênh lệch tuổi bố tuổi chị em giảm đi: (1 +1) - = Số năm để tuổi bố tổng số tuổi hai chị em là: Lúc năm: 24 :1 = 24 (năm) 2000 + 24 = 2024 Bài 6: Năm tuổi cha lần tuổi tuổi Đến tuổi tuổi cha tuổi hai cha cộng lại 109 Tìm tuổi người HD: Nếu coi tuổi phần tuổi cha hiệu số tuổi hai cha phần cộng thêm phần tuổi cộng thêm 3 tuổi Vậy tuổi Vì hiệu số tuổi hai cha không thay đổi theo thời gian nên tuổi tuổi cha cha phần tuổi cộng thêm sơ đồ đó: Tuổi con: phần 3t | -| -| -| -| -| -| -| | Tuổi cha: phần phần 3t | -| -| -| -| -| -| | | -| -| -| -| -| -| | Theo sơ đồ ta có: phần + phần + phần + tuổi + 27 tuổi + tuổi = 109 tuổi tuổi, ta có 20 phần + tuổi = 109 tuổi � 20 phần = 100 tuổi Vậy tuổi là: 100 : 20 = (tuổi) Tuổi cha là: 5x7 + = 38 (tuổi) Bài 7: Năm năm trước cha 36 tuổi Hỏi năm cha tuổi lần tuổi cha lần tuổi con? HD: Vì hiệu số tuổi hai cha không thay đổi theo thời gian nên cha 36 tuổi Đến năm mà lần tuổi cha lần tuổi nghĩa năm tuổi tuổi cha Ta có sơ đồ đó: Tuổi con: | -| -| -| 36 tuổi Tuổi cha: | -| -| -| -| -| -| -| Theo sơ đồ, hiệu số phần là: - = (phần) Khi tuổi cha là: 36 : 4x7 = 63 (tuổi) Bài 8: Năm mẹ 73 tuổi Khi tuổi mẹ tuổi tuổi mẹ lần tuổi lúc tuổi Tính tuổi nay? HD: Coi tuổi phần (khi tuổi mẹ tuổi nay) tuổi mẹ lúc phần cộng thêm tuổi Ta có hiệu số tuổi hai mẹ là: phần tuổi + tuổi - phần tuổi = phần tuổi + tuổi Vì hiệu số tuổi hai mẹ không đổi theo thời gian nên mẹ phần tuổi cộng thêm tuổi Ta có sơ đồ: tuổi Tuổi đó: | -| Tuổi mẹ đó: | -| -| -| -| -| -| -| -| Tuổi nay: | -| -| -| -| -| -| -| -|4 tuổi tuổi Tuổi mẹ nay: | -| -| -| -| -| -| -| -| -| -| -| -| -| -| | 73 tuổi Theo sơ đồ ta có: 28 phần tuổi + tuổi + phần tuổi + tuổi = 73 tuổi Hay 13 phần tuổi + tuổi = 73 (tuổi) 13 phần tuổi = 65 (tuổi) Vậy phần tuổi là: 65 :13 = (tuổi) Tuổi là: 5x7 + = 39 (tuổi) Bài 9: Bố nói với con: " 10 năm trước tuổi bố gấp 10 lần tuổi con", 22 năm sau tuổi bố gấp đơi tuổi Hãy tính tuổi bố tuổi HD: Mười năm trước đây, coi tuổi phần tuổi bố Thời gian từ cách 10 năm đến sau 22 10 phần năm có số năm là: 10 + 22 = 32 (năm) Theo ta có sơ đồ: Tuổi 10 năm trước: | | Tuổi bố 10 năm trước: | | | | | | | | | | | Tuổi bố | | | | | | 22 năm sau: 32 tuổi 32 tuổi Tuổi 22 năm sau: | | | Nhìn sơ đồ ta thấy: phần tuổi Hay +32 tuổi = ( 10 phần tuổi +32 tuổi 16 tuổi =4 phần tuổi = +32 phần tuổi tuổi) +16 :2 tuổi phần tuổi Vậy tuổi cách 10 năm là: 16 : = (tuổi) Tuổi bố cách 10 năm là: Tuổi là: Tuổi bố là: 4x10 = 40 +10 = 14 (tuổi) 40 +10 = 50 (tuổi) (tuổi) Bài 10: Mẹ 24 tuổi Cách năm tuổi người tuổi? HD: 29 tuổi mẹ Hỏi Hiệu số tuổi hai mẹ không thay đổi theo thời gian nên cách năm mẹ 24 tuổi Ta có sơ đồ đó: Tuổi con: | -| Tuổi mẹ: | -| -| -| -| 24 tuổi Theo sơ đồ tuổi mẹ cách năm là: 24 : (4 - 1) x = 32 (tuổi) Vì năm người tăng lên tuổi nên tuổi mẹ là: 32 + x1 = 36 Tuổi là: (tuổi) 36 - 24 = 12 (tuổi) Bài 11: Ba năm trước em tuổi chị tuổi Hỏi năm sau lần tuổi chị lần tuổi em? HD: Vì hiệu số tuổi hai chị em không thay đổi theo thời gian nên em chị tuổi Khi lần tuổi chị lần tuổi em nghĩa tuổi em tuổi chị Ta có sơ đồ đó: Tuổi em: | -| -| -| 6t Tuổi chị: | -| -| -| -| Theo sơ đồ hiệu số phần là: - = (phần) Khi tuổi em là: :1x =18 (tuổi) Từ em tuổi đến lúc em 18 tuổi có số năm là: 18 - = 12 (năm) Vậy sau 12 năm từ lúc em tuổi lần tuổi chị lần tuổi em Bài 12: Năm 2000 , mẹ 36 tuổi, hai tuổi 12 tuổi Bắt đầu từ năm nào, tuổi mẹ tổng số tuổi hai con? HD: Trước hết ta tính xem đến năm tuổi mẹ tổng số tuổi hai Đó năm 2017 Vậy từ năm 2018 trở tuổi mẹ tổng số tuổi hai Số năm để tuổi mẹ tổng tuổi hai là: 36 - (7 +12) = 17 (năm) 30 Số năm để tuổi mẹ bắt đầu nhỏ tổng số tuổi là: 17 +1 = 18 (năm) Vậy năm tuổi mẹ tổng số tuổi là: 2000 +18 = 2018 Bài 13: Anh em tuổi Tuổi anh gấp rưỡi tuổi em, lúc anh tuổi em Tính tuổi người HD: Vì hiệu số tuổi anh em không thay đổi theo thời gian nên coi tuổi em trước phần tuổi anh trước phần cộng thêm tuổi Vậy tuổi em phần cộng thêm tuổi Tuổi anh là: phần + tuổi + tuổi = phần + tuổi Vì (1 phần + tuổi) 1,5 phần Vậy 0,5 phần tuổi Tuổi em là: 12 + = 15 (tuổi) Tuổi anh là: 15 + = 18 (tuổi) Bài 14: Tuổi mẹ gấp 2,3 lần tuổi 16 năm trước, tuổi mẹ gấp 7,5 lần tuổi Hỏi năm sau tuổi mẹ gấp đôi tuổi con? HD: Hiện mẹ con: 2,3 - =1,3 lần tuổi Còn 16 năm trước mẹ con: 7,5 - = 6,5 lần tuổi trước Vì mẹ ln số tuổi không đổi nên 6,5 lần tuổi trước 1,3 lần tuổi nay, tức tuổi gấp: 6,5 :1,3 = lần tuổi trước Do lần tuổi trước là: 16 năm, tuổi trước tuổi, tuổi là: +16 = 20 tuổi, tuổi mẹ là: 20 x 2,3 = 46 tuổi Mẹ con: 46 - 20 = 26 tuổi Lúc mẹ gấp đơi tuổi 26 tuổi, tức 26 - 20 = năm sau tuổi mẹ gấp đơi tuổi * LOẠI TOÁN BIẾT MỐI LIÊN HỆ SỐ PHẦN, PHÂN SỐ 31 Bài 15: Lớp 5A có số học sinh nữ số học sinh nam Sang đầu học kỳ II có bạn nữ từ lớp khác chuyển đến nên số học sinh nữ số học sinh nam Hỏi đầu năm học lớp 5A có học sinh nữ, học sinh nam? HD: Theo ta có sơ đồ sau: ? Số học sinh nữ lúc đầu: | | | h/s Số học sinh nữ lúc sau: | | | | ? Số học sinh nam: | | | | | | ? Theo sơ đồ số học sinh nữ lúc đầu là: Số học sinh nam là: 8: = 20 : (3 - 2)x2 = (học sinh) Bài 16: Ba bình nước đựng nước chưa đầy Sau đổ đổ số nước có bình sang bình 3, cuối đổ bình bình có (học sinh) số nước bình sang bình 2, 10 số nước có bình sang lít nước Hỏi lúc đầu bình có lít nước? HD: Sau đổ 10 số lít nước bình sang bình bình cịn Vậy trước bình ba có số lít nước là: Trước nhận - 10x 10 lít nước (l) số lít nước bình bình có số lít nước là: =8 10 (l) Vậy lúc đầu bình có số lít nước là: Sau đổ � 1� � :� 1= 10 � � � � 10 � � � 1� :� 1- � = 12 � � � � � 3� (l) số nước bình sang bình bình cịn trước bình có số lít nước là: � 1� :� 1- � = 12 � � � � � 4� 32 (l) lít (theo ra), Vậy trước nhận 12 - 12x số nước bình hay lúc đầu bình có số lít nước =8 (l) Bình đổ sang bình số lít nước là: 12x = (l) Theo lời giải đầu trước đổ trước nhận 10 - = 10 số nước sang bình bình có 10 lít nước, lít nước bình đổ sang hay lúc đầu bình có số lít nước là: (l) Bài 17: Cho phân số 23 Hãy tìm số tự nhiên m cho bớt tử số mẫu số 28 phân số cho m ta phân số có giá trị HD: Hiệu mẫu số tử số phân số 23 28 - 23 = 28 Nếu bớt m tử số mẫu số hiệu mẫu số tử số không đổi (vẫn ) mà phân số có giá trị Tử số mới: nên ta có sơ đồ: | -| -| Mẫu số mới: | -| -| -| Tử số là: : (3 - 2)x2 =10 Số tự nhiên m là: 23 - 10 = 13 Bài 18: Cho phân số 107 187 Hãy tìm số tự nhiên, biết bớt tử số mẫu số số tự nhiên ta phân số có giá trị HD: Hiệu tử số mẫu số phân số 107 là: 187 - 107 = 80 187 33 Nếu bớt tử số mẫu số số tự nhiên hiệu mẫu số tử số không đổi (vẫn 80 ) mà phân số có giá trị Tử số mới: | -| -| -| -| -| , có sơ đồ 80 Mẫu số mới: | -| -| -| -| -| -| -| -| -| Tử số là: 80 : (9 - 5) x =100 Số tự nhiên cần tìm là: 107 - 100 = Bài 19: Một quầy bán vải, lần thứ bán 2m vải, lần thứ hai bán số vải lại 1 1 m Lần thứ ba bán số vải lại m , lần thứ tư bán số vải cịn lại m 2 2 vừa hết Hỏi quầy vải bán tất mét vải? HD: Ta có sơ đồ: Số vải lúc đầu: 2m | -| -| m Số vải sau bán lần thứ nhất: | -| | -| m Số vải sau bán lần thứ hai: | | | -| m Số vải sau bán lần thứ ba: | -| -| Theo sơ đồ vải lại sau bán lần thứ ba là: x = 1(m) 2 Số vải lại sau bán vải lần thứ hai là: (1 + ) x = 3(m) Số vải lại sau bán lần thứ là: (3 + ) x = 7(m) Số vải cửa hàng bán tất là: + = 9(m) 34 Một trăm chân chẵn” Hỏi lồi có con? HD: * Giả thiết tạm là: Mỗi gà có chân tức 36 chó Giả sử tất 36 chó tổng số chân là: 36.4 = 144 chân, thừa 44 chân so với đầu cịn số chân gà Vậy số gà là: 44: = 22 Số chó 36 – 22 = 14 Bài tập 33: (Tìm số gà, số chó biết tổng số hiệu số chân) Vừa gà vừa chó có 36 Biết số chân chó nhiều số chân gà 12 chân Hỏi có gà, chó? HD: Nếu ta bớt chó số chân chó số chân gà Khi đó, số chó (mới) nửa số gà (vì số chân mà chó có chân, gà có chân) Tổng số chó (mới) số gà là: 36 – = 33 (con) Ta có sơ đồ sau: Số chó là: 33:3 = 11 (con) Suy ra, số chó lúc đầu là: 11 + = 14 (con) Số gà là: 36 – 14 = 22(con) * Giả thiết tạm là: bớt 12 chân chó chó, để nhận xét tỉ số số gà số chó Bài tập 34: (Tính số gà, số chó biết hiệu số tổng số chân) Cả gà chó có 100 chân Biết số gà nhiều số chó Hỏi có gà, chó? HD: 39 Nếu ta bớt gà số gà số chó Khi đó, tổng số chân gà chân chó cịn là: 100 – x = 84 (chân) Vì số chân chó gấp lần số chân gà nên 84 lần số chân gà (sau này) Vậy số chân gà sau là: 84 : = 28(chân) Sô gà sau là: 28: = 14(con) Số gà lúc đầu là: 14+8 = 22(con) Số chó là: 22 – = 14 (con) * Giả thiết tạm là: bớt gà để nhận xét tỉ số số chân chó số chân gà Bài tập 35: (Tính số gà, số chó biết hiệu số hiệu số chân) Số chân chó nhiều số chân gà 12, số gà lớn số chó Hỏi có gà, chó? HD: Nếu bớt chó số chân chó số chân gà, suy số gà gấp đơi số chó Lúc này, số gà nhiều số chó là: 8+3 = 11 (con) Ta có sơ đồ: Vậy số chó 11 Suy ra, số chó lúc đầu 11 + = 14 (con) Số gà là: 14 + = 22 (con) * Giả thiết tạm là: bớt 12 chân chó (tức bớt chó) để nhận xét tỉ số số chó số gà Bài tập 36: Một đội bóng thi đấu tất 25 trận thắng hoà Biết trận thắng đội điểm, trận hoà điểm Tổng số điểm đội đạt 59 điểm Tính số trận thắng trận hồ đội bóng HD: 40 Giả thiết tạm là: Giả sử tất trận đội hoà, số điểm đạt 25 điểm Do tổng số điểm đội đạt 59 điểm thừa 34 điểm so với giả sử đội cịn có trận thắng trận thắng nhiều trận hoà điểm Vậy số trận thắng đội 34 : = 17 trận Số trận hoà là: 25 – 17 = trận Vậy đội thắng 17 trận, hoà trận Bài tập 37: Ba ô tô chở tổng cộng 50 chuyến, gồm 118 hàng Mỗi chuyến, xe thứ chở tấn, xe thứ hai chở 2,5 tấn, xe thứ ba chở Hỏi xe chở chuyến biết số chuyến xe thứ gấp rưỡi số chuyến xe thứ hai? HD: Giả thiết tạm là: Giả thiết tất 50 chuyến xe thứ ba chở khối lượng hàng chở là: 3.50 =150 (tấn) Dôi ra: 150 - 188 = 32 (tấn) Để không dôi ra, phải thay số chuyến xe thứ ba chuyến hai xe theo quy luật sau: chuyến xe thứ ba thay chuyến xe thứ chuyến xe thứ hai Mỗi lần thay số chuyến khơng thay đổi, số chuyến xe thứ gấp rưỡi số chuyến xe thứ hai, khối lượng hàng giảm đi: 3.5 - (2.3 + 2,5.2) = 15 - 11- (tấn) Số lần thay: 32 : = (tấn) Xe thứ chở: 3.8 = 24 (chuyến) Xe thứ hai chở: 2.8 = 16 (chuyến) Xe thứ ba chở: 50 - (24 +16) = 10 (chuyến) Bài tập 38 Trên quãng đường AC dài 200 km có điểm B cách A 10 km Lúc giờ, ô tô từ A , ô tô khác từ B , hai tới C với vận tốc thứ tự 50 km/ h 40 km/ h Hỏi lúc khoảng cách đến C xe thứ hai gấp đôi khoảng cách đến C xe thứ nhất? HD: Quãng đường hai ô tô minh hoạ sau: 41 I | -| -| | | A B II D M C Lúc xe thứ hai đến D thời điểm phải tìm ( DM = DC ) Giả thiết tạm là: Giả thiết có xe thứ ba phải quan quãng đường EC dài gấp đôi quãng đường AC xe thứ phải ( EC = 200.2 = 400 km) Với vận tốc gấp đôi vận tốc xe thứ (như vận tốc xe thứ ba bằng: 50.2 = 100 km/ h ) thời gian xe thứ nhất, quãng đường lại đến C xe thứ xe thứ ba xe gặp xe thứ hai D (Minh hoạ hình đây) Quãng đường ED dài quãng đường BD : 400 - 190 = 210 (km) Vận tốc xe thứ ba lớn vận tốc xe thứ hai: 100 - 40 = 60 (km/h) Thời gian để xe thứ ba gặp xe thứ hai D : 210 : 60 = 3,5 (h) Vậy thời điểm phải tìm là: + 3,5 = 10 h 30 ph Bài tập 39 Người ta bơm nước vào bể: dùng máy I 30 phút, dùng máy II 20 phút Tính xem phút máy bơm lít nước, biết phút máy II bơm nhiều máy I 50 lít tổng cộng hai máy bơm 21000 lít nước? HD: Giả thiết tạm là: Giả sử phút, máy II bơm số nước máy I 50 phút hai máy bơm được: 21000 - 50.20 = 20000 (lít) Trong phút, máy I bơm được: 20000 : = 400 (lít) Trong phút, máy II bơm được: 400 + 50 = 450 (lít) 42 Bài tập 40 Khối trường có 366 học sinh, gồm lớp Mỗi lớp gồm số tổ, tổ có người 10 người Biết số tổ lớp nhau, tính số tổ có người, số tổ có 10 người khối? HD: Mỗi lớp gồm số tổ tổ người 10 người Trước hết ta nhận thấy: 366 :10 = 36 dư 366 : = 40 dư Do số tổ lớp nằm khoảng từ 37 đến 40 Mặt khác số tổ chia hết cho � Số tổ khối lớp 40 tổ Giả thiết tạm là: Giả sử 40 tổ tổ 10 người Khi số HS khối là: 40.10 = 400 (HS) So với ta thừa 400 - 366 = 34 (HS) cịn có tổ người Nếu thay tổ 10 người tổ người lần thay bớt được: 10 - = Vậy số tổ có người 34 :1 = 34 (tổ) Số tổ có 10 người là: 40 - 34 = (tổ) Bài tập 41 Một câu lạc có 22 ghế gồm ba loại: ghế ba chân, ghế bốn chân, ghế sáu chân Tính số ghế loại, biết tổng số chân ghế 100 số ghế sáu chân gấp đôi số ghế ba chân? HD: Giả thiết tạm là: Giả sử 22 ghế chân Khi số chân ghế là: 4.22 = 88 (chân) So với bị hụt 100 - 88 =12 (chân) � cịn có ghế chân, chân Để không bị hụt ta thay ghế chân hai loại ghế theo quy luật: ghế chân, ghế chân cho ghế chân, số ghế khơng thay đổi, quan hệ ghế chân ghế chân đảm bảo Mỗi lần thay, số chân ghế tăng thêm: 2.6 +1.3 - 3.4 = (chân) Vậy số lần thay là: 12 : = (lần) Số ghế chân là: 4.1 = (ghế) Số ghế chân là: 4.2 = (ghế) 43 Số ghế chân là: 22 - (4 + 8) = 10 (ghế) Bài tập 42: Một số học sinh xếp hàng 12 thừa học sinh, cịn xếp hàng 15 thừa học sinh trước hàng Tính số học sinh? HD: Giả thiết tạm số HS xếp hàng 15 số hàng xếp hàng 12 , nghĩa ta phải có thêm hàng Khi có thêm: 15.4 = 60 (HS) Tổng hai trường hợp số HS hàng chênh lệch nhau: 15 - 12 = (HS) Số hàng xếp hàng 12 là: 60 : = 20 (hàng) Số HS là: 20.12+ = 245 (HS) Bài tập 43: An vào cửa hàng mua 12 bút chì hết 36000 đồng Bích mua bút chì loại hết 27500 đồng Tính giá trị vở, giá trị bút chì HD: Giả thiết tạm: Giả sử An mua gấp đôi số hàng mua 24 bút chì hết 36000.2 = 72000 đồng Bích mua gấp ba số hàng mua 24 15 bút chì hết 27500.3 = 82500 đồng Như Bích mua nhiều An: 15 - = (bút chì) Số tiền chênh lệch là: 82500 - 72000 =10500 đồng Vậy giá tiền bút chì là: 10500 : = 1500 đồng Giá tiền là: (36000 - 4.1500) :12 = 2500 đồng Bài tập 44: Một tổ may phải may 1800 quần áo 13 Trong đầu tổ may áo thời gian lại tổ may quần Biết giờ, tổ may số áo nhiều số quần 30 Tính số áo số quần tổ may HD: Giả thiết tạm: Giả sử thời gian cịn lại tổ may áo Khi số áo may thêm là: 44 (13 - 8).30 =150 (chiếc) Số áo tổ may 13 là: 1800 +150 =1950 (chiếc) Số áo tổ may là: (1950 :13).8 = 1200 (chiếc) Số quần tổ may là: 1800 - 1200 = 600 (chiếc) Bài tập 45: Một lớp học có tổ, số người tổ Trong kiểm tra, tất học sinh điểm Tổng số điểm lớp 350 Hãy tính số học sinh lớp, số học sinh đạt loại điểm? HD: Trước hết tính số học sinh lớp ta thấy: 350 chia cho , 43 , dư; 350 : = 50 Do số học sinh từ 44 đến 50 Do số học sinh chia hết số học sinh 48 người Giải tiếp toán phương pháp tạm, ta tìm được: học sinh điểm ; 34 học sinh điểm Bài tập 46: Một đội bóng thi đấu 25 trận, có thắng hồ, trận thắng điểm, trận hoà điểm, kết đội 59 điểm Tính số trận thắng, số trận hồ đội bóng HD: Giả thiết tạm: Giả sử 25 trận thắng Khi số điểm đội có là: 25.3 = 75 (điểm) So với thừa 75 - 59 = 16 (điểm) � cịn có trận hồ Chênh lệch điểm số trận thẳng trận hoà là: - = Như thay trận thắng trận hồ lần thay giảm điểm � Số trận hoà 16 : = (trận) Số trận thắng là: 25 - = 17 (trận) Bài tập 47: Có 25 gói đường gồm ba loại: gói lạng, gói lạng, gói lạng, có tổng khối lượng tổng cộng 56 lạng Biết số gói lạng gấp đơi số gói lạng Tính số gói loại 45 HD: Giả thiết tạm: Giả sử 25 gói đường gói lạng Khi khối lượng tổng cộng là: 25.2 = 50 (lạng) So với hụt đi: 56 - 50 = (lạng) Để không bị hụt ta thay gói lạng gói lạng gói lạng theo quy luật gói lạng, gói lạng cho gói lạng số gói khơng thay đổi, quan hệ gói lạng gói lạng đảm bảo Mỗi lần thay tăng thêm được: 1.5 + 2.1- 3.2 =1 (lạng) Số lần thay: :1 = (lần) Vậy số gói đường lạng là: 6.1 = (gói) Số gói đường lạng 6.2 = 12 (gói) Số gói đường lạng 25 - (6 +12) = (gói) Bài tập 48: Một hộp chứa vừa vặn 25 gói bánh 30 gói kẹo Người ta xếp 28 gói bánh kẹo vừa đầy hộp Biết giá tiền bánh kẹo 36000 đồng Tính giá gói bánh, gói kẹo HD: Một hộp chứa vừa vặn 25 gói bánh 30 gói kẹo � Thể tích 25 gói bánh thể tích 30 gói kẹo � thể tích gói bánh = thể tích gói kẹo Giả thiết tạm: Giả sử hộp đựng 30 gói kẹo So với thừa: 30 - 28 = (gói) Để kẹo khơng bị thừa ta thay gói kẹo gọi bánh theo quy luật gói kẹo gói bánh Mỗi lần thay tổng thể tích khơng thay đổi, số gói bớt đi: - = (gói) Số lần thay: :1 = (lần) Vậy số gói bánh hộp là: 2.5 = 10 (gói) Số gói kẹo hộp là: 36000 :10 = 3600 (đồng) Giá tiền gói kẹo là: 36000 :18 = 2000 (đồng) 46 Trong ngày người thứ làm Trong ngày người thứ hai làm công việc 15 công việc 18 �1 � 11 + � = � Trong ngày hai người làm � công việc � � � � 30 15 18 � Trong ngày người thứ làm 1 = công việc 15 Trong ngày người thứ người thứ ba làm số phần công việc là: � 11 � 13 1- � + � = � công việc � � � � 30 � 30 Trong ngày người thứ ba làm 13 - = = công việc 30 15 30 Trong ngày người thứ ba làm 1 :4= công việc 24 Vậy người thứ ba làm hồn thành công việc nên thời gian là: 1: = 24 (ngày) 24 Bài tập 49: Ba máy cày cày cánh đồng Lúc đầu có hai máy thứ thứ hai cày giờ, sau máy thứ hai nghỉ, máy thứ ba vào làm thay với suất gấp đôi máy thứ hai hai máy cày xong cánh đồng Hỏi máy cày xong cánh đồng bao lâu, biết máy thứ máy thứ hai làm sau 12 xong công việc? HD: Một máy thứ máy thứ hai công việc 12 Vậy máy thứ máy thứ hai 1 = công việc 12 Trong máy thứ máy thứ ba cày được: 1Một máy thứ máy thứ ba cày được: 3 :5= công việc 20 Gọi máy thứ làm x công việc 47 = công việc 4 � Một máy thứ hai làm - x công việc 12 � Một máy thứ ba làm được: - x công việc 20 Do suất máy thứ ba gấp đôi suất máy thứ hai nên ta có: �1 � - x = 2.� - x� � x = � � � � � � 20 12 60 Vậy máy thứ cày mất: 1: = 60 60 �1 12 � 1� = 15 � � 60 � �3 20 � 1� = 7,5 � � 60 � Máy thứ hai cày mất: 1: � � � � Máy thứ ba cày mất: 1: � � � � III/ PHƯƠNG PHÁP LỰA CHỌN Một số toán số tự nhiên giải cách vào kiện tốn để tìm số giái trị thoả mãn điều kiện sau thử xem trường hợp thoả mãn đầu toán lựa chọn kết Bài tập 50: Tìm số tự nhiên có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn tỉ lệ với 1: : HD: Vì số tỉ lệ với : : 1, 2, 2, 4, 3, 6, nên số phải tìm có số lập nên từ ba chữ số Nhưng số phải tìm chia hết cho 18 nghĩa chia hết tổng chữ số phải chia hết cho Như có ba chữ số 3, 6, thoả mãn điều kiện Mặt khác số chia hết cho 18 nên phải chia hết cho suy có chữ số tận số chẵn Vậy số phải tìm 396 hặc 936 thoả mãn điều kiện toán Nhận xét: Ta xét điều kiện số có ba chữ số chia hết cho 18 trước Tuy nhiên phải thử chọn nhiều kết Vì cần lưu ý sử dụng phương pháp kiểm tra điều kiện loại nhiều giá trị không thoả mãn trước để vùng lựa chọn thu hẹp lại giúp ta tìm đáp án tốn nhanh 48 Một số tập bổ sung: Bài tập 52: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chia số cho tích chữ số hiệu số phải tìm với số gồm chữ số số viết theo thứ tự ngược lại 18 Bài tập 53: Có ba tờ bìa ghi số 23, 79 ab Xếp ba tờ bìa lại thành số có chữ số Cộng tất số có chữ số lại (đổi chỗ tờ bìa ta lại sơ có chữ số khác) kết 989 896 Tìm số ab Bài tập 54: Trên bia có vịng trịn tính điểm 18, 23, 28, 33, 38 Muốn trúng thưởng phải bắn số phát để đạt 100 điểm Hỏi phải bắn phát vào vòng để trúng thưởng IV/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI Ở Phương pháp này, ta gọi đại lượng cần tìm ẩn x , từ thiết lập mối quan hệ x với đại lượng biết Bài tập 55: Một nông dân chợ bán hết số cam cho năm người: Người thứ mua 1 số cam mua thêm quả, người thứ hai mua số lại mua thêm 2 1 1 quả, người thứ ba mua số lại mua thêm quả, người thứ tư mua số 2 2 lại mua 1 quả, người thứ năm mua số cịn lại mua thêm vừa hết 2 Tính số cam người nơng dân đem bán số cam người khác mua HD: Gọi số cam ban đầu x �x � �x � x � � + � x + = � � Người thứ mua � lại � � � � 2- � � � � 2� 2� Người thứ hai mua � x 1 x 1� x 1� � - � + = - + = + � � � 4 4 2� 2� 49 Vậy lại: x x x - - - = 2 4 4 Người thứ ba mua: x x x - + = + lại 8 8 8 Người thứ tư mua: x x x 15 + = + lại 16 16 16 16 16 16 Người thứ năm mua: x 15 x x 31 + = + lại + = 32 32 32 32 32 32 Vậy x = 31 � ban đầu có 31 cam đem bán Người mua: 31- 15 =16 Người mua: 15 - = Người mua: - = Người mua: - = Bài tập 56: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết tổng sáu số tự nhiên có hai chữ số lập hai ba chữ số gấp đối số phải tìm HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là: abc (1 �a, b, c �9) Theo ta có: ab + bc + ca + ac + cb + ba = 2abc 10a + b +10b + c +10c + a +10a + c +10c + b +10b + a = 2(100a +10b + c) � 22a + 22b + 22c = 200a + 20b + 2c � 178a = 2b + 20c Ta có: 178a = 2b + 20c �2.9 + 20.9 =198 178a �178.1 = 178 � a = � 2b + 20c = 178 � b +10c = 89 Ta tìm cặp số: b = 9; c = thoả mãn Vậy số cần tìm là: 198 Bài tập 57: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chia số cho tích chữ số hiệu số phải tìm với số gồm chữ số số viết theo thứ tự ngược lại 18 50 HD: Gọi chữ số cần tìm là: ab (a �0) Theo ta có: ab - ba = 18 , ta a - b = , số thoả mãn điều kiện là: 20,31, 42,53, 64, 75,86,97 Do ab = ab � 3ab M8 Trong số có 64 chia hết cho Thử lại: 64 - 16 =18, 64 : (6, 4) = Bài tập 58: Tìm số tự nhiên x , biết tổng chữ số x y , tổng chữ số y z x + y + z = 60 HD: Từ đầu ta có x số có chữ số Đặt x = ab x = 10a + b � y = a + b , z có trường hợp: * Nếu y = a + b �9 � z = a + b ta có: (10a + b) + (a + b) + (a + b) = 60 � 4a +b = 20 b M4 � b = 0; 4;8 � a = 5, 4,3 loại a = 3, b = (do a + b > ) * Nếu y = a + b � z = a + b - Ta có: (10a + b) + (a + b) + (a + b - 9) = 60 � 4a + b = 23 � a = 4, b = � ab = 44, 47,50 Kết luận: có số 44, 47,50 thoả mãn đề Bài 59: Tìm ba chữ số khác khác , biết tổng số tự nhiên có ba chữ số gồm ba chữ số 1554 HD: Gọi ba số phải tìm a, b, c Theo ta có: a �b �c �0 abc + bca + cab + acb + bac + cba = 1554 � 222a + 222b + 222c =1554 51 � a +b + c = ; Vì a �b �c �0 Khơng làm tính tổng qt giả sử a > b > c ta có c = 1; b = 2; a = Vậy ba chữ số khác 1; 2; V/ BÀI TỐN CHUNG RIÊNG Để giải toán ta thường xuất phát từ phần công việc ứng với đơn vị thời gian từ suy phần cơng việc thời gian Bài 60 : Cùng công việc người làm riêng người A, B, C hồn thành cơng việc thời gian giờ, giờ, 12 Hai người B C làm chung sau người C chuyển làm việc khác, người A làm với người B tiếp tục công việc hoàn thành Hỏi người A làm giờ? HD: Trong người A, B, C làm làm 1 (CV ) , (CV ) , (CV ) , B C 12 1 (CV ) 12 24 B C làm A B làm 5 2 (CV ) 24 12 (CV ) 12 12 A B làm được: 1 (CV ) 24 Thời gian A làm với B là: 7 : 2 12 24 Bài 61: Ba máy bơm bơm vào bể lớn , dùng máy máy hai sau 20 phút bể đầy, dùng máy hai máy ba sau 30 phút bể đầy cịn dùng máy máy ba bể đầy sau 24 phút Hỏi máy bơm dùng bể đầy sau bao lâu? HD: 52 Một máy hai bơm ba bơm bể , máy hai ba bơm bể, máy bể 12 5 11 : bể 12 12 ba máy bơm Máy ba bơm đầy bể Máy bơm đầy bể Máy hai bơm đầy bể Bài 62: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước 12 đầy bể Nếu vòi thứ chảy giờ, vòi thứ chảy chảy phải lâu đầy bể HD: Coi dung tích bể đơn vị bể 12 1 Trong vòi thứ hai chảy bể 15 Trong hai vòi chảy Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể hết 2: 30 15 Một vòi thứ chảy 1 bể 12 30 20 Thời gian vịi thứ chảy đầy bể hết 1: 20 20 53 bể Hỏi vòi ... Cho phân số 23 Hãy tìm số tự nhiên m cho bớt tử số mẫu số 28 phân số cho m ta phân số có giá trị HD: Hiệu mẫu số tử số phân số 23 28 - 23 = 28 Nếu bớt m tử số mẫu số hiệu mẫu số tử số không... 28: Tìm hai số có hiệu 252 , biết số bé tổng hai số HD: Số bé tổng hai số, coi số bé phần tổng hai số phần Do số lớn có số phần là: - = (phần) Vậy số bé số lớn Ta có sơ đồ: Số bé: | -| 252 Số. .. b +10c = 89 Ta tìm cặp số: b = 9; c = thoả mãn Vậy số cần tìm là: 198 Bài tập 57: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chia số cho tích chữ số hiệu số phải tìm với số gồm chữ số số viết theo thứ