Chuyên đề: ĐIỀN SỐ. Biên soạn bằng bản word, font Times New Roman, MathType 6.9. Tài liệu được chia làm các phần: Lý thuyết cơ bản, bài tập từ dễ đến khó, lời giải chi tiết. Đây là tài liệu dành cho học sinh lớp 6 ôn thi học sinh giỏi, giáo viên làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 năm học 20202021.
CHUN ĐỀ ĐIỀN CHỮ SỐ CỊN THIẾU TRONG PHÉP TÍNH Các tốn điền chữ số khơng u cầu kĩ tính tốn mà cịn địi hỏi lập luận xác hợp lí Bài Thay chữ chữ số thích hợp: a b c + a c b b c a HD: So sánh cột hàng đơn vị hàng chục, ta thấy c + b có nhớ Do cột hàng chục : b + c +1 (nhớ) = 10 � b = cột hàng trăm: a + + (nhớ) = � a = � c = cột hàng đơn vị: c + = 14 Các chữ số điền đầy đủ sau: 495 + 459 954 Bài 2: Tìm chữ số a, b, c, biết tổng a + b + c tổng bốn số chẵn liên tiếp chữ số a, b, c thỏa mãn hai phép trừ sau: a b c ba c c b a a b c 9 HD: * Xét phép trừ thứ nhất: cột hàng trăm ta có a �c nên phép trừ hàng đơn vị hàng chục có nhớ Do cột hàng trăm: a - c -1 (nhớ) = � c = a - (1) * Xét phép trừ thứ hai: cột hàng trăm ta có b a nên phép trừ hàng chục có nhớ Do cột hàng trăm: b - a -1 (nhớ) = � a = b -3 (2) Từ (1) (2) suy ra: c = b - (3) Từ (2) (3) suy : a + b + c = (b - 3) + b + (b - 4) = 3b - �20 Số không 20 tổng bốn số chẵn liên tiếp bằng: + + + = 12 + + + = 20 Trường hợp 3b - =12 cho 3b = 19, (loại) Trường hợp 3b - = 20 cho 3b = 27 nên b = Từ đó: a = - = 6; c = - = Ta được: 695 965 596 695 99 270 Bài Thay dấu * chữ số thích hợp phép chia sau: ***** ** A *** B 000** **8 C ** 00 HD: Gọi thương ab8 , ta thấy a nhân với số chia tích riêng A có ba chữ số, cịn nhân với số chia tích riêng C có hai chữ số Do a > 8, a = Ở dòng B, ta hạ liền hai chữ số số bị chia xuống, b = Số chia nhân với tích riêng A có ba chữ số nên số chia lớn 11 Số chia nhân với ta tích riêng C có hai chữ số nên số chia nhỏ 13 Vậy số chia 12 Số bị chia 908 12 = 10896 Toàn phép tính là: 10896 12 108 908 00096 96 00 Bài Thay chữ a, b, c chữ số thích hợp khác thích hợp phép nhân sau: ab.cc.abc abcabc HD: Biến đổi đẳng thức cho thành: ab.11.c abcabc : abc 1001 ab.c 1001:11 91 Phân tích thừa số nguyên tố: 91 = 7.13, ab.c 13 91 Trường hợp thứ cho ab 13, c Trường hợp thứ hai cho ab 91, c , loại b = c =1 Vậy ta có 13 17 137 = 137137 Bài Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết hai cách viết: viết thêm số vào đằng sau số viết thêm chữ số vào đằng trước số cách viết thứ cho số lớn gấp lần so với cách viết thứ hai HD: Gọi số phải tìm abc , ta có: 1abc � abc5 Nếu tìm chữ số, chẳng hạn tìm c số bị nhân c 1, 3, 5, 7, 100 x 10 x nên lời giải phức tạp Để giải gọn hơn, ta đặt abc x , ta có Tìm x từ đẳng thức ta x 999 Số phải tìm là: 999 Bài Điền chữ số thích hợp vào chữ số phép nhân sau: abcdmn � cdmnab HD: Ở toán này, tìm chữ số lời giải phhức tạp Đặt ab x , cdmn y , ta có: 10000 x y 100 y x 19999 x 98 y 2857 x 14 y Như 14y chia hết cho 2857, mà (14, 2857) = nên y chia hết cho 2857 Chú ý y số có chữ số nên có trường hợp: y = 2857, x = 14; y = 5714, x = 28; y = 8571, x = 42 Ta có ba đáp số: 142857 285714 428571 � � � 2 285714 571428 857142 Bài Điền chữ số thích hợp vào dấu * phép nhân sau * * * * = * * * Biết hai thừa số chẵn tích số có ba chữ số HD: Gọi tích aaa , ta có aaa a.111 a.3.37 nên tích chia hết cho 37 mà 37 số nguyên tố, phải có thừa số chia hết cho 37 Thừa số số chẵn có hai chữ số nên 74 Mặt khác tích chia hết cho (vì thừa số chia hết cho 2) nên aa chia hết cho 4, a � 4,8 Xét hai trường hợp: 444 : 74 = (loại) 888 : 74 = 12 (thỏa mãn) Ta có đáp số: 74 12 = 888 Bài Tìm chữ số a b, biết rằng: 900 : (a b) ab HD: Biển đổi đẳng thức cho thành phép nhân: ab.(a b) 900 Như ab a b ước 900 Ta có nhận xét: a) a b �18 ; b) ab �100 nên a b ; c) Tích ab(a b) chia hết tồn thừa số chia hết cho Do ab a b có số dư phép chia hai chia hết cho Từ ba nhận xét đó, ta có a b 12, 15 18 Nếu a + b = 12 ab 900 :12 75 , thỏa mãn + = 12 Nếu a + b = 15 ab 900 :15 60 , loại Nếu a + b = 18 ab 900 :18 50 , loại Ta có đáp số : a = 7,b = Bài Hãy thay chữ chữ số thích hợp phép nhân sau đây: HANOI �HANOI *****HANOI HD: Để cho gọn ta đặt số HANOI m , m m m(m 1) tận năm chữ số nên chia hết cho 100 000 = 55.25 Vì số m m - khơng có ước chung nên chúng chia hết cho 55 = 3125 số chia hết cho 25 = 32 Trước hết ta xét trường hợp m chia hết cho 3125 m - chia hết cho 32 Từ sơ đồ phép nhân ta thấy A = Do số hai số H NOI H 0000 chia hết cho 625 nên hiệu chúng NOI chia hết cho 625 Vậy NOI 625 Nhưng số H 0625 10000 H 625 chia cho 625 cho thương 16 H + 1và thương chia hết cho chữ số H phải Với H = ta số 40 625 không thỏa mãn Với H = ta số 90 625 thích hợp Trường hợp thứ hai xét tương tự, khơng cho nghiệm Tóm lại ta có: 90 625 �90 625 = 212 890 625 Bài 10 Thay dấu * chữ số thích hợp theo sơ đồ phép chia dưới: 3*** *3 *3 *3* *** HD: Nhìn vào sơ đồ ta thấy rằng: chữ số thương phải 1, chữ số số chia phải Như số chia 23, thương * * Do chữ số cuối thương nhân với 23 phải * *, nên chữ số cuối thương (vì 23 = 138) Từ suy thương 136, số chia 23 Vậy số bị chia 3128 Bài 12 Thay chữ chữ số thích hợp: a) abc ab a 874; b) abc ab a 1037 HD: a) Đổi chữ số cột: Do bb c 110 nên: 874 �aaa 874 110 764 � aaa 777 Suy ra: bb c 874 777 97 Ta có: 97 �bb 97 10 87 � bb 88 Do đó: c = 97 - 88 = Ta được: 789 + 78 + = 874 b) Tương tự trên, ta viết đẳng thức thành: aaa bb c 1037 tìm a = 9, b = 3, c = Bài 13 Thay chữ chữ số thích hợp: abc ca ca ac HD: Ta có: abc ca ca ac (1) Vế phải (1) nhỏ 100 nên abc ca 100 , a = Ta có: 1bc c1 c1 1c (2) Xét vế phải (2): c > Phép trừ cột đơn vị vế phải 11 - c, phép trừ cột đơn vị vế trái c - Do c - = 11 - c, suy c = Ta có: 106 - 61 = 61 - 16 Bài 14 Thay chữ chữ số thích hợp abcd abc 3576 HD: Ta viết lại dạng 3576 abc abcd Thêm chữ số d vào cuối số bị trừ số trừ: 3576d abcd abcd � 3576d 11.abcd Thực phép chia 3576d cho 11, ta tìm d = Từ ta tìm abc 325 Ta có: 3251 + 325 = 3576 Bài 15: Thay chữ chữ số thích hợp a) ab.b 1ab b) 260abc : abc 626 HD: Ta thấy: 1ab Mab � 100 abMab � 100Mab ab � 10, 20, 25,50 Dễ thấy b �0 nên ab 25 Thử: 25 = 125, b) Áp dụng tính chất chia tổng cho số: 260000 abc : abc 626 => 260000 : abc 626 => 260000 : abc 625 abc 260000 : 625 abc 416 Vậy 260416 : 416 = 626 Bài 16 Tìm chữ số a số tự nhiên x, cho: 12 x 1a96 HD: 12 3x � 3 x � � � x 2 Như 1a96 chia hết cho � a = Suy x 1296 : 144 12 Vậy a = 2, x = Bài 17 Tìm số tự nhiên x có chữ số tận 2, biết x, 2x, 3x số có ba chữ số chín chữ số ba số khác khác HD: 2 Đặt x ab2 , ta có: a, b, c, d, e, g khác nhận giá trị 1, 3, 5, 7, 8, � 1;3;5 Vì d chẵn nên d = Từ (1/) suy b = Từ (2) suy g = Do a, c, e Dễ thấy a < c < e nên a = 1; c = 3; e = Thử lại: 192 192 � � 384 576 Bài 18 Tìm số tự nhiên x có sáu chữ số, biết tích 2x, 3x, 4x, 5x, 6x số có sáu chữ số gồm sáu chữ số a) Cho biết sáu chữ số số phải tìm 1, 2, 4, 5, 7, b) Giải toán khơng cho điều kiện a HD: a) Ta có: x=****** 2x = * * * * * * 3x = * * * * * * 4x = * * * * * * 5x = * * * * * * 6x = * * * * * * Ta ý sáu số trên, hiệu hai số sáu số Mỗi chữ số 1, 2, 4, 5, 7, có mặt hai lần cột Thật vậy, chữ số a có cột số 5x 2x chẳng hạn hiệu hai số (là 3x) phải có chữ số cột (chữ số ứng với trường hợp phép trừ khơng có nhớ cột bên phải sang, chữ số ứng với trường hợp ngược lại) Điều vơ lí chữ số không thuộc tập số cho Do chữ số 1, 2, 4, 5, 7, có mặt lần cột Tổng chữ số cột bằng: + + +5 +7 + = 27 Suy ra: x + 2x + 4x +5x +7x + 8x = 27 111111 21x = 2999997 x = 142857 Các số 2x, 3x, 4x, 5x, 6x thứ tự 285714, 428571, 571428, 714285, 857142 b) Gọi x = abc deg Ta có a = để 6x có chữ số Xét sáu số x, 2x, 3x, 4x, 5x, 6x, chữ số sau lớn chữ số số trước nên sáu chữ số sáu số khác khác Các chữ số chữ số x, sáu chữ số x khác nhau, khác 0, có chữ số Các chữ số tận x, 2x, 3x, 4x, 5x, 6x phải khác (vì có hai số tận giống hiệu chúng tận 0, tức có sáu số tận 0, trái với nhận xét trên) Do phải có chữ số tận Các số 2x, 3x, 4x, 5x, 6x hiển nhiên không tận 1, cịn x chữ số x Vậy 3x tận 1, x tận Suy 2x, 3x, 4x, 5x, 6x theo thứ tự tận 4, 1, 8, 5, Như vây số x gồm sáu chữ số 4, 1, 8, 5, 2, Sau giải tiếp câu a Bài 19 Tìm số có chữ số abc deg (abc deg) HD: Đặt abc A, deg B(100 �A; A, B �999) Ta có: 100A B A B � 999 A ( A B) A B 1 (1) Do A �999 nên A B A B 1 �999 Suy ra: A B �999 Nếu A + B = 999 từ (1) ta suy A = 998; B = Từ abc deg 998001 Nếu A + B < 999 Ta có: 999 = 27 37 Mặt khác 27 số chia hết cho 37 A B , A B 1 nên hai số A + B A + B -1 có số chia hết cho �A B M27 � Xét hai trường hợp: �A B 1M37 Ta có A + B -1 = 37m (m �N ) hay 37m 1M27 � 10m 1M27 � 80m 8M27 Mặt khác 81mM27 Từ suy m 8M27 hay m 27n 8(n �N *) Do có : A B 37 27 n ( n �N *) Nhưng < A + B -1 �997 nên suy ra: A + B -1 = 296 Kết hợp với (1) ta có : A = 88 (loại) Xét trường hợp �A B M37 � �A B 1M27 Ta có: A + B = 37k ( k �N ) hay 37k 1M27 � 10k 1M27 � 80k 8M27 Mặt khác: 81kM27 suy k 8M27 hay k 27r 8(r �N ) Do có A + B = 37(27r -8) = 999r - 296 Với r = ta có A + B = 703 Kết hợp với (1) ta có A = 494; B = 209 Từ ta có abc deg 494209 Vậy hai số có chữ số thỏa mãn đề là: abc deg 998001 494209 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Thay dấu * chữ chữ số thích hợp (từ đến 11) Bài a) acc.b dba (biết a chữ số lẻ) b) ac.ac acc c) ab.ab acc Bài a) 1ab.2 abc8 ; b) ab 9.b Bài abc deg.4 gabcde abcde g 15930 Bài **** � ** **** ***7 ***** biết số bị nhân có tổng chữ số 18 không đổi đọc từ phải sang trái Bài *** � 8** ***9 *** ***** Bài a) ab.cb ddd b) ab.cd bbb c) * * * = * * * biết tích số có ba chữ số Bài abc deg.6 deg abc Bài 20 * * : 13 = * * Bài a) ***** ** ** *** **2 *** b) * * * * * * * ** *** ** **8** ** *** *** Bài 10 abc :11 a b c Bài 11 Bài 12 Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng trước số số lớn gấp lần so với số có cách viết thêm chữ số vào sau số Bài 13 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải chữ số vào bên trái số tăng gấp 36 lần Bài 14 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết xen vào hai chữ số số số tăng gấp 99 lần Bài 15 Tìm số tự nhiên có chữ số, cho nhân số với ta số gồm chữ số viết theo thứ tự ngược lại Bài 16 Tìm số tự nhiên có chữ số, cho nhân với ta số gồm chữ số viết theo thứ tự ngược lại Bài 17 a) Tìm số tự nhiên có chữ số, biết xóa chữ số hàng trăm số giảm lần b) Giải tốn khơng cho biết chữ số bị xóa thuộc hàng Bài 18 Tìm số tự nhiên n có chữ số khác nhau, biết xóa chữ số ta số ước n Bài 19 Một số tự nhiên tăng gấp lần viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục hàng đơn vị Tìm số ab cd ab cd 2002 Bài 20 Tìm số tự nhiên A biết xóa nhiều chữ số tận số B mà A = 130B HƯỚNG DẪN GIẢI Bài a) a chữ số lẻ nên b c lẻ Ta lại có b c khác để a �c Vậy b, c � Lần lượt xét b 9, 7, ý a, b, c lẻ, khác Đáp số: 177 = 531 3, 7,9 b) ac.ac acc Thực phép chia acc cho ac 10 Vậy c = 0, a = Đáp số: 10 10 = 100 c) Xét chữ số bên trái thừa số tích, ta có a a �a nên Ta có: 1b.1b 1cc Ta thấy b �4 b �5 thì: 1b.2b �15.15 225 1cc Xét tích 10 10, 11 11, 12 12, 13 13, 14 14, ta có đáp số 12 12 = 144 Bài a) Đặt abc A thì: 1000 A 10 A 2000 A 10 A 1992 8A A 294 Đáp số: 1249 = 2498 b) Chuyển thành phép trừ: ab b0 b Đáp số: 45 = Bài Đặt abcde A thì: 10 A g 100000 g A (1) A g 15390 (2) Từ (1) (2) ta tìm được: A = 2564g Đưa tốn tìm hai số biết tổng tỉ số, ta được: g = 6; A = 15384 Bài abba Xét tích riêng (2) � cd abba � c (1) **** (2) * * * ***7 ***** Ta thấy ac 1, cịn 1b1.8 số có chữ số nên b < 3, b = Số bị nhân 121, số nhân 809, tích 97889 Bài a) ab.cb ddd d 111 3.3.37 Hai số ab cd có tích chia hết cho số nguyên tố 37 nên tồn số chia hết cho 37, giả sử abM37 Khi ab � 37, 74 Nếu ab 37 37.c7 999 Khi c7 999 : 37 27 Nếu ab 74 74.c 666 Khi c 666 : 74 , loại Đáp số: 37 27 = 999 b) Tích chia hết cho 111 nên chia hết cho số nguyên tố 37 Do số bị nhân chia hết cho 37(hoặc 74), số nhân chia hết cho Có đáp số: 37.3 111;37.6 222;37.9 333;74.3 222; 74.6 444; 74.9 666 c) Có đáp số: 37.21 777;15.37 555 Bài Đặt abc x , deg y , suy 857 x 142 y Chú ý (857, 142) = nên y chia hết cho 857 857, cịn x = 142 Ta có: 142857 = 857142 1000 x y 1000 y x Bài 2000 2099 **7 � � **7 153 **7 � 13 13 Thương Mặt khác **7 161 Do **7 157 Số bị chia: 157 13 = 2041 Bài a) 10098 : 99 = 102 b) 1089708 : 12 = 90809 Bài Ta có abc 11 a b c 100a 10b c 11a 11b 11c � 89a 10c b � 89a cb � a 1, cb 89 Vậy 198 : 11 = 1+ + Bài 10 Không tồn hai số ab cd Bài 12 Đáp số: 17948 Bài 13 Đáp số: 77 Bài 14 Cách Viết aabb 99.ab thành aabb ab ab00 Cách aabb 99.ab � 1100a 11b 990a 99b � 110a 88b � 5a 4b � a 4, b Bài 15 Xét phép nhân abcd � dcb2 4d tận a nên a chẵn, ta lại có 4a < 10 nên a = Ta được: 2bcd � dcb2 d �2 = 8, mà 4d tận nên d = Ta được: 2bc8 � 8cb2 4c + tận b nên b lẻ, ta laịi có 4b < 10 nên b = � 2, 4c + tận nên 4c tận Suy c c = khơng thỏa mãn tốn, c = cho số phải tìm là: 2178 Thử lại: 2178 = 8712 Bài 16 Gọi số phải tìm abcd Ta có phép nhân (1) abcd Từ (1) ta tìm được: a = 1, d = � (1) dcba Ta có phép nhân (2) 1bc9 Từ (2): b < b �2 tích có chữ số � (2) Xét b = c = 7, 9cb1 1179 có chữ số, loại Xét b = c = 8, 1089 =9801, thỏa mãn Đáp số: 1089 Bài 17 a) abc 9.bc � 100a bc 9.bc 8.bc 100a � 2.bc 25a Như bcM25 Có đáp số: 225, 450, 675 b) Nếu xóa chữ số tận số ban đầu giảm từ 10 lần trở lên Nếu xóa chữ số hàng chục: có đáp số 135, 225, 315, 405 Nếu xóa chữ số hàng trăm: có đáp số câu a) Bài 18 Gọi n = abc Số abc xóa c ab Ta có abc Mab � c Số ab0 xóa b a0 Ta có ab0Ma0 � ab Ma � b Ma (1) Số ab0 xóa a b0 Ta có ab0Mb0 � ab Mb � 10a bMb � 10a Mb (2) Từ (1) đặt b = ka (k � N) Thay b = ka vào (2): 10a Mka � 10Mk k � 2,5 Do b �a nên Với k = ta có abc 120, 240, 360, 480 Với k = ta có abc 150 Bài 19 Đáp số: 45 Bài 20 Gọi C số tạo k chữ số tận bị xóa A, ta có A = 10k B + C, 10k B + C = 130B Như 10 B �130 B � k 1, k Với k= 10B + C = 130B � C = 120B C có chữ số, loại Với k= 100B + C = 130B � C = 30B C có chữ số Vậy C 30; 60; 90 Có ba số thỏa mãn tốn 130; 260; 390 k ... chữ số vào bên trái số tăng gấp 36 lần Bài 14 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết xen vào hai chữ số số số tăng gấp 99 lần Bài 15 Tìm số tự nhiên có chữ số, cho nhân số với ta số gồm chữ số. .. 12 Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng trước số số lớn gấp lần so với số có cách viết thêm chữ số vào sau số Bài 13 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm chữ số vào... liền hai chữ số số bị chia xuống, b = Số chia nhân với tích riêng A có ba chữ số nên số chia lớn 11 Số chia nhân với ta tích riêng C có hai chữ số nên số chia nhỏ 13 Vậy số chia 12 Số bị chia 908