CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG: GTLN, GTNN CỦA PHÂN SỐ

Chuyên đề: GTLN, GTNN CỦA PHÂN SỐ. Biên soạn bằng bản word, font Times New Roman, MathType 6.9. Tài liệu được chia làm các phần: Lý thuyết cơ bản, bài tập từ dễ đến khó, lời giải chi tiết. Đây là tài liệu dành cho học sinh lớp 6 ôn thi học sinh giỏi, giáo viên làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 năm học 20202021.

CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT - LỚN NHẤT A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ BÀI TỐN: Tìm số ngun n (số tự nhiên n) để biểu thức A(n) có GTLN – GTNN LOẠI 1: Với A = a với a, b, c số nguyên biết b.n + c + Nếu a ∈ Z+ thì: A có GTLN b.n + c số dương nhỏ ứng với n nguyên A có GTNN b.n + c số nguyên âm lớn ứng với n nguyên + Nếu a ∈ Z- thì: A có GTLN b.n + c số âm lớn ứng với n nguyên A có GTNN b.n + c số dương nhỏ ứng với n nguyên LOẠI 2: Với A = + Tách A = a.n + d với a, b, c, d số nguyên biết b.n + c a.n + d f = e+ b.n + c b.n + c (f ∈ Z) + Việc tìm n ngun để A có GTLN – GTNN trở thành tốn tìm n ngun để có GTNN (Bài Toán LOẠI 1) LOẠI 3: Với A = |f(x)| + b A = - |f(x)| + b + Vì |f(x)| ≥ => A = |f(x)| + b ≥ b => A nhỏ = b f(x) = + Vì - |f(x)| ≤ => A = - |f(x)| + b ≤ b => A lớn = b f(x) = B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Tìm số tự nhiên n để A = 15 có giá trị lớn n−9 HD: Ta có: 15 > khơng đổi Nên A = 15 có giá trị lớn n - > có giá trị nhỏ (1) n−9 Ta lại có: n ∈ N ⇒ n − ∈ Z (2) Từ (1) (2) => n - có GTNN =1 ⇒ n = 10 Vậy với n = 10 thỏa mãn đầu Bài Tìm số tự nhiên n để phân số M = 6n − đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn 4n − HD: M= 6n − 3(2n − 3) + = + = 2(2n − 3) 2(2n − 3) 4n − f có GTLN b.n + c => M có GTLN có GTLN 2(2n − 3) Với n ∈ N, mẫu số 2(2n – 3) dương âm, nên ta xet trường hợp sau: TH1: Nếu n = => = −1 => M = − = 2(2n − 3) 2 TH2: Nếu n = => 3 = −3 => M = − = − 2(2n − 3) 2 TH3: Nếu n > 2(2n – 3) số nguyên dương => đạt GTLN 2(2n − 3) 2(2n – 3) đạt giá trị dương nhỏ ứng với số nguyên dương n = => GTLN M = + = n = 2 Kết luận: Với ba trường hợp GTLN M Bài Với giá trị số tự nhiên a n = 2 5a − 17 có giá trị lớn 4a − 23 HD: 5a − 17 4.(5a − 17) 20a − 68 5.4a − 5.23 + 47 5(4a − 23) + 47 47 = = = = = + 4a − 23 4.(4a − 23) 4(4a − 23) 4(4a − 23) 4(4a − 23) 4(4a − 23) Cách giải tương tự Bài tập 2: Như tốn đưa tìm số tự nhiên a để 4a – 23 số dương nhỏ ứng với số tự nhiên a = Vậy a = => 5a − 17 có GTLN = 13 4a − 23 Bài Tìm số tự nhiên n để phân số B = 10n − đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn 4n − 10 HD: B= 10n − 5(2n − 5) + 22 22 11 = = + = + 4n − 10 ( 2n − ) 2(2n − 5) 2n − => B đạt giá trị lớn 11 đạt giá trị lớn 2n − Vì 11 > khơng đổi nên 11 đạt giá trị lớn khi: 2n – > đạt giá trị nhỏ ⇔ 2n 2n − - = 1⇔ n = Vậy B đạt giá trị lớn Bài Tìm số tự nhiên n để phân số + 11= 13,5 n = 7n − có giá trị lớn 2n − HD: A= 7n - 2(7n - 8) 7(2n - 3) + = = = + 2n - 2(2n - 3) 2(2n - 3) 2(2n − 3) Đặt B = => Amax Bmax 2(2n − 3) Cách giải tương tự Bài tập 2: => Bài tốn đưa tìm số tự nhiên n để 2(2n – 3) số dương nhỏ ứng với số tự nhiên n = => 2(2n – 3) = Vậy A max = ⇔ n = có giá trị lớn x +1 Bài Tìm x để phân số HD: Vì 1 phân số => x2 + ∈ N* => Phân số có giá trị lớn  x2 + phải số tự x +1 x +1 nhiên nhỏ khác => x2 + = => x = Bài Tìm giá trị nhỏ của biểu thức sau: A= Bài 8: Cho phân số A= 6n − (với n số nguyên ) 3n + n+1 (n ∈ Z) Tìm n để A có giá trị lớn n-3 HD: Ta có: A= n+1 n-3+4 = = 1+ n-3 n-3 n −3 Với n > >0 n −3 Với n < 2(2n – 3) = Vậy A max = ⇔ n = có giá trị lớn x +1 Bài Tìm x để phân số HD: Vì 1 phân số => x2 + ∈ N* => Phân số có giá... tự Bài tập 2: Như tốn đưa tìm số tự nhiên a để 4a – 23 số dương nhỏ ứng với số tự nhiên a = Vậy a = => 5a − 17 có GTLN = 13 4a − 23 Bài Tìm số tự nhiên n để phân số B = 10n − đạt giá trị lớn Tìm... Phân số có giá trị lớn  x2 + phải số tự x +1 x +1 nhiên nhỏ khác => x2 + = => x = Bài Tìm giá trị nhỏ của biểu thức sau: A= Bài 8: Cho phân số A= 6n − (với n số nguyên ) 3n + n+1 (n ∈ Z) Tìm