Ứng dụng của BĐT Côsi - Chuyên đề Bồi dưỡng HSG

NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN Một số biện pháp rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi vào giải các bài toán tìm cực trị(đại số) I. Kiến thức cần nhớ A. khái niệm GTLN, GTNN của một biểu thức. * Nếu biểu thức f(x) xác định trên tập hợp D và có: ( )f x m³ ; tồn tại 0 x DÎ để 0 ( )f x m= thì m được gọi là GTNN của biểu thức f(x). Kí hiệu Min f(x) = m, đạt được khi 0 x x= . *Nếu biểu thức f(x) xác định trên tập hợp D và có: ( )f x m£ ; tồn tại 0 x DÎ để 0 ( )f x m= thì m được gọi là GTLN của biểu thức f(x). Kí hiệu Max f(x) = m, đạt được khi 0 x x= . B. BĐT côsi. 1) Cho hai số 0; 0a b³ ³ ta luôn có . 2 a b a b + ³ ; hay 2 . 2 a b a b æ ö + ÷ ç £ ÷ ç ÷ ç è ø Dấu “=” xảy ra khi a = b. 2) Cho ba số x,y,z không âm, ta luôn có 3 . . 3 x y z x y z + + ³ hay 3 3 x y z xyz æ ö + + ÷ ç £ ÷ ç ÷ ç è ø dấu “=” xảy ra khi x = y = z. 3) Mở rộng cho n số không âm 1 2 3 , , , , n a a a a ta luôn có: 1 2 3 1 2 3 . . n n n a a a a n a a a a+ + + + ³ dấu “=” xảy ra khi 1 2 n a a a= = = 4) Bài toán mở đầu. Cho hai số , 0a b ³ a) Nếu a+b = k ( k là hằng số). Tìm GTLN của a.b. b) Nếu a.b = k ( k là hằng số). Tìm GTNN của a + b. Giải: a. Theo BĐT côsi ta có: 2 2 . 2 4 a b k a b æ ö + ÷ ç =£ ÷ ç ÷ ç è ø dấu “=” xảy ra khi 2 a b k a b a b k ì = ï ï = =Û í ï + = ï î vậy GTLN của a.b là 2 4 k , đạt được khi 2 k a b= = b. theo BĐT côsi ta có: 2 . 2a b a b k+ =³ dấu “=” xảy ra khi . a b a b k a b k ì = ï ï = =Û í ï = ï î .Vậy GTNN của a.b là 2 k , đạt được khi a b k= = Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 1 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN Nhận xét: Qua bài toán trên ta thấy. - Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích đạt GTLN khi hai số bằng nhau. - Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng đạt GTNN khi hai số băng nhau. II. Các dạng toán cơ bản: 1. Dạng toán tìm GTNN. * Ví dụ 1: Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức 12 3 x y x = + . Giải: Do x > 0 nên 12 0; 0 3 x x > > , áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có 12 12 2 . 4 3 3 x x y x x = + =³ , dấu “=” xảy ra khi 2 12 36 6 3 x x x x = = =Û Û (do x > 0). Vậy y min = 4, đạt được khi x = 6. *Ví dụ 2: Cho x,y,z > 0. Tìm GTNN của biểu thức A = x y z y z x + + . Giải: Do x,y,z > 0 nên 0; 0; 0 x y z y z x > > > . áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có. A = 3 3 . . 3 x y z x y z y z x y z x + + =³ , dấu “=” xảy ra khi x y z y z x = = hay x = y = z. Vậy Min A = 3, đạt được khi x = y = z. Nhận xét: Trong hai ví dụ trên ta đã áp dụng trực tiếp BĐT côsi cho các số có tích không đổi để tìm GTNN của một biểu thức, tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta phải áp dụng nhiều lần BĐT côsi hoặc phải áp dụng cả hai chiều của BĐT côsi để giải, ta xét các ví dụ sau. *Ví dụ 3: Cho a, b > 0. Tìm GTNN của biểu thức B = 1 1 ( )( )a b a b + + . Giải: Do a, b > 0 nên 1 1 0; 0 a b > > , áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có. 2 .a b a b+ ³ ; 1 1 1 1 2 2 . . a b a b a b + =³ suy ra B = 1 1 2 ( )( ) 2 . . 4 . a b a b a b a b + + =³ . Dấu “=” xảy ra khi 1 1 a b a b a b ì = ï ï ï =Û í ï = ï ï î . Vậy Min B = 4; đạt được khi a = b. Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 2 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN *Ví dụ 4: Tìm GTNN của biểu thức A = xy yz xz z x y + + với x, y, z là các số dương và x + y + z = 1. Giải: áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có. 2 . 2 xy yz xy yz y z x z x + =³ (1) Tương tự ta có: 2 . 2 yz xz yz xz z x y x y + =³ (2) 2 . 2 xz xy xz xy x y z y z + =³ (3) Cộng vế với vế của (1),(2) và (3) ta được 2A 2( ) 2x y z+ + =³ Vậy Min A = 1, đạt dược khi 1 1 3 x y z x y z xy yz zx z x y ì + + = ï ï ï ï = = =Û í ï = = ï ï ï î *Ví dụ 5: Cho x > 0; y > 0 thỏa mãn 1 1 1 2x y + = . Tìm GTNN của A = x y+ . Giải: Do x > 0; y > 0 nên ;x y xác định và 1 1 0; 0 x y > > , áp dụng BĐT côsi đối với hai số dương 1 1 ; x y ta có. 1 1 1 1 1 . ( ) 2x y x y +£ suy ra 1 1 4 4 . xy x y £ Þ ³ áp dụng BĐT côsi đối với hai số dương ;x y ta được. A = 2 . 2. 4 4x y x y+ = =³ . Dấu “=” xảy ra khi 4 1 1 1 2 x y x y x y ì ï = ï ï ï = =Û í ï + = ï ï ï î . Vậy GTNN Min A = 4; đạt được khi x = y = 4. *Ví dụ 6: Cho x > 0; y > 0 và x + y = 2a (a > 0). Tìm GTNN của C = 1 1 x y + . Giải: áp dụng BĐT côsi cho hai số ta có. 2 2 2 1 1 2 2 x y a xy a xy a xy a + = =£ Þ £ Þ ³ . Nên C = 2 1 1 2 2x y a x y xy a a + + = =³ . Dấu “=” xảy ra khi 2x y a x y a x y ì + = ï ï = =Û í ï = ï î . Vậy Min C = 2 a , Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 3 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN đạt được khi x = y = a. 2. Dạng toán tìm GTLN. *Ví dụ 7: Tìm GTLN của biểu thức y = (x + 2)(3 – x) với 2 3x- ££ . Giải: Do 2 3x- ££ nên 2 0;3 0x x+ -³ ³ . áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có: y = (x + 2)(3 – x) 2 2 3 25 2 4 x x æ ö + + - ÷ ç =£ ÷ ç ÷ ç è ø . Dấu “=” xảy ra khi 1 2 3 2 x x x+ = - =Û . Vậy Max y = 25 4 ; đạt được khi 1 2 x = . *Ví dụ 8: Tìm GTLN của biểu thức D = (2x + 1)(2 – 3x) với 1 2 2 3 x - £ £ . Nhận xét. Ta chưa thể áp dụng ngay BĐT côsi cho hai số 2x + 1 và 2 – 3x vì tổng của chúng chưa là hằng số, ta sẽ giải như sau. Giải: Ta có D = (2x + 1)(2 – 3x) = 1 2 2( ).3( ) 2 3 x x+ - , Do 1 2 2 3 x - £ £ nên 1 2 0; 0 2 3 x x+ -³ ³ , áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có. D = 2 1 2 1 2 49 2 3 6( )( ) 6 2 3 2 24 x x x x æ ö ÷ ç + + - ÷ ç ÷ ç ÷ ç + - =£ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç è ø , dấu “=” xảy ra khi 1 2 1 2 3 12 x x x+ = - =Û . Vậy Max D = 49 24 ; đạt được khi 1 12 x = . 3. Dạng toán tìm GTLN và GTNN. *Ví dụ 9: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = 5 1x x- + - . Giải: ĐKXĐ của biểu thức là 1 5x£ £ . Do A > 0, ta có A 2 = 5 – x + x – 1 + 2 (5 )( 1)x x- - = 4 + 2 (5 )( 1)x x- - Mà 2 (5 )( 1)x x- - 0³ , nên A 2 4 2A³ Û ³ dấu “=” xảy ra khi x = 5 hoặc x = 1. Vậy Min A = 2, đạt được khi x = 5 hoặc x = 1 Mặt khác áp dụng BĐT côsi cho hai số ta có. A 2 = 4 + 2 (5 )( 1)x x- - £ 4 + 5 – x + x – 1 = 8 suy ra A 2 2£ . Dấu “=” xảy ra khi 5 – x = x – 1 hay x = 3. Vậy Max A = 2 2 , đạt dược khi x = 3. *Ví dụ 10: Cho 0; 0x y³ ³ và 6x y+ £ . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x 2 y(4 – x – y ) Giải. a. Tìm GTLN. + Với 4 6x y< + £ thì A 0< . Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 4 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN + Với 0 4x y+£ £ , áp dụng BĐT côsi cho bốn số không âm ta có. A = 4 4 2 2 4. . . (4 ) 4 4 2 2 4 x x y x y x x y x y æ ö ÷ ç + + + - - ÷ ç ÷ ç ÷ ç - - =£ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø . Dấu “=” xảy ra khi 4 2 0 4 x y x y x y ì ï ï = = - - ï Û í ï ï +£ £ ï î 2 1 x y ì = ï ï í ï = ï î . Vậy Max A = 4, đạt được khi 2 1 x y ì = ï ï í ï = ï î b. Tìm GTNN. + Với 0 4x y+ <£ thì A > 0. +Với 4 6x y+£ £ thì - A = x 2 y( x + y – 4) = 4 . . .( 4) 2 2 x x y x y+ - - A 4 4 4 4 6 2 2 4 4 1 4 1 64 4 2 2 x x y x y x y æ ö ÷ ç + + + + - ÷ ç æ ö æ ö ÷ + ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç = - - =£ £ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç è ø è ø ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø Suy ra A 64-³ . Dấu “=” xảy ra khi 4 4 2 2 6 x x y x y y x y ì ï ì ï = = = + - ï ï ï Û í í ï ï = ï î ï + = ï î Vậy Min A = -64, đạt được khi 4 2 x y ì = ï ï í ï = ï î III. Một số phương pháp rèn luyện kĩ năng vận dụng BĐT côsi để giải toán tìm cực trị. 1. Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số. *Ví dụ 11: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức: y = 2 1 2x x + . Giải: áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có y = 2 1 2x x + = 3 2 2 1 1 3 . . 3x x x x x x + + =³ . Dấu “=” xảy ra khi 3 2 1 1 1x x x x = = =Û Û .Vậy Min y= 3, đạt được khi x =1 *Ví dụ 12: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức. N = 3 2000x x + . Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 5 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN Giải: áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có N = 2 2 2 3 2000 1000 1000 1000 1000 3 . . 300x x x x x x x x + = + + =³ . Dấu “=” xảy ra khi 2 3 1000 1000 10x x x x = = =Û Û . Vậy Min N = 300, đạt được khi x = 10. *Ví dụ 13: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức E = 3 2 3 x x + . Giải: áp dụng BĐT côsi cho năm số dương ta có E = 3 3 3 3 3 5 2 2 2 2 2 2 2 5 3 1 1 1 1 1 1 5 5 . . . . 2 2 2 2 4 x x x x x x x x x x x x + = + + + + =³ Dấu “=” xảy ra khi 3 5 5 2 1 2 2 2 x x x x = = =Û Û . Vậy Min E = 5 5 4 , đạt được khi 5 2x = *Ví dụ 14: Cho a, b, x là những số dương. Tìm GTNN của biểu thức. P = ( )( )x a x b x + + Giải: Ta có. P = 2 ( )( ) ( )x a x b x a b x ab ab x a b x x x + + + + + = = + + + P = 2 2 . ( ) ab ab x a b x a b a b x x + + + + + = +³ . Dấu “=” xảy ra khi ab x x ab x = =Û . Vậy Min P = 2 ( )a b+ , đạt được khi x ab= 2. Biến đổi biểu thức đã cho thành một tích của các biểu thức sao cho tổng của chúng là một hằng số. *Ví dụ 15: Cho các số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Tìm GTLN của biểu thức Q = x 2 y 3 . Giải: áp dụng BĐT côsi cho năm số dương ta có. Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 6 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN 1 = x + y = 5 2 3 2 3 2 3 2 3 5 5 2 3 1 108 5 1 5 2 2 3 3 3 2 .3 108 108 5 3125 x x y y y x y x y x y x y æö ÷ ç + + + + ³Þ³Û£Þ£ ÷ ç ÷ ç è ø . Dấu “=” xảy ra khi 2 1 5 3 2 3 5 x y x x y y ì ï ì ï + = = ï ï ï ï ï ï Û í í ï ï = ï ï = ï ï î ï ï î Vậy Max Q = 108 3125 , đạt được khi 2 5 3 5 x y ì ï ï = ï ï ï í ï ï = ï ï ï î *Ví dụ 16: Tìm GTLN của biểu thức. y = x(1 – x) 3 với 0 1x£ £ . Giải: Do 0 1x£ £ , nên 1 – x 0³ . Ta có y = 3 1 1 .3 (1 ) .3 .(1 )(1 )(1 ) 3 3 x x x x x x- = - - - . áp dụng BĐT côsi cho bốn số không âm ta có 4 3 4 1 3 1 1 1 3 . 3 4 4 x x x x y æ ö + - + - + - ÷ ç =£ ÷ ç ÷ ç è ø . Dấu “=” xảy ra khi 3x = 1 – x hay 1 4 x = . Vậy Max y = 3 4 3 4 , đạt được khi 1 4 x = . *Ví dụ 17: Tìm GTLN của biểu thức y = x 2 (3 – x), với 0 3x£ £ Giải: Do 0 3x£ £ , nên 3 0x- ³ ta có y = 3 3 2 2 4. . (3 ) 4. 4 2 2 3 x x x x x x æ ö ÷ ç + + - ÷ ç ÷ ç ÷ ç - =£ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø . Dấu “=” xảy ra khi 3 2 2 x x x= - =Û . Vậy Max y = 4, đạt được khi x = 2 *Ví dụ 18: Tìm GTLN của biểu thức Z = x 3 (2 – x) 5 . với 0x ³ Giải: +) Xét x > 2 thì 2 – x < 0 do đó Z < 0. +) Xét 0 2x£ £ thì 2 0x- ³ . Ta có Z = 27 5 5 5 . . . (2 )(2 )(2 )(2 )(2 ) 125 3 3 3 x x x x x x x x- - - - - . áp dụng BĐT côsi cho tám số không âm ta được. 8 3 8 3 5 3 8 8 5 5 5 2 2 2 2 2 27 3 5 3 .5 3 3 3 . 125 8 5 4 4 x x x x x x x x Z æ ö ÷ ç + + + - + - + - + - + - ÷ ç ÷ ç ÷ ç = =£ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç è ø Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 7 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN Dấu “=” xảy ra khi 5 3 2 5 6 3 3 4 x x x x x= - = - =Û Û . Vậy Max Z = 3 5 8 3 5 4 , đạt được khi 3 4 x = 3. Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực tri của bình phương biểu thức đó. *Ví dụ 19: Tìm GTNN của biểu thức A = 3 5 7 3x x- + - , với 5 7 3 3 x£ £ . Giải: Do 5 7 3 3 x£ £ , nên 3 5 0;7 3 0x x- -³ ³ . Ta có 2 2 (3 5) (7 3 ) 2 (3 5)(7 3 ) 2 (3 5 7 3 ) 4 A x x x x A x x = - + - + - - + - + - =£ Dấu “=” xảy ra khi 3x – 5 = 7 – 3x hay x = 2. Vậy Max A 2 = 4 suy ra Max A = 2, đạt được khi x = 2. *Ví dụ 20: Cho x + y = 15. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức. 4 3B x y= - + - Giải: Điều kiện 4; 3x y³ ³ . Ta có 2 4 3 2 ( 4)( 3) 8 2 ( 4)( 3) 8 2 2B x y x y x y B= - + - + - - = + - - ³Þ³ . Dấu “=” xảy ra khi 15 ( 4)( 3) 0 x y x y ì + = ï ï Û í ï - - = ï î x = 4; y =11 hoặc x =12; y = 3. Vậy Min B = 2 2 , đạt được khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12; y = 3. Mặt khác ta có 2 8 ( 4 3) 16 4B x y B+ - + - =£ Þ £ . Dấu “=” xảy ra khi 15 15 8 4 3 1 7 x y x y x x y x y y ì ì ì + = + = = ï ï ï ï ï ï Û Û í í í ï ï ï - = - - = = ï ï ï î î î . Vậy Max B = 4, đạt được khi 8 7 x y ì = ï ï í ï = ï î *Ví dụ 21: Tìm GTNN của biểu thức A = xy yz xz z x y + + với x, y, z là các số dương thỏa mãn 2 2 2 1x y z+ + = Giải: ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) x y y z z x A x y z z x y = + + + + + Lại có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y y z z x z x y + + ³ ( chứng minh tương tự ví dụ 4) 3 1 2 3 3A A+ =Þ ³ Þ ³ , dấu “=” xảy ra khi 2 2 2 1 3 3 x y z x y z x y z ì ï + + = ï = = =Û í ï = = ï î . Vậy Min A = 3 , đạt được khi 3 3 x y z= = = 4. Thêm, bớt một hằng số. Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 8 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN *Ví dụ 22: Cho 0 < x < 2. Tìm GTNN của biểu thức P = 9 2 2 x x x + - . Giải: ta có 0 < x < 2 nên 2 – x > 0 P = 9 2 9 2 9 2 9 2 1 1 1 2 . 1 7 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x - - + = + - + = + + + =³ - - - - . Dấu “=” xảy ra khi 9 2 1 2 2 x x x x x - = =Û - . Vậy Min P = 7, đạt được khi 1 2 x = Nhận xét. Trong ví dụ trên ta đã bớt 1 và thêm 1 để xuất hiện hạng tử 2 x x - có dạng nghịch đảo của 9 2 x x- để khi vận dụng BĐT côsi ta được tích của chúng là một hằng số. *Ví dụ 23: Cho 0 < x < 1. tìm GTNN của biểu thức Q = 3 4 1 x x + - . Nhận xét. Theo ví dụ trên ta cần làm xuất hiện các hạng tử có dạng 3 1 x x- và 4(1 )x x - để khi nhân vào ta được tích là một hằng số. Vậy cần phải thêm và bớt bao nhiêu? - Cách làm: Đặt 3 4 3 4 (1 ) 1 1 ax b x c x x x x - + = + + - - sau đó dùng phương pháp đồng nhất hệ số, ta được a = b = 1; c = 7. vậy ta có thể giải như sau. Giải: Q = 3 4 3 4(1 ) 3 4(1 ) 7 2 . 7 7 4 3 1 1 1 x x x x x x x x x x - - + = + + + = +³ - - - . Dấu “=” xảy ra khi 3 1 x x- = 2 4(1 ) ( 3 1) x x x - = -Û . Vậy Min Q = 7 4 3+ , đạt được khi 2 ( 3 1)x = - *Ví dụ 24: Cho x > y > 0 và x.y = 1. Tìm GTNN của biểu thức A = 2 2 x y x y + - . Giải: ta có A = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) x y x y x y xy x y x y x y x y x y x y x y + + - + + - + - + = = = = - + - - - - - . Do x > y nên x – y > 0 áp dụng BĐT côsi ta có 2 2A ³ , dấu “=” xảy ra khi 2 6 2 . 1 . 1 . 1 2 . 2 ( ) 2 2 6 2 2 x y x x y x y x y x y x y x y y ì ï + ï ì = ï = ï ì ï ì = = ï ï ï ï ï ï ï ï Û Û Û í í í í ï ï ï ï - = - = - = - ï ï ï ï î î - ï ï = ï î ï ï î Nhận xét. Trong ví dụ trên ở tử thức ta đã thêm và bớt 2, và sử dụng giả thiết tích x.y = 1 để làm xuất hiện hằng đẳng thức (x – y ) 2 sau đó tách Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 9 NGUYỄN TIẾN ĐÀO THCS HẢI ĐÔNG – TP MÓNG CÁI - QN biểu thức đã cho thành hai biểu thức có tích không đổi, từ đó có thể sử dụng BĐT côsi. *Ví dụ 25: Cho ba số dương a, b, c tìm GTNN của biểu thức.B = a b c b c a c a b + + + + + Giải: Thêm, bớt 3 vào biểu thức đã cho ta được. ( 1) ( 1) ( 1) 3 a b c a b c b c a c a b b c a c a b + + = + + + + + - + + + + + + 1 1 1 ( )( ) 3a b c b c a c a b = + + + + - + + + [ ] 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 a b b c c a b c a c a b = + + + + + + + - + + + B 3 3 1 1 9 3 .3 ( )( )( ).3 3 3 2 ( )( )( ) 2 2 a b b c c a a b b c c a + + + - = - =³ + + + Vậy 3 2 B ³ , dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Suy ra Min B = 3 2 , đạt được khi a = b = c. 5. Nhân, chia với cùng một số khác không. *Ví dụ 26: Tìm GTLN của biểu thức M = 9 5 x x - . Giải: ĐKXĐ. 9x ³ . Ta có M = 9 1 9 9 9 .3 ( 3) 9 1 3 2 3 3 5 5 5 10 30 x x x x x x x x - - - + + - = = =£ Dấu “=” xảy ra khi 9 3 18 3 x x - = =Û . Vậy Max M = 1 30 , đạt được khi x = 18. Nhận xét. Trong cách giải trên, x – 9 được biểu diễn thành 9 .3 3 x - , khi vận dụng BĐT côsi tích 9 .3 3 x - được làm “trội” thành nửa tổng 9 1 3 3 3 x x - + = có dạng kx, có thể rút gọn x ở mẫu, kết quả là một hằng số. *Ví dụ 27: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm GTLN của. A a b b c c a= + + + + + Nhận xét. BĐT côsi cho phép ta làm “giảm” một tổng thành một tích, nhưng ở đây ta cần làm “trội” một tổng? Vì vậy ta coi mỗi hạng tử chẳng Sáng kiến kinh nghiệm 2008 - 2009 10 [...]... 2 + 1 + 2( x 2 - 2) + 3(7 - x 2 ) v cỏc giỏ tr tng ng ca x trong khong xỏc nh Nhn xột Ta vn cn lm tri mt tng vỡ vy cn coi mi hng t nh l mt tớch x Gii: KX - 7 ÊÊ - 2 v 2 Ê x Ê 7 , ta cú y = x2 + 1 + 2( x 2 - 2) + 3(7 - x 2 ) 1 ( ( x 2 + 1).6 + 2( x 2 - 2).6 + 3(7 - x 2 ).6) 6 1 ộ 2 + 1 + 6 2( x 2 - 2) + 6 3(7 - x 2 ) + 6 ự x ờ ỳ yÊ + + ỳ 2 2 6ờ 2 ở ỷ 2 2 2 1 x + 1 + 6 + 2 x - 4 + 6 + 2 1- 3 x + 6 1 yÊ... =c+ a ù ù z =a+ b ù ù ợ Do ú x, y, z > 0 v ỡ - x+ y+ z ù ùa= ù ù 2 ù ù ù ù b = x- y + z ớ ù 2 ù ù ù ù c = x+ y- z ù ù 2 ù ợ ỏp dng BT cụsi cho hai s khụng õm ta cú B= B= B a b c - x+ y+ z + + = + b+ c a+ c a+ b 2x - 3 1ổ yử 1 ổ zử 1 ổ x x y ữ + ỗ + ữ ỗ + ữ ỗ + + + ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ y x ứ 2 ỗz x ứ 2 ốz ữ ố 2 2ố - 3 3 + 1+ 1+ 1 = 2 2 x- y + z x+ y- z + 2y 2z zử - 3 1 x y 1 x z 1 y z ữ ữ ữ 2 + 2 2 y x... + c ) ( 1- a )( 1- b)( 1- c ) b Cho a, b, c l cỏc s dng tha món a + b + c = k (k l hng s) Sỏng kin kinh nghim 16 2008 - 2009 NGUYN TIN O THCS HI ễNG TP MểNG CI - QN Tỡm GTNN ca biu thc ổ kử ổ kử ổ kử ỗ ỗ Q = ỗ + ữ1 + ữ1 + ữ 1 ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ bứ ữ c ứ ữ ỗ aứ ỗ ỗ ố ố ố Bi 10: Tỡm GTLN ca biu thc A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) Vi x, y, z 0 v x + y + z = 1 Bi 11: Tỡm GTLN ca biu thc B= x- 1 + x y- 2 y , vi... khi x = y = z hay b +c = c + a = a + b hay a=b=c Sỏng kin kinh nghim 12 2008 - 2009 NGUYN TIN O THCS HI ễNG TP MểNG CI - QN *Vớ d 31: Cho a > 1; b > 1 Tỡm GTNN ca A= a2 b2 + a- 1 b- 1 Gii: t a 1 = x > 0; b 1 = y > 0 ta cú a2 b2 ( x + 1) 2 ( y + 1) 2 x 2 + 2 x + 1 y 2 + 2 y + 1 1 1 A= + = + = + = (x + ) + ( y + ) + 4 a- 1 b- 1 x y x y x y 1 1 A 2 x + 2 y + 4 = 8 x y ỡ 1 ù ù x= ù ù x ù ù ỡ ù ù ù y=... khi 1 2 V Bi tp ỏp dng Sỏng kin kinh nghim 15 2008 - 2009 NGUYN TIN O THCS HI ễNG TP MểNG CI - QN Bi 1: a Cho x > 0 Tỡm GTNN ca biu thc b Cho x 0 Tỡm GTNN ca biu thc 2x2 - 6x + 5 2x 2 x + 2 x + 17 B= 2( x + 1) A= x - 6 x + 34 x+ 3 ( x + 4)( x + 9) d Cho x > 0 Tỡm GTNN ca biu thc A = x 2 x + 1, 2 x + y 2 Q= Bi 2: a Cho x > y v x.y = 5 Tỡm GTNN ca x- y b Cho x, y, z l cỏc s nguyờn dng tha món x +... 1 x = 1 < 6 x 36 4 = a =9 6 a 6 4 x2 4 1 x2 4 1 = + + x 2 (1) 2 + x 2 (1) x 9 6 x 9 6 9 6 x 9 6 x x 9 6- 1 6 6 4(9 6 - 1) 4 6 4 6(9 6 - 1) + 62 ( ) 2.2 + = + 3 6 9 6 9 6 9 6 6 8 6 + 36.6 - 4 6 108 - 2 6 = 6 3 2 x 4 = x 2 x = 36 6 x = 6 khi 9 6 x B Du = xy ra Vy Min B = 108 - 2 6 3 khi x=6 Bi 4 Cho 0< xÊ 1 2 Tỡm GTNN ca biu thc *Sai lm thng gp C = 2x + C = 2x + 1 1 1 = x + x + 2 3 3 x.x 2 =... GTNN ca biu thc E = x - 1 + x 25 b Cho x > 1 Tỡm GTLN ca biu thc A = 4 x + x - 1 2 2 2 Bi 4: Cho x, y cựng du Tỡm GTNN ca A = x + y + xy c Cho x 0 Tỡm GTNN ca biu thc Bi 5: Tỡm GTNN ca biu thc y = x2 + x + 1 + C= x2 - x + 1 Bi 6: Cho x > 0; y > 0 tha món x + y = 1 Tỡm GTNN ca E= a 2 b2 + x y (a, b l nhng s dng cho trc) 6 Bi 7: Cho x > 0 Tỡm GTNN ca biu thc ổ 1 ử ổ6 1 ử ỗx + ữ - ỗx + 6 ữ 2 ữ ỗ ữ... 3 6 2 6 6 ỡ ù x2 + 1 = 6 ù ù 2 ớ Du = xy ra khi ù 2( x - 2) = 6 x = 5 Vy Max ù ù ù 3(7 - x 2 ) = 6 ù ợ t c khi x = 5 y= y =3 6 , 6 Thờm hng t vo biu thc ó cho *Vớ d 29: Cho ba s dng x, y, z tha món iu kin x + y + z = 2 Tỡm GTNN ca biu thc P = Sỏng kin kinh nghim 11 x2 y2 z2 + + y+ z x+ z x+ y 2008 - 2009 NGUYN TIN O THCS HI ễNG TP MểNG CI - QN x2 y+ z Gii: ỏp dng BT cụsi i vi hai s dng x2 y+ z... 2008 - 2009 NGUYN TIN O *Li gii sai THCS HI ễNG TP MểNG CI - QN 4 1 1 1 1 1 1 1 1 = x2 + + + + 5 5 x2 =5; x x x x x x x x x B = x2 + Min B =5 *Nguyờn nhõn sai lm, Min B = 5 khi *S im ri *Li gii ỳng ỡ x 2 36 ù ù = ù ù a a x = 6 ịù ớ ù 4 4 ù = ù ù x 6 ù ợ B = x2 + B 2.2 x2 = 1 x2 x = 1 x = 1 < 6 x 36 4 = a =9 6 a 6 4 x2 4 1 x2 4 1 = + + x 2 (1) 2 + x 2 (1) x 9 6 x 9 6 9 6 x 9 6 x x 9 6- 1... 3 ti im ri x = 3 Do BT cụsi xy ra du = ti iu kin cỏc s tham gia phi bng nhau, nờn ti im ri x = 3 ta khụng th s dng BT cụsi trc tip cho hai s Sỏng kin kinh nghim 13 2008 - 2009 NGUYN TIN O 1 x x v vỡ 1 3 3ạ THCS HI ễNG TP MểNG CI - QN Lỳc ny ta gi s s dng BT cụsi cho cp s ổ 1ử ỗ x ; ữ sao ữ ỗ ữ ỗa x ứ ố cho ti im ri x = 3 thỡ x 1 = a x ỡ x 3 ù ù = ùa a ù x = 3 ịịớ ù1 1 ù = ù ùx 3 ù ợ T ú ta bin i . x x x x x x- - - - - . áp dụng BĐT côsi cho tám số không âm ta được. 8 3 8 3 5 3 8 8 5 5 5 2 2 2 2 2 27 3 5 3 .5 3 3 3 . 125 8 5 4 4 x x x x x x x x Z æ ö ÷ ç + + + - + - + - + - + - ÷ ç ÷ ç ÷ ç =. Tìm GTNN của biểu thức A = 2 2 x y x y + - . Giải: ta có A = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) x y x y x y xy x y x y x y x y x y x y x y + + - + + - + - + = = = = - + - - - - - . Do x >. x y= - + - Giải: Điều kiện 4; 3x y³ ³ . Ta có 2 4 3 2 ( 4)( 3) 8 2 ( 4)( 3) 8 2 2B x y x y x y B= - + - + - - = + - - ³Þ³ . Dấu “=” xảy ra khi 15 ( 4)( 3) 0 x y x y ì + = ï ï Û í ï - - = ï î x