Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG. Biên soạn bằng bản word, font Times New Roman, MathType 6.9. Tài liệu được chia làm các phần: Lý thuyết cơ bản, bài tập từ dễ đến khó, lời giải chi tiết. Đây là tài liệu dành cho học sinh lớp 6 ôn thi học sinh giỏi, giáo viên làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 năm học 20202021.
CHUYÊN ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A/ CHỨNG MINH MỘT SỐ KHƠNG PHẢI LÀ SỚ CHÍNH PHƯƠNG Số phương là số bình phương số tự nhiên (chẳng hạn: ; ; ; ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …) I/ PHƯƠNG PHÁP 1: Nhìn chữ số tận KIẾN THỨC CẦN NHỚ Vì số phương bình phương số tự nhiên nên thấy số phương phải có chữ số tận chữ số ; ; ; ; ; Chú ý: Nhiều số cho có chữ số tận là số ; ; ; ; ; khơng phải là số phương Khi bạn phải lưu ý thêm chút nữa: Nếu số phương chia hết cho số nguyên tố p phải chia hết cho p2 Tính chất 5: Số tự nhiên A khơng phải là số phương nếu: + A có chữ số tận là 2, 3, 7, ; + A có chữ số tận là mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn ; + A có chữ số hàng đơn vị khác mà chữ số hàng chục là lẻ ; + A có chữ số hàng đơn vị là mà chữ số hàng chục khác ; + A có hai chữ số tận là lẻ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Chứng minh số: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 là số phương HD: Vì chữ số tận số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 là ; ; ; Do số n có chữ số tận là nên n khơng phải là số phương Bài 2: Chứng minh số 1234567890 là số phương HD: Thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận là 0) khơng chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận là 90) Do số 1234567890 khơng phải là số phương Chú ý: Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận là 0), khơng chia hết cho (vì hai chữ số tận là 90) nên 1234567890 khơng là số phương Bài 3: Chứng minh số có tổng chữ số là 2004 số khơng phải là số phương HD: Ta thấy tổng chữ số số 2004 là nên 2004 chia hết cho mà không chia hết nên số có tổng chữ số là 2004 chia hết cho mà khơng chia hết cho 9, số này khơng phải là số phương Bài 4: Chứng minh tổng sau là số phương: 16 a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn) b) N = 20042004k + 2003 Gợi ý: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT “một số phương tận chữ số ; ; ; ; ; 9”, ta giải tốn sau: Bài 5: Cho p là số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: p8n +3.p4n - chia hết cho Gợi ý: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT “một số nguyên tố lớn tận chữ số ; ; ; 9”, ta tiếp tục giải toán: Bài 6: Cho n Є N và n - không chia hết cho Chứng minh 7n + khơng thể là số phương HD: Do n - không chia hết n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}) Ta có 74 - = 2400 M100 Ta viết 7n + = 74k + r + = 7r(74k - 1) + 7r + Vậy hai chữ số tận 7n + là hai chữ số tận r + (r = 0, 2, 3) nên là 03, 51, 45 Theo tính chất rõ ràng 7n + khơng thể là số phương n khơng chia hết cho Bài 7: Chứng minh số: 1234567890 là số phương HD: - Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0), khơng chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90) - Do số 1234567890 khơng phải là số phương Chú ý: Có thể luận rằng: Số 1234567890 chia hết cho khơng chia hết cho (vì hai chữ số tận là 90).Nên 1234567890 khơng phải là số phương Bài 8: Chứng minh xnếu số có tổng chữ số là 2004 số khơng phải là số phương HD: Ta thấy tổng chữ số 2004 là nên 2004 chia hết cho mà lại khơng chia hết cho Nên số có tổng chữ số là 2004 chia hết cho mà không chia hết cho Do số này khơng phải là số phương Bài 9: Tổng sau có là số phương hay khơng A = + 32 + 33 + …+ 320 HD: Ta biết số phương chia hết cho chia hết cho A chia hết cho 3, chia dư , A khơng là số phương Bài 10: Chứng minh tổng sau khơng là số phương: B = 11 + 112 + 113 HD: B tận nên khơng là số phương Bài 11: Chứng minh 1010 + khơng là số phương 16 HD: 1010 + chia hết cho không chia hết cho 25 nên khơng là số phương Bài 12: Chứng minh 10100 + 1050 +1 khơng là số phương HD: 10100 + 1050 + chia hết cho không chia hết không là số phương Bài 13: Chứng minh số sau khơng là số phương a) abab b) abcabc c) ababab HD: Giả sử số là số phương Ta có a) n = abab = ab.102 + ab = 101ab ⇒ ab M 101 (vơ lí ) b) n = abcabc = abc.103 + abc = 1001abc = 3.11.13.abc Vì 3, 11, 13 là số ngun tố nên abcM 1001 (vơ lí ) c) n = ababab = ab.10 + ab.102 + ab = 10101ab = ab3.7.13.37 Vì 3, 7, 13, 37 là số ngun tố nên abM 10101 (vơ lí) Vậy số khơng phải là số phương Bài 14: Cho A = + + 22 + 23 + + 233 Hỏi A có là số phương khơng? Vì sao? HD: 30 31 32 33 Ta có A = + + ( + + + ) + + ( + + + ) = + 22 ( + + 22 + 23 ) + + 230 ( + + 2 + 23 ) = + 2.30 + + 29.30 = + ( + + 29 ) 3.10 Ta thấy A có chữ số tận Mà số phương khơng có chữ số tận là Do đó, A khơng là số phương Vậy A khơng là số phương Bài 15: Cho A = 102012 + 102011 + 102010 + 10 2009 + Chứng minh A khơng phải là số phương HD: Ta có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có chữ số tận là Nên A = 102012 + 102011 + 102010 + 10 2009 + có chữ số tận là Vậy A khơng phải là số chỉnh phương số phương là số có chữ số tận là ; 4; ; ; 16 Bài 16: Chứng minh tổng sau: P = + + 32 + 33 + + 361 + 362 khơng là số phương HD: P = (1 + + 32 + 33) + (34 + 35 + 36 + 37) + + (356 + 357 + 358 + 359) + 360 + 361 + 362 = (40 + 34 40 + + 356 40) + 360 + 361 + 362 - Các số hạng ngoặc có tận là - Số 360 = (32)30 = 930 => chữ số tận là - Số 361 = 3.360 => có chữ số tận là - Số 362 = 9.360 => có chữ số tận là Vậy tổng P có chữ số tận là => P khơng là số phương Bài 17: Cho A= + + 22 + 23 + + 2010 + 2011 Hỏi số A + có phải là số phương khơng? HD: Tính A + = 22012 − + = 4.503 + = + = Vì SCP khơng có tận 3, nên A+8 khơng phải là SCP II/ PHƯƠNG PHÁP 2: Dùng tính chất số dư Một số phương chia cho có số dư Một số phương chia cho cho số dư Bài 18: Chứng minh số có tổng chữ số là 2006 khơng phải là số phương HD: * Phân tích: - Khi nói đến tổng chữ số nghĩ tới phép chia cho cho Nhưng bài toán này “khơng giống” bài tốn - Với bài toán này nghĩ tới chia cho khơng chia hết cho 9, phải dựa vào số dư phép chia cho “số phương chia cho có số dư 1” (tự chứng minh) Giải chi tiết: - Do tổng chữ số số là 2006 nên số chia cho dư Chứng tỏ số cho là số phương Bài 19: Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 là số phương Bài 20: Chứng minh số: n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không là số phương Bài 21: Chứng minh số: n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không là số phương Phân tích Nếu xét n chia cho số dư là => khơng “bắt chước” cách giải bài toán ; ; ; Nếu xét chữ số tận chữ số tận n là nên khơng làm “tương tự” bài tốn ; 16 => Do cần kiểm tra số dư phép chia n cho “Một số phương chia cho cho số dư 1” (các em tự chứng minh) HD: Vì số này chia cho dư nên số này khơng là số phương Bài 22: Giả sử N = 1.3.5.7 2007 2011 Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N và 2N + khơng có số nào là số phương HD: a) Ta có 2N - = 2.1.3.5.7 2011 - Có 2N M3 => 2N – ⋮ => 2N – = 3k => 2N - = 3k + (k ∈ N) => 2N – chia cho dư => 2N - không là số phương b) 2N = 2.1.3.5.7 2011 => 2N chẵn Ta có N lẻ (vì N là tích số tự nhiên lẻ) => N không chia hết cho => Mặc dù 2N M2 2N không chia hết cho => 2N không là số phương c) 2N + = 2.1.3.5.7 2011 + 2N + lẻ nên 2N + không chia hết cho 2N không chia hết 2N + không chia cho dư => 2N + không là số phương Bài 23: Chứng minh p là tích n (với n > 1) số nguyên tố p - và p + khơng thể là số phương HD: Vì p là tích n số ngun tố (trong có là số nguyên tố chẵn, lại tất là số nguyên tố lẻ) => pM2 và p chia hết cho (1) a) Giả sử p + là số phương Đặt p + = m2 ( m ∈ N) Vì p chẵn nên p + lẻ => m2 lẻ => m lẻ Đặt m = 2k + (k ∈ N) Ta có m2 = 4k2 + 4k + => p + = 4k2 + 4k + => p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) M4 mâu thuẫn với (1) => p + khơng phải là số phương b) p = 2.3.5 là số chia hết cho => p – ⋮ => p – = 3k => p - = 3k + => p – chia cho dư => p - khơng là số phương Vậy p là tích n (n >1) số nguyên tố p - và p + khơng là số phương Bài 24: Chứng minh tổng bình phương số lẻ khơng phải là số phương HD: 16 a và b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + (Với k, m ∈ N) => a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = (k2 + k + m2 + m) + => a2 + b2 chia cho dư => a2 + b2 khơng thể là số phương III/ PHƯƠNG PHÁP 3: “Kẹp” số hai số phương “liên tiếp” Nếu n số tự nhiên số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1)2 k khơng số phương Bài 25: Chứng minh số 4014025 khơng là số phương Phân tích Số này có hai chữ số tận là 25, chia cho dư 1, chia cho dư Nên cách làm trước không vận dụng => cần giải theo hướng khác (dùng phương pháp 3) HD: Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042 Chứng tỏ 4014025 khơng là số phương Bài 26: Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) khơng là số phương với số tự nhiên n khác Nhận xét Đây là biểu thức quen thuộc, nhận thấy A + là số phương (đây là bài tốn quen thuộc với lớp 8) Các em lớp 6, lớp chịu khó đọc lời giải HD: Ta có: A + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2 Mặt khác: (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A Điều này hiển nhiên n ≥ Chứng tỏ: (n2 + 3n)2 < A < A + = (n2 + 3n +1)2 => A không là số phương Bài 27: Chứng minh số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 n ∈ N và n >1 là số phương HD: n6 - n + 2n3 + 2n2 = n2 (n4 - n2 + 2n +2) = n2 [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)] = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) [(n3 + 1) - (n2 - 1)] = n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2) Với n ∈ N, n > n2 - 2n + = ( n -1)2 + > ( n - 1)2 Và n2 - 2n + = n2 - 2(n - 1) < n2 Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + < n2 => n2 - 2n + là số phương Bài 28: Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 khơng là số phương 16 Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho phép chia cho Bài 29: Chứng minh rằng: Tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp khơng thể là số phương Gợi ý: Nghĩ tới phép chia cho Bài 30: Chứng minh số 333333 + 555555 + 777777 khơng là số phương Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho … chục (?) B/ CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG I/ PHƯƠNG PHÁP 1: Dựa vào định nghĩa “số phương bình phương số tự nhiên”: Bài 31: Chứng minh: Với số tự nhiên n an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + là số phương HD: Ta có: an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Với n là số tự nhiên n2 + 3n + là số tự nhiên Theo định nghĩa, an là số phương Bài 32: Cho số phương có chữ số hàng chục khác cịn chữ số hàng đơn vị là Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương là số phương HD: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị là chữ số hàng chục là số lẻ Vì chữ số hàng chục số phương là 1,3,5,7,9 => Tổng chúng + + + + = 25 = 52 là số phương II/ PHƯƠNG PHÁP 2: Dựa vào tính chất đặc biệt “Nếu a, b hai số tự nhiên nguyên tố a.b số phương a b số phương” Bài 33: Chứng minh rằng: Nếu m, n là số tự nhiên thỏa mãn 3m + m = 4n2 + n m - n và 4m + 4n + là số phương HD: Ta có: 3m2 + m = 4n2 + n 4(m2 - n2) + (m - n) = m2 (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 là số phương (*) Gọi d là ước chung lớn m - n và 4m + 4n + (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + chia hết cho d Mặt khác, từ (*) ta có: m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d Từ 8m + chia hết cho d và m chia hết cho d ta có chia hết cho d => d = Vậy m - n và 4m + 4n + là số tự nhiên nguyên tố nhau, thỏa mãn (*) nên chúng là số phương 16 III/ PHƯƠNG PHÁP 3: VẬN DỤNG CÁCH BIỄU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN TRONG HỆ THẬP PHÂN N = an an −1 a1 a0 = 10n an + 10n −1 an −1 + + 10a1 + a0 Đặc biệt : a.a a = a 11 { = n so a a (99 9) = (10 n − 1) { n so 9 Công thức bổ trợ: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – B2 = (A – B).(A + B) A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 14 43 14 43 + Bài 34: Chứng minh số sau số phương N = 11111 1.10000 05 1995 so HD: Ta có : 101995 − N = 101995 + ) + ( 1995 10 − 1) ( 101995 + ) + ( = ( 10 ) = 1995 + 4.101995 + 101995 + = ÷ 101995 − = + 1÷ 3 = ( 101995 − 1) + 1 = 33333 42 14 9 1994 so Vậy số N là số phương * 14 43 , B = 11111 1 44 43 , c = 666 14 43 Bài 35: Cho m ∈ N , A = 11111 2m so m+1 so m so Chứng minh A + B + C + là số phương với ∀m ∈ N * HD: Ta có : 16 1994 so 102 m − 1) ( B = ( 10m +1 − 1) C = ( 10m − 1) A= Vậy A + B + C = 2m (9 10 − 1) + 19 ( 10m+1 − 1) + 96 ( 10m − 1) + = 2m 10 − + 10.10m − + 6.10 m − + 72 ) ( = ( 102m + 16.10m + 64 ) = m 10 + ) ( 1 = ( 10m + ) 9 Là số phương 123 123 Bài 36: Chứng minh A = 244999 91000 09 là số phương n − so n so HD: Ta có: A = 244999 91000 09 123 123 n − so = 244.10 2n = 244.10 2n n so n+2 + 999 9.10 + 10 n +1 + 123 n − so + ( 10 n −2 − 1) 10n +2 + 10n +1 + = 244.10 n − 90.10 n + = ( 5.10n − ) (5.10n – 3)2 là bình phương số tự nhiên Vậy A là số phương Bài 37: Chứng minh số tự nhiên n A = (10n + 10n-1 + …+ 10 + 1)(10n+1 + 5) + Là số phương khơng thể là lập phương số tự nhiên HD: Đặt B = 10n+1 ta có 16 10n +1 − B −1 A= 10n +1 + ) + = ( B + 5) + ( 10 − B2 + 4B + ( B + 2) ⇒A= = = ( 3.3.3 34 ) (1) Ta có A = ( 3.3.3 34 ) = 1666 7÷ n −1 so (2) Từ (1) ta thấy A là số phương từ (2) ta lại thấy A chia hết cho mà không chia hết A là lập phương số tự nhiên C/ TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC ĐÃ CHO LÀ SỚ CHÍNH PHƯƠNG Cơng thức nâng cao dùng để khai triển: A2 – B2 = (A – B).(A + B) A2 + 2A + = (A + 1)2 A2 - 2A + = (A - 1)2 A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 Bài 38: Tìm số tự nhiên n cho số sau là số phương a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) c) 13n + d) n2 + n + 1589 HD: a) Vì n2 + 2n + 12 là số phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k ∈ N) ⇒ (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 ⇔ k2 – (n + 1)2 = 11 ⇔ (k + n + 1)(k – n - 1) = 11 Nhận xét thấy k + n + > k - n - và chúng là số nguyên dương => Ta viết (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1 ⇔ k + n + = 11 k = => k − n − = n = b) đặt n(n + 3) = a2 (n ∈ N) ⇒ n2 + 3n = a2 ⇔ 4n2 + 12n = 4a2 ⇔ (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 ⇔ (2n + 3)2 – 4a2 = ⇔ (2n + + 2a)(2n + – 2a) = Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a và chúng là số nguyên dương 2n + 2a + = n = ⇔ => 2n − 2a + = a = Ta viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 c) Đặt 13n + = y2 (y ∈ N) ⇒ 13(n - 1) = y2 – 16 16 ⇔ 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4) ⇒ (y + 4)(y – 4) 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 13 y – 13 ⇒ y = 13k ± (với k ∈ N) ⇒ 13(n - 1) = (13k ± 4)2 – 16 = 13k.(13k ± 8) ⇒ 13k2 ± 8k + Vậy n = 13k2 ± 8k + (với k ∈ N) 13n + là số phương d) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m ∈ N) ⇒ (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 ⇔ (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n + > 2m – 2n – > và chúng là số lẻ => Ta viết (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n có giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28 Bài 39: Tìm a để số sau là số phương a) a2 + a + 43 b) a2 + 81 c) a2 + 31a + 1984 HD: a) 2; 42; 13 b) 0; 12; 40 c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728 Bài 40: Có hay khơng số tự nhiên n để 2010 + n2 là số phương HD: Giả sử 2010 + n2 là số phương 2010 + n2 = m2 (m ∈ N ) Từ suy m2 - n2 = 2010 ⇔ (m + n) (m – n) = 2010 Như số m và n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m ⇒ số m + n và m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) và (2) ⇒ m + n và m – n là số chẵn ⇒ (m + n) (m – n) 2006 không chia hết cho ⇒ Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 là số phương Bài 41: Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là số phương (Đề thi HSG lớp - Phòng giáo dục đào tạo Phúc Yên - Vĩnh Phúc) HD: Với n = 1! = = 12 là số phương Với n = 1! + 2! = khơng là số phương 16 Với n = 1! + 2! + 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 32 là số phương Với n ≥ ta có 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 5!; 6!; …; n! tận 1! + 2! + 3! + … n! có tận chữ số nên khơng phải là số phương Vậy có số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = Bài 42: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n + và 3n + là số phương HD: Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n + ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 2n + 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n + 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 là số phương Vậy n = 40 Bài 43: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n là số phương HD: Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a ∈ N) 2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48) 2p 2q = (a + 48) (a – 48) với p, q ∈ N ; p + q = n và p > q ⇒ a + 48 = 2p và a – 48 = 2q ⇒ 2p - 2q = 96 ⇔ 2q (2p-q – 1) = 25.3 ⇒ q = và p – q = ⇒ p = ⇒ n = + = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 Bài 44: Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) cho ab − ba là số phương HD: ab − ba = ( 10a + b ) − ( 10b + a ) = 9a − 9b = ( a − b ) = 32 ( a − b ) Do ab − ab là số phương nên a-b là số phương Ta thấy ≤ a − b ≤ nên a-b ∈ {1;4} Với a - b = ab ∈ { 21;32;43;54;65;76;87;98} loại số là hợp số 21;32;54;65;76;87;98 Còn 43 là số nguyên tố Với a - b = Thì ab ∈ { 51;62;73;84;95} loại hợp số 51; 62; 84; 95 Còn 73 là số nguyên tố Vậy ab = 43;73 D/ TÌM SỚ CHÍNH PHƯƠNG VÀ BÀI TOÁN TÌM SỚ LIÊN QUAN 16 Bài 45: Cho A là số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B Hãy tìm số A và B HD: Gọi A = abcd = k Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta có số B = (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = m với k, m ∈ N và 32 < k < m < 100 ; a, b, c, d = 1; ⇒ Ta có: A = abcd = k B = abcd + 1111 = m Đúng cộng khơng có nhớ ⇒ m2 – k2 = 1111 ⇔ (m - k)(m + k) = 1111 (*) Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > nên m – k và m + k là số nguyên dương Và m – k < m + k < 200 nên (*) viết (m – k) (m + k) = 11.101 Do đó: m – k = 11 và m + k = 101 ⇔ m = 56 và n = 45 ⇔ A = 2025 và B = 3136 Bài 46: Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống HD: Gọi số phương phải tìm là: aabb = n2 với a, b ∈ N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ Ta có: n2 = aabb = 11 a0b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1) Nhận xét thấy aabb 11 ⇒ a + b 11 Mà ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ nên ≤ a + b ≤ 18 ⇒ a + b = 11 Thay a + b = 11 vào (1) n2 = 112(9a + 1) 9a + là số phương Bằng phép thử với a = 1; 2;…; ta thấy có a = thoả mãn ⇒ b = Số cần tìm là: 7744 Bài 47: Tìm số có chữ số vừa là số phương vừa là lập phương HD: Gọi số phương là abcd Vì abcd vừa là số phương vừa là lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 với x, y ∈ N Vì y3 = x2 nên y là số phương Ta có : 1000 ≤ abcd ≤ 9999 ⇒ 10 ≤ y ≤ 21 và y phương ⇒ y = 16 ⇒ abcd = 4096 Bài 48: Tìm số phương gồm chữ số abcd = k2 cho chữ số cuối là số nguyên tố, số k có tổng chữ số là số phương HD: 16 Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và ≤ a ≤ 9; ≤ b, c, d ≤ abcd phương ⇒ d ∈ { 0,1, 4, 5, 6, 9} d nguyên tố ⇒ d = Có số phương abcd = k2 < 10000 ⇒ 32 ≤ k < 100 k là số có hai chữ số mà k2 có tận ⇒ k tận Tổng chữ số k là số phương ⇒ k = 45 ⇒ abcd = 2025 Vậy số phải tìm là: 2025 Bài 49: Tìm số phương có chử số cho viết chử số theo thứ tự ngược lại ta củng số phương và số phương này là bội số số phương cần tìm HD: Đặt số phải tìm là abcd = M 1000 < M2 < 10000 nên 31 < M < 50 Ta lại có dcba = N Tính tổng và hiệu hai số phương này ta abcd + dcba = 1001( a + d ) + 110 ( b + c ) M 11 abcd − dcba = 999 ( d − a ) + 90 ( c − b ) M Vì dcba là bội abcd => abcd vừa phải chia hết cho 11 vừa phải chia hết cho tức là bội số 33 Mà 31 < M < 50 nên M = 33 và ta có abcd = 332 = 1089, dcba = 9801 = 992 Bài 50: Tìm số phương abcd biết ab − cd = HD: ( ) Giả sử n = abcd = 100ab + cd = 100 cd + + cd = 101cd + 100 2 Suy : 101cd = n − 10 = ( n − 10 ) ( n + 10 ) Vì n < 100 và 101 là số nguyên tố nên n + 10 = 101 suy n = 91 Thử lại abcd = 912 = 8281 có 82 – 81 =1 Vậy số cần tìm là 8281 Bài 51: Tìm số phương có chữ số mà hai chử số đầu giống và hai chữ số cuối giống HD: Giả sử xxyy là số phương ta có: 11 xxyy = 1000 x + 100 x + 10 y + y = 1100 x + 11 y = 11( 100 x + y ) M 16 Do 121 ⇒ 100 x + y M 11 ⇒ x + y M 11 ( vi 99xM 11) xxyy là số phương nên xxyy M Do < x + y ≤ 11 nên x + y = 11; xxyy = 11( 100 x + y ) = 11( 99 x + 11) = 11 ( x + 1) Suy 9x + là số phương suy x = 7, y = Vậy số cần tìm là 7744 Bài 52: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phương số và viết số bở hai chữ số số theo thứ tự ngược lại là số phương HD: Gọi số tự nhiên có hai chữ sốphải tìm là ab (a, b ∈ N, ≤ a, b ≤ 9) Số viết theo thứ tự ngược lại ba Ta có ab - ba = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2) 11 ⇒ a2 – b2 11 Hay (a - b) (a + b) 11 Vì < a – b ≤ 8, ≤ a + b ≤ 18 nên a + b 11 ⇒ a + b = 11 Khi đó: ab - ba 2= 32 112 (a – b) Để ab - ba là số phương a – b phải là số phương a – b = a – b = Nếu a – b = kết hợp với a + b = 11 ⇒ a = 6, b = , ab = 65 Khi 652 – 562 = 1089 = 332 Nếu a – b = kết hợp với a + b = 11 ⇒ a = 7,5 loại Vậy số phải tìm là 65 Bài 53: Tìm số phương có chử số cho viết chử số theo thứ tự ngược lại ta củng số phương và số phương này là bội số số phương cần tìm HD: Đặt số phải tìm là abcd = M 1000 < M2 < 10000 nên 31 < M < 50 Ta lại có dcba = N Tính tổng và hiệu hai số phương này ta abcd + dcba = 1001( a + d ) + 110 ( b + c ) M 11 abcd − dcba = 999 ( d − a ) + 90 ( c − b ) M3 Vì dcba là bội abcd nên abcd vừa phải chia hết cho 11 vừa phải chia hết cho tức là bội số 33 Mà 31 < M < 50 nên M = 33 và ta có: abcd = 332 = 1089, dcba = 9801 = 992 Bài 54: Cho số phương có chữ số Nếu thêm vào chữ số ta số phương Tìm số phương ban đầu Đáp số: 1156 Bài 55: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số 16 HD: Gọi số phải tìm là ab với a, b ∈ N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ Theo giả thiết ta có: ab = (a + b)3 ⇒ ab là lập phương và a + b là số phương Đặt ab = t3 (t ∈ N), a + b = 12 (1 ∈ N) Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ⇒ ab = 27 ab = 64 Nếu ab = 27 ⇒ a + b = là số phương Nếu ab = 64 ⇒ a + b = 10 khơng là số phương ⇒ loại Vậy số cần tìm là ab = 27 16 ... là số phương III/ PHƯƠNG PHÁP 3: “Kẹp” số hai số phương “liên tiếp” Nếu n số tự nhiên số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1)2 k khơng số phương Bài 25: Chứng minh số 4014025 khơng là số phương. .. là số phương HD: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị là chữ số hàng chục là số lẻ Vì chữ số hàng chục số phương là 1,3,5,7,9 => Tổng chúng + + + + = 25 = 52 là số phương II/ PHƯƠNG... là số phương suy x = 7, y = Vậy số cần tìm là 7744 Bài 52: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phương số và viết số bở hai chữ số số theo thứ tự ngược lại là số phương HD: Gọi số