Chuyên đề: Biến đổi đại số - Chuyên đề Toán 9 - Tài liệu học tập

Vậy bài toán được chứng minh.. Bất đẳng thức được chứng minh.[r]

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 1

Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ

Chương 1: Căn thức

1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ:

 Căn bậc hai số thực a số thực x cho x a

 Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu a số thực khơng âm x mà bình phương a:

2

0

a x

x a

a x

 

 





 

 

 



 Với hai số thực khơng âm a b, ta có: a  b ab

 Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý:

+ A

A A

A



  

 

0 A A

 

+ A B2  A B  A B với A B, 0; A B2  A B  A B với

0;

A B

+ A A B.2 A B

B  B  B với AB0,B0 + M M A

A

A  với A0;(Đây gọi phép khử thức mẫu)

+





M A B

M

A B

A B  



với A B, 0,AB (Đây gọi phép trục thức mẫu)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Kiến thức cần nhớ:

 Căn bậc số a kí hiệu

a số x cho x3 a

 Cho

 

3

3

;

aR a xx  a a

 Mỗi số thực a có bậc

 Nếu a0 a

 Nếu a0 a

 Nếu a0 a



3

3

a a

b  b với b0

 3

ab a b với a b,

 3

ab a b

 3

A B  A B



3

3 A AB

B  B với B0



3

3

A A

B  B



3 3

3

1 A AB B

A B

A B

 

 



với A B

1.2.2 CĂN THỨC BẬC n

Cho số aR n, N n; 2 Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a

 Trường hợp nlà số lẻ: n2k1,kN

Mọi số thực a có bậc lẻ nhất:

2k1a x x k a , a0 2k1a 0, a0

0

k

a



 , a0

k

a





hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 3 Mọi số thực a0 có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2ka (gọi bậc 2k số học a) Căn bậc

chẵn âm kí hiệu 2ka, 2ka xx0 2k

x a;

0

k

a x x

    x2k a

Mọi số thực a0 khơng có bậc chẵn Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Phân tích biểu thức sau thành tích:

a) Px44 b) P8x33

c) Px4x21 Lời giải:

a) P



x22



x22







x 2



x 2





x22



b) P

 

2x 3

  

3  2x 3



4x22 3x3



c)





2







1 1

P x  x  x  x x  x Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

a)

4

A x x x x0

b) B 4x2 4x 1 4x2 4x1 x c) C 9 5 10 3  

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

a)

2

1 1

4 2

A x x x  x  x   x x

 

+ Nếu 1

2

x x 1

2 2

x  x A

+ Nếu 1

2

x   x 1

2 2

x   x  A x

b)

4 4 4 1 4 1

B x x  x x  x  x   x  x 

HayB



4x 1 1



2 



4x 1 1



2  4x  1 4x 1 4x 1 4x 1

     

+ Nếu 1 1

2

x    x  x 4x  1 4x 1 suy B2 4x1

+ Nếu 1 1 1

4

x    x   x 4x   1 4x 1 suy B2

c) Để ý rằng:





2

7 3  2  3  2 Suy

9 5 10(2 3) 5 28 10

C        





2

9 5

    Hay

9 5(5 3) 25

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 5 Ví dụ 3) Chứng minh:

a) A 6  72 số nguyên

b) 31 84 31 84

9

B    số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006)

c) Chứng minh rằng: 8

3 3

a a a a

x a    a   với

1

a số tự nhiên

d) Tính xy biết







2015 2015 2015

x x  y y  

Lời giải:

a) Dễ thấy A0, Tacó





2

2

7 7 7

A           

14 2.5

  

Suy A 2

b) Áp dụng đẳng thức:





3 3





uv u v  uv uv Ta có:

3 3 84 3 84 84 84 3 84 3 84

1 1

9 9 9

B

   

   

          

   

   

31 84 31 84

9

 

    

 

 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

3 3 3

3 84 84 84

2 1 2

9 81

B           BB    BB  BB B 

   









1

B B B

     mà

2

2

2

2

B B B   

  suy B1 Vậy B số nguyên

c) Áp dụng đẳng thức:



uv



3 u3v33uv u



v



Ta có

















3

2 2 2

x  a  a xx  a x a  x x  x a  Xét đa thức bậc hai

2

x  x a với   1 8a0 + Khi

8

a ta có 3 1

8

x  

+ Khi 1,

a ta có   1 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x1 Vậy với

8

a ta có: 8 1

3 3

a a a a

x a    a   

số tự nhiên d) Nhận xét:







2

2015 2015 2015 2015

x  x x  x x  x 

Kết hợp với giả thiết ta suy 2

2015 2015

x  x y  y

2 2

2015 2015 2015 2015

y y x x x x y y x y

              

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 7 a) Cho x 4 102  4 102 Tính giá trị biểu thức:

4

2

4 12

2 12

x x x x

P

x x

   



 

b) Cho x 1 32 Tính giá trị biểu thức

4

2 1942

Bx  x x  x  (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016)

c) Cho x 1 323 Tính giá trị biểu thức:

5

4 2015

Px  x x x  x Giải:

a) Ta có:

2

4 10 10 10 10

x             

 





2









2

2

8 8 5

x

             

5 x

   Từ ta suy



x1



2 5 x22x4

Ta biến đổi:









2

2 2

2

2 2 12 4 3.4 12

1

2 12 12

x x x x

P

x x

     

  

  

b) Ta có





3

1 2 3

x   x  x  x  x  Ta biến đổi biểu thức P thành:



 



2 3

( 3 3) 3 3 3 1945 1945

Px x  x  x x x  x  x  x  x  x  

c) Để ý rằng: 3

2

x   ta nhân thêm vế với 2 1 để tận dụng đẳng thức: 3







2



hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/



3

 

3





3



2 1 x 1  1



3



3





3

2 x 2x x 2x x x 3x 3x

             

Ta biến đổi:







5 2

4 2015 3 2016 2016

Px  x x x  x  x  x x  x  x   Ví dụ 5) Cho x y z, , 0 xyyzzx1

a) Tính giá trị biểu thức:



2



2





2



2





2



2



2 2

1 1 1

1 1

y z z x x y

P x y z

x y z

     

  

  

b) Chứng minh rằng:









2 2 2 2 2

2

1 1 1 1 1

x y z xy

x  y  z  x y z

     

Lời giải:

a) Để ý rằng: 2

1x x xyyzzx(xy x)( z) Tương tự 1 y2;1z2 ta có:



























2

2

1

1

y z y x y z z x z y

x x x y z

x x y x z

     

  

  

Suy Px y



z



y z



x



z x



y



2



xyyzzx



2 b) Tương tự câu a)

Ta có:





 



 





2 2

1 1

x y z x y z

x  y  z  x y x z  x y y z  z y z x

        































2



2



2



2

1 1

x y z y z x z x y xy xy

x y y z z x x y y z z x x y z

    

  

        

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 9 a) Tìm x x1, 2, ,xn thỏa mãn:





2 2 2 2 2

1 2

1

1 2

2

n n

x   x   n x n  x x  x

b) Cho

2

4

( )

2

n n

f n

n n

 



   với n nguyên dương Tính

(1) (2) (40)

f  f   f

Lời giải:

a) Đẳng thức tương đương với:



2

 

2 2



2



2



2

1 1 2 n

x    x     x n n 

Hay x12,x2 2.2 , ,2 xn 2.n2

b) Đặt

2

2

2

4

2 1,

2

x y n

x n y n xy n

x y

  

 

      



 

 

Suy

















2 3

3

3

2

1

( ) 2

2

x xy y x y

f n x y n n

x y x y

  

       

 

Áp dụng vào tốn ta có:

 

 

 



3

 

3





3



1 40 81 79

2

f  f   f         

 

 



3



1

81 364

2

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 10

Ví dụ 7)

a) Chứng minh rằng: 1

1  3   79 80  Đề thi

chuyên ĐHSP 2011

b) Chứng minh rằng: 1 1

1 2 3 n n n

 

       

   

c) Chứng minh: 2 1 1

1

n n

n

         với

mọi số nguyên dương n2 Lời giải:

a) Xét 1

1 79 80

A   

   ,

1 1

2 80 81

B   

  

Dễ thấy AB

Ta có 1 1

1 2 3 79 80 80 81

A B      

    

Mặt khác ta có:











1

1

1 1

k k

k k

k k k k k k

 

   

     

Suy A B 



2 1

 

 3 2



 



81 80



 81 8  Do AB suy 2AA B  8 A4

b) Để ý rằng:





1 1

1 ( 1)

k k k k k k k k

  

    

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 11 Suy

1 1 1

2 2

2 1

VT

n n n

     

 

             

 

       

c) Đặt 1 1

1

P

n

     

Ta có: 2

1

n n  n  n  n n với số tự nhiên n2

Từ suy





2





2

1

n n n n

n n n n n

       

    hay









2 n n n n

n

     

Do đó: 2



2 1

 

 3 2



 



n 1 n



T

 



 







1 2

T        n n 

 

Hay n 2 T 2 n1 Ví dụ 8)

a) Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn

2 2

1 1

2

a b b c c a  Chứng minh rằng:

2 2

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 12

a) Tìm số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện:

2 2

1 3

x y y z z x  (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)

Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có

2 2 2

2 2 1

1 1

2 2

a b b c c a

a b b c c a           Đẳng thức xảy

2 2 2

2 2 2

2

2

1 1

3

1

2

1

a b a b

b c b c a b c

c a

c a

     

 



        

 

 

 

  

 

(đpcm)

b) Ta viết lại giả thiết thành: 2

2x 1y 2y 2z 2z 3x 6 Áp dụng bất đẳng thức : 2aba2b2 ta có:

2 2 2 2 2

2x 1y 2y 2z 2z 3x x  1 y y  2 z z  3 x 6 Suy VT VP Dấu xảy

khi:

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

, , 3; , ,

1

1

2 1; 0;

2

3

3

x y z x y z x y z

x y

x y x y

y z x y z

y z y z

z x

z x z x

     



   



  

 

  

       

  

   

  

 

    

    

Ví dụ 9) Cho





2

4 4

8 16

x x x x x

A

x x

    



 

với x4 a) Rút gọn A.Tìm x để A đạt giá trị nhỏ

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 13 Lời giải:

a) Điều kiện để biểu thức A xác định x4

















2

2

4 4 2 4 2

4

x x x x x x

A

x x

 

    

      

 

  

 



4 2



4

x x x

x

    



+ Nếu 4x8 x  4 nên



2 4



4 16

4

4 4

x x x x

A

x x x

    

   

  

Do 4x8 nên 0   x 4 A8 + Nếu x8 x  4 nên



4 2



2 4 2 8

2 16

4 4

x x x x x x

A x

x x x x

     

       

   

(Theo bất đẳng thức Cô si) Dấu xảy

2 4

4

x x x

x

      



Vậy GTNN A x8 b) Xét 4x8 16

4 A

x  

 , ta thấy AZ 16

4

4 Z x

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 14









4 1; 2; 4;8;16 5; 6;8;12; 20

x  x đối chiếu điều kiện suy x5 x6

+ Xét x8 ta có: x A

x



 , đặt

2 4

2 x m

x m

m

  

   

 

ta có:





2 8

2 m

A m

m m



   suy m



2; 4;8



 x



8; 20; 68



Tóm lại để A nhận giá trị nguyên x



5; 6;8; 20; 68



MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014)

Với x0, cho hai biểu thức A x x



 B x x

x x x

 

 



1) Tính giá trị biểu thức A x64 2) Rút gọn biểu thức B

3) Tính x để A B 

Câu (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội)

1) Cho biểu thức x A

x

 

 Tính giá trị biểu thức A

2) Rút gọn biểu thức : 16

4

x x

B

x x x

  

  

    

 

(với

0, 16

x x )

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 15 Câu (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội)

Cho 10

25

5

x x

A

x

x x

  



  , với x0,x25

1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x9 3) Tìm x để

3 A

Câu (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội)

Cho

9

3

x x x

P

x

x x



  



  , với x0,x9

1) Rút gọn P

2) Tìm giá trị x để P 3) Tìm giá trị lớn P

Câu (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh)

Thu gọn biểu thức sau:

5 5

5 5

A   

  

1

:

3 3

x B

x x x x x x

   

      

  

   

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 16

Thu gọn biểu thức sau:

3

3

x x

A

x

x x

  

  



 

 

với x0,x9



 

2



2

21 3 3 15 15

B        

Câu (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng)

Rút gọn biểu thức 2

2

2

x x

P

x x x



 



 , với x0,x2

Câu (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định)

Cho 1

1 2 3 120 121

A    

   

1

1

2 35

B   

Chứng minh BA

Câu (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận)

Cho biểu thức

3

2 2 2,

x y x y

P x y

x xy y x y

 

 

  

1) Rút gọn biểu thức P

2) Tính giá trị P x 3 y 3 Câu 10 (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 17 Chứng minh rằng:









3

3

3

0 a b

b b a a

a b a ab

b a a a b b



 

 

 





Câu 11 (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ)

6 19

; 0,

9 12

x x x x x x

A x x

x x x x x

    

    

   

Câu 12 (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh)

Cho biểu thức 1

4

2

x A

x

x x

  



 



x0,x4



Rút gọn A tìm x để A

Câu 13 (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi)

1) Cho biểu thức 3

3

x x x P

x x x x x



  

     Tìm tất

các giá trị x để P2

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho

 

P :y x2 đường thẳng

 

d :ymx1 (m tham số) chứng minh với giá trị m, đường thẳng

 

d cắt

 

P hai điểm phân biệt có hồnh độ x x1, 2 thỏa mãn x1x2 2

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 18

Cho biểu thức 2

16 4

a C

a a a

  

  

1) Tìm điều kiện a để biểu thức C có nghĩa rút gọn C 2) Tính giá trị biểu thức C a 9

Câu 15 (Đề thi năm 2014 – 2015 chun Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)

Cho biểu thức :

2 2 10

x x

A

x x x x x x

   

   

      

 



x0,x4



1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Câu 16 (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội)

1) Tính giá trị biểu thức 1 x A

x

 

 , x9

2) Cho biểu thức

2

x x

P

x x x x

 

 

  

  

 

với x0 x1 a) Chứng minh P x

x





b) Tìm giá trị x để 2P2 x5

Câu 17) Cho a 3 3  3 3 Chứng minh

2

a  a 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 19 Tính giá trị biểu thức:

2

2

4

2 12

a a a a

T

a a

   



 

Câu 19) Giả thiết x y z, , 0 xyyzzxa Chứng minh rằng:



2



2





 

2



2



2



2



2 2

a y a z a z a x a x a y

x y z a

a x a y a z

     

  

  

Câu 20 Cho

2 61 46

a    

a) Chứng minh rằng:

14

a  a  

b) Giả sử f x

 

x52x414x328x29x19 Tính f a

 

Câu 21 Cho 3

38 17 38 17

a   

Giả sử có đa thức f x

 





x33x1940



2016 Hãy tính f a

 

Câu 22 Cho biểu thức

 



1



n n n

f n

n n

  



 

Tính tổng S f

 

1  f

 

2  f

 

3   f



2016



Câu 23) Chứng minh với số nguyên dương n, ta có:

2 2

1 1

1

1 n

     

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 20

3 3

1 1 65

1 2 3  n 54 Câu 25) Chứng minh rằng:

43 1 44

442 1 2 3 22 3 2002 2001 2001 2002 45 (Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002) Câu 26) Chứng minh với số nguyên dương n, ta có:





1 1

2 1 3 32   n1 n 1 n n   n1 Câu 27) Chứng minh với số nguyên dương n2, ta có:

1 10 3 1

3 12 3 3

n n

n n n

 



 

LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ

1) Lời giải:

1) Với x64 ta có 64

8

64

A    



 

 







1 2 1 2

1

1

x x x x x x x x x

B

x x x x x

x x x

     

    

  



Với x0, ta có: :2 3

2 2

A x x x

B x x x

  

    



2 x x x x

        (do x0)

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 21 1) Với x36, ta có 36 10

8

36

A   



2) Với x0,x16 ta có:























4 4 2 16 2

16 16 16 16 16 16

x x x x x x x

B

x x x x x x

     

 

 

   

       

 

3) Biểu thức



1



2

16 16

x x x

B A

x x x

 

   

   

    



1



B A nguyên, x nguyên x16 ước 2, mà

  

2 1; 2



U    Ta có bảng giá trị tương ứng:

Kết hợp điều kiện, để B A



1



nguyên x



14;15;16;17



3) Lời giải:















10 5

10

25

5 5

x x x x

x x

A

x

x x x x

   

   



   













5 10 25 10 25

5 5

x x x x x x

x x x x

     

 

   











2

5 5

5

5

x x

A x

x x

 

  



 

Với x9 ta có: x 3 Vậy

3

3

A     



hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 22

1)















3 3 3

3

3

x x x x x

P

x

x x

    

 



 

2) 3 36

3 3

P x x

x

       

 (thỏa mãn ĐKXĐ)

3) Với 0, 3 max

0 3

x P P

x

     



 x0 (TM)

5 Lời giải:

5 5

5 5

A   

  

































5 5 5 5

5 5 5

   

  

     

5 15 5 15

3 5 5

4 4

    

      

3 5 5

    





1

:

3 3

x

B x

x x x x x x

   

       

  

   





1

:

3 3

x x

x x x x x

 

  

 

   

      

   















2

1

:

3

x x

x x

x

x x x x x

    

  

   

 

  

 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 23 Với x0 x9 ta có:







3

9

3

x x x x

A

x x

x x

 

   

 

  

    

 



 

2



2

21

4 6 15 15

2

B         





2





2

21

3 3 15 15

2

        





2

15

3 15 15 60

2

   

7) Lời giải: Với điều kiện cho thì:















2

2

1

2

2 2

x

x x

P

x x

x x x x



    

 

  

8 Lời giải:

Ta có: 1

1 2 3 120 121

A    

   





 











1 2 120 121

1 2 3 120 121 120 121

  

   

     

1 2 120 121

1 1

  

   

  

2 121 120 121 10

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 24

Với *

k , ta có: 2 2





1 k k

k  k  k  k  k   

Do 1

2 35

B   





2 36 35

B

         









2 36 10

B

        (2) Từ (1) (2) suy BA 9 Lời giải:

1)







3

2

x y x y x y

P

x xy y x y x y x y

  

 

    

2) Với x 3 2 y 3  1

Thay vào P ta được:



 



2 3 1 3

3 3

2 3

P       



  

10.Lời giải:

Ta có:









3

3

3

a b

b b a a

a b a ab

Q

b a a a b b



 

 

 

 



 























3

3

3

0

a b a b

b b a a

a b a a b

a b a ab b a b a b

 

 

  

  

    











3 3

a a a b b a b b a a a

a b a ab b a b

   

 

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 25







3 3 3

0

a a a b b a a a a b b a

a b a ab b

    

 

  

(ĐPCM)

11 Lời giải:

6 19

9 12

x x x x x x

A

x x x x x

    

  

   







2 19

3 4

x x x x

x x x x

   

  

   







2 19 15

3

x x x x x x

x x           













1 1

3

3

x x x

x x x        

12 Lời giải:





2

1 2

4 4

2 2

x

x x

A

x x x x

x x x



      

   

   Với

1

3

A

x

  

  x 4x16 (nhận) Vậy

1

A x16 13 Lời giải:

1) ĐKXĐ: x3

3

3

x x x P

x x x x x



   

    







1



3 3 3 3

3

x x

x x x

x x x

           3 x

x x x



    



hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 26



x 1



2 x x x

             Vậy x3

4 x

2) Phương trình hồnh độ giao điểm

 

P

 

d là:

1

x mx 

có

4

m

    với m, nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 Theo hệ thức Viet ta có: x1x2  m x x1 2  1





2





2 2

1 2 2

x x m x x x x m

       





2





2

 

1 2

x x x x m x x m

        





2

1 4

x x m

     với m x1x2 2 với m (ĐPCM) 14 Lời giải:

1) Biểu thức C có nghĩa khi:

0 0

16 16

0, 16

4 16

0 a a a a a a a a a a                             Rút gọn 2

16 4

a C

a a a

     







2 4 4 a a a a a       



 









2 4

4

a a a

a a

   



 













2 8

4 4

a a a a a

a a a a

          











4 4

a a a

a a a      

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 27 Ta có:





2

9 4 5

aa      





2

2 5

a

    

Vậy





5

9

5

4 a C a           

15 Lời giải:

1) Với x0,x4 biểu thức có nghĩa ta có:

2 3

:

2 2 10

x A

x x x x x x

                



 

 













2 2 3

:

2

x x x x

x x x x

         











2

2

2

x x x x x x x x        

Vậy với x0,x4 x A x  

2) Ta có x0, x 0,x4 nên 0, 0,

2

x

A x x

x

   







5 5

, 0,

2

2 2

x

A x x

x x         A

   , kết hợp với A nhận giá trị số nguyên A

 

1,

1

1

3

A  x  x  x  x thỏa mãn điều kiện

2 2

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 28

Vậy với

x A nhận giá trị nguyên 16 Lời giải:

1) Với x9 ta có 3 A  



2) a)







 







1

2 1

1

2

x x

x x x x x

P

x x x

x x x x

     

    

   

  

       

   

b) Theo câu a) P x x

 

2

2P x x x

x



     

2 x 2 2x5 x 2x3 x 2 x0



2



1

2

x  x  x x

        

 

17 Giải:





2

3 3

a            





2









2

6 3

          Do a0 nên

3

a  Do



a1



2 3 hay

2

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 29









2

2

8 16 10 8

a          





8

     Vì a0 nên a 1 Do



a1



2 5 hay

2

a  a Biểu diễn









2

2 2

2

2 4 3.4 4 1

2 12 12

a a a a

T

a a

     

  

  

19 Giải:

Ta có: ax2 x2xyyzzx



xy



xz



.Tương tự ta có:













2

;

ay  yx yz az  zx zy Từ ta có:



























2

2

a y a z x y y z z x z y

x x x x y

a x x y x z

     

  

   Tương

tự:





















2 2

2 ;

a z a x a x a y

y y z x z z x y

a y a z

   

   

  Vậy













2





VT x yz y zx z xy  xyyzzx  a 20 Giải:

a) Vì





3

3 3

61 46 5  5  1 Từ a 2 5   1 2





2

2

2 10 14

a a a a

         

b) Do

 









14

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 30

21 Giải:

Vì a338 17 5 38 17 5 3.3 38 17 38 17 53  

  



2012

3 2016

76 3 76 76 1940 2016

a a a a f a

         

22 Nhân tử mẫu f n

 

với n 1 n, ta được:

  

1



f n  n n n n Cho n từ đến 2016, ta được:

 

1 2 1;

 

2 3 2; ;



2016



2017 2017 2016 2016

f   f   f  

Từ suy ra: S f

 

1  f

 

2  f

 

3   f



2016



2017 2017 1 23 Giải:

Vì n số nguyên dương nên:

2 2 2

1 1 1

1

1 n

       (1) Mặt khác, với k1 ta có:

2 2

1 4 1

2

4 2

k k k k k

 

     

    

Cho k 2,3, 4, ,n ta có:

2 2

1 4 2 2

2 4.2 4.2 12.2 1 2.2 1 35

2 2

1 4 2 2

3 4.3 4.3 1 2.3 1 2.3 1 37

2 2

1 4 2 2

4 4.4 4.4 12.4 1 2.4 1 79 …………

2 2

1 4 2 2

4 2 2

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 31 Cộng vế với vế ta được:

2 2

1 1 2

1

1 2 3  n  32n1 33 (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh

24 Giải:

Đặt

3 3

1 1

1

P

n

     Thực làm trội phân số vế trái cách làm giảm mẫu, ta có:





 







3

2 2 1

,

1 1 k

k  k k  k k  k k k k  

Cho k4,5, ,n









3 3

1 1 1 1 1

2

1 3.4 4.5 4.5 5.6 1

P

n n n n

 

     

             

 

       





251 1 251 65

108 3.4 n n 108 3.4 27

     

 Do

65 64

P (đpcm) 25 Giải:

Đặt





1 1

2 1 2 1

n

S

n n n n

   

    

Để ý :

























2 2

1 1

1 1

,

1

1 1 1

k k k k k k k k

k k k

k k k k k k k k k k

     

     



hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 32

Cho k1, 2, ,n cộng vế với vế ta có:

1 1 1 1

1 2 1

n

S

n n n

        

 

Do 2001 1 2002

S  

Như ta phải chứng minh:

43 44 1

1

44  2002  45 45 2002 44 44 2002 45 1936 2002 2025

     

Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh 26 Giải:

Để giải toán ta cần có bổ đề sau:

Bổ đề: với số thực dương x y, ta có: x yy xx xy y Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

0 x yy xx xy y  x xy yx yy x



 











x x y y y x x y x y

        



x y



x y



2

   

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 33



n1



n 1 n nn n 1



n1



n









1

1 1

n n n n n n n n

 

     

Vì thế:





1 1

2 1 3 32 2  n1 n 1 n n 





1 1

1

2 1 2 n 1 n nn

   



    Mà theo kết câu 25

thì:





1 1

2 1 2 3 22 3  n1 nn n1   n1 Vậy toán chứng minh

Câu 27)

Giải:

Để ý phân số có tử mẫu đơn vị, nên ta nghĩ đến đẳng thức



2



1

2

2

n n

n n n n

n n



      

 Kí hiệu

1 10 3

3 12 3

n n

P

n n

 



 Ta có:

2 10 3 1 10 3

3 12 3 3 12 3

n n n n

P

n n n n

   

   

    

 

   

1 3 10 3

3 10 3 12 3

n n n n

n n n n

  

   

    

  

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 34

1 3 3

3 10 3 3

n n n n

n n n n

  



  









1

3 3n n

 

 

Từ suy

3

P n

