Là phương pháp khá hữu hiệu đối với các bài toán đại số, trong giải phương trình bậc cao cũng vậy, người ta thường đặt ẩn phụ để chuyển phương trình bậc cao về phương trình bậc thấp hơn[r]
(1)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Chủ đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
Để giải phương trình bậc lớn Ta thường biến đổi phương trình dạng đặc biệt là:
1 Phương pháp đưa dạng tích: Tức biến đổi phương trình:
0
0
0 f x
F x f x g x
g x
Đưa phương trình tích ta thường dùng cách sau:
Cách 1: Sử dụng đẳng thức đưa dạng:a2b2 0,a3b3 0,
Cách 2: Nhẩm nghiệm chia đa thức: Nếu xa nghiệm phương trình f x 0 ta ln có phân tích: f x x a g x Để dự đoán nghiệm ta dựa vào ý sau: Chú ý:
Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định Ta thường áp dụng cho phương trình bậc bốn Đặc biệt phương trình bậc 4: Ta sử dụng cách xử lý sau:
Phương trình dạng: x4 ax2bxc
Phương pháp: Ta thêm bớt vào vế lượng: 2mx2m2 phương trình trở thành:
2 2
(x m) (2m a x ) bx c m
Ta mong muốn vế phải có dạng:
(AxB)
2
2
4(2 )( ) m a
m
b m a c m
Phương trình dạng: x4ax3 bx2cxd
Ta tạo vế phải biểu thức bình phương dạng:
2
2
a
x x m
Bằng cách khai triển biểu thức:
2 2
2 2
2
2
a a
x x m x ax m x amx m
Ta thấy cần thêm vào hai vế lượng:
2
2
2 a
m x amx m
(2)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
2 2
2 ( )
2
a a
x x m m b x am c x m d
Bây ta cần:
2
2
2
2
4
?
( )
4
VP
a
m b
m a
am c m b m d
Ta phân tích để làm rõ cách giải tốn thơng qua ví dụ sau: Ví dụ 1)
Giải phương trình: a)
10 20
x x x b) x422x28x770
c)
6
x x x x d) x42x35x26x 3 Lời giải:
a) x410x2 x 200 x4 10x2 x 20
Ta thêm vào vế phương trình lượng: 2mx2m2
Khi phương trình trở thành: x42mx2m2 (10 ) m x2 x m220 Ta có 4( 20)(10 )
2
VP m m m
Ta viết lại phương trình thành:
2 2
4 2
9
2 2
x x x x x x
2 17
( 5)( 4)
2
x x x x x
21
2
x
b) 4
22 77 22 77
x x x x x x
Ta thêm vào vế phương trình lượng: 2
2mx m
Khi phương trình trở thành: x42mx2m2 (22 ) m x28xm277
Ta có
1 4(22 )( 77)
VP m m m
Ta viết lại phương trình thành:
2 2
4 2
18 81 2
x x x x x x
2 2
( 7)( 11)
1 x
x x x x
x
c) Phương trình có dạng: 4
6 8
(3)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Ta tạo vế trái dạng: 2 2
(x 3xm) x 6x (9 ) m x 6mxm
Tức thêm vào hai vế lượng là:(9 ) m x26mxm2 phương trình trở thành:
2 2
(x 3xm) (2m1)x (6m2)xm 1 Ta cần
2
'VP (3m 1) (2m 1)(m 1) m
Phương trình trở thành: 2
(x 3 )x (x1)
2
2 3 ( 1)( 1)
1 2 x
x
x x x x
x x
d) Phương trình cho viết lại sau:
2
x x x x
Ta tạo phương trình: (x2 x m)2 (2m6)x2(2m6)xm23 Ta cần:
2
2
1 'VP ( 3) (2 6)( 3)
m
m
m m m
Phương trình trở thành: 2
(x x 1) (2x2)
2
3 21
2
( 3)( 1)
3 21
2
x
x x x x
x
Ví dụ 2)
a) Giải phương trình:
4 12
x x x (1) b) Giải phương trình:
13 18
x x x
c) Giải phương trình:2x410x311x2 x (4)
Lời giải:
a) Ta có phương trình 2
2
x x
(1.1)
2
2
2
2
2 3 1;
2
x x
x x x x x x
x x
(4)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ b) Phương trìnhx44x24 9x218x90
2 2
2 3
x x x x x x
2
3 29
3 2
3
2
x
x x
x x
x
Vậy phương trình cho có nghiệm 29;
2
x x
c) Ta có phương trình
2
2 1 2
2
2 4 16
x x x x x x x x x
2
2
2 2
3 13
2
x
x x
x x
x
2 Phương pháp đặt ẩn phụ:
Là phương pháp hữu hiệu tốn đại số, giải phương trình bậc cao vậy, người ta thường đặt ẩn phụ để chuyển phương trình bậc cao phương trình bậc thấp Một số dạng sau ta thường dùng đặt ẩn phụ
Dạng 1: Phương trình trùng phương: ax4bx2 c 0a0 (1)
Với dạng ta đặt tx t2, 0 ta chuyển phương trình:at2 bt c (2) Chú ý: Số nghiệm phương trình (1) phụ thuộc vào số nghiệm không âm (2) Dạng 2: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy):
4 2
0
ax bx cx kbx k a k Với dạng ta chia hai vế phương trình chox2x0ta được:
2
2
k k
a x b x c
x x
Đặt t x k x
với t 2 k ta có:
2
2
2 2
k k
x x k t k
x x
thay vào ta phương trình:
2
a t k bt c
(5)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Phương trìnhx2a b x ab x2cd x cde
Đặt tx2a b x , ta có:tab t cde
Dạng 4: Phương trìnhx a x b x c x d ex2,trong abcd Với dạng ta chia hai vế phương trình cho x2x0 Phương trình tương đương:
2 2 ab cd
x a b x ab x c d x cd ex x a b x c d e
x x
Đặt t x ab x cd
x x
Ta có phương trình:t a b t c de
Dạng 5: Phương trình xa4x b 4 c Đặt
2
a b
x t ta đưa phương trình trùng phương
Ví dụ 1: Giải phương trình:
1) 2x45x36x2 5x20 2) x14x34 2
3) x x 1x2x324 4) x2x3x4x66x2 0 Lời giải:
1) Ta thấy x0 không nghiệm phương trình nên chia hai vế pương trình cho x2ta được:
2
1
2 x x
x x
Đặt
2
2
2
1 1
, 2
t x t x x t
x x x
Ta có:
2
2 1
2
t
t t t t
t
Với t x x2 2x
x
2) Đặt x t ta được:t14t14 2t46t2 0 t 0x 2
Vậy phương trình có nghiệm x 2
(6)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
4
4
2
a b a b
với a b 0
Áp dụng BĐT với:a x 1,bx 3 VT VP Đẳng thức xảy x 2 3) Ta có phương trình:
3 24
x x x x
Đặt
3
t x x Ta được:
2 24 24 6,
t t t t t t
* t 6 x23x60phương trình vơ nghiệm
* t4x23x 4 0x1;x 4 Vậy phương trình có hai nghiệm x1;x 4 4) Phương trình
2 12 12
x x x x x
Vì x0 khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình chox2 ta được:
12 12
4
x x
x x
Đặt
12
t x x
, ta có:
4
2 t
t t t t
t
* 12 12
3 x
t x x x
x x
* t2x22x120x 1 13
Vậy phương trình cho có bốn nghiệm:x 3;x4;x 1 13
Ví dụ 2)
a) Giải phương trình: 2 2
3 x x 2 x1 5 x 1 b) Giải phương trình:
3 21
x x x x x x
c) Giải phương trình:x1x2x3 2 x4x5360
d) Giải phương trình:x35x535x324x300 Lời giải:
(7)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
2
1
3
1
x x x
x x x
Đặt
2
2
1
3 5 2,
1
x x
t t t t t t
x t
* 13
2
2
t x x x
*
3
3
t x x phương trình vơ nghiệm
b) Đây phương trình bậc ta thấy hệ số đối xứng ta áp dụng cách giải mà ta giải phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng
Ta thấy x0 không nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho
x ta được:
3
3
1 1
3 21
x x x
x x x
Đặt t x 1,t
x
Ta có:
2
2
1
2;
x t x t t
x x
nên phương trình trở thành:t t 23 3 t226t210
2
3
3 27 3
3 t
t t t t t
t
* 3 3
2
t x x x x
x
*
3
2
t x x x Vậy phương trình có bốn nghiệm
3 5
;
2
x x
c) Phương trình x26x5x26x8x26x9360
Đặt tx26x, ta có phương trình:y5y8y9360
22 157 0
6 x
y y y y x x
x
Vậy phương trình có hai nghiệm:x0;x 6
d) Ta có:
5 30 5 5
(8)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
3
5 5 24 24 30
x x x x x x Đặt ux35x5 Ta hệ:
3
2
3
5
6
5
u u x
u x u ux x u x
x x u
3
4 5
x x x x x x
Vậy x 1 nghiệm phương trình
Dạng 6:
a) Phương trình: 2 ax 2 bx c
x mxpx nxp với abc0
Phương pháp giải: Nhận xét x0 khơng phải nghiệm phương trình Với x0, ta chia tử số mẫu số cho x thu được:
a b
c
p p
x m x n
x x
Đặt
2
2
2 2
k k
t x t x k k k
x x
Thay vào phương trình
để quy phương trình bậc theo t b) Phương trình:
2
2 ax
x b
x a
với a0,x a
Phương pháp : Dựa vào đẳng thức a2b2 a b 22ab Ta viết lại phương trình thành:
2
2 2 2 2
2
ax x x x
x a b a b
x a x a x a x a
Đặt
2
x t
x a
quy phương trình bậc
2
Ví dụ 1) Giải phương trình:
a)
2
2
25
11 x x
x
(Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2013)
b) 2 12 2
4 2
x x
x x x x (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh 2010)
c)
2
2
2
2 x
x x
(9)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ d) 3 3 1 x x x x x Giải:
a) Điều kiện x 5
Ta viết lại phương trình thành
2
2 2 2 2
5 10 10
11 11
5 5
x x x x
x
x x x x
Đặt x t x
phương trình có dạng
2
10 11
11 t t t t
Nếu t1 ta có:
2
2 21
1
5
x
x x x
x
Nếu
2 11 11 x t x
11 55
x x
phương trình vơ nghiệm
b) Để ý x nghiệm x0 nên ta chia tử số mẫu số vế trái cho x thu
được: 12
2 x x x x
Đặt t x 2
x
phương trình trở thành:
2
12
1 12
6
t
t t t t t t
t t t
Với t1 ta có: x 2 t2 t
x
vô nghiệm Với t6 ta có:
2
2
2 2
x x x x
x
c)
2
2
2 3
2 2
x x x
x x x x
x x x
Giải phương trình ta thu nghiệm 6; 3
x x
d) Sử dụng HĐT 3 3
3
a b ab ab ab ta viết lại phương trình thành:
3
3 2
3
3
3
2
1 1 1
1
x x x x x x
x x x
x x x x x
(10)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
3
2 2 2
2
3
3 1 1 2
1 1 1
x x x x x
x x
x x x x x
Suy phương trình cho vơ nghiệm
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải phương trình sau:
1) x2 x 2x2 x 36 2) 6x7 2 3x4x11 3) x14x34 82
4) x1x2x4x510
5)
2 2
x x x x x 6) x2x1x8x44x2
7) 3x22x122x23x125x2 0
8)
3x 4x 5x 4x 3 9) 2x421x334x2105x500
10) 1 1
1
xx x x x
11) 4 8
1 2
x x x x
x x x x
12)
2
1
2 12 35 10 24
x x x x
x x x x x x x x
13)
2 2
1 2 3 4
0
1
x x x x x x x x
x x x x
14) 2 2
4 10
x x
x x x x
15)2x2 3x1 2 x25x19x2 16)x25x1x2 46x12 17) x49x316x218x40 18)
2
2
12
3
2 x
x x
x
(11)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
19) 2 213
3
x x
x x x x 20) x2x41x22 1 21)
2 2
2
2
20 20
1 1
x x x
x x x
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1) Đặt
2
x x t Phương trình cho thành 1 t t t
t
Với t2 2
2 0
x x x x x x 1
Với t 3 2 21
2
2
x x x x x
Vậy tập nghiệm phương trình 1; 0; 21; 21
2
S
2) Biến đổi phương trình thành 36x284x49 36 x284x4812 Đặt
36 84 48
t x x phương trình thành 1 12 t t t
t
Với t3 2
36 84 48 36 84 45
2
x x x x x
6
x Với
t 2
36x 84x48 4 36x 84x520, phương trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình 5;
6
S
3) Đặt yx1 phương trình cho thành
4
24 48 216 82
1
y x
y y
y x
(12)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
4) Đặt
4
x x x x
y x phương trình trở thành:
6
4 10
6
y x
y y y y
y x
Vậy tập nghiệm phương trình S 63; 63
5) Do x0 nghiệm phương trình, chia hai vế cho x2 ta
2
1 2
x x
x x
Đặt
2
y x x
phương trình trở thành
2
0
1 2
3 2
3 x
y x x
y y y x x x
6) Biến đổi phương trình thành
2 8
x x x x x x x x x x Do x2 không nghiệm nên chia hai vế phương trình cho x2 ta được:
8
6
x x
x x
Đặt
8
y x x
phương trình trở thành
6 15 50
10 y
y y y y
y
Với y5 x x2 5x
x
(vơ
nghiệm) Với y10 10 10 17 17 x
x x x
x x
Vậy tập nghiệm phương trình S5 17;5 17 7) Do x0 không nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho
x ta
2
1
3 x 2 x
x x
Đặt
1
y x x
, phương trình trở thành:
2 2
3 2
1 y
y y y
y
Suy
1
1
2
1 1 5
1 x x x x x x Vậy
tập nghiệm phương trình 1;
2
S
(13)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 8) Phương trình khơng nhận x0 nghiệm, chia hai vế cho
x
2
1
3 x x
x x
Đặt t x x
phương trình trở thành
3t 4t 1
2
3t 4t 1 0 t
3
t
Với t1
1
2
x x x x
x
2
x
Với
3
t 1 3 3 37
3
x x x x
x
4 37
2
x
Vậy tập nghiệm phương trình 1; 1; 37 1; 37
2 2
S
9) 2x421x334x2105x500 (8) Lời giải:
Ta thấy 105 21
k
2 50
25
k nên phương trình (8) phương trình bậc bốn có hệ số
đối xứng tỉ lệ 2
25
8 x 21 x 34
x x
Đặt t x x
suy 2
25 10
t x
x
Phương trình (9) trở thành
2t 21t540 t
2
t Với t6
2
5
6 6
x x x x x
x
Phương trình có hai nghiệm x1 3 14;x2 3 14 Với
2
x 2 10
x x x
x
Phương trình có hai nghiệm
3
9 161 161
;
4
x x Vậy PT (8) có tập nghiệm
9 161 161
3 14;3 14; ;
4
S
(14)
hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
2 2
1 1 1
0
4 4
x x
x x x x x x x x x x
2 2
1 1
0
4 2( 4)
x x x x x x
Đặt
2
4
ux x, phương trình trở thành
1 1
0
3
uu u
2
25 145
5 25 24 10
0
2 25 145
10
u
u u
u u u
u Do 2 25 145 10 25 145 10 x x x x
Tìm tập nghiệm phương trình
15 145 15 145 15 145 15 145
2 ; ; ;
10 10 10 10
S
11) Biến đổi phương trình thành 5 10 10 102 240
1 2
x x x x x x
Đặt ux u2 1,u4;u0 dẫn đến phương trình
2
16
4 65 16 1
4 u u u u
bTìm tập nghiệm phương trình 1; 4; ; 41
2
S
12)
Điều kiện x 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0 Biến đổi phương trình thành
1
2
x x x x
x x x x x x x x
1 1 1
2 2
x x
x x x x
2 1 1
2
x x
x x x x x
1 1 1 1
2
x x x x x x x x
1 1 1 1
7
x x x x x x x x x
(15)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 2
1 1
2
7 10 7 12
x
x x x x x x x
2 2
7
1 1
0(*)
7 10 7 12
x
x x x x x x x x
Đặt ux27x phương trình (*) có dạng
1 1 1 1
0
10 12 10 12
u u u u u u u u
2
18 90
u u
Mặt khác 2
18 90 9
u u u với u Do phương trình (*) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm
2
x
13) Lời giải:
Điều kiện x 4; 3; 2; 1 Biến đổi phương trình thành
1 4
0
1 4
x x x x x x x x
2
3
0
5
x
x x x x
2 2
0
3
0(*)
5
x
x x x x
Đặt ux25x phương trình (*) trở thành 11
4 u
u u Từ ta có
2
2 10 11
2
x x x
Vậy tập nghiệm phương trình cho 0; 3;
2
S
14)
Do x0 không nghiệm phương trình nên chia tử mẫu phân thức vế trái phương trình cho x, đặt y 4x
x
(16)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
4
1
8 10
y y
Phương trình có nghiệm y16,y9
Với y9
4x 4x 9x
x
Phương trình vơ nghiệm
Với y16
4x 16 4x 16x
x
Phương trình có hai nghiệm 1 1; 2
2
x x
Vậy phương trình cho có tập nghiệm 7; 2
S
15)Đặt
2
t x x , phương trình (1) thành
2 2 2
4 16 25
t x t x x t x x t x t x t5x
Với t 5x 2 2
x x x x x x
Với t5x 2 2 2
x x x x x x
Vậy tập nghiệm phương trình (1) 2;
2
16)Lời giải:
Đặt u x đưa phương trình (2) dạng tổng quát u27u3u22u36u2 Bạn đọc giải phương pháp nêu Ta giải cách khác sau Viết phương trình cho dạng x2 4 5x5x246x12 0
Đặt tx24, phương trình thành
2
5 6 6
(17)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
2
3
6 6 6
1 21
1
2 x
t x x x x x
t x x x x x x
Vậy tập nghiệm PT(2) 21;3 7; 21;3
2
S
17)PTtương đương với x49x x 2216x240 Đặt
2
tx
4
t x x , PT thành
2
9 20
t xt x t x t x
2
2
2
4 4
5 33
5 5
2 x
t x x x x x
t x x x x x x
Vậy tập nghiệm phương trình 6;5 33; 6;5 33
2
18)Điều kiện x 2 Khử mẫu thức ta phương trình tương đương:
4 2
3x 6x 16x 36x1203x 6x x 6 16x 120 đặt tx26 t2 x412x236, suy 3x4 3t236x2108, PT thành
2
3t 6xt20t0t 3t6x20 0 t 3t 6x20 Với t0
2
6
x , suy x (thỏa mãn đk) Với 3t 6x20 ta có 3x218 6x20
hay
3x 6x20 suy 3
3
x (thỏa mãn đk) Vậy tập nghiệm PT(4)
3 3
; 6; ;
3
S
19) 2 213
3
x x
x x x x (5)
(18)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 13
6
x x
t xtx ĐK: t5 ,x t x Khử mẫu thức ta PT tương đương
2
2t 13tx11x 0 tx 2t11x 0
t x
11
2
t x (thỏa mãn ĐK)
Với t x 3x22x3x2 x 20 phương trình vơ nghiệm Với 11
2
t x 2 11 11
2
x x x x x
3
x Vậy tập nghiệm
PT(5) 4;
20)PT 2
1
x x x x
2
2
x x x x
22 2
2
x x x x
2
1
x x x x
Giải phương trình trùng phương ta tập nghiệm PT 1;
2
21)Lời giải: Điều kiện x 1 Đặt ;
1
x x
y z
x x
, PT có dạng:
2
2
(19)hoc360.ne t
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Dẫn đến 2 2 2 1 2 1
1
x x
x x x x
x x
2 2
2x 6x x 3x x 9x
73
2
x
73
2
x (thỏa mãn điều
kiện) Vậy tập nghiệm PT(2) 73 9; 73
2