Tải Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến - Tài liệu luyện tập môn Toán lớp 10

Trong phần này tïi sẽ giới thiệu tới các bạn một số cách chứng minh bất đẳng thức 1 biến cả bằng tay khïng với kết hợp với một chòt CASIO, trong đî cî một số bài toán khá là phức tạp cî[r]

PHƨN CÁC BÀI TOÁN BƦT ĐẲNG THỨC BIẾN

Trong phần tïi giới thiệu tới bạn số cách chứng minh bất đẳng thức biến tay khïng với kết hợp với chịt CASIO, đỵ cỵ số tốn phức tạp cỵ thể khïng giịp ìch nhiều cho lắm, tïi đưa vào để người cñng tham khảo cách làm sáng tạo thêm số cách giải hay khác!

I CÁC BÀI TOÁN.

Bài 1: GiƧi phƣơng trënh: x2 8x 16  x 3x 1  2 x 7x 0   

Bài 2: GiƧi phƣơng trënh:  x2  x 13x21 x   x 2x32x29x 2

Bài 3: GiƧi phƣơng trënh: x57x4 12x3x23x 12 5x 0   

Bài 4: Chứng minh rằng:                 

     

20x x 20 x

f x x x 1 x 1;

5 5x 5x

Bài 5: Chứng minh rằng:              

   

2

2 5x 5x 10 2x

f x x x 2;

x x 2

Bài 6: Chứng minh rằng:

         



     

        

   

x x

f x x ;1

2 x 3x

1 x 2x

3

Bài 7: Chứng minh rằng: x42x33x2 6x 7 x 2  2x 5 x 4x x      1

2

Bài 8: Chứng minh rằng:          

   

2

x 2x

f x x 3;

x x

Bài 9: Chứng minh rằng: f x  x4 1 x23x 1  2x 10 vï nghiệm.

Bài 10: Chứng minh rằng:           

   

2

x x x 11

f x x 3;

3 x 1 x 3

Bài 11: Chứng minh rằng:           

   

2

x 2x 19

f x x ;

7 x x

Bài 12: Chứng minh rằng:                

     

2

4 x x 2

f x x x ;

5

x x

Bài 13: Chứng minh rằng:           

       

3

x 2x 1

f x x ;

3 8x x 6x x

Bài 14: GiƧi phƣơng trënh: 9x432x2 5 18 3x 0 

Bài 15: GiƧi phƣơng trënh:   

    

2

1 x

2x x x 2x

Bài 16: Chứng minh rằng:

    4 3      5 4 2       f x x x 3x x x x x 3x 3x 3x 3x x x x

Bài 17: GiƧi hệ phƣơng trënh:

  

     

   

 

 

 

    



2

4 x x 2x

1

y y

Bài 18: Chứng minh rằng:            

   

  

2

2

3x

f x x x x ;

3 3x

3x 2x

Bài 29: Chứng minh rằng:

               

         

2

2

4 2 2

2 x x x x

f x x 2x x

x x x x x 20x x 2x

Bài 20: GiƧi phƣơng trënh: x5 5x42x32x24x 8 x41 x 6  x 0

Bài 21: GiƧi phƣơng trënh: 1 x x 2 1 x2 x 1  x2 x 2

Bài 22: Cho số a,b,c 0 Chứng minh rằng:  

3

2 2

3 3 a b c

3 a b c 2abc 11

3

   

     

II HƯỚNG DẪN GIƤI.

Bài 1: Giƥi phương trình: x28x 16  x 3x 1  2 x 7x 0   

Nguyễn Minh Tuấn

Giƥi

 Bài cỵ nhiều cách giƧi khác nhƣng ta liên hợp chứng minh vï nghiệm xem

 Ta có:

   

        

        

     

        

           

   

     

   

  

  

    

    



2

x 8x 16 x 3x x 7x

x x x 3x 2 x 7x 3 x x x x

x x

3x 7x x

3 x x

f x x

3x 7x  Nhiệm vụ chứng minh f x    0 x

7

 Với

 

  

    

   



3 x x x

3x

Khi đỵ cỵ:

       

 

     

    

   

3 x x 2x 29 7x 29x 157 f x x

5 7x 7x

1 Với x157 f x 0

29

2 Với x157

29      

  

   

     

3

28x 21x 15225x 22967 157

f x x

29 7x 2x 29 7x 29x 157

 Với   

 

2 x ;

7 ta có:

   

   

2 x

7x Khi đỵ ta cỵ:

                

     

3 x 3x 12 x 3x 21 3x

f x

3x 3x 3x  Với x 2;3 , ta có:

 

  

   

   



3 x x

7x

Khi đỵ tƣơng tự nhƣ ta cỵ:

                

     

3 x 3x 12 x 3x 21 3x

f x

3x 3x 3x  Vậy tốn đƣợc giƧi hồn tồn!

Nhận xét

         

    

   

        

       

   

  

 

   

3 x x x x

f x x x x

2

3x 7x 7x 3x

x 3x x 25 x 7x 4x 14

2 7x 3x

 Khi đỵ thìch dđng đƥo hàm hay dñng bất phƣơng trënh phụ thë tñy, tïi dñng đƥo hàm

 Đặt  

   

    

 

    



f x x 7x 4x 14 g x x 3x x 25

- Ta có:           



8 7x 21x 280 275968

f ' x 0 x

882

2 7x f ' x  đổi dấu từ

      qua 280 275968

882 nên đƥt cực tiểu tƥi



280 275968 882

    

    

 

280 275968

f x f 12,99 882

- Chứng minh tƣơng tự ta suy g x 0

 Vậy toán đƣợc giƧi quyết!

Bài 2: Giƥi phương trình:  x2 x 13x2 1 x 2  x 2x32x2 9x 2

Đồn Chì Dũng

Giƥi

 Ta có:

   

        

 

         

               

    

       

     

 

3

2 2

2 2 2

2

2

2

x x x x x 2x 2x 9x

x x x x x x x 2x x x x x x

x x 2x

x x x x

 Đặt        

     

2

2

x x x

f x 2x

x x x x

 Chị ó rằng:

  

  

   





  

   



2

2

x x x a

x x

x x b

x x

 Khi đỵ dđng lim ta tëm đƣợc  

      



   





    

   



2 x

2 x

x x

a lim x

2 x x

x

b lim x

2 x x

1    

   

     

        

        

2

2

2 2

2 x x 2x x x

x x 3 x x

x

2

x x 2 x x 2 x x

2    

   

   

      

        

2

2

2 2

2 x 2x x

x 7 x

x

2

x x x x x x  Vậy toán đƣợc giƧi quyết!

Bài 3: Giƥi phương trình: x57x412x3x23x 12 5x 0   

Nguyễn Minh Tuấn

Giƥi

 Ta có:

    

    

       

         

  

        

  



5

4

3

x 7x 12x x 3x 12 5x

x x 8x 20x 21x 18 12 5x x

60

f x x x 5x 5x

6 5x  Để ó thấy:

1 Với       

 

0

6

x ; x 3; f x

5 Với x0 thỏa mãn    

3

0 0

x 5x 5x

2 Với xx ; 30   ta có:

-    

     

      

    

60 300

g x g' x g x g x

6 5x 2 5x 6 5x 1

- Khi đỵ:           

 

2

2 13 39

f x x 4x x  Vậy toán đƣợc giƧi quyết!

Bài 4: Chứng minh rằng:

                

     

20x x 20 x

f x x x 1 x 1;

5 5x 5x

Giƥi

 Để ó thấy: Do    

 

9 x 1;

5 nên



     

 

20 x

9 5x x

9 5x

2 Khi đỵ               

20x x

f x g x x x x 1

5x

3 Lƥi cỵ:       

 

        

     

 

 

2

2

x 1 5x x 5x 9

g x x 1;

5 5x

4 Nên       

 

9 f x x 1;

Hướng dẫn

 Bài nhën hënh thức khủng bố, trïng cỵ vẻ rối rắm nhƣng đơn giƧn Đầu tiên ta thấy cỵ nhiều bài, điều làm ta nƧy ó tƣởng đánh

giá bớt để đƣa dƥng đơn giƧn

2 Hai khïng đƣợc chặt cho vàcác biểu thức bậc nhấtnên nƧy ó tƣởng đánh giá với số đỵ

3 Ba thấy cỵ phân thức nên thử đánh giá em xem sao, tïi chọn thứ

 Dễ thấy       

 

20 x

9 5x x

9 5x Lòc tốn cín Dđng MODE nhận thấy f x 1 Điều chẳng khác cho ta biết phƣơng trënh:

        

  20x x

4 x x x

5x cỵ nghiệm kép Mà may mắn thay ta lƥi ròt

đƣợc x 1 ra, lòc giƧi phƣơng trënh cỵ nghiệm kép x

4(tự tëm nhé)

và nghiệm x 1 (khïng quan tâm) dễ dàng, sử dụng liên hợp ngƣợc chia cho nhanh ra!

 Ta đƣợc:     

 

   



      

   

2

2

x 1 5x x 20x x

4 x x x

5x 5x 2  Vậy toán đƣợc giƧi quyết!

Bài 5: Chứng minh rằng:

             

   

2

2 5x 5x 10 2x

f x x x 2;

x x 2

Giƥi

 Hƣớng làm nhƣ trƣớc, ta đánh giá mẫu đƣợc: x 3   5 

và x 2 2  

 Khi đỵ: f x g x x2  5 5x2 5x 10 2x 6   0

5

 Nên f x g x     0 x  2;  (đpcm) Xong!

Hướng dẫn

 Bài khïng cỵ gë để nỵi hết, chứa đa thức bậc nên ta đánh giá với số đỵ xong!

 Ngồi thìch DAC thë việc dđng thử nhé! Ngồi cách cín cỵ cách khác

 Ta có:               

       

 

2

2 x x 2 x

f x x x x

x x 2

       

            

     

   

2

x x x x 1;

5

Bài 6: Chứng minh rằng:

         



     

        

   

x x

f x x ;1

2 x 3x

1 x 2x

3

Giƥi

 Nhận thấy

1       

 

2 x g x x

3 nghịch biến

 

 

 

1;1

2 nên     g x g

6

2       

 

3x v x 2x

3 đồng biến

 

 

 

1;1

2 nên  

    

 

1

v x v

2

 Khi đỵ f x x 1  x 2 0

3 6

 Vậy ta cỵ điều phƧi chứng minh

Hướng dẫn

 Bài khïng cỵ gë phƧi bàn cƧ Do dƣới mẫu cỵ chứa đa thức bậc nên ta đánh giá với số, khïng đánh giá đƣợc nhƣ thë dđng DAC khïng cỵ gë khỵ cƧ

 Ở tïi trënh bày tắt, phƧi cỵ phần chứng minh đƥo hàm mang dấu nữa, nhƣng thïi thời gian cỵ hƥn mong thïng cƧm

Bài 7: Chứng minh rằng:

   

             

4

x 2x 3x 6x x 2x x 4x x

Giƥi

 Với x 2 ta cỵ bổ đề sau (tự chứng minh nhé):

   

 

   



1 2x x

2 4x x

4

.Khi đỵ ta cỵ:

               

   

2

4 16 427

f x x 2x x x 9,9 x x x

10 5 50

 Với    

1 x ;

2 ta có:

  

 

  

2x

4x Khi đỵ:

  4 3   2  2  

f x x 2x 3x x x 2x  Vậy toán đƣợc giƧi quyết!

Nhận xét

1 Dễ kiểm tra thấy f x 0 nên nỵ cỵ giá trị nhỏ nhất, việc ta tëm đƣợc x

bằng thë đƥt cực tiểu Rð ràng nghiệm phƣơng trënh f ' x 0 giá trị cần tëm đỵ ta giƧi phƣơng trënh f ' x 0, ta đƣợc:

             

 

3

0

3x 6x

f ' x 4x 6x 6x x x 0,3100436394

2x 4x

2 Việc làm tëm nhân tử chứa nghiệm x x 0, ta dđng phìm d

dx Nhân

tử cỵ dƥng 2x ax b   Với   

   

 

    



0

x x

d

a 2x

dx

b 2x a

Do kết quƧ lẻ nên ta tëm

một số gần nỵ phƧi đẹp thay vào phƣơng trënh đầu phƧi thỏa mãn Với lì đỵ

chọn       

1 a

2 b

4

Tƣơng tự cho cín lƥi ta đƣợc nhân tử 4x 2 9x8

4

3 Để ó thấy

   

 

   



1 2x x

2 4x x

4

, mà f x 0nên cần chia làm trƣờng hợp đánh giá đƣợc Đến đỵ việc đánh giá phƣơng trënh bậc xong!

Bài 8: Chứng minh rằng:          



   

2

x 2x

f x x 3;

x x

Giƥi

 Ta có:

  

   

       

  

2

2

4 28x 144x 189

x x x 3;

3 2 6 x 8x 3  Khi đỵ:

   

  

    

 

   

    

 

2

2

12 10x x 16x 28x 33

x 2x

f x 4 3

x 8x x

x

3  Để ó thấy :

1 12 10x x  2 5 16x2 28x 33

 

         

 

2

2 23

2 x x 16 x x 33x 12

2

2           

 

2

2 23 23 66 222

16 x x 33x 12 x x

4 23 23

Hướng dẫn

 Đầu tiên ta tëm điểm rơi tốn chình nghiệm đƥo hàm Ta cỵ:  

       

     

     

2

2

2 2

x x x x 10

f ' x x A 2,677764402

x x x x

 Tëm nhân tử chứa điểm rơi cách sử dụng phìm d

dx Ta đƣa sử

dụng nhân tử liên quan tới x23 vë điều kiện gắn chặt với Nhân tử cỵ dƥng nhƣ giƧi phƣơng trënh vï tỷ x2  3 ax b

+ Ta có     

 

    

    

x A

d

a f x

dx

b f x ax

Áp dụng vào ta cỵ   

  2    

x A

d

a x 1.311

dx

Vốn dĩ cỵ thể lấy em 4

3 vë ta cần số đẹp để tiện biến đổi

tốn chặt nhƣng khïng phƧi chặt xìt cổ f A 0,188421028 Ngồi thìch làm chặt ta cỵ thể lấy a 13;a 59

10 Đối với chặt thë ta cần phƧi làm nhƣ

vậy cín thë khïng cần, đủ! + Cỵ tiếp b  f x ax1.5281913793

2 Lòc nhận thấy   

2

x x

đòng chiều ta cần toán cần chứng minh lớn tử lớn Nếu nhân tử chƣa đòng nhƣ ta cần thë ta cần phƧi làm trín hệ số tự cho đòng chiều dấu chòng ta cần

 Đến qua

3 chặng đƣờng, cín phần chứng minh phần sau

chứa lớn SOS

 Tëm điểm rơi biểu thức g x   12 10x x  2 5 16x2 28x 33 Ta có:

            



2

0

32x 28 x 20x 12x 50

g' x x x 1,961407277

x

 Nhận thấy ta cần tëm nhân tử cỵ dƥng  x2 5 ax b 2 2ax x2 5 Đằng trƣớc

đang cỵ 10x x25 nên tìm a thỏa mãn ta lấy g x  x2  5 ax b 2 phƧi triệt

tiêu đƣợc 10x Với lì ta chọn a   5 b 34

5 Từ đỵ cỵ nhân tử

    

 

 

2

2 34

x 5x

5 Nhƣng nhiên nhân tử chƣa thỏa mãn thay vào bị âm ta

nâng hệ số trƣớc lên Với cách làm tƣơng tự ta cỵ nhân tử

    

 

 

2

2

2 x x

Bài 9: Chứng minh rằng: f x  4x4 1 x23x 1  2x 10 vï nghiệm.

Bñi Thế Việt

Giƥi

 Dñng Casio nhận thấy        

 

3 f x x 5;

2  

  

   

 

3 f x x ;

2  Trƣờng hợp 1: Xét     

 

3 x 5;

2

1 Để ó thấy:

 

 



    

       

  

  



 

   

         

    

 

      

  

  

 

           

  



4

4

2

2

2

3 x x x x x 5;

2 x

3

x 3x x x 5;

3

2 4 x 3x 1 x

2

1

2x 10 x 2x 10 x 5;

2

2 Do đỵ f x   x 3x 7 1x 7 2 2  Trƣờng hợp 2:   

 

3

x ;

2

1 Để ó thấy

   

    

     

2

4

4

4

4

2x

x x

x x x x

2 Khi đỵ :

              

     

2

2

2

5x 10 x 3x 2x 10

f x x x 3x 2x 10

x x 3x 2x 10  Vậy phƣơng trënh f x 0 vï nghiệm (đpcm) Xong!

Hướng dẫn

 Bài phƣơng pháp giống hệt với Ta tëm điểm rơi toán

 Do thấy f x  luïn dƣơng    

 

3 5;

2 âm

  



 

 

3 5;

2 nên ta

chia làm trƣờng hợp

 Đối với trƣờng hợp thë khïng cỵ gë phƧi bàn, nhƣng trƣờng hợp thë cỵ điều phƧi ý!

 Do   

 

3 ;

2 thë ta khïng tëm đƣợc nghiệm đƥo hàm hay lòc hàm



4

4 x 1 với g x  nào đỵ Cái khỵ nhƣng chịu để ó   

  

4

2

x x

x x Nếu nhƣ

  

4

4 x 1 x 1 thë thay vào thấy thỏa mãn Vậy ta chứng minh

  

4

4 x 1 x 1, khïng phƧi câu khỵ, tïi chứng minh Khi đỵ chỉ

việc liên hợp lên cỵ điều cần chứng minh

Bài 10: Chứng minh rằng:

          

   

2

x x x 11

f x x 3;

3 x 1 x 3

Giƥi

 Trƣờng hợp 1: Xét x  3;3

1 Để ó thấy:

 

 

  

      

  

   

 

 

        

     



2

2

2

2

3 x

1 4

x x x 3;

1

2 x 1 x

2 x

x 2x x 3;

x 2x

2 Khi đỵ:

   

 

     

 

    

   

2 2

2

2x 14x x 8x 8x x x x 11

f x 1

2x 6x x 1 1

x

3 Để ó tiếp:

+ 2x214x x    3;32x2 14x x  2 1 8x28x 0 

+ Nhân liên hợp ta đƣợc:

    

6

4x 56x 172x 180x 105x 108x

   

   

            

 

 

 

2

4 2 21 7299

x x 4x 13 x 43x 172x 108 110 x 44 88

4 Nên 2x214x x   1 8x28x 0   Trƣờng hợp 2: Xét x3;

1 Nhận thấy x2  3 5

2 Khi đỵ    

 

   

 

    

   

2

2

4x 37 x 34x x x x 11

f x

5

x 1 30 x 1

3 Đặt                

2

2

2

34 x 8x 37x g x 4x 37 x 34x g' x

4 Để ó thấy  

   

 

 

 



2

2

3 119 x

16 32

g ' x

x nên g x  đồng biến  3; Suy

    

g x g 15,9430585

 Vậy f x   0 x  3;

Bài 11: Chứng minh rằng:          

   

2

x 2x 19

f x x ;

7 x x

Bñi Thế Việt

Giƥi

 Dễ nhận thấy x2 1 x Khi đỵ ta lụn cỵ:

   

 

  

     

 

   

     

g x

2

2

12x 31 x 14x 23x 17

x 2x 19

f x

x x 2 1 7 x 2 x 2 1

 Để ó thấy:

1           

 

2

2 2

75 22 523 37

g x x x x 23x 31 x

11 25 275 11

2       

  

2

2

0.261129x 1.621612x 2.521284

x 1.123x 0.722

x 1.123x 0.722

3 Khi đỵ :

 

         

2 2

523x 23x 37 31 x 2 523x 23x 37 31 1.123x 0.422 0

275 11 275 11

4 Vậy toán đƣợc giƧi quyết!

Bài 12: Chứng minh rằng:

               

     

2

4 x x 2

f x x x ;

5

x x

Nguyễn Minh Tuấn

Giƥi

 Để ó thấy:

1           

 

  

2

2

2139x 1.40448x 9139

19 231 2500 15625

x x x ;

19 231

50 125 x 4 x

50 125

2 Khi đỵ    

 

  

     



  

g x

2 2

2

475x 24890x 11968 475x 8750x 12421 x f x

3 Có              u x 2 v x

1424x 17500x 14324x 17500 g ' x 950x 24890

x

4 Nhận thấy

                                                      

2 4;

2

2 4; ;

2 5

2

min v x v 25561,75144

4

max u x u 25165,00167 v x

5 Nên g x  đồng biến  

 

2 ;

6 Từ đỵ cỵ           

   

2

g x g 2.957051285 f x x ;

2

Bài 13: Chứng minh rằng:

          

       

3

x 2x 1

f x x ;

3 8x x 6x x

Nguyễn Minh Tuấn

Giƥi

 Trƣờng hợp 1: Xét x 1

1 Khi đỵ             

3

x 5x 8x

f x x 1;

8x x  Trƣờng hợp 2: Xét   

 

1 x ;

3

1 Khi đỵ

    

 

    

8x x 6x x

3

2 Nên ta có:

                            3 1

2 18

3 2x

x 2x 18x 25

f x

3 6 162

 Trƣờng hợp 3: Xét   

 

1 x ;1

2

1 Khi đỵ          

6x x 8x x 5.5

2 Nên               

 

3 3

2 x 2x 1 10x 22x 144 1

f x x ;1

11 55

Ví dụ 14: GiƧi phƣơng trënh:9x432x2 5 18 3x 0 

Lã Duy Tiến

Giƥi

 Ta có:

 

   

    

 

       

 

 

  

       

  



4

3

3

9x 32x 18 3x 54

x 9x 9x 23x 23 3x

x

54

f x 9x 9x 23x 23 * 3x

 GiƧi  * :

1 Dễ dàng nhận thấy với x ; 23  1; 

 

     

  thë ta thấy f x 0

2 Xét x 23'

 

   

  , ta cỵ bổ đề sau:

1 19 3x x

2

   (bƥn đọc tự chứng minh) Khi đỵ:

  54 45x4 477x3 317x2 1219x 1644

f x 9x 9x 23x 23

1x 1 19 5x 48

2

    

      

  

 Vậy PT x

Nhận xét

 Câu mặc dñ mẫu chứa bậc nhƣng ta khïng thể đánh giá đƣợc

   

xlim 3x Vë ta đƣa toán giống với

 Khi ta đƥo hàm tëm điểm rơi thë tëm đƣợc nghiệm, nhiều bƥn khïng biết chọn điểm rơi cho phñ hợp Vậy gặp trƣờng hợp thë ta thë nghiệm f ' x  vào, nghiệm làm f x  thë ta chọn điểm rơi đỵ

 Thứ với việc tëm nhân tử, ta cỵ điểm rơi thay vào

1 3x x

2

  thë đƣợc kết quƧ lấy 3.5 thë toán sai 3x 1x

2

    ngƣợc chiều với toán Nếu lấy khoƧng thë chƣa đƣợc bị dƣơng vài giá trị Mặt khác khïng đƣợc chặt cho nên ta lấy hẳn lên kiểm tra MODE cỵ thể thấy lụn âm thay vào thấy f x 0 nhân tử cần tëm Bƥn đọc cỵ thể lấy số khác đẹp hơn!

0

x x 350561897,

3 512830189

3 7, ; ,

 Việc chứng minh g x  45x4 477x3317x2 1219x 1644 0  nhën cỵ vẻ khỵ nhƣng

rất dễ, ta tách nhƣ sau: g x x345x 477 317x21219x 1644 , cỵ thể thấy

rằng với x 23'

 

   

 

2

x

45x 477

317x 1219x 1644

 

  



   



Từ đỵ suy g x 0 Và hết bài!

Bài 15: Giƥi phương trình:   

    

2

1 x

2x x x 2x

Giƥi

 Do x 1 nghiệm phƣơng trënh nên ta tiến hành liên hợp

 

 

   



 

    

   

 

    

  

 

   

         

 

 

 

    

        



2

2

2

2

1 x

2x x x 2x x 2x x

2x x x 2x 1

x 1

x

2x x 2x x x 2x

x

x 1

f x

2x x 2x x x 2x

 Xét x   1;  Ta có:         

  

2

2

x

x 2x

x 2x Nên tốn lụn địng  Xét    



3 x ;

2  Để ó thấy:

1 2x x 4   x 2x 3   2x x 3   

2 Khi đỵ    

   

       



     

2

2

x 2x 2x 5x x 3x f x

x 2x 2x x

3      

 

 

              

 

2

u x

3

x 2x 2x 5x x 3x 2x x x

4      3x

u' x

x nên u x  đồng biến

  

 

 

3; 1

2  



 

    

 

3 10

u x u

2

Bài 16: Chứng minh rằng:

    

f x x x 3x x  x x   x 3x 3x 3x 3x  x x 3   0 x

Diễn đàn k2pi.net

Giƥi

 Đặt  

 

   

 

     



y x y

z x x x x z  Khi đỵ:

      

  

 

      

   

2

2 2

2 2

3 y x z

f x xy 3xz 3x z y x

xy 3xz 3x z y x  Để ó thấy:

1

 

     

      

     

g x

8

2

2

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

2 g x   x 1 89 x 1  7 36 x 1  684 x 1  5126 x 1  4

     

  3     

125 x 80 x 29 x

3 Nên g x   0 x Vậy dấu " " khïng thể xƧy Vậy toán đƣợc giƧi quyết!

Ví dụ 17: Giƥi hệ phương trình:

  

     

   

 

 

 

    



2

4 x x

2x 1

y y

x 3y 11 xy x x

Giƥi

 ĐKXĐ: 2x y 0; x2     1;1 ; 2x y 0    Ta có:

 

     



    



 

y 2x

1 f 2x f y

y 2x

Xét f t  liên tục Có  

 

  

 

2

3

f ' t t

t t Nên f t  đồng biến

Khi đỵ phƣơng trënh f 2x 1   f y  y 2x 1

Thế vào phƣơng trënh  2 ta đƣợc: 4    2 3

6x 8x 2x

Đặt f x 6x48x3 2 2x223

 Để ó thấy:

1            

 

2

2 25 2

f x 2x 5x 8x x 2x x

   

     

 

2

2

g x 2x x

2         

 

 

2

2

10

g' x x 20x 24x x.h x

2x 2x

3        

 

3

2

v x 120x 96x 84x 48

h' x

2x 2x

4       

 

2

4 292 v' x 360 x

15 Suy phƣơng trënh h' x 0 cỵ tối đa nghiệm

  

  

3

0

6784 2338848 6784 2338848 125 625 125 625 x x

15

   

min h x h x0 1.31 0 Khi đỵ phƣơng trënh g' x   0 x h x  0 Mặt khác ta lƥi cỵ:

 

     

  

      

  

 

 

lim g x

g x x f x 25 20

g 0

4

 Vậy toán đƣợc giƧi quyết!

Bài 18: Chứng minh rằng:

           

   

  

2

2

3x

f x x x x ;

3 3x

3x 2x

Giƥi

 Ta có:          

 

2

2

6x

3x 2x ' 0 x

2 3x 2x Suy   

2

3x 2x  Khi đỵ:

               

   

2

2 6x 7x 13x 26 3x 14x 26x 10

f x x x

7 3x 3x

 Để ó thấy: +) Với   

 

1 x ;0

3

   



  

     

  

 



2

4x 26x 10

13 559 7x 13x 26 x

14 28

Do đỵ cỵ điều phƧi chứng minh

+) Với x 0 thì:    

 

   

 

 

        

 

2

2

13 501 21 x

14 28

7x 13x 26 3x 7x 13x 26 f x

Bài 19: Chứng minh rằng:

               

         

2

2

4 2 2

2 x x x x

f x x 2x x

x x x x x 20x x 2x

Nguyễn Minh Tuấn

Giƥi

 Với

   



   

    

     



4

4

2

x 20x

x 0; x x

x x

Khi đỵ:           

   

2

2

2

2 x x x x

f x x 2x

x x x 2x 10

  

     

              

     

 

   

2 2

4 2

2

1 15

x x x 12x x x 38 x 620

2 19 0

x x x 2x 10

 Với



   



 

    



     



2

4

4 2

x x

1 14

x x x

2

11 x 20x x 5x

4

Khi đỵ:

     

           

  

   

   

   

            

 

   

2

2

2

6

2

2 x x x x

f x 24 3 x 2x

x x 2x 7x

5

40 x 260 x 537 x 761 x 389 x 281 x 690 5x 5x 24 8x 28x

 Vậy toán đƣợc giƧi quyết!

Nhận xét

Nhiều bƥn đặt cấu hỏi lƥi đánh giá đƣợc x420x2  4 x25x11

4 Đơn

giƧn vë:

+ Ta cần đƣa chứng minh

    

4 2

x 20x x ax b với x1

2 để

đƣa phƣơng trënh đa thức Lƥi cỵ a2 20

nên lấy

+ Do hàm nghịch biến nên điểm rơi x1

2 Cỵ thể kiểm tra Mode

hoặc cỵ đồ thị hàm y f x   nhƣ sau:

8

6

4

2

2

4

6

8

10

12

14

15 10 5 10 15

Cỵ thể thấy điểm     

 

 

1 5

A ;f

2 nằm phần xuống đồ thị nên f x 

nghịch biến Do đỵ nhân tử x4 20x2  4 x25x11

4 Phần cín lƥi khïng phƧi nỵi

nhiều!

Bài 20: Giƥi phương trình:  x5 5x4 2x32x24x 8 x41 x 6  x 0

Nguyễn Minh Tuấn

Giƥi

 Ta có:

 

      

        

     

  

   

          

          

      

     

   

      

 

     

     

 

       

   

  

5 4

3

4

3

6

4

3

6

4

3

x 5x 2x 2x 4x x x x x x x x x x 2x

x x x x x 3x 5x

x x x

x x 2x x x x 3x 5x

x x x

x x 2x x x x x

x x x 3x

f x x  

 

 



 

   



2

5x x x 2x

 Đặt g x x6  x 2 g' x 6x5   1 0 x 5

6 g' x đổi dấu qua nên

 

g x đƥt cực tiểu tƥi

6  

 

    

 

5

g x g 1, 41

6

 Đặt h x  x6  x 2x 4

1 Với x  2 h x 0

2 Với x  2 x6  x 2 x6   x3 h x x x 2 20  Khi đỵ cỵ:

    

   

        



   

    

 

   

3

6

2

2

6

x x 2x x x 3x 5x f x

x x 2x

9 83

3 x x 0,75 x 1,

2 16 0

Bài 21: Giƥi phương trình: 1 x x 2 1 x2 x 1  x2  x 2

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2016 – Anh Sơn – Nghệ An Giƥi

 Ta có:

 

  

       

           

  

 

  

        

2 2

2 2

2

2 2

1 x x x x 1 x x

1 x x x x x x x x x 2x x

x x 0

1 x x x x x x x x

    

    

        

 

2

2 2

2x x x

x

x x x x x x x x

 Để ó thấy: 1 x x  1 x2 x 1  x2 x 2 21 3   0 x 0

4  Khi đỵ ta cỵ:

 

  

  

  

 

 

     

        



     

2

2 2

2 2

2 2

2x x

f x

x x x x x x

2x x x x x x x x x x x x x x

  

  

  

    

        

     

      

 

     

2 2

2 2

2 2

2 2

2x x x x x x x x x x x x x x 2x 2x x x x x

g x x x x x x x

 

  

    

 

            

2 2 2

1

g x

2x 2x x x x x x x x x x x  Lƥi cỵ:

1      

     

2

2

x x x 1 x

1

1 x x 1 x x

2 Xét bất phƣơng trënh: x2    x 1 x 0

- Với x 1 bất phƣơng trënh lụn địng

- Với x 1 ta có: x2       x 1 x x lụn địng

3 Do đỵ  

 2 

x

1

Bài 22: Cho số a,b,c 0 Chứng minh rằng:  

3

2 2

3 3 a b c

3 a b c 2abc 11

3

   

     

 

Chứng minh

Đặt    

3

2 2

3 a b c

f a,b,c a b c 2abc 11

3

   

      

  Do f a,b,c  hàm bậc 3,

nên khïng tình tổng quát ta chuẩn hỵa a2b2c2 3 giƧ sử a a,b,c   Khi đỵ

ta cần chứng minh f a,b,c 3 a 3b3c32abc 11 0 

Đặt  

3

2 2 2

3 2

b c b c b c

f a, , a a b c 11

2 2

                         

      Ta có:

  b2 c2 b2 c2   3  2  2  2

f a.b.c f a, , b c b c b c a b c

2 2

                                       

2 2

2

2

2

1 3 b c b c b c b c 2bc a b c

3 b c b c 2bc

1 b c a

2 2 b c b c

                                 

Do a a,b,c   nên a  0;1

b c

  

  

 Khi đỵ ta cần phƧi chứng minh đƣợc:

      

 

2

2

3 b c b c 2bc

g a,b,c a

2 b c b c

                        

2 2

2 2

3 b c b c 2bc b c b c 2bc

a

2 b c b c b c b c

     

  

     

   

     

2 2

2 2

3b 3c b c 6bc b c b c b c 6bc

2 b c b c b c b c

                           

2 2

2 2

b c

6bc b c b c 6bc b c b c

0 b c b c b c b c





      

  

     

Vậy f a,b,c  f a, b2 c2 , b2 c2 f a, a2, a2

2 2

       

    

   

Ta có:

3

2 2

3

3 a a a a

f a, , a 2a 11

2 2

 

        

   

     

3

2

3

3

2

2

3

4

2

3

3 a a

f a, t, t a 2a 11

2

3 a 3 a

3a a a 11 9a 15 2a a

2

3 a 2a 6a 14a 23

a 2a *

2 a 3a

     

 

       

   

 

 

            

 

     

     

 

     

  

 

Đặt g a   2a 4  2 a  232 3a  3 a 42a36a214a 23 

 

 

 2a3 4a2 6a 12 2a 3a4 6a3 6a2 38a 29

          

Ta cỵ bổ đề: 6 2a2 61 22a 6 2a2 61 22a 1734a2 2684a 29 0

25 25 25 25 625 625 625

 

            

  Dễ

thấy bổ đề đòng với a 0;1

Mặt khác 2a34a26a 12 2a a a 3       12 a   0;1 , nên ta đƣợc:

   

4 2

61 22

g a 2a 4a 6a 12 a 3a 6a 6a 38a 29

25 25

31a 184a 226a 1052a 31a 184a 215a 441a 1052a

25 25

 

           

 

          

 

Do

   

   

   

   

4

4

2

3

2

31a 184a 215a a 0;1

3 a 2a 6a 14a 23 441a 1052a a 0;1 g a 2a

2 a 3a 2 a 3a



     

    

           



 

       

       

  



Vậy  * lụn địng  f a,t,t  0 f a,b,c 0

Dấu “=” xƧy a b c 1  

 Bây vấn đề đặt kiếm đâu bổ đề Để làm đƣợc điều ta dđng tiếp tuyến để tëm nỵ dƣới giịp đỡ CASIO Nhƣng nhiên ta cỵ thể đánh giá đƣợc 6 2a ax b chƣa cỵ manh mối gë? Để giƧi vấn đề ta tëm

điểm rơi bất đẳng thức cần chứng minh Ta cỵ:

  3

2

16a 24a 60a 72a 36

g' a 12a 18a 12a 38

6 2a

   

    



Phƣơng trënh g' a 0 cỵ nghiệm :

X A 0,919459592 

Bây ta cần đánh giá đƣợc biểu thức trƣớc

3

2a 4a 6a 12

    Dễ thấy rằng:

  

3

2a 4a 6a 12 a a a 12

Vậy cần chứng minh 6 2a ax b Ta sử dụng phìm d

dx

Ta đƣợc  2 X A

d

a 2X 0,8858596433

dx 

    Bây ta lấy a cho bất đẳng thức khïng bị đánh giá trội vừa đồng thời số hữu tỷ đẹp vừa để sau dễ đánh giá Do đỵ mënh lấy a 0,88 22

25



   Bây cần tëm b,do cần chứng minh đoƥn 0;1 nên ta dñng MODE để tëm b MODE với hàm F X  6 2X2 22X

25

  

trên  0;1 ta đƣợc:

Để ó thấy 6 2x2 22x 2, 449489742

25

   Bây

ta chọn b số hữu tỷ vừa đẹp vừa gần số

2, 449 Ta chọn số b 2, 44 61 25

  , đồng thời thay vào toán ta thấy nhân tử thỏa mãn Vậy ta tëm đƣợc nhân tử 6 2a2 22a 61

25 25

  

Chị ó bƥn tëm đƣợc a thë thay luïn X A vào để tëm b tëm đƣợc b 2,884982846 , hiển nhiên nhân tử sai Đối với mà chứng minh đoƥn thë ta thƣờng dñng MODE để tëm b, cín chứng minh khoƧng

PHƨN PHỤ LỤC – MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH BƦT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN KHƠNG CHỨA CĂN

I PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4.

1 Sử dụng tính chƧt tam thức bậc 2.

Nền tƧng: Ta phân tìch phƣơng trënh ban đầu thành       

 

2

2 ax

x m f x

2 đỵ f x 

một tam thức bậc luïn lớn với x

Ví dụ: Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm: x4x33x2  x 0

 Bước 1: Đầu tiên ta biến đổi phƣơng trënh theo tham số m nhƣ sau:

 

    

   

           

   

4

2

2 2

x x 3x x

x 11

x m 2m x m x m

2

Nhiều bƥn đặt câu hỏi tƥi lƥi x2 x m

2 Rất đơn giƧn, ta khai triển biểu thức

   

 

 

2

2 x

x m

2 xuất

3

x 2.x 2 x x3

2 Hiểu chứ, khác tách tƣơng

tự đƣợc nhƣ vậy, cỵ điều ta phƧi đƣa nỵ dƥng tổng quát: x42ax3bx2 cx d 0  thì

mới tách thành nhƣ

 Bước 2: Ta tính  theo tham số m:          

 

2 11 2

1 m 2m m

 Bước 3: Ta thấy phƣơng trënh ban đầu vï nghiệm thë phƣơng trënh

 

       

 

 

2

11 2m x 1 m x m 0

PhƧi vï nghiệm Để phƣơng trënh vï nghiệm thë

    

 



11 2m 0

 Dùng MODE ,nhập hàm sau vào máy:           

 

2 11

F X X 2X X

  

 Start 10 End 10 Step

Sau đỵ ta tëm giá trị X làm F X 0 &112X 0

4

Nhën vào bƧng ta thấy nhiều giá trị làm F X 0, nhƣng nhiên ta phƧi chọn cho 112X 0

4 đỵ phƧi

một giá trị bé dễ rịt gọn Với lì nhƣ tïi chọn X 0

hay m 0

 

   

             

   

2

4 2

0 x

x 11 76

x x 3x x x x

2 11 11

Nên phƣơng trënh vï nghiệm! 2 Sử dụng đƣo hàm.

Ta xét phƣơng trënh tổng quát: x4ax3bx2cx d 0 

 Bước 1: Đƥo hàm vế trái: f' x 4x33ax2 2bx c  Bước 2: GiƧi phƣơng trënh f ' x 0 Nếu :

1 Phƣơng trënh cỵ nghiệm thë điểm rơi toán

2 Phƣơng trënh cỵ nhiều nghiệm thë thử xem nghiệm làm vế trái nhỏ

 Bước 3: Tìm k cho:

+          

 

2

4 2 ax

x ax bx cx d x k x

+   

0

a k x x

2

Mục tiêu phƣơng pháp tƣơng tự nhƣ phƣơng pháp nhƣng cỵ vài điểm tối ƣu

 Bước 4: Sau ta tëm đƣợc k thë việc lấy :

 

            

 

2

4 2 a

x ax bx cx d x x k mx nx p x

Do f x g x    h x  mà đỵ    

 

  

h x

g x 0nên f x 0 Thế xong bài!

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: f x x4x2   x x  Bước 1: Đƥo hàm vế trái f' x 4x32x 1

 Bước 2: GiƧi phƣơng trënh f' x   0 x x0  0 8846461771

 Bước 3: Tìm k:

  2       

0

a

k x x 0.7825988 k 0.8

2

 Bước 4: Ta lấy:           

 

2

4 2

x x x x x x 1,36 x 5

Do đỵ phƣơng trënh ban đầu vï nghiệm! Nhanh chứ!

Ví dụ 2: Chứng minh : f x 2x4x32x2   x 0

 Bước 1: Đƥo hàm:   3      

0

 Bước 2: Tìm     

0

a k x x

2

 Bước 3: Lấy           

 

2

2

2

f x x x x 1

4 Xong!

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: f x 4x42x32x2  x 14 0

 Bước 1: Đƥo hàm    2      

0

f' x 16x 6x 4x x x 0,7909677904

 Bước 2: Tìm     

0 a

k x x 2

 Bước 3: Lấy             

   

2

2 1 87

f x x x x x 4 7

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC 6

Ta xét phƣơng trënh tổng quát sau: f x x6ax5bx4cx3dx2ex f 0   Ta thêm bớt biểu thức:     

 

2

3 a

x x mx n

 Lấy           

   

2 2

3 a a

f x x x mx n b 2m x

2

 GiƧi phƣơng trënh f' x   0 x x0 thỏa mãn f x   f x0  Tëm m thỏa mãn

   

  



m a

b 2m

, thïng thƣờng ta cho ba2 2m 1

 Tëm n thỏa mãn  

   

 03 02

n a

x x mx n x

 Khi tëm đƣợc m,n toán coi nhƣ đƣợc giƧi quyết! Sau dụ để tëm hiểu rð cách làm

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: f x x62x5x44x2 2x 0   Ta có   5 4 3      

0

f' x 6x 10x 4x 8x x x 0,25219838

 Lấy f x x3x2mx n 2    2 2m x 4  Ta tëm m thỏa mãn  2 2m 1 m 3

2

 Ta tëm n thỏa mãn 3 2     

0 0

3

x x x n n

2

 Lấy             

   

2

3 11 11

f x x x x x x x

2 4 16 16

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: f x x62x52x44x38x2 2x 12 0   Ta có   5 4 3       

0

f' x 6x 10x 8x 12x 16x x x 0,115820665

 Lấy f x x3x2mx n 2    3 2m x 4  Ta tëm m thỏa mãn  3 2m 1 m 2

 Ta tëm n thỏa mãn 3      

0 0

1 x x 2x n n

4 Để ó thấy f x 0 11,58 0

nhiều nên tốn lỏng lẻo Do đỵ ta cỵ thể coi n 0 để tiện ròt gọn máy tình

 Lấy f x x3x22x2 x44x22x 12 0   Vậy tốn đƣợc giƧi hồn tồn

III CÁCH PHÂN TÍCH RIÊNG CHO HAI DỴNG MÁY ĐẶC BIỆT.

Phương pháp hữu ìch cho díng máy VINACAL 570es PLUS II CASIO 570VN – PLUS bởi vë díng máy cỵ tình tình max tam thức bậc Đối với máy VINACAL thë ta sẽ bấm SHIFT 6 máy lên sau:

Cịn máy CASIO VN thë tìch hợp chức giải phương trënh bậc

 Nội dung

Phƣơng pháp dung tình chất bƧn tam thức bậc nhƣ sau:Xét tam thức    

f x ax bx c ta ln có      

 

2

b f x a x

2a 4a Tƣởng chừng đơn giƧn nhƣng lƥi

giúp ìch nhiều!

 Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: f x x43x33x23x  0 x

4 16

Giƥi

1

Vậy ta cỵ       

 

2 2

4 2 3x

x 3x 3x x x

2

4 Tiếp tục nhập   

4 16 ta lƥi đƣợc kết quƧ:

Vậy ta cỵ      

 

2

3x 3

x x

4 16

5 Vậy ta đƣợc          

   

2

2 3

f x x x x

2 Bài toán đƣợc giƧi quyết!

Nhanh chứ! Đấy bënh thƣờng ta chiến dụ tiếp theo!

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: f x x63x53x4x32x2  x 0

Giƥi

1 Nhập hệ số đầu vào máy ta đƣợc kết quƧ:

Vậy cỵ       

 

2

6 4 3

x 3x 3x x x x

2 Nhập vào máy hệ số đƣợc kết quƧ:

Vậy cỵ       

 

2

4 2

3

x x 2x x x x

Vậy cỵ       

 

2

5x x 1 x 17

3 10 20

4 Vậy                

     

2 2

4 3 2 17

f x x x x x x x

2 3 10 20

Bây chiến nốt dụ cuối cđng!

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: f x x82x73x64x514x42x33x2   x 0 x

3 3

Giƥi

Chỉ cần bấm máy khoƧng phịt ta cỵ kết quƧ dƣới đây:

                 

       

2 2

6 26 176 39 489 88 119

f x x x x x x x x

3 13 39 176 176 489 489

Tự làm nhé! Cuối cñng thử sức với sau Chứng minh:

  12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2   f x x 2x 18x 11x 18x 16x 22x 17x 31x 10x 20x 10x 21  Chị ó rằng:

1 Nếu bạn khïng cỵ díng máy thë cỵ thể tình thời gian tính  b &

2a 4a

2 Nếu bạn cỵ VINACAL hay VN PLUS thë đừng vội mừng, nhiều gặp phải bài hệ số xấu thë phải tình tay thïi vë máy tình khïng hiển thị được, Tiêu biểu bên tïi cho, vui vẻ nhé.

IV CHỨNG MINH TRÊN KHOƤNG.

Đầu tiên xét dƥng tổng qt cho tốn cỵ điểm rơi khïng chặt

GiƧ sử cần chứng minh phƣơng trình f x 0 vï nghiệm trênb; ; ;a Ta CALC

sao cho X a 1000; X b 1000    sau đỵ khai triển nhƣ bënh thƣờng Để hiểu rð ta cđng chiến dụ lấy

Ví dụ 1: Chứng minh : f x 3x42x32x2 10x x   2; 1 Cách 1: Hàm số

  

 

    

 

 

1 x

6 f '' x

1 x

6

 Lập bƧng biến thiên cho f ' x  ta đƣợc:

x 



1



1

6 

 

f '' x   

 

f ' x



83 5

9 

 83 5

9

Nhën vào bƧng biến thiên ta cỵ thể thấy phƣơng trënh f ' x 0 cỵ nghiệm thuộc vào khoƧng 0,9; 0,8 do f' 0,9 f' 0,8   0 GiƧ vờ nghiệm đỵ

 0  

x x 0,8997774777

Lƥi tiếp tục lập bƧng biến thiên cho f x  ta đƣợc

x  x0 

 

f ' x   

 

f x

 

48

 0

f x

Nhën vào bƧng dễ thấy f x   0 x 2; Vậy hết bài!

2. Cách 2: Nhóm thành tổng dựa vào điều kiện.

Ta dễ dàng nhận thấy x 2   x nên nƧy ó tƣởng viết f x  dƣới dƥng :     4   3   2   

f x a x b x c x d x e

Và cïng việc nhờ tới trợ giòp thủ thuật CASIO

 Ta CALC X cho X 1000   X 1002

 CALC X 1002 ta đƣợc kết quƧ 3,022058 10 12 3 x 2  4

 Ghi vào sau 3 X , CALC X 1002  4  ta đƣợc kết quƧ 2,205807 10 1022 x 2  3

 Ghi vào sau    3 

22 X , CALC X 1002 ta đƣợc kết quƧ    2

58074048 58 x  Ghi vào sau    2 

58 X , CALC X 1002 ta đƣợc kết quƧ 74048 74 x 2    48  Thử lƥi với X  ta đƣợc kết quƧ Vậy kết quƧ lụn địng

 Vậy     4   3   2       

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:f x x5x4 x34x26x x    1

Giƥi

 Đòng nhƣ bƣớc làm bên ta tách thành:

    5   4   3   2   

f x x x 13 x 17 x 20 x 10  Để ó thấy với

 

 

 

   

  



          

  



5

x

x 13 x f x x ; 20 x

Ví dụ 3: Chứng minh rằng:f x x7x6x52x48x38x2 10x x 1   

Giƥi

 Do bậc tƣơng đối cao nên ta làm nhƣ bënh thƣờng tëm hệ số cín lƥi đồng hệ số

 Ta có:

    7   6   5   4   3   2     

f x x x 16 x 23 x a x b x c x f  Lập hệ, cho x lần lƣợt 1,2,3 tëm đƣợc a,b,c

 Ta đƣợc:

    7   6   5   4   3   2   

f x x x 16 x 23 x 25 x 20 x 16 x  Bài toán đƣợc giƧi

V CHỨNG MINH TRÊN ĐOƢN

Ý tưởng phương pháp chình phương pháp DAC – Phương pháp cỵ “ Những viên kim cương bất đẳng thức – Trần Phương” bạn đọc cỵ thể tham khảo thêm!

Bài 1: Chứng minh rằng: f x x5x42x32x25x x   1;

Giƥi

 Để ó thấy:

1.f x   x 1 54 x 1  44 x 1  34 x 1  24 x 1  

2                           

   

 

 

2

4 2 3x 1 58

4 x x x x 4 x x 20 175

3.Nên đỵ f x   0 x 1;(đpcm) Xong! Hết

Hướng dẫn

 Do ta cần chứng minh f x   0 x nên nƧy ó tƣởng tách thành: x 1 5a x 1  4 b x 1  3c x 1  2d x 1   e

 Để tách thành nhƣ ta sử dụng máy tình cầm tay để giƧi Để ó thấy với

   

1.1 Nhập vào máy biểu thức trên, CALC X  1000 ta đƣợc kết quƧ

 

 15  

1.0 10 x 1.2 Ghi vào sau   5

X CALC X  1000 ta đƣợc kết quƧ là4.0 10 124 x 1  4.

1.3 Ghi vào sau    4

4 X CALC X  1000 ta đƣợc kết quƧ     3

3.99 10 x

1.4 Ghi vào sau 4 X 1  3 CALC X  1000 ta đƣợc kết quƧ 4003996 4 x 1  2

1.5 Ghi vào sau    2

4 X CALC X  1000 ta đƣợc kết quƧ 3996 4 x 1   1.6.Nhớ để tëm hệ số tự ta CALC giá trị mốc tức đƣợc kết quƧ  Vậy ta đƣợc kết quƧ     5   4    3   2   

f x x x x x x 4, thử lƥi

với x ta thấy kết quƧ lụn địng Đến vấn đề đặt ta tất cƧ khïng phƧi dấu



" "nên ta cần phƧi xử ló thêm bƣớc Thật may biểu thức bậc đằng sau lụn

dƣơng nên ta quy nỵ toán chứng minh phƣơng trënh bậc vï nghiệm với ẩn

 

y x Sử dụng thủ thuật SOS ta tách nỵ thành:               

     

          

   

 

 

4

2

2

4 x x x x

3x 1 58

4 x x

2 20 175

 Khi đỵ tốn đƣợc giƧi hoàn toàn!

Nhận xét

Bài toán dƥng đăc biệt biểu thức f x khá lỏng Vậy toán chặt khác mà tách dƥng nhƣ toàn dấu " " thë phƧi làm nhƣ nào? Sau cách giƧi

1.1 Thứ ta cần nới rộng khoƧng cần chứng minh ta, cỵ nghĩa tốn cho x 1 thë ta chứng minh hẳn nỵ lớn với x 3 chẳng hƥn, sau đỵ chứng minh nỵ lớn với x 1;3

1.2 Để chứng minh f x   0 x  1;3 ta sử dụng kỹ thuật chia để trị DAC ( Áp dụng chứng minh vï nghiệm đoƥn)

1.3 Nội dung phƣơng pháp DAC: Bổ đề: Cho hàm số f x, y liên tục xác định

   

 

D a;b a;b Hàm số f x, y đồng biến theo x nghịch biến theo y Khi đỵ f a,b 0thì f x, y f a,b 0

1.4 Chứng minh bổ đề:

+ Do hàm số đồng biến theo x, x a nên f x, y   f a, y 1 

+ Do hàm số nghịch biến theo y, y b nên f a, y f a,b 2  

1 Đối với ta giƧ vờ tách nỵ dƣới dƥng x 3  ta đƣợc:

    5   4   3   2      

f x x 14 x 76 x 196 x 236 x 108 x

2 Xét x 1;3 Đây điều quan trọng Do bổ đề xét tới hàm biến nên ta biến f x  thành hàm biến dựa vào tình đồng biến nghịch biến Ta cỵ:

2.1. x ' 5x5   0 Chỗ đồng biến ta đặt x

2.2. x '4  4x3  0 Chỗ nghịch biến nên đặt y

2.3 Tƣơng tự với chỗ cín lƥi Cuối cñng ta đặt

  5 4 3  

g x, y x y 2y 2y 5x 3, hàm chắn đồng biến theo x nghịch biến theo y với x, y D    1;3  1;3

3 Sau đặt xong hàm g x, y  ta cần phƧi chứng minh nỵ lớn Do bổ đề phát biểu f a,b  0 f x, y 0 thë nhiều ngƣời tƣơng luïn x 1& y 3  , nhƣng trêu nỵ âm choét ta đánh giá mƥnh tay, nhiều bƥn nghĩ bổ đề sai, nhƣng để ó phƣơng pháp cỵ tên chia để trị nên bƥn cần phƧi chia      1;3  1;a  a;b    z;3 xét khoƧng để thay cận vào nỵ lụn dƣơng, hiểu chứ? Để tëm khoƧng phƧi sử dụng đến tài sƧn quó báu máy tình

3.1 Nhập hàm g x, y  vào máy: X5Y42Y32Y2 5X 3 Đầu tiên bấm

CALC nhập X 1 trƣớc cận nhỏ nhất, sau đỵ ta thử thay Y 3

vào thấy âm thë chuyển Y 2 thấy âm Chuyển tiếp Y xuống 1, thấy âm, lịc đừng hoƧng ta tëm đƣợc Y 1,2 g x, y  369 0

625 ,

thế tëm đƣợc khoƧng

3.2 Để tëm tiếp khoƧng ta lƥi cho X 1,2 tëm Y Cứ lặp lƥi trënh ta chia đƣợc:

  1;3  1;1,2  1,2;1,3  1,3;1,39  1,39;1, 46  1, 46;1,51

           

 1,51;1,56  1,56;1,6  1,6;1,64  1,64;1,67  1,67;1,7  1,7;1,73

             

 1,73;1,76  1,76;1,8 ; 1,8;1,84  1,84;1,88  1,88;1,93  1,93;1,99  1,99;2 Woa! Thật đẹp mắt Lòc đến bƥn gặp khỵ khăn khoƧng ngày hẹp Ta lƥi nƧy ó tƣởng chứng minh f x   0 x Ta đƣợc:

    5   4   3   2     

f x x x 30 x 42 x 21 x

Vậy lời giƧi sơ lƣợc nhƣ sau:

1 Xét x 2 ta có     5   4   3   2     

f x x x 30 x 42 x 21 x

2 Xét x 1;2

+ Ta cỵ bổ đề sau: Cho hàm số f x, y liên tục xác định D   a;b  a;b Hàm số

 

f x, y đồng biến theo x nghịch biến theo y Khi đỵ f a,b 0thì

   

f x, y f a,b

- Do hàm số đồng biến theo x, x a nên f x, y   f a, y 1  - Do hàm số nghịch biến theo y, y b nên f a, y f a,b 2   - Từ    1 & cỵ điều phƧi chứng minh

+ Xét hàm g x, y x5y42y32y2 5x 3 f x g x,x .Hàm số đồng biến theo x, nghịch biến theo y, liên tục

1;1,2 ; 1,2;1,3 ; 1,3;1,39 ; 1,39;1, 46 ; 1, 46;1, 51        

           

; 1,51;1,56 ; 1,56;1,6 ; 1,6;1,64 ; 1,64;1,67 ; 1,67;1,7 ; 1,7;1,73

           

; 1,51;1,56 ; 1,56;1,6 ; 1,6;1,64 ; 1,64;1,67 ; 1,67;1,7 ; 1,7;1,73

+ Lƥi cỵ

 

 

  

  

  

 

369 g 1;1,

625

g 1,99; 4,1579601

nên theo bổ đề ta cỵ

     

     

    

 

    



f x g x, x x 1;1,

f x g x, x x 1,99;

Từ đỵ suy điều phƧi chứng minh!

* Lưu ó: Một điều đáng buồn viết khïng ghi “…” mà phải ghi hết để người ta cïng nhận khïng bị bắt bẻ Nỵi chung cách làm tổng quát dài cách làm dñng IQ mà Sau số cỵ thể làm theo DAC.

Bài 2: Chứng minh rằng: f x x8x5x2     x x

Giƥi 1 Cách 1: Tƣo dựng đẳng thức

Ta ln có:               

   

2

8 2

f x x x x x x x x 3

Từ đỵ suy điều phƧi chứng minh

2 Cách 2: DAC

Nhën cách cỵ vẻ ngắn gọn nhƣng nhiều bƥn cỵ thể khïng nhận thấy dấu hiệu tách đẳng thức thë ta cỵ thể làm nhƣ sau:

 Xét x 0 đỵ  x5 0 lƥi cỵ

  

     

  

  

  

2

8

1 x x x

2 x

nên cỵ điều phƧi chứng

minh

 Xét x 1 đỵ x8x5 x x5 31x x x5    x 10 ta cỵ điều phƧi

chứng minh

+ Bƣớc 2: Đặt hàm g x, y  cho hợp lì đƧm bƧo lụn địng theo bổ đề ( quan trọng!) Để đặt hàm g x, y  ta đƥo hàm biến xét tình đồng biến, nghịch biến.Nhớ chỗ đồng đặt x, nghịch biến y

 Có:      

 

  



    

 

 

 

    

8

5

2

x ' 8x x ' 5x x ' 2x

x '

Nên đặt hàm g x, y x8y5x2  y 1

+ Chia để trị: Để chứng minh vï nghiệm đƣợc ta phƧi chia thành khoƧng nhỏ

a;m ; m;n ; ; y;b     cho ta thay cận x cận max bẳng y thë

 

g x, y Cïng việc cỵ casio để hỗ trợ

 Nhập vào máy X8Y5X2  Y 1 Ta CALC X 0 trƣớc thử cho với Y 0

luïn xem cỵ dƣơng khïng Nhƣng tiếc biểu thức bị âm ta đánh giá trội, vë cần thu nhỏ khoƧng lƥi Thử CALC tiếp cho Y 0,5 xem.Lần dƣơng, nhƣng ta cỵ thể nới rộng khoƧng thử cho Y 0,7 lần dƣơng

nhƣng nới rộng bị âm.Thế tëm đƣợc khoƧng Ta lập lƥi trënh với X 0,7 phƧi tëm Y Lần lƣợt tëm đƣợc khoƧng

0,7;0,9 & 0,9;1   + Bƣớc 3: Lời giƧi:

- Viết lƥi bƣớc

- Đặt g x, y x8y5x2  y liên tục khoƧng 0;0,7 ; 0,7;0,9 ; 0,9;1     Đồng biến theo x, nghịch biến theo y, cỵ f x g x,x 

- Lƥi cỵ

       

       

       

       



      



       



g 0;0,7 f x g x,x x 0;0,7 g 0,7;0,9 f x g x,x x 0,7;0,9 g 0,9;1 f x g x,x x 0,9;1

- Suy điều phƧi chứng minh

Vậy toán đƣợc giƧi quyết! Hay Chiến nào!

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:             

 

6 1

f x x x x 2x x x ; 10

Giƥi

Đây toán chặt nên chắn phƧi chia tƣơng đối nhiều khoƧng Xét   

 

1 x ;0

9 Đặt        

6

g x, y x x x 2y x

10 Ta chia đƣợc khoƧng

là        

 

1

2 Xét   

 

4 x 0;

3 Đặt        

6

g x, y y x y 2x x

10 Ta chia đƣợc khoƧng

             

 

4 1;1,1 ; 1,1;1,2 ; 1,2;1,25 ; 1,25;1,29 ; 1,29;1, 31 ; 1,31;1,32 ; 1,32;

3 Ghê chƣa!

Vậy toán đƣợc giƧi quyết!

Áp dụng làm sau: Chứng minh rằng: f x   x4 3x26x x   0,2;1,1  Thử áp dụng cách làm làm sau

Chứng minh rằng:

1             

 

6 1

f x x x x 2x x x ; 10

2 f x x8x5x2    x x( thử dñng DAC nhé).

3 f x x5x4 x34x26x x      ; 1

4 f x x7 x6 x52x48x3 8x210x x 1   

5 f x   x4 3x2 6x x   0,2;1,1

TÀI LIỆU THAM KHƤO

1 Những viên kim cương bất đẳng thức toán học – Trần Phương 2 Sáng tạo bất đẳng thức – Phạm Kim Hñng

3 Bất đẳng thức – Định ló áp dụng – Nguyễn Văn Mậu

4 Sáng tạo phương trënh, bất phương trënh, hệ phương trënh – Nguyễn Tài Chung 5 Bất đẳng thức đánh giá phương trënh vï tỷ - Nguyễn Minh Tuấn