CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Chuyên đề: SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG. Biên soạn bằng bản word, font Times New Roman, MathType 6.9. Tài liệu được chia làm các phần: Lý thuyết cơ bản, bài tập từ dễ đến khó, lời giải chi tiết. Đây là tài liệu dành cho học sinh lớp 6 ôn thi học sinh giỏi, giáo viên làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 năm học 20202021.

CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ VÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A, LÝ THUYẾT Số nguyên tố: Tìm ước 2; 3; 4; 5; Các số 2; 3; có hai ước nên gọi số ngun tố, cịn có nhiều hai ước nên gọi hợp số Đ/N: Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ước Chú ý: Số 0, không số nguyên tố không hợp số Số số nguyên tố chẵn nhât, số nguyên tố lại số lẻ Các số nguyên tố < 20 2; 3; 5;7; 11; 13; 17; 19 B, LUYỆN TẬP Dạng 1: TÌM SỐ NGUYÊN TỐ Bài 1: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a, 3.4.5+6.7 b, 5.7.9.11-2.3.4.7 c, 3.5.7+11.13.17 d, 16354+67541 HD: 3.4.5 + 6.7 = ( 4.5 + 2.7 ) M a, Ta có: , Vậy tổng hợp số 5.7.9.11 − 2.3.4.7 = ( 5.9.11 − 2.3.4 ) M7 b, Ta có: , Vậy tổng hợp số 16354 + 67541 c, Ta có : có chữ số tận nên chia hết cho 5, Vậy tổng hợp số Bài 2: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a, 5.6.7+8.9 b, 5.7.9.11.13-2.3.7 c, 5.7.11+13.17.19 d, 4253+1422 HD : 5.6.7 + 8.9 = ( 5.2.7 + 8.3) M a, Ta có : , Vậy tổng hợp số 5.7.9.11.13 − 2.3.7 = ( 5.9.11.13 − 2.3) M b, Ta có : , Vậy tổng hợp số 5.7.11 13.17.19 M c, Ta có : số lẻ, số lẻ, Nên tổng số chẵn 2=> Là hợp số 4253 + 1422 d, Ta có : có chữ số tận nên chia hết cho 5, Vậy tổng hợp số Bài 3: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a, 17.18.19.31+11.13.15.23 b, 41.43.45.47+19.23.29.31 c, 987654+54321 HD : 17.18.19.31 + 11.13.15.23 = ( 17.6.19.31 + 11.13.5.23) M3 a, Ta có: , hợp số 41.43.45.47 19.23.29.31 b, Ta có: số lẻ, số lẻ, nên tổng số chẵn nên hợp số 987654 + 54321 c, Ta có : có chữ số tận nên chia hết cho 5, hợp số Bài 4: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a, 5.31.19.101+62.131.1989.17 b, 23.161.121.19-13.157.22.17 c, 123456789+729 Bài 5: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a, 5.7.8.9.11-132 b, 4.5.6+9.13 c, 7.11.13-5.6.7 d, 17.19.23+23.25.27 Bài 6: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a, 11.13.17-121 b, 15+3.40+8.9 c, 5.7.9-2.5.6 d, 90.17-34.40+12.51 Bài 7: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: + 52 + 53 + 54 2007 + 20102 a, 2010+4149 b, c, 7.8.9.10-2.3.4.5 d, HD : d, Dựa vào dấu hiệu chia hết cho Bài 8: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: 1.2.3… n + HD : n = => 1.2.3 + = Xét số nguyên tố n = => 1.2.3.4 + = 25 Xét hợp số Vậy không kết luận Bài 9: Cho a=2.3.4.5….2008 Hỏi 2007 số tự nhiên liên tiếp sau có hợp số không a+2, a+3, a+4, … , a+2008 HD: Ta có: 2007 số hợp số chúng chia hết cho 2; 3; 4;… ; 2008, Và lớn 5d Bài 10: Thay chữ số d vào số để hợp số HD: d ∈ { 0;1;2;3; ;8;9} Vì d ∈ { 0;2;4;6;8} => 5d M2 Nếu => hợp số d ∈ { 1;7} => 5d M3 Nếu => hợp số d ∈ { 5} => 55M5 Nếu => hợp số d ∈ { 3;9} => 5d Nếu số nguyên tố 7* Bài 11: Thay chữ số vào * để số nguyên tố HD: * ∈ { 0;1;2;3; ;8;9} Vì * ∈ { 0;2;4;6;8} => *M2 => Nếu hợp số * ∈ { 5;7} => *M5, *M7 => Nếu hợp số * ∈ { 1;3;9} => * Nếu số nguyên tố 5* Bài 12: Thay chữ số vào * để số nguyên tố 13a Bài 13: Thay a vào để số nguyên tố 1*,3* Bài 14: Thay chữ số vào để hợp số 5*,9* Bài 15: Thay chữ số vào * để số nguyên tố Bài 16: Tìm số tự nhiên k để 3.k số nguyên tố, 7.k số nguyên tố HD: Vì 3.k chia hết cho 3, nên để số nguyên tố 3k có ước nó, Vậy k=1 Vì 7.k chia hết cho 7, nên để số ngun tố 7k có ước nó, Vậy k=7 *1,15*,12*, *9 Bài 17: Thay dấu * chữ số thích hợp để số sau số nguyên tố: Bài 18: Các số sau số nguyên tố hay hợp số: 111 333 a, ( 2010 số 1) b, ( 2009 số 3) c, n(n+1),n > HD: 111 1M 11 a, Số (2010 số 1) => hợp số 333 3M b, Số => Là hợp số n ( n + 1) c, Số có TH : n = => n ( n + 1) = Nếu số nguyên tố n ≥ => n ( n + 1) M M Nếu hợp số n n+1 3.5.7.9 − 28M7 d, Số => hợp số Bài 19: Các số sau số nguyên tố hay hợp số: n5 n4 + a, b, 111…1 (2001 chữ số 1) c, HD: n = => 3.n = a, Với số nguyên tố n ≥ => 3.n Với hợp số 111 M b, Số ( 2001 chữ số 1) có tổng chữ số 2001 3=> hợp số n = => n + = c, Với số nguyên tố n ≥ => n + Với hợp số 1112111 = 1111000 + 1111 = 1111 103 + M 1111 ( d, 3.5.7.9-28 d, 1112111 ) d, Số hợp số Bài 20: Các số sau số nguyên tố hay hợp số: a, 111…1(2000 số 1) b, 1010101 c, 311141111 HD: 111 a, Số (2000 số 1) chia hết cho 11 nên hợp số 1010101 = 101.10001M 101 b, Số nên hợp số 311141111 = 311110000 + 31111 c, Số chia hết cho 31111 nên hợp số Bài 21: Tìm tất số tự nhiên n để n + 12n 3n + a, số nguyên tố b, số nguyên tố HD : n + 12n = n ( n + 12 ) n + 12 > => n ( n + 12 ) a, Ta có : , Vì có thêm ước n n+2 n ( n + 12 ) n = => n + 12n = 13 Để số nguyên tố (thỏa mãn) b, Nếu n = => 3n + = số nguyê tố n ≠ => + 6M3 Nếu hợp số Bài 22: Tìm số nguyên tố p cho: a, p+2, p+4 số nguyên tố b, p+10, p+14 số nguyên tố HD : p = 2( l) p=2 p+2=4 a, Giả sử với số nguyên tố => hợp số p = 3( t / m ) p=3 => p + = 5, p + = Với số nguyên tố số nguyên tố=> p > => p = 3k + 1, p + 3k + 2, ( k ∈ N ) Với p = 3k + ( l ) p = 3k + => p + = 3k + + 2M Nếu giả sử số nguyên tố hợp số => p = 3k + ( l ) p = 3k + p + = 3k + + 4M3 Nếu giả sử số nguyên tố => hợp số=> Vậy p = số nguyên tố cần tìm => p = ( l ) p=2 => p + 10 = 12M2 b, Giả sử với số nguyên tố hợp số => p = ( t / m ) p=3 => p + 10 = 13, p + 14 = 17 Với số nguyên tố số nguyê tố p > => p = 3k + 1, p = 3k + 2, ( k ∈ N ) Với => p = 3k + ( l ) p = 3k + => p + 14 = 3k + + 14M3 Nếu giả sử số nguyên tố hợp số => p = 3k + ( l ) p = 3k + => p + 10 = 3k + + 10M3 Nếu giả sử số nguyên tố hợp số Vậy p = số nguyên tố cần tìm Bài 23: Tìm số nguyên tố p cho: a, p+2, p+6, p+8, p+14 số nguyên tố b, p+6, p+8, p+12, p+14 số nguyên tố HD : p = 2( l) p=2 p + = 4M2 a, Giả sử với số nguyên tố => hợp số=> p = 3( l ) p=3 => p + = 9M3 Với số nguyên tố hợp số=> p=5 p + = 7, p + = 11, p + = 13, p + 14 = 19 Với số nguyên tố => số nguyên tố p > => p = 5k + 1, p = 5k + 2, p = 5k + 3, p = 5k + 4, ( k ∈ N ) Với => p = 5k + 1( l ) p = 5k + => p + 14 = 5k + + 14M Nếu giả sử số nguyên tố hợp số => p = 5k + 1( l ) p = 5k + => p + = 5k + 10M Nếu giả sử số nguyên tố hợp số => p = 5k + ( l ) p = 5k + => p + = 5k + + 2M5 Nếu giả sử số nguyên tố hợp số => p = 5k + ( l ) p = 5k + => p + = 5k + + 6M5 Nếu giả sử số nguyên tố hợp số Vậy p=5 số nguyên tố cần tìm n Bài 24: Tìm số nguyên tố p cho: a, p+4, p+8 số nguyên tố b, p+94, p+1994 số nguyên tố HD : p = 2( l) p=2 p + 94 = 96 b, Giả sử với số nguyên tố => hợp số p = 3( t / m ) p=3 => p + 94 = 97, p + 1994 = 1997 Với số nguyên tố số nguyên tố=> p > => p = 3k + 1, p + 3k + 2, ( k ∈ N ) Với p = 3k + ( l ) p = 3k + => p + 1994 = 3k + + 1994M Nếu giả sử số nguyên tố hợp số => p = 3k + ( l ) p = 3k + p + 94 = 3k + + 94M3 Nếu giả sử số nguyên tố => hợp số=> Vậy p = số nguyên tố cần tìm Bài 25: Tìm số nguyên tố p cho: a, p+18, p+24, p+26, p+32 số nguyên tố b, p+2, p+10 số nguyên tố Bài 26: Tìm số nguyên tố p cho: p+2, p+8, p+16 số nguyên tố Bài 27: Tìm số nguyên tố p cho: a, 2p-1, 4p-1 số nguyên tố b, 2p+1, 4p+1 số nguyên tố HD: p = 2( t / m) p=2 p − = 3, p − = a, Giả sử với số nguyên tố => số nguyên tố p = 3( t / m ) p=3 => p − = 5, p − = 11 Với số nguyên tố số nguyên tố=> p > => p = 3k + 1, p + 3k + 2, ( k ∈ N ) Với => p − = ( 3k + 1) − = 12k + 3M p = 3k + Nếu giả sử số nguyên tố hợp số p = 3k + ( l ) => p − = ( 3k + ) − = 6k + 3M p = 3k + Nếu giả sử số nguyên tố => hợp số p = 3k + ( l ) => Vậy p = p = số nguyên tố cần tìm p = 2( l) p=2 4p +1 = b, Giả sử với số nguyên tố => hợp số p = 3( t / m ) p=3 => p + = 7, p + = 13 Với số nguyên tố số nguyên tố=> p > => p = 3k + 1, p + 3k + 2, ( k ∈ N ) Với => p + = ( 3k + 1) + = 6k + 3M p = 3k + Nếu giả sử số nguyên tố hợp số p = 3k + ( l ) => p + = ( 3k + ) + = 12k + 9M p = 3k + Nếu giả sử số nguyên tố => hợp số p = 3k + ( l ) => Vậy p = số nguyên tố cần tìm Bài 28: Tìm tất số tự nhiên n để n+1, n+3, n+7, n+9, n+13, n+15 số nguyên tố Bài 29: Tìm tất số nguyên tố p, q cho 7p+q pq+11 số nguyên tố HD : pq + 11 Nếu số nguyên tố phải số lẻ số nguyên tố lớn pq Suy số chẵn, số p q p = => p + q = 14 + q Giả sử : số nguyên tố q = => p + q = 7.2 + = 16 ( l ) Nếu q = => p.q + 11 = 2.3 + 11 = 17 ( t / m ) p + q = 7.2 + = 17 ( t / m ) Nếu q > => q = 3k + 1, q = 3k + 2, ( k ∈ N ) Nếu => q = 3k + ( l ) q = 3k + => p + q = 14 + 3k + 1M3 Với hợp số q = 3k + => pq + 11 = 2q + 11 = ( 3k + ) + 11 = 6k + 15M => q = 3k + ( l ) Với hợp số p = 2, q = Vậy q=2 p=3 Xét tiếp TH giả sử ta Bài 29 : Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + hợp số Bài 30: Tìm số nguyên tố k để 5k số ngun tố HD : Thấy 5k ln có ước k > => 5k Nên hợp số 5k Để số nguyên tố thi k=1 Bài 31: Tìm số nguyên tố p cho 5p+7 số nguyên tố HD : p=2 p + = 17 Nhận thấy số nguyê tố, số nguyên tố p = 2k + 1, ( k ∈ N ) p=2 Ngồi p p = 2k + => p + = ( 2k + 1) + = 10k + 12 M p = 2k + ( l ) Nếu hợp số, nên Vậy p=2 số nguyên tố cần tìm Bài 32: Tìm số tự nhiên k để 11k số nguyên tố Bài 33: Chứng minh với số tự nhiên n (n>1) ln tìm n số tự nhiên liên tiếp hợp số HD : a = 2.3.4 n ( n + 1) Chọn số tự nhiên a + 2, a + 3, a + 4, , a + n, a + ( n + 1) Khi ta có n số tự nhiên liên tiếp là hợp số 2,3,4, , n, n + Vì n số chia hết cho Bài 34: Tìm 2002 số tự nhiên liên tiếp hợp số HD : Chọn a = 2.3.4 2002.2003 a + 2, a + 3, a + 4, , a + 2002, a + 2003 Khi ta có 2002 số tự nhiên liên tiếp là hợp số 2,3, 4, , 2002,2003 Vì 2002 số chia hết cho 25 ≤ 6a + 13 ≤ 45 Bài 35: Tìm số nguyên tố a cho 6a+13 số nguyên tố HD : Ta có : Từ 25 đến 45 có số nguyên tố : 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 Nên ta có bảng sau : 6a+13 29 31 37 41 43 a Mà a số nguyên tố nên a = (loại) Bài 36: Tìm số nguyên tố a để 2a+7 số nguyên tố 2 Vì p vừa tổng vừa hiệu số nguyên tố nên phải có số nguyên tố chẵn, Như số chẵn 2,Khi ta có : p = a+2 =b−2 ( với a, b số nguyên tố) => a = p − 2, p, b = p + số lẻ liên tiếp nên có số chia hết cho 3, phải có số a = => p = 5, b = Nếu p = => a = ( l ) Nếu b = => p = 1( l ) Nếu Vậy số nguyên tố cần tìm Bài 38: Tìm tất số nguyên tố p cho 4p+11 số nguyên tố A ≥ 27 A = a x b y => ( x + 1) ( y + 1) = Đặt A= , Để A có ước 6=2.3=> x ≥ y ≥1 Với A = 25 = 32 Nếu A chứa thừa số nguyên tố x+1=6=>x=5, Chọn thừa số nguyên tố bé Nếu A chứa hai thừa số nguyên tố thì: x=2, y=1 ngược lại, để A nhỏ ta chọn thừa số nguyên A = 22.31 = tố bé có số mũ lớn thừa số lớn có số mũ bé ước: Đối chiếu đề ta thấy A>27 2 p = 32 − 23 = = 32 thỏa mãn: => số nguyên tố k M6 Bài 43: Cho số nguyên tố lớn thỏa mãn số sau lớn số trước k đơn vị CMR: HD: Gọi số nguyên tố thỏa mãn là: p, p+k p+2k k = 3m + 1, k = 3m + => k số chẵn=> k chia hết cho 2, Giả sử k khơng chia hết cho k = 3m + TH1: Với p chia dư thì: p=3n+1=> p+2k=3n+1+6m+2 chia hết cho ( loại) Với p chia dư thì: p=3n+2=> p+k = 3n+2+3m+1 chia hết cho 3(loại) TH2: k=3m+2 Với p chia dư thì: p=3n+1=>p+k=3n+1+3m+2 chia hết cho (loại) Với p chia dư thì: p=3n+2=> p+2k=3n+2+6m+4 chia hết cho 3(loại) nên k phải chia hết k chia hết cho 3=> k chia hết cho p2 + Bài 44: Tìm số nguyên tố p cho số nguyên tố x2 − y = Bài 45: Tìm số nguyên tố thỏa mãn: HD: x2 −1 = y Từ gt=> , x chia hết cho x ngun tố nên x=3, lúc y=2 nguyên tố y2 x2 − Nếu x khơng chia hết cho chia hết cho chia hết cho 3, mà (2;3) =1 x = 19 Nên y chia hết cho 3, => y=3 khơng thỏa mãn, Bài 46: Tìm số n nhỏ để: n + 1; n + 3; n + nguyên tố Bài 47: Tìm hai số nguyên tố p q biết p > q cho p + q p – q số nguyên tố 2p + p2 Bài 48: Tìm số nguyên tố p thỏa mãn: số nguyên tố y x + 1= z Bài 49: Tìm ba số nguyên tố x, y, z thỏa mãn: Dạng 2: CHỨNG MINH LÀ HỢP SỐ Bài 1: Cho p 8p-1 số nguyên tố, chứng minh 8p+1 hợp số HD: p=3 Nhẩm thấy số cần tìm p = 3a + r ( r = 0;1;2 ) Đặt r = => p = 3a a = => p = 3,8 p − = 23 Nếu số nguyên tố nên số nguyên tố, p + = 25 Thỏa mãn điều kiện đầu bài, Khi hợp số (đpcm) r = => p = 3a + Nếu giả sử số nguyên tố p − = ( 3a + 1) − = 24a + giả sử số nguyên tố, đó: p + = ( 3a + 1) + = 24a + 9M3 hợp số(đpcm) r = => p − = ( 3a + ) − = 24a + 15M r = 2( l) Nếu hợp số nên Bài 2: Chứng minh rằng: p số nguyên tố >3 2p+1 số nguyên tố 4p+1 hợp số HD: p = 3k + 1, p = 3k + ( k ∈ N ) Vì p số nguyên tố lớn nên => p + = 6k + 3M3 ( l ) p = 3k + Nếu số nguyên tố p = 3k + => p + = 6k + Nếu số nguyên tố giả sử số nguyên tố, p + = 12k + M Khi : hợp số, (đpcm) Bài 3: Cho p số nguyên tố >3, biết p+2 số nguyên tố, cmr p+1 chia hết cho HD : p = 3k + 1, p = 3k + 2, k ∈ N * ( ) Vì p số nguyên tố lớn 3, nên => p + = 3k + 3M3 ( l ) p = 3k + Nếu giả sử số nguyên tố p = 3k + => p + = 3k + Nếu giả sử số nguyên tố giả sử số nguyên tố, p + = 3k + = ( k + 1) M Khi : p => 3k 3k + Mà nguyên tố nên số lẻ số lẻ =>3k số lẻ=> k số lẻ=> k+1 số chẵn => ( k + 1) M6 (đpcm) Bài 4: Cho p p+4 số nguyên tố lớn 3, cmr p+8 hợp số HD : p = 3k + 1, p = 3k + 2, k ∈ N * ( Vì p số nguyên tố lớn 3, nên p có dạng p = 3k + => p + = 3k + 6M Nếu hợp số (loại) ) p = 3k + Nếu => p + = 3k + giả sử số nguyên tố giả sử số nguyên tố, p + = 3k + 9M Khi : hợp số (đpcm) Bài 5: Chứng minh với p số nguyên tố lớn 8p2 +1 số nguyên tố 8p2 -1 hợp số HD : p,8 p + Vì số nguyên tố lớn nên không chia hết cho p − 1;8 p ;8 p + Khi ta có : số nguyên liên tiếp nên phải có số chia hết cho 2 / 3, p M / => p M /3 p + 1M p − 1M3 Mà , Vậy hợp số Bài 6: Chứng minh p p+2 hai số nguyên tố >3 tổng chúng chia hết cho 12 HD : A = p + ( p + ) = p + = ( p + 1) p + = p −1+ Đặt Và p − 1, p, p + Xét số liên tiếp phải có số chia hết cho Vì p số nguyên tố lớn 3, nên p không chia hết cho 3, p + 1M3 => ( p + 1) M3 /3 p+2 p − 1M Mặt khác chia hết cho chia hết cho 3, ( p + 1) M 12 => p + M Lại có p số nguyên tố >3 nên p lẻ số chẵn 2, Vậy Bài 7: Chứng minh p số nguyên tố >3 (p-1)(p+1) chia hết cho 24 HD : Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ không chia hết cho => ( p − 1) , ( p + 1) => ( p − 1) ( p + 1) M Với p không chia hết cho hai số chẵn liên tiếp p = 3k + 1, p = 3k + Mặt khác p không chia hết p = 3k + => ( p − 1) M3 => ( p − 1) ( p + 1) M24 Nếu p = 3k + => ( p + 1) M3 => ( p − 1) ( p + 1) M24 Nếu Bài 8: Cho p 10p+1 số nguyên tố >3, cmr 5p+1 hợp số HD: p = 3k + 1, p = 3k + 2, k ∈ N * ( ) Vì p số nguyên tố lớn nên p = 3k + => 10 p + = 30k + 11 Với giả sử số nguyên tố, giả sử số nguyên tố p + = 15k + 6M3 Khi đó: hợp số (đpcm) p = 3k + => 10 p + = 30k + 21M Với giải sử số nguyên tố (loại) Bài 9: Cho p p+8 số nguyên tố (p>3) cmr p+4 hợp số Bài 10: Cho p 4p+1 hai số nguyên tố (p>3), cmr 2p+1 hợp số Bài 11: Cho p 5p+1 hai số nguyên tố (p>3), cmr 10p+1 hợp số Bài 12: Cho p 8p+1 hai số nguyên tố (p>3), cmr 4p+1 hợp số Bài 13: Cho p p+10 số nguyên tố, cmr p+32 hợp số Bài 15: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100, hỏi tổng 25 số nguyên tố số chẵn hay số lẻ HD: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100, có số nguyên tố chẵn số Còn lại 24 số nguyên tố lại số lẻ => tổng 24 số lẻ cho ta số chẵn Vậy xét tổng 25 số nguyên tố cho ta số chẵn Bài 16: Tổng ba số nguyên tố 1012, Tìm số nguyên tố nhỏ số nguyên tố HD: Tổng số nguyên tố 1012 số chẵn, nên bắt buộc phải có số chẵn, Mà số nguyên tố chẵn nhỏ số Bài 17: CMR số nguyên tố >2 có dạng 4n+1 4n-1 HD: p = 2k + 1, k ∈ N * ( ) Mọi số nguyên tố p lớn có dạng => k = 2n => p = 2k + = 2.2n + = 4n + TH1: Nếu k chẵn ( n∈ N ) => k = 2n − => p = 2k + = ( 2n − 1) + = 4n − TH2: Nếu k lẻ Bài 18: CMR p số nguyên tố >3 p có dạng 6k+1 6k+5 HD: p = 3n + 1, p = 3n − Mọi số tự nhiên p lớn có dạng Vì n lẻ p số chẵn p không số nguyên tố => n = 2k ( k > 0, k ∈ N ) Nên n phải chẵn , Xét TH: * , p = 3n + = 6k + TH1: p = 3n − = 3.2k − = 6k − = 6k + TH2: Bài 19: CMR p số nguyên tố lớn 3, cho 14p+1 số nguyên tố 7p+1 bội số HD: Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ không chia hết cho p +1 Khi số chẵn nên chia hết cho p = 3k + 1, p = 3k + 3, k ∈ N * p ( ) Mặt khác khơng chia hết p có dạng p = 3k + ( l ) p = 3k + => 14 p + = 45k + 15M3 Với giả sử số nguyên tố, nên p = 3k + => 14 p + = 42k + 29 Với giả sử số nguyên tố, Khi đó: p + = 21k + 15M3 p + 1M Như p + 2012 Bài 20: Cho p số nguyênt ố lớn 3, CMR: hợp số p −1 p +1 Bài 21: Chứng minh p tích n số ngun tố khơng thể số phương HD: pM2 Vì p tích n số nguyên tố nên p chia hết cho (1) p +1 = m ( m∈ N ) - Giả sử p+1 số phương, Đặt p + => m Vì p chẵn nên lẻ lẻ =>m lẻ m = 2k + ( k ∈ N ) m = 4k + 4k + => p + = 4k + 4k + => p = 4k + 4k = 4k ( k + 1) Đặt , Ta có: Mẫu thuẫn với (1) =>p+1 khơng thể số phương p = 2.3.5 => p − M => p − - Giả sử có dạng 3k+2 khơng số phương n ( n > 1) Vậy p tích số ngun tố p – p + khơng số phương B − 1, B, B + B = 1.3.5.7 2017.2019 Bài 22 : Cho , Hỏi số số số phương? HD : 2BM => B − = 3k + ( k ∈ N ) B − = 2.1.3.5 2017.2019 − Ta có : , có => B − khơng số phương B = 2.1.3.5 2017.2019 => B / => B M2 /4 B M 2B M Với chẵn=> lẻ nên B Và 2B chẵn nên 2B không chia cho dư dư 3, 2B khơng số phương B + = 2.1.3.5 2017.2019 + => B + /4 B + 1M Với số lẻ, nên / => B + M /4 2B M dư 1=> 2B +1 không số phương Bài 23 : Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống HD : aabb = n , ( a , b ∈ N ) ,1 ≤ a ≤ 9,0 ≤ b ≤ Gọi số phương phải tìm : n = aabb = 11.a 0b = 11( 100a + b ) = 11 ( 99a + a + b ) Ta có : (1) aabbM 11 => a + b M 11 Nhân xét thấy : ≤ a ≤ 9,0 ≤ b ≤ => ≤ a + b ≤ 18 => a + b = 11 Mà n = 112 ( 9a + 1) => 9a + Thay vào (1) ta : số phương Bằng phép thử a từ đến ta thấy có a = thỏa mãn => b=4 Vậy số cần tìm 7744 10 p + p + 1M Bài 24 : Cho p số nguyên tố lớn thỏa mãn : số nguyên tố, CMR : HD : Vì p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho 3, nên 10p không chia hết cho (1) /3 10 p + 10 p + > => 10 p + M Lại có số nguyên tố (2) 10 p ( 10 p + 1) ( 10 p + ) Ta có : tích số tự nhiên liên tiếp nên phải có số chia hết cho => 10 p + M3 => p + 1M 5p +1 Lại có p số nguyên tố lớn nên p lẻ=> p + 1M số chẵn nên chia hết cho 2, Dạng 3: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ NGUYÊN TỐ Bài 1: Chứng minh số sau hợp số 1211 + 1317 + 1719 + 2323 + 29 29 + 25125 4525 + 3715 a, b, c, HD: 1211 + 1317 + 1719 a, Ta có: số chẵn nên hợp số 23 29 125 + 23 + 29 + 25 b, số chẵn nên hợp số 25 15 45 + 37 c, Ta có : số chẵn nên hợp số 354 95 + 5125 d, Tương tự số chẵn nên hợp số Bài 2: Chứng minh số sau hợp số 21123 + 23124 + 25125 108 + 107 + 175 + 244 − 1321 a, b, c, HD: 108 + 107 + b, Ta có : có tổng chữ số chia hết hợp số 21 17 + 24 − 13 c, Ta có : số chẵn nên hợp số 25 15 425 − 37 d, số chẵn nên hợp số Bài 3: Chứng minh số sau hợp số n+1 22 + 3, n ∈ N + 27 + 311 + 513 + 717 + 1119 195354 − 15125 a, b, c, HD: 195354 − 15125 b, Ta có: số chẵn nên hợp số n +1 n n n +1 2n = 2 = n.2 => 22 = = 24 c, Ta có : nên n = 41+n −1 = 4.4 n −1 => 4 = 4.4 = ( ) n n −1 4n −1 = 6.4 = , 26 n + + 13, n ∈ N Bài 4: Chứng minh số sau hợp số: Bài 5: Chứng minh số sau hợp số: abcabc + abcabc + 22 abcabc + 39 a, b, c, HD: abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c + a, Ta có: = a.100100 + b.10010 + 1001c + = 1001 ( 100a + 101b + c ) + Vì 1001 chia hết b, Tách tương tự, abcabcM7 1001M 11 hợp số nên hợp số M c, Tách tương tự, 1001 13 nên hợp số Bài 6: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư r hợp số, tìm r 22 d, d, 95354 + 5125 42525 − 3715 22 n+1 + 7, n ∈ N d, n +1 + = 5M5 hợp số Bài 7: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r, Tìm r biết r khơng số nguyên tố Bài 8: Cho C=222 22000 00777 77( 2011 số 2, 2011 số 2011 số 7) Vậy C nguyên tố hay hợp số? HD: Tổng chữ số C 2011(2+7)=2011.9 chia hết C hợp số Bài 9: CMR: Hai số lẻ liên tiếp nguyên tố Bài 10: Có hay khơng số ngun tố mà chia cho 12 dư Bài 11: CMR : Trong ba số nguyên tố lớn 3, tồn số nguyên tố mà tổng hiệu chúng chia hết cho 12 Bài 12: Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư hợp số r, tìm r a2 + c2 = b2 + d Bài 13: Cho a,b,c,d số nguyên dương thỏa mãn : , CMR : a+b+c+d hợp số HD: ( a2 + b2 + c + d ) − ( a + b + c + d ) = ( a − a ) + ( b − b ) + ( c − c ) + ( d − d ) Ta có : a + c = b + d => a + b + c + d = ( b + d ) M2 a ( a − 1) + b ( b − 1) + c ( c − 1) + d ( d − 1) M2 => Mà a + b + c + d M2 ≥4 Do Vậy a+b+c+d nên a+b+c+d hợp số A = an + bn + cn + dn Bài 14 : Cho số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn : ab=cd Chứng minh : hợp số với số tự nhiên n CHUN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Định nghĩa: Số phương bình phương số tự nhiên A = k2 ( k ∈ N ) Như vậy: A số phương A có dạng VD: 0;1;4;9;16;25;… Tính chất: - Số phương tận 0,1,4,5,6,9 - Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số với mũ chẵn Hệ quả: + Tích số phương số phương M M + Số phương M M + Số phương M M + Số phương 25 M M + Số phương 16 + Số lượng ước lẻ số phương ngược lại + Số phương chia dư Dạng 1: CHỨNG MINH LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Các tổng sau có phải số phương khơng? A = + 32 + 33 + + 320 1010 + 1010 + B = 11 + 112 + 113 a/ b/ c/ d/ 100 50 10 + 10 + e/ HD: a, Tổng A Chi hết cho không chia hết không số phương b, Tổng B có chữ số tận nên khơng số phương 1010 + c, Ta có: có chữ số tận nên khơng số phương 10 10 + d, Ta có: chia hết cho khơng chia hết cho 25 nên khơng số phương 100 10 + 1050 + e, Ta có: có tổng chữ số nên chia hết cho mà không chia hết không số phương A = 22 + 23 + + + 220 Bài 2: Cho , chứng minh A+4 khơng số phương? HD: A = 221 − 22 => A + = 221 Tính tổng A ta được: khơng số phương có mũ lẻ 100 B = + + + + Bài 3: Cho , chứng minh 2B+3 không số phương? HD: 2B = 3101 − => 2B + = 3101 Tính tổng B ta được: khơng số phuownh mũ lẻ Bài 4: Viết liên tiếp từ đên 12 ta số A=1234…1112 hỏi số A có 81 ước khơng? HD: Giả sử A số phương, ta có tổng chữ số A là: 1+ + 3+ + 11+ 12 = 51M3 / M nên khơng số phương Khi A khơng thể có 81 ước Hoặc A có chữ số tận 2, nên A không số phương ab ab − ba Bài 5: Tìm số nguyên tố để số phương (a>b>0) HD: A = ab − ba = 9a − 9b = 32 ( a − b) Phân tích ta có: Để số phương a-b số phương 1≤ a − b ≤ => a − b∈ { 1;4} Mà a − b = => ab∈ { 21;32;43;54;65;76;87;98} TH1: Với Thấy có 43 số nguyên tố a − b = => ab∈ { 51;62;73;84;95} TH2: Với Có 73 số nguyên tố ab Vậy số 43 73 ab ab + ba Bài 6: Tìm số có dạng cho số phương Bài 7: Số 101112…20 có số phương khơng? HD: Số có chữ số tận nên khơng số phương 20042 + 20032 + 2002 − 20012 Bài 8: Chứng minh khơng phải số phương HD: Tổng có chữ số tận nên khơng số phương Bài 9: Chứng minh số 1234567890 khơng số phương? HD: Số chia hết cho không chia hết cho 25 nên không số phương Bài 10: Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số khơng số phương? HD: Số có tổng chữ số 2004 số chia hết cho không chia hết cho Bài 11: Chứng minh số có tổng chữ số 2006 khơng phải số phương HD: Số phương chia cho dư Số có tổng chữ số 2006 nên chia dư 2, khơng phải số phương Bài 12: Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 khơng số phương? HD: 1+ + 3+ + 2004 + 2005 = 2006.2005: = 1003.2005 = A Ta có: Phân tích A ta thấy A khơng số phương n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 Bài 13: Chứng minh khơng số phương? HD: n = 4k + 3( k ∈ N ) 44 M4,4444 M4 => n : Ta có: dư 3, => => n khơng số phương Bài 14: Tìm số phương có chữ số, biết hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống HD: aabb = n2 ( a,b∈ N,1≤ a ≤ 9,0 ≤ b ≤ 9) Gọi số phương cần tìm là: n2 = aabb = 11.a0b = 11( 100a + b) = 11( 99a + a + b) Ta có: (1) aabbM 11 => a + bM 11 => a + b = 11 Thấy Thay vào (1) ta được: 2 n = 11 ( 9a + 1) => 9a + số phương Thử a=1, 2, 3, …., thấy a=7 thỏa mãn=> b=4 Bài 15: Chứng minh số sau số phương 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + + + + 2n − a, b, HD: ( 1+ 2n − 1) n = n2 A= b, Tính tổng B ta được: Vậy tổng số phương Bài 16: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số biết 2n+1 3n+1 số phương HD: 10 ≤ n ≤ 99 => 21≤ 2n + ≤ 199 Ta có: , Tìm số phương lẻ khoảng ta được: 25; 49;81; 121; 169 ứng với n=12, 24, 40, 60, 84 Khi 3n+1=37, 73, 121, 181, 253, Thấy có 121 số phương, n=40 Bài 17: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số để 3n+1 4n+1 số phương Bài 18: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết nhân với 135 ta số số phương HD: 135n = a2 ( a∈ N ) Gọi số phải tìm n, ta có: 33.5.n = a2 Hay số phương=> n=3.5.k2 Với k=1=>n=15 Vơi k=2=>n=60 ≥ ≥ Với k 3=>n 135 (loại) Vậy số cần tìm 15 60 Bài 19: Các số sau số phương khơng? 20012001 abab abcabc ababab A = abc + bca + cab a, b, c, d, e, HD: n2 = abab = ab.101 => abM 101 a, Ta có: ( Vơ lý) n = abcabc = abc.1001 => abcM 1001 b, Ta có: ( Vơ lý) n = ababab = ab.10101 = ab.3.7.13.37 abM 10101 c, Ta có: => ( Vơ lý) ( ) 20012001 = 20011000 2001 d, Ta có: , Số 2001 chia hết cho không chia hết cho A = abc + bca + cab = 111a + 111b + 111c = 3.37( a + b + c) e, a + b + cM37 a + b + c ≤ 27 mà nên A số phương Bài 20: Cho số 3,6,8,8 tìm số phương lập từ số HD: n2 Gọi số phương phải tìm Vì số phương khơng có tận 3; nên n n2 có tận 6=> tận 36 86 / M M Nếu tận 86 nên phải có tạn 36 Vậy số cần tìm 8836 Bài 21: Cho số 0,2,3,4 Tìm số phương có chữ số từ số HD: n2 n2 Gọi số phương phải tìm=> có tận n Nếu n có tận có tận 00=> loại n n có tận có tận 04, 24, 34 n M M Do số phương nên 4=> tận 04 24 Xét số: 2304; 3204; 3024 có 2304 số phương Bài 22: Cho số 0,2,3,5 Tìm số phương có chữ số từ số HD: n2 n2 Gọi số phương phải tìm=> có tận n Nếu n có tận 0=> tận 00 ( loại) n2 Nếu n có tận 5=> có tận 25 Ta có số cần tìm 3025 Bài 23: Cho số 0,2,4,7 Tìm số phương có chữ số gồm só HD: n2 n2 Gọi số phương cần tìm=> có tận n Nếu n có tận có tận 00 (loại) n Nếu n có tận có tận 04; 24; 74 Do n số phương nên chia hết cho chia hết cho n2 => có tận 04 24 Khi ta có số: 2704; 7204; 7024, số có số 2704 số phương Bài 24: Tổng chữ số số phương 1983 không? HD: Tổng số số 1983 số chia hết cho khơng chia hết cho 9, nên số phương khơng có tổng 1983 A = + 52 + 53 + + 5100 Bài 25: Cho , hỏi A có số phương khơng? HD: Nhận thấy A chia hết cho A lại không chia hết cho 25 nên A khơng số phương Bài 26: Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp khơng số phương? HD: Gọi số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1, a+2, a+3 Xét tổng ta có: S= 4a+6, thấy tổng chia hết cho không chia hết khơng số phương Bài 27: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết nhân với 45 ta số phương? HD: n.45 = a2 ( a∈ N ) Gọi số cần tìm n, ta có: n.5.9 = a2 => n = 5.k2 ( k ∈ N ) Hay Khi với k=1=> n=5( loại) K=2=>n=20 ( nhận) K=3=>n=45( nhận) K=4=>n=80 ( nhận) K=5=>n=125 ( loại) ( a + 1) ( a + ) a ( a + 3) Bài 28: Tìm a cho số số phương ab c = ab − ba Bài 29: Tìm số , biết: số phương 2007ab Bài 30: Tìm a,b cho bình phương số tự nhiên S = + + + + 2009 + 2011 Bài 31: Cho a, Tính S b, Chứng tổ S số phương c, Tìm ước nguyên tố khác S Bài 32: Cho A=1-2+3-4+ +19-20 a, A có chia hết cho 2;3;5 khơng? b, Tìm tất ước A Bài 33: CMR: tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương HD: n≥2 Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n-2,n-1,n, n+1, n+2, n số tự nhiên 2 2 A = ( n − ) + ( n − 1) + n + ( n + 1) + ( n + ) = ( n + ) n2 Xét tổng bình phương: , Vì khơng thể có n +2 tận 8, nên chia hết cho hay A không số phương Bài 34: Cho n số tự nhiên có hai chữ số Tìm n biết n+4 2n số phương HD: Vì n số có hai chữ số nên 9n=32=>n+4=36 số phương Với 2n=100=>n=50=>n+4=54 khơng số phương Với 2n=144=>n=72=>n+4=76( loại) Với 2n=196=>n=98= y> x2 + 3y D+ E+ F + số y2 + 3x Bài 38: Tìm hai số nguyên dương x, y ( ) thỏa mãn hai số số phương S = abc + bca + cab Bài 39: Cho , CMR: S khơng phải số phương HD: S = ( 100a + 10b + c) + ( 100b + 10c + a) + ( 100c + 10a + b) = 111( a + b + c) = 37.3( a + b + c) Ta có: < a + b + c ≤ 27 a + b + c/M37 / 37 ( 3;37) = 1=> 3( a + b + c) M Vì nên , Mặt khác: Vậy S khơng thể số phương 3n + 1,( n∈ N ) 2n+ Bài 40: Chứng minh rằng: Nếu Bài 41: Với a, b số tự nhiên khác thỏa mãn: a+ b+ CMR: a-b số phương số phương n chia heetscho 40 ( a − b) ( a + b + 1) = b2 ... Số phương M M + Số phương M M + Số phương 25 M M + Số phương 16 + Số lượng ước lẻ số phương ngược lại + Số phương chia dư Dạng 1: CHỨNG MINH LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Các tổng sau có phải số phương. .. số nguyên tố số chẵn hay số lẻ HD: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100, có số ngun tố chẵn số Cịn lại 24 số nguyên tố lại số lẻ => tổng 24 số lẻ cho ta số chẵn Vậy xét tổng 25 số nguyên tố cho ta số. .. 43 a Mà a số nguyên tố nên a = (loại) Bài 36: Tìm số nguyên tố a để 2a+7 số nguyên tố