4 ỨNG DỤNG THỰC tế

Khối Đa Diện Nâng Cao ỨNG DỤNG THỰC TẾ A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) kim tự tháp cao Ai Cập Chiều cao kim tự tháp 144 m , đáy kim tự tháp hình vng có cạnh dài 230 m Các lối phịng bên chiếm 30% thể tích kim tự tháp Biết lần vận chuyển gồm 10 xe, xe chở đá, khối lượng riêng đá 2, 5.103 kg / m3 Số lần vận chuyển đá để xây đủ dựng kim tự tháp là: A 740600 Câu 2: B 76040 C 7406 D 74060 Một hộp đựng chocolate kim loại có hình dạng lúc mở nắp hình vẽ Một phần tư thể tích phía hộp dải lớp bơ sữa ngọt, phần cịn lại phía chứa đầy chocolate ngun chất Với kích thước hình vẽ, gọi x = x0 giá trị làm cho hộp kim loại tích lớn nhất, thể tích chocolate ngun chất có giá trị V0 Tìm V0 A 48 đvtt Câu 3: C 64 đvtt D 64 đvtt Tính thể tích khối rubic mini (mỗi mặt rubic có vng), biết chu vi (ơ hình vng mặt) 4cm A 27 cm3 Câu 4: B 16 đvtt B 1728 cm3 C cm3 D cm3 Cắt miếng giấy hình vng hình xếp thành hình chóp tứ giác hình Biết cạnh hình vng 20cm , OM = x ( cm ) Tìm x để hình chóp tích lớn nhất? Câu 5: A x = 9cm B x = 8cm C x = 6cm D x = 7cm Người ta muốn xây bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp 3m ; 1, 2m ; 1,8m (người ta xây hai mặt thành 1dm 1dm bể hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20cm , chiều rộng 10cm , chiều cao 5cm Hỏi 1,8dm người ta sử dụng viên gạch để xây bể thể tích thực bể chứa lít nước? (Giả sử lượng xi măng cát khơng đáng 1,2m 3m 97 Khối Đa Diện Nâng Cao kể) Câu 6: A 738 viên, 5742 lít B 730 viên, 5742 lít C 738 viên, 5740 lít D 730 viên, 5740 lít Cho nến hình lăng trụ lục gác có chiều cao độ dài cạnh đáy 15cm 5cm Người ta xếp nến vào hộp có dạng hình hộp chữ nhật cho nến nằm khít hộp Thể tích hộp A 1500 ml Câu 7: B 600 ml C 1800 ml D 750 ml Một miếng bìa hình trịn có bán kính 20cm Trên biên miếng bìa, ta xác định điểm A, B, C , D, E , F , G , H theo thứ tự chia đường tròn thành phần Cắt bỏ theo nét liền hình vẽ để có hình chữ thập ABNCDPEFQGHM gấp lại theo nét đứt MN , NP, PQ, QM tạo thành khối hộp khơng nắp Thể tích khối hộp thu là: A ( 4000 − ( ) 4−2 B D 4000 ( 2− 2 ( 2− ) ) Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm , AB = 40cm Ta gập nhơm theo hai cạnh MN PQ vào phía AB DC trùng hình vẽ bên để dược hình lăng trụ khuyết hai đáy Khi tạo khối lăng trụ với thể tích lớn A 4000 ( cm3 ) Câu 9: 4−2 2 C 4000 − Câu 8: ) 4000 B 2000 ( cm3 ) C 400 ( cm3 ) D 4000 ( cm3 ) Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm Ta gấp nhơm theo cạnh MN PQ vào phía đến AB DC trùng hình vẽ để hình lăng trụ khuyết hai đáy Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? 98 Khối Đa Diện Nâng Cao A x = 20 B x = 15 C x = 25 D x = 30 Câu 10: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh x ( cm ) Ở mặt hình lập phương, người ta đục lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện, tâm lỗ hình vng tâm mặt hình lập phương, cạnh lỗ hình vng song song với cạnh hình lập phương có độ dài y ( cm ) hình vẽ bên Tìm thể tích V khối gỗ sau đục biết x = 80 cm; y = 20 cm A 490000 cm3 B 432000 cm3 C 400000 cm3 D 390000 cm3 Câu 11: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh x ( cm ) Ở mặt hình lập phương, người ta đục lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện,tâm lỗ hình vng tâm mặt hình lập phương,các cạnh lỗ hình vng song song với cạnh hình lập S phương có độ dài y ( cm ) (như hình vẽ bên).Tính tỉ số ,trong V khối gỗ sau V đục S tổng diện tích mặt (trong ngồi)khối gỗ sau đục A 99 6( x + 3y) S = V ( x − y )( x + y ) B 3( x + 3y ) S = V ( x − y )( x + y ) Khối Đa Diện Nâng Cao C 2( x + 3y ) S = V ( x − y )( x + y ) D 9( x + 3y) S = V ( x − y )( x + y ) Câu 12: Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích V ( m3 ) , hệ số k cho trước ( k - tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy) Gọi x, y , h > chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Hãy xác định x, y , h > xây tiết kiệm nguyên vật liệu x, y , h A x = B x = C x = D x = ( 2k + 1)V ; y = 4k ( 2k + 1)V ; y = 4k 3 ( 2k + 1) ( 2k + 1)V ; y = 4k 4k 2 k ( 2k + 1) V ;h = 23 k ( 2k + 1) V ( 2k + 1) 2kV ( 2k + 1)V ; y = 2kV 2 2kV ( 2k + 1) ;h = ;h = 2kV ( 2k + 1) ;h = k ( 2k + 1) V k ( 2k + 1) V Câu 13: Cho nhơm hình vng cạnh 1m hình vẽ Người ta cắt bỏ tam giác cân bên ngồi nhơm, phần cịn lại gập thành hình chóp tứ giác có cạnh đáy x ( m ) , cho bốn đỉnh hình vng gập lại thành đỉnh hình chóp Tìm x để khối chóp nhận tích lớn A x = 2 B x = C x = D x = Câu 14: Một viên đá có dạng khối chóp tứ diện tất cạnh a , người ta cưa viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp để chia viên đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa mặt phẳng nói A 100 a2 B a2 C a2 D a2 Khối Đa Diện Nâng Cao Câu 15: Người thợ cần làm bể cá hai ngăn, khơng có nắp phía với thể tích 1, 296m Người thợ cắt kính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c hình vẽ Hỏi người thợ c phải thiết kế kích thước a, b, c để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dày kính khơng đáng kể b a A a = 3, m; b = 0, 6m; c = 0, m B a = 2, m; b = 0,9 m; c = 0, m C a = 1,8m; b = 1, m; c = 0, 6m D a = 1, 2m; b = 1, m; c = 0,9 m Câu 16: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm hồ nước gạch xi măng có dạng hình hộp đứng đáy hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng khơng nắp, có chiều cao h tích Hãy tính chiều cao hồ nước cho chi phí xây dựng thấp nhất? B h = m A m C h = m D h = m Câu 17: Người ta muốn thiết kế bể cá kính khơng có nắp với thể tích 72dm3 chiều cao 3dm Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với kích thước a, b (đơn vị dm) hình vẽ dm a dm b dm Tính a, b để bể cá tốn nguyên liệu (tính kính giữa), coi bề dày kính khơng ảnh hưởng đến thể tích bể A a = 24, b = 24 B a = 3, b = C a = 2, b = D a = 4, b = Câu 18: Người thợ cần làm bể cá hai ngăn, khơng có nắp phía với thể tích 1,296 m3 Người thợ cắt kính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với kích thước a, b, c hình vẽ Hỏi người thợ phải thiết kế kích thước a, b, c để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dầy kính không đáng kể A a = 3, 6m; b = 0, 6m; c = 0, 6m B a = 2, 4m; b = 0, 9m; c = 0, 6m C a = 1,8m; b = 1, 2m; c = 0, 6m D a = 1, 2m; b = 1, 2m; c = 0,9m 101 Khối Đa Diện Nâng Cao Câu 19: Từ tơn có kích thước 90cmx3m người ta làm máng xối nước mặt cắt hình thang ABCD có hinh Tính thể tích lớn máng xối A 30cm 90cm 3m A 40500 3cm D B 3m B 40500 2cm3 30cm C 40500 6cm 30cm C D 40500 5cm Câu 20: Để làm máng xối nước, từ tơn kích thước 0,9m × 3m người ta gấp tơn hình vẽ Biết mặt cắt máng xối (bị cắt mặt phẳng song song với hai mặt đáy) hình thang cân máng xối hình lăng trụ có chiều cao chiều dài tôn Hỏi x ( m ) thể tích máng xối lớn nhất? x 3m 0, 3m xm x 0, m 0, m 3m (a) Tấm tôn A x = 0,5m 0, 3m 0, m (b) Máng xối B x = 0, 65m (c) Mặt cắt C x = 0, 4m D x = 0, 6m Câu 21: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm bể nước gạch có dạng hình hộp có đáy hình chữ nhật chiều dài d ( m ) chiều rộng r ( m ) với d = 2r Chiều cao bể nước h ( m ) thể tích bể m Hỏi chiều cao bể nước chi phí xây dựng thấp nhất? A 3 (m) 2 B ( m) C 3 ( m) D 2 ( m) 3 Câu 22: Một người dự định làm thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác tích V Để làm thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ A x = V B x = V C x = V D x = V Câu 23: Nhân ngày quốc tế phụ nữ 8-3 năm 2017, ông A định mua tặng vợ quà đặt vào hộp tích 32 ( đvtt ) có đáy hình vng khơng có nắp Để quà trở nên thật đặc biệt xứng đáng với giá trị ơng định mạ vàng cho hộp, biết độ dạy lớp mạ điểm hộp Gọi chiều cao cạnh đáy hộp h; x Để lượng vàng hộp nhỏ giá trị h; x phải là? A x = 2; h = 102 B x = 4; h = C x = 4; h = D x = 1; h = Khối Đa Diện Nâng Cao Câu 24: Một nhà có dạng tam giác ABC cạnh dài 10 ( m ) đặt song song cách mặt đất h ( m ) Nhà có trụ A, B, C vng góc với ( ABC ) Trên trụ A người ta lấy hai điểm M , N cho AM = x, AN = y góc ( MBC ) ( NBC ) 90° để mái phần chứa đồ bên Xác định chiều cao thấp nhà A C 10 B 10 D 12 Câu 25: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì thấp tốt(tức diện tích tồn phần hộp nhỏ nhất), phải chứa thể tích xác định V cho trước Khi diện tích tồn phần hộp sữa bé hai phương án A 2π V B V C 3 6V D 3 2π V Câu 26: Một bác thợ gò hàn làm thùng hình hộp chữ nhật (khơng nắp) tơn thể tích 665,5 dm3 Chiếc thùng có đáy hình vuông cạnh x (dm) , chiều cao h( dm) Để làm thùng, bác thợ phải cắt miếng tơn hình vẽ Tìm x để bác thợ sử dụng nguyên liệu h h x h A 10,5( dm ) x B 12( dm) h C 11(dm) D 9( dm) Câu 27: Một người dự định làm thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác tích V Để làm thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ A x = V B x = V C x = V D x = V Câu 28: Người ta muốn xây bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp 5m, 1m, 2m (hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta sử dụng viên gạch để xây bồn thể tích thực bồn chứa lít nước? (Giả sử lượng xi măng cát không đáng kể) A 1180 viên, 8820 lít B 1180 viên, 8800 lít C 1182 viên, 8820 lít D 1180 viên, 8800 lít Câu 29: Từ mảnh giấy hình vng cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tứ giác (như hình vẽ) Từ mảnh giấy hình vng khác có cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tam giác (như hình vẽ) Gọi V1 , V2 thể tích lăng trụ tứ giác lăng trụ tam giác So sánh V1 V2 103 Khối Đa Diện Nâng Cao A V1 > V2 104 B V1 = V2 C V1 < V2 D Không so sánh Khối Đa Diện Nâng Cao B – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) kim tự tháp cao Ai Cập Chiều cao kim tự tháp 144 m , đáy kim tự tháp hình vng có cạnh dài 230 m Các lối phòng bên chiếm 30% thể tích kim tự tháp Biết lần vận chuyển gồm 10 xe, xe chở đá, khối lượng riêng đá 2,5.103 kg / m3 Số lần vận chuyển đá để xây đủ dựng kim tự tháp là: A 740600 B 76040 C 7406 D 74060 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi cạnh hình chóp a = 230 ,chiều cao h = 144 Thể tích kim tự tháp: V = = 2539 200m3 Thể tích khối đá cần vận chuyển 0.7V = 1777 440m3 Gọi x số lần vận chuyển Để đủ đá xây dựng kim tự tháp Câu 2: Một hộp đựng chocolate kim loại có hình dạng lúc mở nắp hình vẽ Một phần tư thể tích phía hộp dải lớp bơ sữa ngọt, phần cịn lại phía chứa đầy chocolate ngun chất Với kích thước hình vẽ, gọi x = x0 giá trị làm cho hộp kim loại tích lớn nhất, thể tích chocolate ngun chất có giá trị V0 Tìm V0 A 48 đvtt B 16 đvtt C 64 đvtt D 64 đvtt Hướng dẫn giải: Phân tích: Đây dạng tốn ứng dụng thực thể kết hợp với phần tính thể tích khối đa diện hình học phần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đa thức học chương I phần giải thích Trước tiên ta nhận thấy V = ( − x )(12 − x ) x = x ( x − ) = x ( x − 12 x + 36 ) = x − 24 x + 72 x Xét hàm số f ( x ) = x3 − 24 x + 72 x ( 0;6 ) 105 Khối Đa Diện Nâng Cao x = f ' ( x ) = x − 48 x + 72; f ' ( x ) = ⇔  x = Khi max f ( x ) = f ( ) = 64 đvtt Đến nhiều quý độc gỉ vội vã khoanh C mà không ( 0;6 ) đắn đo Tuy nhiên, vội vã bạn sai, đề u cầu tìm thể tích chocolate ngun chất mà khơng phải thể tích hộp ta cần Tức − = thể tích 4 hộp tức 64 = 48 đvtt Câu 3: Tính thể tích khối rubic mini (mỗi mặt rubic có vng), biết chu vi (ơ hình vng mặt) 4cm A 27 cm3 B 1728 cm3 C cm3 D cm3 Hướng dẫn giải: Đây toán ăn điểm, đọc không kĩ câu chữ đề độc giả sai Ta có khối rubic sau: Hướng sai 1: Nghĩ cạnh ô vuông nên chiều dài cạnh khối rubic a = 4.3 = 12 ⇒ V = 123 = 1728 ⇒ B Hướng sai 2: Nghĩ chu vi ô vuông tổng độ dài 12 cạnh nên chiều dài 1 cạnh , nên độ dài khối rubik a = = ⇒ V = 13 = ⇒ C 3 Hướng sai 3: Nhầm cơng thức thể tích sang cơng thức tính diện tích nên suy ý D Cách làm đúng: Chu vi ô nhỏ cm nên độ dài cạnh nhỏ 1cm, độ dài cạnh khối rubic a = 3.1 = cm ⇒ V = 3.3.3 = 27 cm3 Chọn A Câu 4: Cắt miếng giấy hình vng hình xếp thành hình chóp tứ giác hình Biết cạnh hình vng 20cm , OM = x ( cm ) Tìm x để hình chóp tích lớn nhất? A x = 9cm B x = 8cm C x = 6cm D x = 7cm Hướng dẫn giải: Chọn B 106 Khối Đa Diện Nâng Cao A x = 20 B x = 15 C x = 25 D x = 30 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có PN = 60 − x , gọi H trung điểm PN suy AH = 60 x − 900 S ∆ANP = ( 60 − x ) 60 x − 900 = ( 60 − x ) 15 x − 225 = f ( x ) , chiều cao khối lăng trụ khơng đổi nên thể tích khối lăng trụ max f ( x ) max ( f '( x) = −45 ( x − 20 ) 15 x − 225 ) = ⇔ x = 20, f ( 20 ) = 100 3, f (15 ) = max f ( x ) = 100 x = 20 Câu 10: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh x ( cm ) Ở mặt hình lập phương, người ta đục lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện, tâm lỗ hình vng tâm mặt hình lập phương, cạnh lỗ hình vng song song với cạnh hình lập phương có độ dài y ( cm ) hình vẽ bên Tìm thể tích V khối gỗ sau đục biết x = 80 cm; y = 20 cm A 490000 cm3 B 432000 cm3 C 400000 cm3 D 390000 cm3 Hướng dẫn giải: Chọn B Thể tích cần tìm thể tích khối lập phương ban đầu trừ khối hộp chữ nhật có đáy x− y hình vng cạnh y ( cm ) , chiều cao ( cm ) ; trừ thể tích khối lập phương có độ dài cạnh y ( cm ) Vì vậy, 80 − 20  x− y 3 V = x3 −  20 − 203 = 432000 ( cm )  y − y = 80 −   Câu 11: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh x ( cm ) Ở mặt hình lập phương, người ta đục lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện,tâm lỗ hình vng tâm mặt hình lập phương,các cạnh lỗ hình vng song song với cạnh hình lập 110 Khối Đa Diện Nâng Cao S ,trong V khối gỗ sau V đục S tổng diện tích mặt (trong ngồi)khối gỗ sau đục phương có độ dài y ( cm ) (như hình vẽ bên).Tính tỉ số A 6( x + 3y) S = V ( x − y )( x + y ) B 3( x + 3y ) S = V ( x − y )( x + y ) C 2( x + 3y ) S = V ( x − y )( x + y ) D 9( x + 3y) S = V ( x − y )( x + y ) Hướng dẫn giải: Chọn A Thể tích hình cần tính thể tích khối lập phương ban đầu trừ khối hộp chữ nhật có x− y đáy hình vng cạnh y cm ,chiều cao cm ,rồi trừ thể tích khối lập phương có độ dài cạnh y cm  x− y Vì vậy: V = x3 −   y − y = ( x − y) ( x + 2y)   Tổng tích mặt khối y ( x − y ) V = ( x − y ) + 6.4 = ( x − y )( x + y ) Vậy diện gỗ sau đục 6( x + 3y) S = V ( x − y )( x + y ) Chọn A Câu 12: Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích V ( m3 ) , hệ số k cho trước ( k - tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy) Gọi x, y , h > chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Hãy xác định x, y , h > xây tiết kiệm nguyên vật liệu x, y , h A x = B x = 111 ( 2k + 1)V ; y = 4k ( 2k + 1)V ; y = 4k 3 2kV ( 2k + 1) 2kV ( 2k + 1) 2 ;h = ;h = 23 k ( 2k + 1) V k ( 2k + 1) V Khối Đa Diện Nâng Cao C x = D x = ( 2k + 1)V ; y = ( 2k + 1)V ; y = 4k 4k 2 2kV ( 2k + 1) ;h = ;h = 2kV ( 2k + 1) k ( 2k + 1) V k ( 2k + 1) V Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi x, y, h ( x, y, h > ) chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Ta có: k = h V V ⇔ h = kx V = xyh ⇔ y = = x xh kx Nên diện tích tồn phần hố ga là: S = xy + yh + xh = ( 2k + 1)V + 2kx kx Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ h ( 2k + 1)V x= 4k Khi y = y 2kV ( 2k + 1) ,h = k ( 2k + 1) V x Câu 13: Cho nhơm hình vng cạnh 1m hình vẽ Người ta cắt bỏ tam giác cân bên ngồi nhơm, phần cịn lại gập thành hình chóp tứ giác có cạnh đáy x ( m ) , cho bốn đỉnh hình vng gập lại thành đỉnh hình chóp Tìm x để khối chóp nhận tích lớn A x = 2 Hướng dẫn giải: 112 B x = C x = D x = Khối Đa Diện Nâng Cao x h x z y Ta có: y = x 1− 2x ⇒z= + y2 2     1 Chiều cao hình chóp: h = z −  x  = x  = x + y −  − 2     ⇒ Vchop = 2 x − x 2 Vchop lớn hàm số y = x y' = − x đạt GTLN 2 −5 x + x − x 2 x = y ' = ⇔ −5 x + x = ⇔  x = 2  Chọn A Câu 14: Một viên đá có dạng khối chóp tứ diện tất cạnh a , người ta cưa viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp để chia viên đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa mặt phẳng nói A a2 Hướng dẫn giải: Chọn D 113 B a2 C a2 D a2 Khối Đa Diện Nâng Cao S A' D' B' C' A D O B C 1 Từ giả thiết ⇒ VS A′B′C ′D′ = VS ABCD ⇒ VS A′B′C ′ = VS ABC ( Do khối chóp tứ giác đều) 2 ⇒ a2 VS A′B′C ′  SA′  a SA a ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ A B = SA ⇒ S = A B = = = = SA ⇒ = = td  3  SA  VS ABC 32 Câu 15: Người thợ cần làm bể cá hai ngăn, khơng có nắp phía với thể tích 1, 296m3 Người thợ cắt kính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước a , b, c hình vẽ Hỏi người thợ phải thiết kế kích thước a , b, c để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dày kính khơng đáng kể c b a A a = 3, 6m; b = 0, 6m; c = 0, 6m B a = 2, 4m; b = 0,9m; c = 0, 6m C a = 1,8m; b = 1, 2m; c = 0, 6m D a = 1, 2m; b = 1, 2m; c = 0,9m Hướng dẫn giải: Với a chiều dài ngăn bể cá Ta có: V = abc = 1, 296 (1) a a abc abc abc a  a +3 + ≥ abc3 S =  c + bc  + b + c + bc + b = 2ac + 3bc + ab = b a c abc 2 2   a= b   Dấu “=” xảy = = ⇒  a a c c = b  1, 296.4 Thay vào (1) : b = 1, 296 ⇔ b = ⇒ b = ; a = 1,8; c = 0, Chọn C Câu 16: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm hồ nước gạch xi măng có dạng hình hộp đứng đáy hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng không nắp, có chiều cao h tích Hãy tính chiều cao hồ nước cho chi phí xây dựng thấp nhất? 114 Khối Đa Diện Nâng Cao C h = B h = m A m m D h = m Hướng dẫn giải: Gọi x, y, h chiều rộng, chiều dài chiều cao hình hộp Theo đề ta có y = x V = hxy ⇒ h = V V = xy 3x Để tiết kiệm nguyên vật liệu ta cần tìm kích thước cho diện tích tồn phần hồ nước nhỏ Khi ta có: Stp = xh + yh + xy = x Ta có Stp = Cauchy 8V 4V 4V 16V + 3x = + + 3x ≥ 3 = 36 3x 3x x Dấu “=” xảy Vậy chọn V V 8V + 2.3 x + x.3 x = + 3x 2 3x 3x 3x 4V 4V V = 3x ⇔ x = =2⇒h= = 3x 3x C Câu 17: Người ta muốn thiết kế bể cá kính khơng có nắp với thể tích 72dm3 chiều cao 3dm Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với kích thước a , b (đơn vị dm) hình vẽ dm Tính a , b để bể cá tốn nguyên liệu a dm (tính kính giữa), coi bề dày kính khơng ảnh hưởng đến thể tích bể A a = 24, b = 24 B a = 3, b = b dm C a = 2, b = D a = 4, b = Chọn D Có: V = 72 ⇔ 3.ab = 72 ⇔ a = 24 (1) b Bể cá tốn nguyên liệu nghĩa diện tích tồn phần nhỏ Ta có diện tích tồn phần bể cá là: Stp = 3.3a + ab + 2.b3 = Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Stp = Dấu xảy khi: 115 216 + 6b + 24 b 216 216 + 6b + 24 ≥ 6b + 24 = 96 b b 216 = 6b ⇔ b = ( b > ) Từ (1), ta suy ra: a = b Khối Đa Diện Nâng Cao Câu 18: Người thợ cần làm bể cá hai ngăn, khơng có nắp phía với thể tích 1,296 m3 Người thợ cắt kính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với kích thước a, b, c hình vẽ Hỏi người thợ phải thiết kế kích thước a, b, c để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dầy kính khơng đáng kể A a = 3, 6m; b = 0, 6m; c = 0, 6m B a = 2, 4m; b = 0, 9m; c = 0, 6m C a = 1,8m; b = 1, 2m; c = 0, 6m D a = 1, 2m; b = 1, 2m; c = 0,9m Hướng dẫn giải: Thể tích bể cá là: V = abc = 1, 296 Diện tích tổng miếng kính S = ab + 2ac + 3bc (kể miếng giữa) Ta có: S 3 33 33 = + + ≥ 33 = = abc c b a c b a abc 1, 296 Cauchy cho so , , c b a a = 1,8 1  = =  Dấu “=” xảy  c b a ⇔ b = 1, abc = 1, 296 c = 0,  Chọn C Câu 19: Từ tơn có kích thước 90cmx3m người ta làm máng xối nước mặt cắt hình thang ABCD có hinh Tính thể tích lớn máng xối A 30cm 90cm 3m D 30cm B 3m B 40500 2cm3 A 40500 3cm3 C 40500 6cm3 30cm C D 40500 5cm3 Thể tích máng xối: V = S ABCD 300 (cm ) Vậy thể tích lớn diện tích hình thang lớn S ABCD = ( BC + AD ).CE 30cm AD = BC + ED = 30 + 60cosθ 116 90 sin 2θ 30cm θ 90 sin 2θ Đặt f (θ ) = 90 sinθ + D θ CE = CDsinθ = 30.sinθ S ABCD = 90 sinθ + E A B ,θ ∈ [0; π ] 30cm C Khối Đa Diện Nâng Cao f '(θ ) = 90cosθ + 90 2cos 2θ π   θ= cos θ =  f '(θ ) = ⇔ cos θ + cos 2θ = ⇔ cos θ + cos θ − = ⇔  ⇔    cos θ = −1 θ = π π  f (0) = f (π ) = 0; f   = 135 Vậy GTLN diện tích ABCD 135 3cm2 3 Vậy thể tích máng xối lớn 40500 3cm3 ta cạnh CD tạo với BC góc 600 Câu 20: Để làm máng xối nước, từ tơn kích thước 0,9 m × 3m người ta gấp tơn hình vẽ Biết mặt cắt máng xối (bị cắt mặt phẳng song song với hai mặt đáy) hình thang cân máng xối hình lăng trụ có chiều cao chiều dài tôn Hỏi x ( m ) thể tích máng xối lớn nhất? x 3m 0, 3m xm x 0, m 0, m 3m (a) Tấm tôn A x = 0,5m 0, 3m (b) Máng xối B x = 0, 65m 0, m (c) Mặt cắt C x = 0, m D x = 0, m Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi h chiều cao lăng trụ Vì chiều cao lăng trụ chiều dài tơn nên thể tích máng xối lớn diện tích hình thang cân (mặt cắt) lớn Ta có S = BC = h ( x + 0, 3) x − 0,3 ( x > 0, 3) ⇒h= B ( x − 0, 3) ( 0,3) − ( x − 0,3) > 0; ( 0,3 < x < 0,9 ) Khi đó: S= 2 ( x + 0,3) ( 0,3) − ( x − 0,3) Xét hàm số 117 h ĐK: ( 0, 3) − C 0.3m A 0.3m Khối Đa Diện Nâng Cao f ( x ) = ( x + 0,3) ( 0,3) − ( x − 0,3) ; ( 0,3 < x < 0,9 ) 2 ⇒ f ′ ( x ) = ( 0, 3) − ( x − 0,3) + ( x + 0,3) ( 0,3) − ( x − 0,3) − ( x + 0,3)( x − 0,3) = −2 ( x − 0,3) 2 ( 0, 3) − ( x − 0, 3) 2 = ( 0,3) − ( x − 0, 3) 2 0,36 − x ( x − 0, 3) ( 0,3) − ( x − 0,3) 2  x = −0,3 f ′ ( x ) = ⇔ − x + 0,3 x + 0,18 = ⇔   x = 0, 0,3 x f ′( x) 0, + 0,9 − f ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x ) lớn x = 0, Vậy thể tích máng xối lớn x = 0, 6m Câu 21: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm bể nước gạch có dạng hình hộp có đáy hình chữ nhật chiều dài d ( m ) chiều rộng r ( m ) với d = 2r Chiều cao bể nước h ( m ) thể tích bể m3 Hỏi chiều cao bể nước chi phí xây dựng thấp nhất? A 3 ( m) 2 B ( m) C 3 ( m) Hướng dẫn giải: Gọi x ( x > ) chiều rộng đáy suy thể tích bể nước V = x h = ⇔ h = x2 Diện tích xung quanh hồ đáy bể S = x.h + x = Xét hàm số f ( x ) = + x2 ( x > 0) x + x với x > x Hàm số đạt giá trị nhỏ x = 118 3 D 2 ( m) 3 Khối Đa Diện Nâng Cao Vậy chiều cao cần xây h = 1 2 = = ( m) 2 x 3     2 Câu 22: Một người dự định làm thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác tích V Để làm thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ A x = V B x = V C x = V D x = V Hướng dẫn giải: Gọi a độ dài cạnh đáy, x độ dài đường cao thùng đựng đồ ( a, x > ) Khi đó, V = a x ⇒ a = V V ⇒ Stp = 2a + 4ax = + Vx x x Để làm thùng hàng tốn ngun liệu Stp nhỏ ⇒ Cách : Xét hàm số f ( x ) = Ta có f ' ( x ) = V + Vx nhỏ x V + Vx ( 0; +∞ ) x −2V V + = ⇔ = ⇔ = f x x V V x x V ; ' ( ) x2 x x f'(x) +∞ V3 + f(x) f (V ) Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ V Cách 2: ta có V V + Vx = + Vx + Vx ≥ V x x Dấu " = " xảy V = Vx ⇔ x3 = V ⇔ x = V x Chọn B Câu 23: Nhân ngày quốc tế phụ nữ 8-3 năm 2017, ông A định mua tặng vợ quà đặt vào hộp tích 32 ( đvtt ) có đáy hình vng khơng có nắp Để quà trở nên thật đặc biệt xứng đáng với giá trị ơng định mạ vàng cho hộp, biết độ dạy lớp mạ điểm hộp Gọi chiều cao cạnh đáy hộp h; x Để lượng vàng hộp nhỏ giá trị h; x phải là? 119 Khối Đa Diện Nâng Cao A x = 2; h = B x = 4; h = C x = 4; h = D x = 1; h = h x x Hướng dẫn giải: Chọn B  S = xh + x 32 128  ⇒ S = x + x = + x , để lượng vàng cần dùng nhỏ Ta có  V = x h → h = V = 32 x x  x2 x2 Diện tích S phải nhỏ ta có S= 128 128 + x = f ( x) → f ' ( x) = x − = ⇒ x = , x x Câu 24: Một ngơi nhà có dạng tam giác ABC cạnh dài 10 ( m ) đặt song song cách mặt đất h ( m ) Nhà có trụ A, B , C vng góc với ( ABC ) Trên trụ A người ta lấy hai điểm M , N cho AM = x, AN = y góc ( MBC ) ( NBC ) 90° để mái phần chứa đồ bên Xác định chiều cao thấp nhà A B 10 C 10 D 12 Hướng dẫn giải: Đáp án B Để nhà có chiều cao thấp ta phải chọn N nằm mặt đất Chiều cao nhà NM = x + y Gọi I trung điểm BC Ta có ∆ABC ⇒ AI ⊥ BC ,  MI ⊥ BC MN ⊥ ( ABC ) ⇒ MN ⊥ BC , từ suy ⇒ BC ⊥ ( MNI ) ⇒  ⇒ MIN = 900 NI BC ⊥   10  ∆IMN vuông I nhận AI đường cao nên ⇒ AM AN = AI ⇒ xy =   = 75   Theo bất đẳng thức Côsi: x + y ≥ xy = 75 = 10 ⇔ x = y = Do chiều cao thấp nhà 10 Câu 25: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì thấp tốt(tức diện 120 Khối Đa Diện Nâng Cao tích tồn phần hộp nhỏ nhất), phải chứa thể tích xác định V cho trước Khi diện tích tồn phần hộp sữa bé hai phương án A 2πV B V D 3 2π V C 3 6V Hướng dẫn giải: Chọn D h h R b a Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ Thể tích không đổi V = π R h ⇒ h = V 2V , Stp = 2π R + 2π Rh = 2π R + R πR Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 2π R , Ta có Stp = 2π R + V V , R R V V V V + ≥ 3 2π R = 3 2π V (*) R R R R Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật Thể tích khơng đổi V = abh ⇒ h = V V V V V  ; Stp = 2ab + ( a + b ) h = 2ab + 2a + 2b =  ab + +  ab ab ab b a  Áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho ba số dương ab; V V ; a b V V Ta có Stp ≥ 2.3 ab = V (**) a b Xét hai kết ta thấy (*) nhỏ Vậy diện tích tồn phần hộp sữa bé Stp = 3 2π V (đvdt) Câu 26: Một bác thợ gò hàn làm thùng hình hộp chữ nhật (khơng nắp) tơn thể tích 665,5 dm3 Chiếc thùng có đáy hình vng cạnh x ( dm) , chiều cao h (dm) Để làm thùng, bác thợ phải cắt miếng tơn hình vẽ Tìm x để bác thợ sử dụng nguyên liệu 121 Khối Đa Diện Nâng Cao A 10,5( dm ) B 12( dm) C 11(dm) D 9( dm) Hướng dẫn giải: h Chọn C Ta tích hình hộp là: V = x h = 665, ⇒ h = Diện tích tồn phần S = x + xh = x + S ' = ⇔ x = 11 665,5 x2 h x 2662 2662 ⇒ S ' = 2x − ; x x h x h Lập bảng biến thiên ta thấy x = 11 S đạt giá trị nhỏ Vậy để sử dụng nguyên liệu bác thợ xây phải cắt miếng tơn có đáy hình vng cạnh 11(dm) Câu 27: Một người dự định làm thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác tích V Để làm thùng hàng tốn nguyên liệu chiều cao thùng đựng đồ B x = V A x = V C x = V D x = V Hướng dẫn giải: Gọi a độ dài cạnh đáy, x độ dài đường cao thùng đựng đồ ( a, x > ) Khi đó, V = a x ⇒ a = V V ⇒ Stp = 2a + 4ax = + Vx x x Để làm thùng hàng tốn nguyên liệu Stp nhỏ ⇒ Cách : Xét hàm số f ( x ) = V + Vx nhỏ x V + Vx ( 0; +∞ ) x −2V V ; f ' ( x ) = ⇔ x2 V = V x ⇔ x = V Ta có f ' ( x ) = + x x x f'(x) +∞ V3 + f(x) f (V ) Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ V Cách 2: ta có 122 V V + Vx = + Vx + Vx ≥ V x x Khối Đa Diện Nâng Cao Dấu " = " xảy V = Vx ⇔ x3 = V ⇔ x = V x Câu 28: Người ta muốn xây bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp 5m, 1m, 2m (hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta sử dụng viên gạch để xây bồn thể tích thực bồn chứa lít nước? (Giả sử lượng xi măng cát không đáng kể) A 1180 viên, 8820 lít B 1180 viên, 8800 lít C 1182 viên, 8820 lít D 1180 viên, 8800 lít 1dm VH' 1dm VH 2m 1m 5m Hướng dẫn giải: Phân tích: * Theo mặt trước bể: Số viên gạch xếp theo chiều dài bể hàng x = 500 = 25 viên 20 200 = 40 Vậy tính theo chiều cao có 40 hàng gạch hàng 25 viên Khi theo mặt trước bể N = 25.40 = 1000 viên Số viên gạch xếp theo chiều cao bể hàng là: * Theo mặt bên bể: ta thấy, hàng mặt trước bể xây viên hoàn chỉnh viên Tức mặt bên đoạn nối hai mặt mặt bên viên gạch cịn lại cắt cịn có 100 − 20 40 + 40 = 180 viên 20 Vậy tổng số viên gạch 1180 viên Khi thể tích bờ tường xây 1180.2.1.0, = 1180 lít Vậy thể tích bốn chứa nước là: 50.10.20 − 1180 = 8820 lít Câu 29: Từ mảnh giấy hình vng cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tứ giác (như hình vẽ) Từ mảnh giấy hình vng khác có cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tam giác (như hình vẽ) Gọi V1 ,V2 thể tích lăng trụ tứ giác lăng trụ tam giác So sánh V1 V2 123 Khối Đa Diện Nâng Cao A V1 > V2 B V1 = V2 Hướng dẫn giải: a a a3 Ta có V1 = a = 4 16 a a a3 Do V1 > V2 V2 = a = 3 36 Ta chọn phương án C 124 C V1 < V2 D Không so sánh ... A 740 600 B 76 040 C 740 6 D 740 60 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi cạnh hình chóp a = 230 ,chiều cao h = 144 Thể tích kim tự tháp: V = = 2539 200m3 Thể tích khối đá cần vận chuyển 0.7V = 1777 44 0m3... hộp thu là: A ( 40 00 − ) 4? ??2 2 ( C 40 00 − ) 4? ??2 40 00 B ( D 40 00 ( Hướng dẫn giải: Chọn C Theo giả thuyết ta có AB = CD = EF = GH = MN = NP = PQ = QM = 2r sin = 40 sin 108 π − cos = 40 π = 20 − 2−... thể tích chocolate ngun chất có giá trị V0 Tìm V0 A 48 đvtt B 16 đvtt C 64 đvtt D 64 đvtt Hướng dẫn giải: Phân tích: Đây dạng toán ứng dụng thực thể kết hợp với phần tính thể tích khối đa diện