5 ỨNG DỤNG THỰC tế

Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao ỨNG DỤNG THỰC TẾ A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Người ta bỏ bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn trịn lớn bóng bàn chiều cao lần đường kính bóng bàn Gọi S S1 tổng diện tích bóng bàn, S diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số S2 là: A Câu 2: C 36 2π B r = 38 2π C r = 38 2π D r = 36 2π Một phễu đựng kem hình nón giấy bạc tích 12π (cm3) chiều cao 4cm Muốn tăng thể tích kem phễu hình nón lên lần, chiều cao khơng thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm A (12 13 − 15)π ( cm ) C Câu 4: D Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là: A r = Câu 3: B B 12π 13 ( cm ) 12 13 ( cm ) 15 D (12 13 + 15)π ( cm ) Một phễu có dạng hình nón, chiều cao phễu 20 cm ( Hình 1) Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao cột nước phễu lả 10 cm Nếu bịt kín miệng phễu lật ngược lên ( Hình 2) chiều cao cột nước phễu giá trị sau A 10 cm C 1, 07 cm B 0,87 cm D 1, 35 cm A R C R1 H H r C R A Câu 5: Cho đồng hồ cát hình vẽ ( gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại) đường sinh hình nón tạo với đáy góc 600 Biết chiều cao đồng hồ 30 cm tổng thể tích đồng hồ 1000π ( cm ) Nếu cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần phía A C 88 3 B 27 D 64 B Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 6: Tính thể tích thùng đựng nước có hình dạng kích thước hình vẽ 0, 238π (m ) 0, 238π C (m ) A 0, 238π (m ) 0, 238π D (m ) 0,4 m B 1m 0,6 m 0,6 m Câu 7: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy A 10 2cm Câu 8: C 50 2cm D 25cm Một kem ốc quế gồm hai phần, phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón, giả sử hình cầu hình nón có bán kính nhau, biết kem tan chảy hết làm đầy phần ốc quế Biết thể tích kem sau tan chảy 75% thể tích kem đóng băng ban đầu, gọi h, r chiều cao bán kính h phần ốc quế Tính tỷ số r h =3 r h C = r R h h =2 r h 16 D = r A Câu 9: B 20cm B Một nhà sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000 cm3 Tính bán kính nắp đậy để tiết kiệm nguyên liệu A C 500 π 500 π ( cm ) ( cm ) B 10 D 10 π π R O ( cm ) h ( cm ) H Câu 10: Giả sử viên phấn viết bảng có dạng hình trụ trịn xoay đường kính đáy 1cm, chiều dài 6cm Người ta làm hộp carton đựng phấn dạng hình hộp chữ nhật có kích thước × × 6cm Muốn xếp 350 viên phấn vào 12 hộp, ta kết khả sau: A Vừa đủ 89 B Thiếu 10 viên C Thừa 10 viên D Không xếp Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 11: Cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt phẳng đáy gọi hình nón cụt Một cốc có dạng hình nón cụt cao 9cm, bán kính đáy cốc miệng cốc 4cm Hỏi cốc chứa lượng nước tối đa số lựa chọn sau: A 250ml B 300ml C 350ml D 400ml 4cm B D B G 3cm G C A A Câu 12: Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ (khơng kể viền, mép, phần thừa) A 700π ( cm ) B 754, 25π ( cm ) C 750, 25π ( cm ) D 756, 25π ( cm ) 30cm 10cm A Câu 13: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí ngun liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy gần số nhất? A 0,68 B 0,6 C 0,12 D 0,52 Câu 14: Khi sản xuất hộp mì tơm, nhà sản xuất để khoảng trống đáy hộp để nước chảy xuống ngấm vào vắt mì, giúp mì chín Hình vẽ mơ tả cấu trúc hộp mì tơm Vắt mì tơm có hình khối trụ, hộp mì tơm có dạng hình nón cụt cắt hình nón có chiều cao cm bán kinh đáy cm Nhà sản xuất tìm cách để cho vắt mì tơm tích lớn hộp với mục đích thu hút khách hàng Thể tích lớn A 36π ( cm3 ) B 54π ( cm3 ) C 48π ( cm ) D 81π cm ) ( 2 chiều cao hình nón Hỏi bịch kính miệng ly úp ngược ly xuống tỷ số chiều cao mực nước chiều cao hình nón xấp xỉ bao nhiêu? Câu 15: Một ly có dạng hình nón rót nước vào với chiều cao mực nước A 0,33 B 0,11 C 0, 21 D 0, 08 Câu 16: Một nút chai thủy tinh khối tròn xoay ( H ) , mặt phẳng chứa trục ( H ) cắt (H ) 90 theo thiết diện hình vẽ bên Tính thể tích ( H ) (đơn vị cm3 ) Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A V( H ) = 23π B V( H ) = 13π C V( H ) = 41π D V( H ) = 17π Câu 17: Một bồn chứa xăng có cấu tạo gồm hình trụ nửa hình cầu đầu, biết hình cầu có đường kính 1,8m chiều dài hình trụ 3, 62 m Hỏi bồn 3,62m chứa tối đa lít xăng trongcác giá trị sau đây? A 10905l B 23650l C 12265l D 20201l 1,8m Câu 18: Một hình hộp chữ nhật kích thước × × h chứa khối cầu lớn có bán kính tám khối cầu nhỏ có bán kính cho khối lón tiếp xúc với tám khối cầu nhỏ khối cầu tiếp xúc với mặt hình hộp Thể tích khối hộp là: A 32 + 32 B 48 + 32 C 64 + 32 D 64 C L ≈ 4m D L ≈ 24m Câu 19: Một bang giấy dài cuộn chặt lại thành nhiều vịng xung quanh ống lõi hình trụ rỗng có đường kính C = 12,5mm Biết độ dày giấy cuộn 0, 6mm đường kính cuộn giấy B = 44, mm Tính chiều dài l cuộn giấy A L ≈ 44m B L ≈ 38m Câu 20: Cho khối cầu bán kính R Đâm thủng khối cầu khối trụ có trục qua tâm mặt cầu chiều dài hình trụ thu (xem hình vẽ) Tính thể tích vật thể cịn lại sau đục thủng A 36π B 54π C 27π D 288π Câu 21: Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 15 tơn có kích thước 1m × 20cm (biết giá 1m tôn 90000 đồng) cách: Cách 1: Gị tơn ban đầu thành hình trụ hình Cách 2: Chia chiều dài tơn thành phần gị tơn thành hình hộp chữ nhật hình Biết sau xây xong bể theo dự định, mức nước đổ đến 0,8m giá nước cho đơn vị nghiệp 9955dong / m3 Chi phí tay thầy hiệu trưởng triệu đồng Hỏi thầy giáo chọn cách làm để khơng vượt q kinh phí (giả sử tính đến chi phí theo kiện tốn) 91 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Hình 20m 1m Hình 1m 6m 4m 6m 4m A Cả cách B Không chọn cách C Cách D Cách Câu 22: Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có nắp đáy), đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào bình khối trụ đo thể tích nước trào 16π (dm3 ) Biết mặt khối trụ nằm mặt đáy hình nón khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón (như hình vẽ dưới) Tính bán kính đáy R bình nước A R = 3( dm ) B R = ( dm) C R = ( dm) D R = ( dm) Câu 23: Có miếng nhơm hình vng, cạnh 3dm, người dự định tính tạo thành hình trụ (khơng đáy) theo hai cách sau: Cách 1: Gị hai mép hình vng để thành mặt xunng quanh hình trụ, gọi thể tích khối trụ V1 Cách 2: Cắt hình vng làm ba gò thành mặt xung quanh ba hình trụ, gọi tổng thể tích chúng V2 92 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Khi đó, tỉ số V1 là: V2 A B C D Câu 24: Một hộp hình lập phương cạnh a bị khoét khoảng trống có dạng khối lăng trụ với hai đáy hai đường tròn nội tiếp hai mặt đối diện hình hộp Sau đó, người ta dùng bìa cứng dán kín hai mặt vừa bị cắt hộp lại cũ, chừa lại khoảng trống bên Tính thể tích khoảng trống tạo khối trụ A π a B πa C πa D πa Câu 25: Người ta dùng loại vải vintage để bọc khối khí khinh khí cầu, biết khối có dạng hình cầu đường kính 2m Biết 1m vải có giá 200.000 đồng Hỏi cần tối thiểu tiền mua vải để làm khinh khí cầu này? A 2.500.470 đồng B 3.150.342 đồng C 2.513.274 đồng D 2.718.920 đồng Câu 26: Cho biết hình chỏm cầu có cơng thức thể tích π h ( 3r + h ) , h chiều cao chỏm cầu r bán kính đường trịn bề mặt chỏm cầu ( bán kính khác vớibán kính hình cầu ) Bài hỏi đặt với dưa hấu hình cầu, người ta dùng ống khoét thủng lỗ hình trụ chưa rõ bán kính xun qua trái dưa hình vẽ ( hình có AB đường kính trái dưa) Biết chiều cao lỗ 12cm ( hình trên, chiều cao độ dài HK ) Tính thể tích phần A H O K B dưa lại A 200π cm B 96π cm3 C 288π cm D 144π cm3 Câu 27: người ta cần cắt tơn có hình dạng elip với độ dài trục lớn độ dài trục bé để tơn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elíp Người ta gị tơn hình chữ nhật thu thành hình trụ khơng có đáy hình bên Tính thể tích lớn thu khối trụ A A C x H B A 128 π ( cm ) B 64 2x B ( cm ) 2π C 64 ( cm ) 3π D 128 2π ( cm ) Câu 28: Từ khúc gỗ trịn hình trụ có đường kính 40 cm, cần xả thành xà có tiết diện ngang hình vng bốn miếng phụ tơ màu xám hình vẽ Tìm chiều rộng x miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn 93 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A x = 34 − 17 ( cm ) B x = 34 − 19 ( cm ) C x = 34 − 15 ( cm ) D x = 34 − 13 ( cm ) Câu 29: Người ta thiết kế thùng chứa hình trụ tích V định Biết giá vật liệu làm mặt đáy nắp thùng đắt gấp lần so với giá làm vật liệu xung quanh thùng (chi phí cho đơn vị diện tích) Gọi h chiều cao thùng bán kinh đáy h R Tính tỷ số cho chi phí làm thùng nhỏ R A h =2 R B h = R C h =3 R D h =6 R Câu 30: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000 cm3 Bán kính nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu A 500 π cm B 10 π cm C 500 π cm D 10 π cm Câu 31: Một viên phấn bảng có dạng khối trụ với bán kính đáy 0, 5cm , chiều dài 6cm Người ta làm hình hộp chữ nhật carton đựng viên phấn với kích thước 6cm × 5cm × 6cm Hỏi cần hộp kích thước để xếp 460 viên phấn? A 17 B 15 C 16 D 18 Câu 32: Một khối cầu có bán kính ( dm ) , người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc đường kính cách tâm khoảng ( dm ) để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa A 100 π ( dm3 ) C 41π ( dm ) B 43 π ( dm3 ) D 132π ( dm3 ) Câu 33: Một tục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy 5cm , chiều dài lăn 23cm (hình bên) Sau 23 cm lăn trọn 15 vịng trục lăn tạo nên sân phẳng diện diện tích cm A 1725π cm B 3450π cm 94 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao C 1725π cm D 862, 5π cm Câu 34: Một bóng bàn chén hình trụ có chiều cao Người ta đặt bóng lên chén thấy phần ngồi bóng có chiều cao chiều cao Gọi V1 , V2 thể tích bóng chén, đó: A 9V1 = 8V2 B 3V1 = 2V2 C 16V1 = 9V2 D 27V1 = 8V2 Câu 35: Phần không gian bên chai nước có hình dạng hình bên Biết bán kính đáy R = 5cm, bán kính cổ r = 2cm, AB = 3cm, BC = 6cm, CD = 16cm Thể tích phần khơng gian bên chai nước bằng: A 495π ( cm ) B 462π ( cm ) C 490π ( cm3 ) D 412π ( cm3 ) A rB C R D Câu 36: Bạn A muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam giác ABC có cạnh 90 ( cm ) Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tơn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao MQ Thể tích lớn thùng mà bạn A làm là: A 91125 cm3 ) ( 4π B 91125 cm3 ) ( 2π C 108000 π ( cm ) D 13500 π ( cm ) Câu 37: Nhà Nam có bàn trịn có bán kính m Nam muốn mắc bóng điện phía bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết sin α cường độ sáng C bóng điện biểu thị công thức C = c ( α góc tạo l tia sáng tới mép bàn mặt bàn, c - số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn A 1m B 1,2m C 1.5 m D 2m Câu 38: Với đĩa trịn thép tráng có bán kính R = 6m phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại? 95 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 6m O N A ≈ 66° B ≈ 294° C ≈ 12, 56° D ≈ 2,8° Câu 39: Một công ty nhận làm thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu 2π m3 yêu cầu tiết kiệm vật liệu Hỏi thùng phải có bán kính đáy R chiều cao h bao nhiêu? A R = 2m, h = m B R = 1 m, h = 8m C R = 4m, h = m D R = 1m, h = 2m Câu 40: Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20 cm , bán kính đáy cốc 4cm , bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước đây? A 59,98 cm B 59,93 cm C 58, 67 cm D 58,80 cm Câu 41: Gia đình An xây bể hình trụ tích 150 m3 Đáy bể làm bê tông giá 100 000 đ / m Phần thân làm tôn giá 90 000 đ / m , nắp nhôm giá 120 000 đ / m Hỏi chi phí sản suất để bể đạt mức thấp tỷ số chiều cao bể bán kính đáy bao nhiêu? A 22 B 22 C 31 22 D 21 32 Câu 42: Học sinh A sử dụng xô đựng nước có hình dạng kích thước giống hình vẽ, đáy xơ hình trịn có bán kính 20 cm , miệng xơ đường trịn bán kính 30 cm , chiều cao xơ 80 cm Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước Hỏi A phải trả tiền nước tháng, biết giá nước 20000 đồng/ m3 (số tiền làm trịn đến đơn vị đồng)? 96 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A 35279 đồng B 38905 đồng C 42116 đồng D 31835 đồng Câu 43: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm Mặt đáy phẳng dày 1cm , thành cốc dày 0, 2cm Đổ vào cốc 120ml nước sau thả vào cốc viên bi có đường kính 2cm Hỏi mặt nước cốc cách mép cốc cm (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) A 3, 67 cm 97 B 2, 67 cm C 3, 28 cm D 2, 28 cm Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Giá vật liệu làm thùng là: 2V T V T V T Gthung = tru + 6π T R = tru + tru + 6π T R ≥ 3 6Vtru2 T ( const ) R R R V T h ⇒ ( Gthung ) = 3 6Vtru2 T ⇔ tru = 6π T R ⇔ Vtru = 6π R ⇒ = R R Câu 30: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000 cm3 Bán kính nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu A 500 π cm B 10 π cm C 500 π cm D 10 π cm Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi h ( cm ) chiều cao hình trụ R ( cm ) bán kính nắp đậy Ta có: V = π R h = 1000 Suy h = 1000 π R2 Để nhà sản xuất tiết kiệm ngun vật liệu diện tích tồn phần Stp hình trụ nhỏ Ta có: Stp = 2π R + 2π Rh = 2π R + 2π R = 2π R + 1000 π R2 1000 1000 1000 1000 + ≥ 3 2π R = 3 2π 10002 R R R R Đẳng thức xảy 2π R = 1000 500 ⇔R=3 π R Câu 31: Một viên phấn bảng có dạng khối trụ với bán kính đáy 0, 5cm , chiều dài 6cm Người ta làm hình hộp chữ nhật carton đựng viên phấn với kích thước 6cm × 5cm × 6cm Hỏi cần hộp kích thước để xếp 460 viên phấn? A 17 B 15 C 16 D 18 Hướng dẫn giải: Chọn C Có cách xếp phấn theo hình vẽ đây: A M B C H2 H1 H3  Nếu xếp theo hình H : đường kính viên phấn 2.0, = cm nên hộp xếp tối đa số viên phấn là: 6.5 = 30 116 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao  Nếu xếp theo hình H : hàng viên xen kẽ hàng viên Gọi số hàng xếp n + 1, n ∈ Z + Ta có ∆ABC cạnh ⇒ CM = ≤5⇒ n ≤ ⇒ xếp tối đa hàng ⇒ hộp xếp tối đa số viên phấn là: 3.6 + 2.5 = 28  Nếu xếp theo hình H :hàng viên xen kẽ hàng viên Gọi số hàng xếp m + 1, m ∈ Z + Ta phải có 2.0,5 + n 10 ≤6⇒m≤ ⇒ xếp tối đa hàng ⇒ nên hộp xếp tối đa số viên phấn là: 3.5 + 3.4 = 27 Vậy, xếp theo hình H xếp nhiều phấn nhất, nên cần hộp Ta có 460 : 30 ≈ 15, ⇒ cần 16 hộp để xếp hết 460 viên phấn Ta phải có 2.0,5 + m Câu 32: Một khối cầu có bán kính ( dm ) , người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc đường kính cách tâm khoảng ( dm ) để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa A 100 π ( dm3 ) B C 41π ( dm ) 43 π ( dm3 ) D 132π ( dm3 ) Hướng dẫn giải: Chọn D Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn (C ) : ( x − 5) + y = 25 Ta thấy cho nửa trục Ox ( C ) quay quanh trục Ox ta mặt cầu bán kính Nếu cho hình phẳng ( H ) giới hạn nửa trục Ox ( C ) , trục Ox , hai đường thẳng x = 0, x = quay xung quanh trục Ox ta khối trịn xoay phần cắt khối cầu đề Ta có ( x − 5) + y = 25 ⇔ y = ± 25 − ( x − 5) ⇒ Nửa trục Ox ( C ) có phương trình y = 25 − ( x − 5) = 10 x − x ⇒ Thể tích vật thể tròn xoay cho ( H ) quay quanh Ox là: 2  x3  52π V1 = π ∫ (10 x − x ) dx = π  x −  = 0  117 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 500π Thể tích khối cầu là: V2 = π 53 = 3 Thể tích cần tìm: V = V2 − 2V1 = 500π 52π − = 132π ( dm3 ) 3 Câu 33: Một tục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy 5cm , chiều dài lăn 23cm (hình bên) Sau lăn trọn 15 vịng trục lăn tạo nên sân phẳng diện diện tích 23 cm A 1725π cm B 3450π cm C 1725π cm D 862, 5π cm cm Hướng dẫn giải: Chọn B Diện tích xung quanh mặt trụ S xq = 2π Rl = 2π 5.23 = 230π cm2 Sau lăn 15 vịng diện tích phần sơn là: S = 230π 15 = 3450π cm Câu 34: Một bóng bàn chén hình trụ có chiều cao Người ta đặt bóng lên chén thấy phần ngồi bóng có chiều cao chiều cao Gọi V1 , V2 thể tích bóng chén, đó: A 9V1 = 8V2 B 3V1 = 2V2 C 16V1 = 9V2 D 27V1 = 8V2 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi r1 bán kính bóng, r2 bán kính chén, h chiều cao chén Theo giả thiết ta có h = 2r1 ⇒ r1 = 2h OO′ = r1 h = h h Ta có r22 =   −   = h     16 4 h Thể tích bóng V1 = π r13 = π   = π h3 3 2 thể tích chén nước V2 = B.h = π r22 h = V π h3 ⇒ = V2 16 Câu 35: Phần không gian bên chai nước có hình dạng hình bên Biết A bán kính đáy R = 5cm, bán kính cổ r = 2cm, AB = 3cm, BC = 6cm, rB CD = 16cm Thể tích phần khơng gian bên chai nước bằng: A 495π ( cm ) B 462π ( cm ) C 490π ( cm ) D 412π ( cm ) C Hướng dẫn giải: 118 R D Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Thể tích khối trụ có đường cao CD : V1 = π R CD = 400π ( cm3 ) Thể tích khối trụ có đường cao AB : V2 = π r AB = 12π ( cm ) MC CF = = ⇒ MB = MB BE Thể tích phần giới hạn BC : M Ta có π B ( R MC − r MB ) = 78π ( cm ) Suy ra: V = V + V + V = 490π ( cm ) V3 = 2 E r=2 3 R=5 Chọn C C F Câu 36: Bạn A muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam giác ABC có cạnh 90 ( cm ) Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao MQ Thể tích lớn thùng mà bạn A làm là: A C 91125 ( cm3 ) 4π 108000 π B ( cm ) D 91125 ( cm3 ) 2π 13500 π ( cm ) Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm BC Suy I trung điểm MN A Đặt MN=x ( < x < 90 ); MQ BM (90 − x) ⇒ = ⇒ MQ = AI BI Gọi R bán kính trụ ⇒ R = ⇒ VT = π ( x 2π Q B M P N C x 3 ) (90 − x) = ( − x3 + 90 x ) 2π 8π Xét f ( x) = 8π ( − x3 + 90 x ) với < x < 90 Khi đó: max f ( x) = x∈(0;90) 13500 π x= 60 Câu 37: Nhà Nam có bàn trịn có bán kính m Nam muốn mắc bóng điện phía bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết sin α cường độ sáng C bóng điện biểu thị công thức C = c ( α góc tạo l tia sáng tới mép bàn mặt bàn, c - số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn A 1m Hướng dẫn giải: 119 B 1,2m C 1.5 m D 2m Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Đ l h α N M I Gọi h độ cao bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ bóng điện; I hình chiếu Đ lên mặt bàn MN đường kính mặt bàn.( hình vẽ) l2 − h 2 (l > 2) Ta có sin α = h = l − , suy cường độ sáng là: C (l ) = c l3 l C ' ( l ) = c − l2 ( > ∀l > l l − ( C ' (l ) = ⇔ l = l > ) ) Lập bảng biến thiên ta thu kết C lớn l = , Câu 38: Với đĩa trịn thép tráng có bán kính R = 6m phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại? 6m O N A ≈ 66° B ≈ 294° C ≈ 12,56° D ≈ 2,8° Hướng dẫn giải: Chọn A Ta nhận thấy đường sinh hình nón bán kính đĩa trịn Cịn chu vi đáy hình nón chu vi đĩa trừ độ dài cung tròn cắt Như ta tiến hành giải chi tiết sau: Gọi x ( m) độ dài đáy hình nón (phần cịn lại sau cắt cung hình quạt dĩa) 120 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Khi x = 2π r ⇒ r = x 2π Chiều cao hình nón tính theo định lí PITAGO h = R − r = R − 1 x2 Thể tích khối nón là: V = π r h = π 3 4π R2 − x2 4π x2 4π Đến em đạo hàm hàm V ( x ) tìm GTLN V ( x ) đạt 2π x= R = 4π Suy độ dài cung tròn bị cắt là: 2π R − 4π ⇒ α = 6π − 4π 3600 ≈ 660 6π Câu 39: Một công ty nhận làm thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu 2π m3 yêu cầu tiết kiệm vật liệu Hỏi thùng phải có bán kính đáy R chiều cao h bao nhiêu? A R = 2m, h = m B R = 1 m, h = 8m C R = 4m, h = m D R = 1m, h = 2m Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi R bán kính đáy thùng ( m ), h : chiều cao thùng ( m ) ĐK: R > 0, h > Thể tích thùng là: V = π R h = 2π ⇔ R h = ⇔ h = R2 Diện tích tồn phần thùng là:   2  Stp = 2π Rh + 2π R = 2π R ( h + R ) = 2π R  + R  = 2π  + R  R  R  2  Đặt f ( t ) = 2π  + t  ( t > ) với t = R t   4π ( t − 1)  f ' ( t ) = 4π  t −  = , f ' (1) = ⇔ t = ⇔ t = t t   Từ bảng biến thiên… ta cần chế tạo thùng với kích thước R = 1m, h = 2m Câu 40: Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20 cm , bán kính đáy cốc 4cm , bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước đây? 121 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A 59,98cm B 59,93cm C 58, 67 cm D 58,80 cm Hướng dẫn giải: Chọn D Đặt b, a, h bán kính đáy cốc, miệng cốc chiều cao cốc, α góc kí hiệu hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng hình quạt khuyên với cung nhỏ BB " = 4π b cung lớn AA " = 4π a Độ dài ngắn đường kiến độ dài đoạn thẳng BA” Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: l = BO + OA′′2 − BO.OA′′.cos 2α (1) B′′A′′ = AB = (a − b) + h a 4π a l ( BB′′) OA OB + AB AB AB.α = = = = = 1+ = 1+ 2π b b 4π b l (AA′′) OB OB 2π b α ⇒α = b (a − b)2 + h AB a a−b 2π ( a − b) 2π ( a − b) = −1 = ⇒ OB = (b) = ( a ) OB b b a −b AB (a − b)2 + h OA′′ = OB + BA = b (a − b)2 + h + ( a − b) + h (c) a −b Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm l l ≈ 58, 79609cm ≈ 58,80 Ghi Để tồn lời giải đoạn BA” phải không cắt cung BB′′ điểm khác B, tức BA” nằm tiếp tuyến BB′′ B Điều tương đương với 122 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao b 2α < cos −1   Tuy nhiên, lời giải thí sinh khơng u cầu phải trình bày điều a kiện (và đề cho thỏa mãn yêu cầu đó) Câu 41: Gia đình An xây bể hình trụ tích 150 m3 Đáy bể làm bê tông giá 100 000 đ / m Phần thân làm tôn giá 90 000 đ / m , nắp nhôm giá 120 000 đ / m Hỏi chi phí sản suất để bể đạt mức thấp tỷ số chiều cao bể bán kính đáy bao nhiêu? A 22 B 22 C 31 22 D Hướng dẫn giải: : Chọn A 21 32 A′ B′ O′ 150 π R2 Mà ta có: f ( R ) = 100000π R + 120000π R + 180000π Rh Ta có: V = 150 ⇔ π R h = 150 ⇒ h = 150 27000000 f ( R ) = 220000π R + 180000π R = 220000π R + πR R A Để chi phí thấp hàm số f ( R ) đạt giá trị nhỏ với R > B O 27000000 440000π R − 27000000 30 = , cho f ′ ( R ) = ⇒ R = R2 R2 440π 30 Lập BBT, từ BBT suy f ( R ) R = R >0 440π h 150 22 Nên = = R π R3 f ′ ( R ) = 440000π R − Câu 42: Học sinh A sử dụng xơ đựng nước có hình dạng kích thước giống hình vẽ, đáy xơ hình trịn có bán kính 20 cm , miệng xơ đường trịn bán kính 30 cm , chiều cao xô 80 cm Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước Hỏi A phải trả tiền nước tháng, biết giá nước 20000 đồng/ m (số tiền làm tròn đến đơn vị đồng)? A 35279 đồng đồng B 38905 đồng D 31835 đồng C 42116 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta xét hình nón đỉnh A , đường cao h > 80 cm đáy đường tròn tâm O , bán kính 30 cm Mặt phẳng (α ) cách mặt 123 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao đáy 80 cm cắt hình nón theo giao tuyến đường trịn tâm O ' có bán kính 20 cm Mặt phẳng (α ) chia hình nón thành phần Phần I phần chứa đỉnh A , phần II phần khơng chứa đỉnh A ( Như hình vẽ) Ta có O ' B AO ' AO ' = ⇔ = ⇔ AO ' = 160 cm OC AO AO '+ O ' O Thể tích hình nón V = AO.π 302 = 72000π cm 3 Thể tích phần I V1 = 64000 AO '.π 202 = π cm3 3 Vậy thể tích xơ thể tích phần II V2 = V − V1 = Vậy số tiền phải trả T = 152000 19 π cm3 = π 375 (m ) 19π 10.20000 ≈ 31835 đồng 375 Câu 43: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm Mặt đáy phẳng dày 1cm , thành cốc dày 0, 2cm Đổ vào cốc 120ml nước sau thả vào cốc viên bi có đường kính 2cm Hỏi mặt nước cốc cách mép cốc cm (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) A 3, 67 cm B 2, 67 cm C 3, 28 cm D 2, 28 cm Hướng dẫn giải: Chọn D Thành cốc dày 0, 2cm nên bán kính đáy trụ 2,8cm Đáy cốc dày 1cm nên chiều cao ( ) Đổ 120ml vào cốc, thể tích lại 197, 04 − 120 = 77, 04 ( cm ) hình trụ 8cm Thể tích khối trụ V = π ( 2,8) = 197, 04 cm3 Thả viên bi vào cốc, thể tích viên bi Vbi = .π 13 = 20, 94 (cm3 ) Thể tích cốc cịn lại 77, 04 − 20, 94 = 56,1( cm3 ) Ta có 56,1 = h '.π ( 2,8 ) ⇒ h ' = 2, 28 cm Cách khác: Dùng tỉ số thể tích ( 2,8 ) π VTr h = coc ⇔ = ⇒ hnuoc +bi = 5, 72 Vnuoc + Vbi hnuoc +bi h + nuoc bi 120 + .π Chiều cao lại trụ − 5, 72 = 2, 28 Vậy mặt nước cốc cách mép cốc 2, 28 cm Câu 44: Người ta xếp hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h vào lọ hình trụ có chiều cao h, cho tất hình trịn đáy hình trụ nhỏ tiếp xúc với đáy hình trụ lớn, hình trụ nằm tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, hình trụ xung quanh tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ lớn Khi thể tích lọ hình trụ lớn là: 124 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A 16π r h B 18π r h C 9π r h D 36π r h Hướng dẫn giải: Ta có hình vẽ minh họa mặt đáy hình cho trên, ta rõ ràng nhận R = 3r , đề phức tạp, nhiên để ý kĩ lại đơn giản Vậy V = B.h = ( 3r ) π h = 9π r h Câu 45: Từ kim loại dẻo hình quạt hình vẽ có kích thước bán kính R = chu vi hình quạt P = 8π + 10 , người ta gò kim loại thành phễu theo hai cách: Gò kim loại ban đầu thành mặt xung quanh phễu Chia đôi kim loại thành hai phần gò thành mặt xung quanh hai phễu Gọi V1 thể tích phễu thứ nhất, V2 tổng thể tích hai phễu cách Tính V1 ? V2 A V1 21 = V2 B V1 21 = V2 C V1 = V2 D V1 = V2 Hướng dẫn giải: Do chu vi hình quạt tròn P = độ dài cung + 2R Do độ dài cung trịn l = 8π Theo cách thứ nhất: 8π chu vi đường tròn đáy phễu Tức 2π r = 8π ⇒ r = Khi h = R − r = 52 − 42 = ⇒ V1 = 3π 42 Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi hai đường trịn đáy hai phễu 8π ⇔ chu vi đường tròn đáy 4π ⇒ 4π = 2π r ⇒ r = 125 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Khi h = R − r = 52 − 22 = 21 ⇒ V2 = Khi 21.22.π V1 42 21 = = V2 21 Câu 46: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy B 20cm A 10 2cm C 50 2cm D 25cm Hướng dẫn giải: Đặt a = 50cm Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x, y ( x, y > ) Ta có SA = SH + AH = x + y Khi diện tích tồn phần hình nón Stp = π x + π x x + y Theo giả thiết ta có π x2 + π x x2 + y = π a ⇔ x x2 + y + x2 = a a4 ⇔ x x + y = a − x ⇔ x ( x + y ) = a + x − 2a x , ( DK : x < a ) ⇔ x = y + 2a 2 2 2 2 4 2 Khi thể tích khối nón 1 a4 y y = π a4 V = π 2 y + 2a y + 2a y + 2a V đạt giá trị lớn đạt giá trị nhỏ y Ta có 126 y + 2a 2a 2a = y+ ≥ y = 2a y y y Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Vậy V đạt giá trị lớn y = a 2a , tức y = a ⇒ x = = 25cm y Lưu ý: Bài em xét hàm số lập bảng biến thiên Câu 47: Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R =10cm, đặt khung hình hộp chữ nhật (hình 1) Trong chậu có chứa sẵn khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h = 4cm Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2) Bán kính viên bi gần số nguyên sau (Cho biết thể tích h  khối chỏm cầu V = π h  R −  ) 3  A B C D 10 Hướng dẫn giải: Gọi x bán kính viên bi hình cầu Điều kiện: < 2x (loại) x2 ≈ 2,0940 < (thỏa mãn), x3 ≈ - 1,8197 (loại) Vậy bán kính viên bi là: r ≈ 2,09 (cm) Câu 48: Một người có dải băng dài 130 cm, người cần bọc dải băng đỏ quanh hộp quà hình trụ Khi bọc quà, người dùng 10 cm dải băng để thắt nơ 127 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao nắp hộp (như hình vẽ minh họa) Hỏi dải băng bọc hộp q tích lớn bao nhiêu? A 4000π cm B 32000π cm C 1000π cm3 D 16000π cm Hướng dẫn giải: Một toán thực tế hay ứng dụng việc tìm giá trị lớn hàm số Ta nhận thấy, dải băng tạo thành hai hình chữ nhật quanh hộp, chiều dài dải băng tổng chu vi hai hình chữ nhật Tất nhiên chiều dài băng phải trừ phần băng dùng để thắt nơ, có nghĩa là: 22 ( 2r + h ) = 120 ⇔ h = 30 − 2r Khi thể tích hộp q tính cơng thức: V = B.h = π r ( 30 − 2r ) = π ( −2r + 30r ) Xét hàm số f ( r ) = −2r + 30r ( 0;15) r = ( l ) f ' ( r ) = −6r + 60r; f ' ( r ) = ⇔   r = 10 Khi vẽ BBT ta nhận Max f ( r ) = f (10 ) Khi thể tích hộp q ( 0;10 ) V = B.h = π 10 10 = 1000π Câu 49: Một khối gạch hình lập phương (khơng thấm nước) có cạnh đặt vào chiếu phễu hình nón trịn xoay chứa đầy nước theo cách sau: Một cạnh viên gạch nằm mặt nước (nằm đường kính mặt này); đỉnh cịn lại nằm mặt nón; tâm viên gạch nằm trục hình nón Tính thể tích nước cịn lại phễu (làm tròn chữ số thập phân) A V =22,27 B V =22,30 C V =23.10 Hướng dẫn giải: Gọi R , h bán kính chiều cao hình nón (phễu) 128 D 20,64 Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Thiết diện hình nón song song với đáy hình nón, qua tâm viên gạch hình trịn có bán kính R1 = thỏa mãn R1 h − h− = ⇒ R = (1) R h h Thiết diện hình nón song song với đáy hình nón, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm R2 = thỏa mãn đáy hình nón hình trịn có bán kính R2 h − 2 h−2 R = 1( ) = ⇒ R h h Từ (1) (2) suy 2+ h− R = − = 3⇒h= h−2 Thể tích lượng nước cịn lại phễu V = Vnón - Vgạch = π R h − 23 ≈ 22, 2676 Câu 50: Một nồi hiệu Happycook dạng hình trụ khơng nắp chiều cao nồi 11.4 cm, đường kính dáy 20.8 cm Hỏi nhà sản xuất cần miếng kim loại hình trịn có bán kính R tối thiểu để làm nồi (không kể quay nồi) A R = 18.58cm C R = 13.13cm B R = 19.58cm D R = 14.13cm Hướng dẫn giải: Diện tích xung quanh nồi 5928 S1 = 2π rl = 2π 10, 4.11, = π 25 Diện tích đáy nồi S = π r = 2704 π 25 Suy diện tích tối thiểu miếng kim loại hình trịn 8632 S = S1 + S2 = π = π R ⇒ R = 18.58cm 25 Chọn A Câu 51: Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m , có bán kính đáy 1m , với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0, 5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu cịn lại bồn (theo đơn vị m3 ) A 12,637m Hướng dẫn giải: 129 B 114,923m C 11,781m D 8,307m Mặt Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Nhận xét OH = CH = 0, = R OB suy ∆OHB tam giác nửa = 22 ⇒ HOB = 60° ⇒ AOB = 120° 1 Suy diện tích hình quạt OAB là: S = π R = π 3 OB 3 = ( ∆BOC 4 Vậy diện tích hình viên phân cung AB π − Mặt khác: S∆AOB = 2S∆HOB = S∆BOC = 1 3 Suy thể tích dầu rút ra: V1 =  π −  3   Thể tích dầu ban đầu: V = 5.π 12 = 5π Vậy thể tích cịn lại: V2 = V − V1 ≃ 12,637m3 Chọn A 130 C B A H O đều) ... cm ) B 754 , 25? ? ( cm ) C 750 , 25? ? ( cm ) D 756 , 25? ? ( cm ) 30cm 10cm A Hướng dẫn giải:  35 − 20   35  S hinhtron = π R = π   ; S xqlang tru = 2π rl = 2π   30 = 450 π      35   S... 19, 2.9 955 + 20.90000 = 1.991.136 Ở cách 2: 20 m → 1.800.000 Ta có 20 = 2π r ⇒ r = 10 π ⇒ Vnuoc  10  = hπ r = 0,8.π   ≈ 25, 46m π  Do tiền nước: 253 . 454 đồng Tổng tiền: 2. 053 . 454 đồng... đề Ta có ( x − 5) + y = 25 ⇔ y = ± 25 − ( x − 5) ⇒ Nửa trục Ox ( C ) có phương trình y = 25 − ( x − 5) = 10 x − x ⇒ Thể tích vật thể trịn xoay cho ( H ) quay quanh Ox là: 2  x3  52 π V1 = π ∫