5 ỨNG DỤNG THỰC tế

Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng ỨNG DỤNG THỰC TẾ Câu 1: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v (t ) = 160 − 10t ( m / s ) Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t = ( s ) đến thời điểm mà vật dừng lại A 1028 m B 1280 m C 1308 m D 1380 m Câu 2: Một ô tô chuyển động với vận tốc v ( t ) (m / s ) , có gia tốc , ( m / s ) Vận tốc tơ sau 10 giây (làm trịn đến hàng đơn vị) 2t + A 4, m / s B 7, m / s C 1, m / s D 2, m / s a (t ) = v ′(t ) = Câu 3: Một hạt proton di chuyển điện trường có biểu thức gia tốc ( theo cm / s ) −20 (với t tính giây) Tìm hàm vận tốc v theo t, biết t = a (t ) = (1 + 2t ) v = 30 ( cm / s ) A 10 + 2t B 10 + 20 + 2t −3 C (1 + 2t ) + 30 D −20 (1 + 2t ) + 30 Câu 4: Một vật chuyển động với vận tốc v (t ) = − sin 2t (m/s) Quãng đường mà vật chuyển động 3π khoảng thời gian t = (s) đến thời điểm t = (s) 3π 3π − 3π + 3π A B C D −1 +1 4 4 Câu 5: Một người lái xe ô tô chạy với vận tốc 20 m /s người lái xe phát có hàng rào ngăn đường phía trước cách 45m (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào) vậy, người lái xe đạp phanh Từ thời điểm xe chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −5t + 20 ( m/s ), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, xe tơ cịn cách hàng rào ngăn cách mét (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào)? A m B m C m D m Câu 6: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m / s tăng tốc với gia tốc a (t ) = 3t + t Tính quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc 4300 430 A B 4300 m C 430 m m m D 3 Câu 7: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1 (t ) = 7t (m/s) Đi (s), người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −70 (m/s2 ) Tính quãng đường S (m) ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn A S = 95,70 (m) Câu 8: 146 B S = 87,50 (m) C S = 94,00 (m) D S = 96, 25 (m) Một ôtô chạy với vận tốc 15 m/s phía trước xuất chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, ơtơ chuyển động chậm dần với gia tốc −a Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng m / s Biết ơtơ chuyển động thêm 20m dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng A ( 3; ) B ( 4;5 ) C ( 5;6 ) D ( 6; ) Câu 9: Một ôtô chạy với vận tốc 18 m / s người lái hãm phanh Sau hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −36t + 18 ( m / s ) t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Quãng đường ôtô di chuyển kể từ lúc hãm phanh đến dừng mét? A 5,5 m B 3, m C 6,5 m D 4,5 m Câu 10: Một vật di chuyển với gia tốc a ( t ) = −20 (1 + 2t ) −2 ( m / s ) Khi t = vận tốc vật 30m / s Tính quảng đường vật di chuyển sau giây (làm trịn kết đến chữ số hàng đơn vị) A S = 106m B S = 107 m C S = 108m D S = 109m t2 + (m/s) Quãng đường vật t+2 giây bao nhiêu? (làm tròn kết đến hàng phần trăm) A 12,60 m B 12,59 m C 0,83 m D 6,59 m Câu 11: Một vật chuyển động với vận tốc v(t ) = 1,5 + Câu 12: Một tia lửa bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc 15 m / s Hỏi sau 2,5 giây, tia lửa cách mặt đất mét, biết gia tốc 9,8 m / s ? A 30, 625 m B 37,5 m C 68,125 m D 6,875 m Câu 13: Một viên đạn bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 24,5 ( m / s ) gia tốc trọng trường 9,8 ( m / s ) Quãng đường viên đạn từ lúc bắn lên rơi xuống đất (coi viên đạn bắn lên từ mặt đất) A 61, 25 ( m ) B 30, 625 ( m ) C 29, ( m ) D 59,5 ( m ) Câu 14: Một lực 50 N cần thiết để kéo căng lị xo có độ dài tự nhiên cm đến 10 cm Hãy tìm cơng sinh kéo lò xo từ độ dài từ 10 cm đến 13 cm? A 1,95J B 1,59 J C 1000 J D 10000 J Câu 15: Một ôtô chạy với vận tốc 15 m/s phía trước xuất chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, ơtơ chuyển động chậm dần với gia tốc −a m / s Biết ôtô chuyển động thêm 20m dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng A ( 3;4 ) B ( 4;5) C ( 5;6 ) D ( 6;7 ) Câu 16: Tại nơi gió, khí cầu đứng n độ cao 162 (mét) so với mặt đất phi cơng cài đặt cho chế độ chuyển động xuống Biết rằng, khí cầu chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v ( t ) = 10t − t , t (phút) thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v ( t ) tính theo đơn vị mét/phút ( m /p ) Nếu bắt đầu tiếp đất vận tốc v khí cầu A v = ( m /p ) 147 B v = ( m /p ) C v = ( m /p ) D v = ( m /p ) Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 17: Một tơ chạy với vận tốc 10m / s người lái đạp phân, từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −5t + 10 ( m / s ) , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn tơ cịn di chuyển mét? B 2m A 0, 2m C 10m D 20m Câu 18: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h(t) thể tích nước bơm sau t giây Cho h’ ( t ) = 3at + bt ban đầu bể khơng có nước Sau giây thể tích nước bể 150m Sau 10 giây thể tích nước bể 1100m Hỏi thể tích nước bể sau bơm 20 giây A 8400m Câu 19: Gọi h ( t ) ( cm ) B 2200m C 6000m D 4200m mức nước bồn chứa sau bơm t giây Biết 13 t + lúc đầu bồn khơng có nước Tìm mức nước bồn sau bơm nước giây (chính xác đến 0, 01 cm ) A 2, 67 cm B 2, 66 cm C 2, 65 cm D 2, 68 cm h′ ( t ) = Câu 20: Khi quan sát đám vi khuẩn phịng thí nghiệm người ta thấy ngày thứ x có số 2000 lượng N ( x ) Biết N ′ ( x ) = lúc đầu số lượng vi khuẩn 5000 con.Vậy ngày 1+ x thứ 12 số lượng vi khuẩn là? A 10130 B 5130 C 5154 D 10129 4000 lúc đầu + 0,5t đám vi trùng có 250000 Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng gần với số sau nhất? A 251000 B 264334 C 261000 D 274334 Câu 21: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N ( t ) Biết N ′ ( t ) = 7000 lúc đầu đám t+2 vi trùng có 300000 Sau 10 ngày, đám vi trùng có khoảng con? Câu 22: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N (t ) , biết N ′(t ) = A 302542 B 322542 C 312542 D 332542 Câu 23: Tốc độ phát triển số lượng vi khuẩn hồ bơi mơ hình hàm số 1000 B′ ( t ) = , t ≥ , B ( t ) số lượng vi khuẩn ml nước ngày thứ (1 + 0,3t ) t Số lượng vi khuẩn ban đầu 500 ml nước Biết mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi số vi khuẩn phải 3000 ml nước Hỏi vào ngày thứ nước hồ khơng cịn an tồn nữa? A B 10 C 11 Câu 24: Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé 148 D 12 8m Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/ 1m2 Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng Câu 25: Trên cánh đồng cỏ có bị cột vào cọc khác Biết khoảng cách cọc mét sợi dây cột bò dài mét mét Tính phần diện tích mặt cỏ lớn mà bị ăn chung (lấy giá trị gần nhất) A 1, 034 m2 B 1, 574 m2 C 1, 989 m2 Câu 26: Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng / m Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm trịn đến hàng đơn vị) A 8412322 đồng B 8142232 đồng C 4821232 đồng D 4821322 đồng D 2,824 m2 6m O Câu 27: Một thùng rượu có bán kính đáy 30cm , thiết diện vng góc với trục cách hai đáy có bán kính 40cm , chiều cao thùng rượu 1m (hình vẽ) Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu ( đơn vị lít) bao nhiêu? A 425, lit B 425162 lit C 212581 lit D 212, lit Câu 28: Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m, có bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu lại bồn (theo đơn vị m3 ) A 11,781 m3 B 12,637 m3 C 14,923 m3 D 8,307 m3 Câu 29: Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là: A 33750000 đồng B 12750000 đồng C 6750000 đồng D 3750000 đồng Câu 30: Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cầu (Đường cong hình vẽ đường Parabol) 149 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 0, 5m 2m 5m 0, 5m A 19m 19m B 21m 0, 5m C 18m3 D 40m3 Câu 31: Một Bác thợ gốm làm lọ có dạng khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = x + trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ miệng lọ có đường kính 2dm 4dm , thể tích lọ là: 15 14 15 A 8π dm B π dm C D π dm dm Câu 32: Hạt electron có điện tích âm 1, 6.10−19 C Nếu tách hai hạt eletron từ 1pm đếm pm cơng W sinh A W = 3,194.10 −28 J B W = 1, 728.10-16 J C W = 1, 728.10 −28 J D W = 3,194.10−16 J Câu 33: Trong mạch máy tính, cường độ dòng điện (đơn vị mA ) hàm số theo thời gian t, với I (t ) = 0, − 0, 2t Hỏi tổng điện tích qua điểm mạch 0,05 giây bao nhiêu? A 0, 29975 mC B 0, 29 mC C 0, 01525 mC D 0, 01475 mC Câu 34: Dịng điện xoay chiều hình sin chạy qua đoạn mạch LC có có biểu thức cường độ π  i ( t ) = I cos  ωt −  Biết i = q′ với q điện tích tức thời tụ điện Tính từ lúc t = , điện 2  π lượng chuyển qua tiết diện thẳng dây dẫn đoạn mạch thời gian ω π I0 π 2I 2I A B C D ω ω ω Câu 35: Khi lò xo bị kéo căng thêm x ( m ) so với độ dài tự nhiên 0,15 ( m ) lị xo lị xo trì lại (chống lại) với lực f ( x ) = 800 x Hãy tìm cơng W sinh kéo lò xo từ độ dài từ 0,15 ( m ) đến 0,18 ( m ) A W = 36.10−2 J 150 B W = 72.10−2 J C W = 36 J D W = 72 J Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2π  Câu 36: Một dòng điện xoay chiều i = I0 sin  t + ϕ  chạy qua mạch điện có điện trở  T  R.Hãy tính nhiệt lượng Q tỏa đoạn mạch thời gian chu kì T A RI 02 T B RI 02 T C RI 02 T D Câu 37: Đặt vào đoạn mạch hiệu điện xoay chiều u = U sin RI 02 T 2π t Khi mạch có T 2π  dịng diện xoay chiều i = I0 sin  t + ϕ  với ϕ độ lệch pha dòng diện hiệu  T  điện thế.Hãy Tính cơng dịng diện xoay chiều thực đoạn mạnh thời gian chu kì A U I0 cosϕ B U I0 T sin ϕ C U I0 U I Tcos (ϕ + π ) D 0 Tcosϕ 2 Câu 38: Để kéo căng lị xo có độ dài tự nhiên từ 10cm đến 15cm cần lực 40N Tính cơng ( A ) sinh kéo lị xo có độ dài từ 15cm đến 18cm A A = 1,56 ( J ) B A = ( J ) C A = 2,5 ( J ) D A = ( J ) Câu 39: Một AB có chiều dài 2a ban đầu người ta giữ góc nghiêng α = α o , đầu tựa không ma sát với tường thẳng đứng Khi bng thanh, trượt xuống tác dụng trọng lực Hãy biểu diễn góc α theo thời gian t (Tính cơng thức tính phân) α A t = − ∫ αo α C t = − ∫ αo dα (sin α o − sin α ) 2a dα 3g (sin α o − sin α ) a α B t = − ∫ αo α D t = − ∫ αo dα 3g (sin α o + sin α ) 2a dα 3g (sin α o − sin α ) 2a Câu 40: Trong kinh tế học, thặng dư tiêu dùng hàng hóa tính công thức a I = ∫ [ p ( x) − P ].dx Với p ( x ) hàm biểu thị biểu thị công ty đưa để bán x đơn vị hàng hóa a số lượng sản phẩm bán ra, P = p (a ) mức giá bán ứng với số lượng sản phẩm a Cho p = 1200 − 0, x − 0, 0001x , (đơn vị tính USD) Tìm thặng dư tiêu dùng số lượng sản phẩm bán 500 A 1108333,3 USD B 570833,3 USD C 33333,3 USD D Đáp án khác Câu 41: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ phần mặt phẳng vng góc bán kính cách tâm 3dm để làm lu đựng Tính thể tích mà lu chứa 151 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A 132π (dm3) B 41π (dm3) C 100 π (dm3) D 43π (dm3) Câu 42: Từ khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua đường kính đáy nghiêng với đáy góc 450 để lấy hình nêm (xem hình minh họa đây) Hình Hình Kí hiệuV thể tích hình nêm (Hình 2) Tính V ( ) A V = 2250 cm B V = 225π cm ( ) ( ) C V = 1250 cm ( D V = 1350 cm ) Câu 43: Người ta dựng lều vải ( H ) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy ( H ) hình lục giác cạnh m Chiều cao SO = m ( SO vng góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên ( H ) sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có) ( H ) với mặt phẳng ( P ) vng góc với SO lục giác ( P ) qua trung điểm SO lục giác có cạnh m Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều ( H ) S c6 1m c1 c2 c3 c5 c4 O 3m 152 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A 135 ( m3 ) B 96 ( m3 ) C 135 ( m3 ) D 135 ( m3 ) Câu 44: Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn bán kinh cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox ta thiết diện tam giác Thể tích vật thể là: A V = 256 B V = 64 C V = 256 D V = 32 Câu 45: Một người có mảnh đất hình trịn có bán kính 5m, người tính trồng mảnh đất đó, biết mét vng trồng thu hoạch giá 100 nghìn Tuy nhiên cần có khoảng trống để dựng chồi đồ dùng nên người căng sợi dây 6m cho đầu mút dây nằm đường tròn xung quanh mảnh đất Hỏi người thu hoạch tiền (tính theo đơn vị nghìn bỏ phần số thập phân) .A 3722 B 7445 C 7446 D 3723 Câu 46: Trong Cơng viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình hệ tọa độ Oxy 16 y = x ( 25 − x ) hình vẽ bên y x Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét A S = 125 ( m2 ) B S = 125 (m ) C S = hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích ( H ) Câu 47: Gọi ( H ) phần giao hai khối 153 250 (m ) D S = 125 (m ) Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A V( H ) = 2a B V( H ) = C V( H ) = a3 D V( H ) = 3a π a3 Câu 48: Một khối cầu có bán kính ( dm ) , người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vuông góc đường kính cách tâm khoảng ( dm ) để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa A 100 π ( dm3 ) B 43 π ( dm3 ) C 41π ( dm ) D 132π ( dm3 ) Câu 49: Một chuông có dạng hình vẽ Giả sử cắt chng mặt phẳng qua trục chuông, thiết diện có đường viền phần parabol ( hình vẽ ) Biết chng cao 4m, bán kính miệng chng 2 Tính thể tích chng? A 6π B 12π D 16π C 2π Câu 50: Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng / m Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm tròn đến hàng đơn vị) A 8412322 đồng B 8142232 đồng C 4821232 đồng D 4821322 đồng Câu 51: Cho vật thể gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy R Cắt khối trụ mặt phẳng có giao tuyến với đáy đường kính đáy tạo với đáy góc 450 Thể tích khối gỗ bé là: A V = 2R3 B V = π R3 C V = R3 D V = π R3 Câu 52: Vòm cửa lớn trung tâm văn hố có dạng hình Parabol Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vịm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vịm cửa cao 8m rộng 8m (như hình vẽ) 28 26 128 131 (m ) (m ) (m ) (m ) A B C D 3 3 Câu 53: Một khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính (m) Trên người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa 154 Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng hình trịn hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường tròn (phần tô màu), cách khoảng (m), phần cịn lại khn viên (phần khơng tơ màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết kích thước cho hình vẽ kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản 100.000 đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng cỏ Nhật Bản phần đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) 4m 4m A 3.895.000 (đồng) (đồng) 4m B 1.948.000 (đồng) C 2.388.000 (đồng) D Câu 54: Một công ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình MNEIF A tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC = m , chiều dài CD = 12 m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ nhật có MN = m ; cung EIF có hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C , D Kinh D phí làm tranh 900.000 đồng/ m F 12 m I 1.194.000 B E 6m M N C 4m Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh đó? A 20.400.000 đồng đồng B 20.600.000 đồng C 20.800.000 đồng D 21.200.000 Câu 55: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 chiều rộng 60m người ta làm đường nằm sân (như hình vẽ) Biết viền viền đường hai đường elip, Elip đường viền ngồi có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí cho m làm đường 600.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) 100m 2m 60m A 293904000 155 B 283904000 C 293804000 D 283604000 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x f ( x ) = k x M O x x Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để giữ lò xo giãn thêm x mét từ độ dài tự nhiên f ( x ) = kx , với k ( N /m ) độ cứng lò xo Khi lò xo kéo giãn từ độ dài 10cm đến 15cm , lượng kéo giãn cm = 0.05 m Điều có nghĩa f ( 0.05) = 40 , đó: 0, 05k = 40 ⇔ k = 40 = 800 ( N /m ) 0, 05 Vậy f ( x ) = 800 x công cần để kéo dãn lò xo từ 15cm đến 18cm là: 0,08 A= ∫ 800 dx = 400 x 0,05 0,08 0,05 2 = 400 ( 0, 08 ) − ( 0, 05 )  = 1,56 ( J )   Câu 39: Một AB có chiều dài 2a ban đầu người ta giữ góc nghiêng α = α o , đầu tựa không ma sát với tường thẳng đứng Khi bng thanh, trượt xuống tác dụng trọng lực Hãy biểu diễn góc α theo thời gian t (Tính cơng thức tính phân) α A t = − ∫ αo (sin α o − sin α ) 2a α C t = − ∫ αo α dα B t = − ∫ αo α dα 3g (sin α o − sin α ) a D t = − ∫ αo dα 3g (sin α o + sin α ) 2a dα 3g (sin α o − sin α ) 2a Hướng dẫn giải Do trượt không ma sát nên bảo toàn mga sin α o = mga sin α + K q + K tt (1) Do khối tâm chuyển động đường tròn tâm O bán kính a nên: Ktt = Động quay quanh khối tâm: K q = Thay vào (1) ta được: α'=− 175 1 Iω = m(2a ) α '2 = ma 2α '2 2 12 aα '2 = g (sin α o − sin α ) 3g (sin α o − sin α ) 2a ma 2ω 2 = ma α ' 2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng α dα t = −∫ 3g (sin α o − sin α ) 2a αo Chọn D Câu 40: Trong kinh tế học, thặng dư tiêu dùng hàng hóa tính cơng thức a I = ∫ [ p ( x) − P ].dx Với p ( x ) hàm biểu thị biểu thị công ty đưa để bán x đơn vị hàng hóa a số lượng sản phẩm bán ra, P = p (a ) mức giá bán ứng với số lượng sản phẩm a Cho p = 1200 − 0, x − 0, 0001x , (đơn vị tính USD) Tìm thặng dư tiêu dùng số lượng sản phẩm bán 500 A 1108333,3 USD B 570833,3 USD C 33333,3 USD D Đáp án khác Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức với a = 500; P = p ( a ) = p ( 500 ) = 1075 500 500  x2 x3  Suy I = ∫ (1200 − 0, x − 0, 0001x − 1075 ) dx =  125 x − −  ≈ 33333,3 USD 10 30000   Câu 41: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ phần mặt phẳng vng góc bán kính cách tâm 3dm để làm lu đựng Tính thể tích mà lu chứa A 132π (dm3) B 41π (dm3) C 100 π (dm3) D 43π (dm3) Hướng dẫn giải: Đặt hệ trục với tâm O, tâm mặt cầu; đường thẳng đứng Ox, đường ngang Oy; đường trịn lớn có phương trình x + y = 25 3dm 5dm Thể tích hình giới hạn Ox, đường cong y = 25 − x , x = 3, x = −3 quay quanh Ox V = π ∫ (25 − x ) dx = 132π (bấm máy) −3 Chọn A 176 3dm Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 42: Từ khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua đường kính đáy nghiêng với đáy góc 450 để lấy hình nêm (xem hình minh họa đây) Hình Hình Kí hiệuV thể tích hình nêm (Hình 2) Tính V ( ) A V = 2250 cm B V = 225π cm ( ) ( ) ( C V = 1250 cm D V = 1350 cm Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ.Khi hình nêm có đáy nửa hình trịn có phương trình: y = 225 − x , x ∈  −15;15  Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x , (x ∈ −15;15 ) cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích ( ) S x (xem hình) Dễ thấy NP = y MN = NP tan 450 = y = 15 − x ( ) S x = 15 = ( ( ) ( ) 225 − x dx = 2250 cm −∫15 Chọn A 177 ) 1 MN NP = 225 − x suy thể tích hình nêm là: V = 2 15 ∫ S (x )dx −15 ) Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 43: Người ta dựng lều vải ( H ) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy ( H ) hình lục giác cạnh m Chiều cao SO = m ( SO vng góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên ( H ) sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có) ( H ) với mặt phẳng ( P ) vng góc với SO lục giác ( P ) qua trung điểm SO lục giác có cạnh m Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều ( H ) S c6 1m c1 c2 c3 c5 c4 O 3m A 135 ( m3 ) B 96 ( m3 ) C 135 ( m3 ) D 135 ( m3 ) Hướng dẫn giải Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có parabol cần tìm qua điểm có tọa độ A ( 0;6 ) , B (1;3) , C ( 3; ) nên có phương trình y = x − x + 2 Theo hình vẽ ta có cạnh “thiết diện lục giác” − 2t + (chú ý ta phải lấy giá trị có dấu “ − ” trước dấu cho B chạy từ C đến A ) BM Nếu ta đặt t = OM BM = Khi đó, diện tích “thiết diện lục giác” 1 BM 3  S ( t ) = =  − 2t +  với 2 4 t ∈ [ 0;6] Vậy thể tích “túp lều” theo đề là: 178 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 37 1 135 V = ∫ S ( t ) dt = ∫  − 2t +  dt = = 2 4 0 6 Chọn D Câu 44: Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn bán kinh cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox ta thiết diện tam giác Thể tích vật thể là: A V = 256 B V = 64 C V = 256 D V = 32 Hướng dẫn giải Chọn tâm đường trịn làm gốc Diện tích thiết diện S = 2 −2 −2 AB = 3(4 − x ) V = ∫ S ( x)dx = ∫ (4 − x )dx = 32 Chọn D Câu 45: Một người có mảnh đất hình trịn có bán kính 5m, người tính trồng mảnh đất đó, biết mét vng trồng thu hoạch giá 100 nghìn Tuy nhiên cần có khoảng trống để dựng chồi đồ dùng nên người căng sợi dây 6m cho đầu mút dây nằm đường tròn xung quanh mảnh đất Hỏi người thu hoạch tiền (tính theo đơn vị nghìn bỏ phần số thập phân) .A 3722 179 B 7445 C 7446 D 3723 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Hướng dẫn giải Đặt hệ trục tọa độ 4349582 hình vẽ Phương trình đường trịn miếng đất x + y = 25 Diện tích cần tính lần diện tích phần tơ đậm phía Phần tơ đậm giới hạn đường cong có phương trình y = 25 − x , trục Ox; x = −5; x = (trong giá trị có dựa vào bán kính độ dài dây cung 6) Vậy diện tích cần tính S = ∫ 25 − x dx ≈ 74, 45228 −5 Chọn B Câu 46: Trong Công viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng loài hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình hệ tọa độ Oxy 16 y = x ( 25 − x ) hình vẽ bên y x Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét A S = 125 m2 ) ( B S = 125 (m ) C S = 250 (m ) D S = 125 (m ) Hướng dẫn giải Chọn D Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy Từ giả thuyết toán, ta có y = ± x − x 180 Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Góc phần tư thứ y = x 25 − x ; x ∈ [ 0;5] Nên S ( I ) = 125 125 x 25 − x dx = ⇒S= (m ) ∫ 40 12 hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích ( H ) Câu 47: Gọi ( H ) phần giao hai khối A V( H ) = 2a B V( H ) = C V( H ) = a3 D V( H ) = 3a π a3 Hướng dẫn giải Chọn A Ta gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao ( H ) vật thể có đáy phần tư hình trịn tâm O bán kính a , thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng có diện tích S ( x ) = a − x Thể tích khối ( H ) a a 0 2 ∫ S ( x ) dx = ∫ ( a − x )dx = 2a Câu 48: Một khối cầu có bán kính ( dm ) , người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc đường kính cách tâm khoảng ( dm ) để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa 181 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A 100 π ( dm3 ) B C 41π ( dm ) 43 π ( dm3 ) D 132π ( dm3 ) Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn (C ) : ( x − 5)2 + y = 25 Ta thấy cho nửa trục Ox ( C ) quay quanh trục Ox ta mặt cầu bán kính Nếu cho hình phẳng ( H ) giới hạn nửa trục Ox ( C ) , trục Ox , hai đường thẳng x = 0, x = quay xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay phần cắt khối cầu đề Ta có ( x − 5) + y = 25 ⇔ y = ± 25 − ( x − 5) ⇒ Nửa trục Ox ( C ) có phương trình y = 25 − ( x − 5) = 10 x − x ⇒ Thể tích vật thể trịn xoay cho ( H ) quay quanh Ox là: 2  x3  52π V1 = π ∫ (10 x − x ) dx = π  x −  = 0  500π Thể tích khối cầu là: V2 = π 53 = 3 Thể tích cần tìm: V = V2 − 2V1 = 500π 52π − = 132π ( dm ) 3 Câu 49: Một chng có dạng hình vẽ Giả sử cắt chng mặt phẳng qua trục chng, thiết diện có đường viền phần parabol ( hình vẽ ) Biết chng cao 4m, bán kính miệng chng 2 Tính thể tích chng? A 6π 182 B 12π C 2π D 16π Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Hướng dẫn giải Xét hệ trục hình vẽ, dễ thấy parabol qua ba ( )( ) điểm ( 0;0 ) , 4; 2 , 4; −2 nên có phương trình y Thể tích chng thể tích khối trịn xoay tạo hình phẳng y = x, x = 0, x = quay quanh trục Ox Do x= ( ) Ta có V = π ∫ xdx = π x = 16π Câu 50: Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng / m Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm trịn đến hàng đơn vị) A 8412322 đồng B 8142232 đồng C 4821232 đồng D 4821322 đồng Hướng dẫn giải Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình đường trịn tâm O x + y = 36 Khi phần nửa cung trịn phía trục Ox có phương trình y = 36 − x = f ( x ) Khi diện tích S mảnh đất lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hồnh, đồ thị y = f ( x ) hai đường thẳng x = −3; x = 3 ⇒ S = ∫ 36 − x dx −3 Đặt x = 6sin t ⇒ dx = cos tdt Đổi cận: x = −3 ⇒ t = − π π ; x = 3⇒ t = 6 ⇒ S = ∫ 36cos tdt = 36 ∫ (c os2t+1) dt = 18(sin t + t) − π − π π π = 18 + 12π π − π Do số tiền cần dùng 70000.S ≈ 4821322 đồng Câu 51: Cho vật thể gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy R Cắt khối trụ mặt phẳng có giao tuyến với đáy đường kính đáy tạo với đáy góc 450 Thể tích khối gỗ bé là: A V = 2R3 Hướng dẫn giải 183 B V = π R3 C V = R3 D V = π R3 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng O y x R2 − x2 R2 − x2 Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Cắt khối gỗ bé mặt phẳng vng góc với Ox điểm R2 − x2 có hồnh độ x ta thiết diện tam giác vng có diện tích A( x) = R Vậy thể tích khối gỗ bé bằng: V = 2R3 2 R − x = ∫2 −R Chọn A Câu 52: Vòm cửa lớn trung tâm văn hố có dạng hình Parabol Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vịm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vòm cửa cao 8m rộng 8m (như hình vẽ) A 28 (m ) B 26 (m ) C 128 (m ) D 131 (m ) Hướng dẫn giải: Đáp án đúng: C Các phương án nhiễu: A HS tính tích phân sai S = + dx = 28 (m ) + dx = 26 (m ) ) ∫ −2x −4 B HS tính tích phân sai S = ∫ −2x −4 131 D HS nhầm a = − , b= 8, c = => S = ∫ − x + x dx = (m ) −4 Câu 53: Một khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính (m) Trên người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa 184 Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng hình trịn hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường trịn (phần tơ màu), cách khoảng (m), phần cịn lại khn viên (phần khơng tơ màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết kích thước cho hình vẽ kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản 100.000 đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng cỏ Nhật Bản phần đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) 4m 4m A 3.895.000 (đồng) (đồng) 4m B 1.948.000 (đồng) C 2.388.000 (đồng) D 1.194.000 Hướng dẫn giải: Chọn B Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình nửa đường tròn y = R2 − x2 = (2 ) − x = 20 − x Phương trình parabol ( P ) có đỉnh gốc O có dạng y = ax Mặt khác ( P ) qua điểm M ( 2;4 ) đó: = a ( −2 ) ⇒ a = Phần diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) nửa đường trịn.( phần tơ màu) Ta có cơng thức S1 = ∫( −2 ) 20 − x − x dx ≅ 11,94m2 Vậy phần diện tích trồng cỏ Strongco = S − S1 ≈ 19, 47592654 hinhtron Vậy số tiền cần có Strongxo × 100000 ≈ 1.948.000 (đồng).đồng Câu 54: Một công ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình MNEIF A tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC = m , chiều dài CD = 12 m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ nhật có MN = m ; cung EIF có hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C , D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/ m D Hỏi công ty X cần tiền để làm 185 F 12 m I E B 6m M N 4m C Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng tranh đó? A 20.400.000 đồng đồng B 20.600.000 đồng C 20.800.000 đồng D 21.200.000 Câu 55: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 chiều rộng 60m người ta làm đường nằm sân (như hình vẽ) Biết viền viền đường hai đường elip, Elip đường viền ngồi có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí cho m2 làm đường 600.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) 100m 2m 60m A 293904000 B 283904000 C 293804000 D 283604000 Hướng dẫn giải: Chọn A Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt gốc tọa độ O vào tâm hình Elip Phương trình Elip đường viền ngồi đường ( E1 ) : ( E1 ) x2 y2 + = Phần đồ thị 502 302 x2 nằm phía trục hồnh có phương trình y = 30 − = f1 ( x ) 50 Phương trình Elip đường viền đường ( E2 ) : ( E2 ) nằm phía trục hồnh có phương trình y = 28 − x2 y2 + = Phần đồ thị 482 282 x2 = f2 ( x ) 482 Gọi S1 diện tích ( E1 ) hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hồnh đồ thị hàm số y = f1 ( x ) Gọi S2 diện tích ( E2 ) hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hoành đồ thị hàm số y = f ( x ) Gọi S diện tích đường Khi 50 48 x2 x2 S = S1 − S = ∫ 30 − dx − ∫ 28 − dx 50 48 −50 −48 186 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng a Tính tích phân I = ∫ b − −a x2 dx , ( a , b ∈ ℝ + ) a π  π Đặt x = a sin t ,  − ≤ t ≤  ⇒ dx = a cos tdt 2  Đổi cận x = − a ⇒ t = − π ;x = a ⇒ t = π π π π Khi I = ∫ b − sin t a cos t dt = 2ab ∫ cos t dt = ab ∫ (1 + cos 2t ) dt − π − π − π π  sin 2t  = ab  t +  = abπ  −π  Do S = S1 − S = 50.30π − 48.28π = 156π Vậy tổng số tiền làm đường 600000.S = 600000.156π ≈ 294053000 (đồng) Câu 56: Có vật thể hình trịn xoay có dạng giống ly hình vẽ Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính cm thể tích V ( cm ) vật thể cho A B O A V = 12π B V = 12 C V = 72 π D V = 72 cm Hướng dẫn giải: Chọn A Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol ( P ) Vì I parabol ( P ) qua điểm A ( −2;6 ) , B ( 2;6 ) I ( 0; ) nên parabol ( P ) có phương trình y= x 2 x ⇔ x = y Khi thể tích vật thể cho   V = π ∫  y  dy = 12π ( cm3 )  0 Ta có y = 187 Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 57: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật ( H ) có cạnh nằm trục hồnh, có hai ( ) đỉnh đường chéo A ( −1;0 ) B a; a , với a > Biết đồ thị hàm số y = x chia hình ( H ) thành hai phần có diện tích nhau, tìm a A a = B a = C a = D a = Hướng dẫn giải: Chọn D ( Gọi ACBD hình chữ nhật với AC nằm trục Ox , A ( −1;0 ) B a; a ) Nhận thấy đồ thị hàm số y = x cắt trục hoành điểm có hồnh độ qua ( ) B a; a Do chia hình chữ nhật ACBD làm phần có diện tích S1 , S2 Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x trục Ox , x = 0, x = a S1 diện tích phần cịn lại Ta tính S1 , S2 a Tính diện tích S = ∫ x dx Đặt t = x ⇒ t = x ⇒ 2tdt = dx ; Khi x = ⇒ t = 0; x = a ⇒ t = a a a  2t  2a a Do S2 = ∫ 2t dt =   =  0 Hình chữ nhật ACBD có AC = a + 1; AD = a nên S1 = S ACBD − S = a ( a + 1) − 2a a = a a+ a 3 Do đồ thị hàm số y = x chia hình ( H ) thành hai phần có diện tích nên S1 = S ⇔ 2a a = a a + a ⇔ a a = a ⇔ a = (Do a > ) 3 Câu 58: Sân trường có bồn hoa hình trịn tâm O Một nhóm học sinh lớp 12 giao thiết kế bồn hoa, nhóm định chia bồn hoa thành bốn phần, hai đường parabol có đỉnh 188 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng O đối xứng qua O Hai đường parabol cắt đường tròn bốn điểm A , B , C , D tạo thành hình vng có cạnh 4m (như hình vẽ) Phần diện tích Sl , S2 dùng để trồng hoa, phần diện tích S3 , S4 dùng để trồng cỏ (Diện tích làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinh phí trồng hoa 150.000 đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ 100.000 đồng/1m2 Hỏi nhà trường cần tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm trịn đến hàng chục nghìn) A 6.060.000 đồng B 5.790.000 đồng C 3.270.000 đồng D 3.000.000 đồng Hướng dẫn giải: Chọn C Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Parabol có hàm số dạng y = ax + bx + c có đỉnh gốc tọa độ qua điểm B ( 2; ) nên có phương trình y = x Đường trịn bồn hoa có tâm gốc tọa độ bán kính OB = 2 nên có phương trình x + y = Do ta xét nhánh đường tròn nên ta chọn hàm số nhánh y = − x2   Vậy diện tích phần S1 = ∫  − x − x  dx  −2  y Do đó, diện tích trồng hoa   S1 + S2 = ∫  − x − x  dx ≈ 15, 233  −2  O Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là: ( ( 15, 233 × 150.000 + π 2 ) ) − 15, 233 × 100.000 ≈ 3.274.924 đồng Làm trịn đến hàng chục nghìn nên ta có kết 3.270.000 đồng 189 x ... v2 (5) = v1 (5) = 35 ⇒ C = 3 85 Vậy v2 (t ) = −70 t + 3 85 Thời điểm xe dừng hẳn tương ứng với t thoả mãn v2 (t ) = ⇔ t = 5, 5 (s) Quãng đường ô tô từ lúc xe phanh đến dừng hẳn: 5, 5 S2 = 5, 5 ∫... dt = ∫ ( − at + 15 ) dt = − at + 15t 0 159 Nguyên Hàm-Tích Phân -Ứng Dụng x ( t ) = − at + 15t −at + 15 = v ( t ) = 15 45  ⇔ Ta có:  ⇒ − t + 15t = 20 ⇒ t = ⇒ a = − at + 15t = 20  x (... 6 25 m B 37 ,5 m C 68,1 25 m D 6,8 75 m Hướng dẫn giải Chọn C Hàm vận tốc v ( t ) = v0 + at = 15 + 9,8t Quãng đường tia lửa sau 2 ,5 giây là: 2 ,5 s= ∫ ( 15 + 9,8t ) dt = (15t + 4,9t ) 2 ,5 =68,1 25 m