9 ỨNG DỤNG THỰC tế

Hàm Số Nâng Cao ỨNG DỤNG THỰC TẾ A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: π  Một vật chuyển động có phương trình S ( t ) = 40sin  π t +  , ( t ( s ) ) , quãng đường tính 3  theo đơn vị mét a Tính vận tốc vặt chuyển động thời điểm t=4(s) b Tính gia tốc vật chuyển động thời điểm t=6(s) Câu 2: Một vật rơi tự có phương trình chuyển động S ( t ) = 50t , ( t ( s ) ) , độ cao tính theo đơn vị mét a Tính vận tốc vật rơi tự thời điểm t=6(s) b Sau thời gian vật rơi tự đạt vận tốc 50 ( m / s ) Câu 3: Một vật chuyển động có vận tốc biểu thị công thức v ( t ) = 5t + 7t , ( t (s) ) , v(t ) tính theo đơn vị (m/s) a Tính gia tốc vật thời điểm t=2(s) b Tính gia tốc vật thời điểm vận tốc chuyển động vật 12 m/s Câu 4: Một chất điểm chuyển động theo quy luật S ( t ) = + 3t − t , t ( s ) Vận tốc v ( m / s ) chuyển động đạt giá trị lớn t A t = Câu 5: B t = C t = D t = Hằng ngày mực nước hồ thủy điện miền Trung lên xuống theo lượng nước mưa, suối nước đổ hồ Từ lúc 8h sáng, độ sâu mực nước hồ tính theo mét lên t3 Biết phải thông báo cho hộ dân phải di dời trước xả nước theo quy đinh trước Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước xả nước Biết mực nước hồ phải lên cao xả nước xuống theo thời gian t (giờ) ngày cho công thức h ( t ) = 24t + 5t − A 15h Câu 6: B 16h C 17h D 18h Một tơ chạy với vận tốc 10m/s người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = −5t + 10, ( t ( s) ) , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét? A 0,2m Câu 7: B 2m C 10m D 20m Một cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) để vượt khoảng cách 300km (tới nơi sinh sản) Vận tốc dòng nước 6km/h Giả sử vận tốc bơi cá nước đứng yên v km/h lượng tiêu hao cá thời gian t cho công thức E ( v ) = cv 3t , c 249 Hàm Số Nâng Cao số; E tính jun Vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng cá tiêu hao bao nhiêu? A 9km/h Câu 8: C 10km/h D 12km/h Chi phí nhiên liệu tàu chia làm hai phần Trong phần thứ không phụ thuộc vào vận tốc 480 ngàn đồng/giờ Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương vận tốc, v = 10km / h phần thứ hai 30 ngàn đồng/giờ Hãy xác định vận tốc tàu để tổng chi phí nguyên liệu km đường nhỏ nhất? A 10km/h Câu 9: B 6km/h B 15km/h C 20km/h D 25km/h gt , g = 9,8m / s t tính giây (s) Vận tốc vật thời điểm t = 5s bằng: Một vật rơi tự với phương trình chuyển động S = A 49m/s B 25m/s C 10m/s D 18m/s Câu 10: Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình S = t − 3t + 4t , t tính giấy (s) S tính mét (m) Gia tốc chất điểm lúc t=2s là: A 4m / s B 6m / s C 8m / s D 12m / s Câu 11: Cho chuyển động thẳng theo phương trình S = t + 3t − 9t + 27 , t tính giấy (s) S tính mét (m).Gia tốc chuyển động thời điểm vận tốc triệt tiêu là: A 0m / s B 6m / s C 24m / s D 12m / s Câu 12: Một chất điểm chuyển động theo quy luật S = t − t + 2t − 100 , t tính giấy (s) Chất điểm đạt giá trị nhỏ thời điểm: A t = B t = 16 C t = D t = Câu 13: Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc a ( t ) = 3t + t ( m / s ) Hỏi quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc? A 11100m B 6800 m C 4300 m D 5800 m 3 ( m / s ) vận tốc ban t +1 đầu vật 6m / s Vận tốc vật sau 10 giây (làm tròn kết đến hàng đơn vị): Câu 14: Một vật chuyển động với vận tốc v ( t )( m / s ) , có gia tốc v ' ( t ) = A 14m/s B 13m/s C 11m/s D 12m/s Câu 15: Một đoàn cứu trợ lũ lụt vị trí A tỉnh Quảng Ninh muốn tiếp cận vị trí C để tiếp tế lượng thực phải theo đường từ A đến B từ B đến C (như hình vẽ) Tuy nhiên nước ngập đường từ A đến B nên đồn cứu trợ khơng thể đến C xe, đồn cứu trợ chèo thuyền từ A đến D với vận tốc 6km/h từ D đến C với vận tốc 4km/h Biết A cách B 5km, B cách C 7km Xác định vị trí điểm D cách B km để đoàn cứu trợ đến C nhanh 250 Hàm Số Nâng Cao A B A BD = 5km B BD = 2km D C BD = 4km C D Khơng tồn Câu 16: Có hai cọc cao 10m 30m đặt hai vị trí A, B Biết khoảng cách hai cọc 24m Ngưới ta chọn chốt vị trí M mặt đất nằm hai chân cột để giăng dây nối đến hai đỉnh C D cọc hình vẽ Hỏi ta phải đặt chốt vị trí để tổng độ dài hai sợi dây ngắn nhất? A AM = 6m, BM = 18m B AM = m, BM = 17 m C AM = 4m, BM = 20m D AM = 12m, BM = 12m Câu 17: Một người lính đặc cơng thực bơi luyện tập từ vị trí A bờ biển đến thuyền neo đậu vị trí C biển Sau bơi 1, 25km khát nước người bơi vào vị trí E bờ biển để uống nước từ E bơi đến C Hãy tính xem người lính phải bơi kilomet Biết khoảng cách từ A đến C 6, 25km khoảng cách ngắn từ C vào bờ 5km km 15 D km A km C B 26 + km Câu 18: Hai vị trí A, B cách 615m nằm phía bờ sơng Khoảng cách từ A từ B đến bờ dông 118m 478m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người (làm đến chữ số thập phân thứ nhất) A 569,5m B 671, 4m C 779,8m D 741, 2m Câu 19: Người ta gập miếng bìa hình chữ nhật có kích thước 60cm × 20cm hình vẽ để ghép thành hộp hình hộp đứng (hai đáy cắt từ miếng tôn khác để ghép vào) Tính diện tích tồn phần hộp thể tích hộp lớn 251 Hàm Số Nâng Cao x y x y 20 A 1425 ( cm3 ) B 1200 ( cm ) C 2150 ( cm ) D 1650 ( cm ) Câu 20: Đường cao tốc xây nối hai thành phố A B Hai thành phố muốn xây trạm thu phí trạm xăng đường cao tốc hình vẽ Để tiết kiệm chi phí lại, hai thành phố định tính tốn xem dựng trạm thu phí vị trí để tổng khoảng cách từ hai trung tâm thành phố đến trạm ngắn nhất, biết khoảng cách từ trung tâm thành phố A , B đến đường cao tốc 60 km 40 km ; khoảng cách hai trung tâm thành phố 120 km (được tính theo khoảng cách hình chiếu vng góc hai trung tâm thành phố lên đường cao tốc, tức PQ kí hiệu hình vẽ) Tìm vị trí trạm thu phí trạm xăng? (Giả sử chiều rộng trạm thu phí khơng đáng kể) trạm A xăng B 60 40 P Q 120 trạm thu phí A 72km kể từ P B 42 km kể từ Q C 48 km kể từ P D Tại P Câu 21: Một người nơng dân có 15.000.000 đồng để làm hàng rào hình chữ E dọc theo sơng (như hình vẽ) để ngăn khu đất thành hai hình chữ nhật với mục đích trồng rau Đối với mặt hàng rào song song với bờ sơng, chi phí nguyên vật liệu 60.000 đồng/mét Còn ba mặt hàng rào song song chi phí ngun vật liệu 50.000 đồng/mét Tìm diện tích lớn đất rào thu được? 252 Hàm Số Nâng Cao A 6250 m B 1250 m C 3125 m D 50 m Câu 22: Bác nông dân làm hàng rào trồng rau hình chữ nhật có chiều dài song song với bờ tường Bác làm ba mặt, mặt thứ tư bác tận dụng ln bờ tường Bác dự tính dùng 200 m lưới sắt để làm nên toàn hàng rào Hỏi diện tích lớn bác rào Khu trồng rau Bờ tường A 1500 m B 10000 m C 2500 m D 5000 m Câu 23: Từ bìa cứng hình vng cạnh a , người ta cắt bốn góc với bốn hình vng (như hình vẽ) gấp lại tạo thành hình hộp khơng nắp Tìm cạnh hình vng bị cắt để thể tích khối hộp lớn A a B a C a D a Câu 24: Cho bìa hình chữ nhật chiều dài AB = 60cm chiều rộng BC = 40cm Người ta cắt hình vng hình vẽ, hình vng cạnh xcm , gập bìa lại hình vẽ để hộp quà có nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn 253 Hàm Số Nâng Cao 40 cm x cm x cm 60 cm A 20 cm B 4cm C 5cm D 10 cm Câu 25: Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ Kỳ đài trước Ngọ Môn (Đại Nội - Huế), người ta cắm hai cọc MA NB cao 1,5m so với mặt đất Hai cọc song song, cách 10m thẳng hàng so với tim cột cờ (như hình vẽ) Đặt giác kế đứng A B để nhắm đến đỉnh cột cờ, người ta đo góc 51040'12'' 45039' so với đường song song mặt đất Hãy tính chiều cao cột cờ (Làm trịn đến 0, 01m ) A 63, 48m B 52, 29m C 62, 29m D 53, 48m Câu 26: Người ta muốn làm đường từ địa điểm A đến địa điểm B hai bên bờ sơng, số liệu thể hình vẽ, đường làm theo đường gấp khúc AMNB Biết chi phí xây dựng 1km đường bên bờ sơng có điểm B gấp 1, lần chi phí xây dựng 1km đường bên bờ sơng có điểm A , cịn chi phí làm cầu MN điểm Hỏi phải xây dựng cầu điểm M cách điểm H (làm tròn đến 0, 001km ) để chi phí làm đường nhỏ A 1,758 km B 2,630 km C 2,360 km D Kết khác Câu 27: Cho tờ giấy hình chữ nhật có chiều dài 12cm , chiều rộng 8cm Gấp góc bên phải tờ giấy cho gấp, đỉnh có chạm với đáy (như hình vẽ) Gọi độ dài nếp gấp y giá trị nhỏ y A 254 B C D Hàm Số Nâng Cao Câu 29: Cho gỗ hình vng cạnh 200cm Người ta cắt gỗ có hình tam giác ABC AB = x ( < x < 60cm ) vng từ gỗ hình vng cho hình vẽ sau Biết ABC AB cạnh góc vng tam giác tổng độ dài cạnh góc vng với cạnh huyền BC 120cm x ABC Tìm để tam giác có diện tích lớn A x = 40cm B x = 50cm C x = 30cm D x = 20cm Câu 30: Cho bìa hình vng cạnh dm Để làm mơ hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân có cạnh đáy cạnh hình vng gấp lên, ghép lại thành hình chóp tứ giác Để mơ hình tích lớn cạnh đáy mơ hình là: A B C D 2 Câu 31: Chiều dài bé thang AB để tựa vào tường AC mặt đất BC, ngang qua cột đỡ DH cao 4m, song song cách tường CH=0,5m là: A Xấp xỉ 5,602 B Xấp xỉ 6,5902 C Xấp xỉ 5,4902 D Xấp xỉ 5,5902 Câu 32: Trong thực hành môn huấn luyện qn có tình chiến sĩ phải bơi qua sông để công mục tiêu phía bờ bên sơng Biết lịng sơng rộng 100m vận tốc bơi chiến sĩ nửa vận tốc chạy Bạn cho biết chiến sĩ phải bơi mét để đến mục tiêu nhanh nhất, dịng sơng thẳng, mục tiêu cách chiến sĩ 1km theo đường chim bay A 400 B 40 33 C 100 D 200 Câu 33: Một sợi dây có chiều dài m, chia thành phần Phần thứ uốn thành hình tam giác đều, phầm thứ hai uốn thành hình vng Hỏi độ dài cạnh hình tam giác để diện tích hình thu nhỏ nhất? 255 Hàm Số Nâng Cao A 18 9+4 (m) B 36 4+ (m) C 12 4+ (m) D 18 4+ (m) Câu 34: Một khách sạn có 50 phịng Hiện phịng cho th với giá 400 ngàn đồng ngày tồn phịng thuê hết Biết lần tăng giá thêm 20 ngàn đồng có thêm phịng trống Giám đốc phải chọn giá phòng để thu nhập khách sạn ngày lớn A 480 ngàn B 50 ngàn C 450 ngàn D 80 ngàn Câu 35: Hai chuồn chuồn bay hai quỹ đạo khác thời điểm Một bay quỹ đạo đường thẳng từ điểm A ( 0;0 ) đến điểm B ( 0;100 ) với vận tốc 5m / s Con lại bay quỹ đạo đường thẳng từ C ( 60;80 ) A với vận tốc 10m / s Hỏi trình bay, khoảng cách ngắn mà hai đạt bao nhiêu? A 20( m) B 50(m ) C 20 10(m) D 20 5(m) Câu 36: Một cơng ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2.000.000 đồng tháng hộ có người thuê lần tăng giá cho thuê hộ 100.000 đồng tháng có thêm hộ bị bỏ trống Muốn có thu nhập cao nhất, cơng ty phải cho thuê với giá hộ bao nhiêu? A 2.250.000 B 2.350.000 C 2.450.000 D 2.550.000 Câu 37: Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng Phú Thọ với giá bán 50.000 đồng Với giá bán cửa hàng bán khoảng 40 bưởi Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cửa hàng giảm 5000 đồng số bưởi bán tăng thêm 50 Xác định giá bán để cửa hàng thu lợi nhuận lớn nhất, biết giá nhập ban đầu 30.000 đồng A 44.000đ B 43.000đ C 42.000đ D 41.000đ Câu 38: Một xe khách từ Việt Trì Hà Nội chở tối đa 60 hành khách chuyến Nếu chuyến chở m hành khách giá tiền cho hành khách tính 5m    30 −  đồng Tính số hành khách chuyến xe để nhà xe thu lợi nhuận   chuyến xe lớn nhất.? A 30 B 40 C 50 D 60 Câu 39: Cuốn sách giáo khoa cần trang chữ có diện tích 384cm Lề 3cm , lề trái lề phải 2cm Kích thước tối ưu trang giấy? A Dài 24cm , rộng 17cm 256 B Dài 30cm , rộng 20cm Hàm Số Nâng Cao C Dài 24cm , rộng 18cm D Dài 24cm , rộng 19cm Câu 40: Một ảnh hình chữ nhật cao 1,4 mét đặt độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép hình) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đó? Biết góc BOC góc nhọn C 1,4 B 1,8 A AO = 2, 4m B AO = 2m C AO = 2, 6m D AO = 3m O A Câu 41: Một công trình nghệ thuật kiến trúc cơng viên thành phố Việt Trì có dạng tịa nhà hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính 5(m) Tồn tịa nhà trang trí hình ảnh lịch sử tượng anh hùng, để có khơng gian rộng bên tịa nhà người ta xây dựng tòa nhà cho thể tích lớn Tính chiều cao tịa nhà A h = B h = 22 ( m) C h = 23 ( m) D h = 25 (m) Một chi tiết máy có hình dạng hình vẽ 1, kích thước thể hình vẽ (hình chiếu hình chiếu đứng) 10 cm Câu 42: 20 ( m) cm 10 cm Hình vẽ Hình vẽ Người ta mạ toàn phần chi tiết loại hợp kim chống gỉ Để mạ 1m bề mặt cần số tiền 150000 đồng Số tiền nhỏ dùng để mạ 10000 chi tiết máy bao nhiêu? (làm trịn đến hàng đơn vị nghìn đồng) 257 Hàm Số Nâng Cao A 48238 (nghìn đồng) C 51239 (nghìn đồng) B 51238 (nghìn đồng) D 37102 (nghìn đồng) Câu 43: Ông An cần sản xuất thang để trèo qua tường nhà Ông muốn thang phải ln đặt qua vị trí C, biết điểm C cao 2m so với nhà điểm C cách tường nhà 1m (như hình vẽ bên) Giả sử kinh phí để sản xuất thang 300.000 đồng/ mét dài Hỏi ơng An cần tiền để sản xuất thang? ( Kết làm trịn đến hàng nghìn đồng) A 2.350.000 đồng B 3.125.000 đồng C 1.249.000 đồng D 600.000 đồng Câu 44: Một xe buýt hãng xe A có sức chứa tối đa 50 hành khách Nếu chuyến xe buýt x   chở x hành khách giá tiền cho hành khách 20  −  (nghìn đồng) Khẳng định 40   là: A Một chuyến xe buýt thu số tiền nhiều 3.200.000 (đồng) B Một chuyến xe buýt thu số tiền nhiều có 45 hành khách C Một chuyến xe buýt thu số tiền nhiều 2.700.000 (đồng) D Một chuyến xe buýt thu số tiền nhiều có 50 hành khách Câu 45: Một công ti dự kiến chi tỉ đồng để sản xuất thùng đựng sơn hình trụ có dung tích lít Biết chi phí đề làm mặt xung quanh thùng 100,000 đ/ m , chi phí để làm mặt đáy 120 000 đ/ m Hãy tính số thùng sơn tối đa mà cơng ty sản xuất (giả sử chi phí cho mối nối khơng đáng kể) A 57582 thùng B 58135 thùng C 18209 thùng D 12525 thùng Câu 46: Một sở sản xuất khăn mặt bán khăn với giá 30.000 đồng tháng sở bán trung bình 3000 khăn Cơ sở sản xuất có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt Sau tham khảo thị trường, người quản lý thấy từ mức giá 30.000 đồng mà tăng giá thêm 1000 đồng tháng bán 100 Biết vốn sản xuất khăn không thay đổi 18.000 Hỏi sở sản xuất phải bán với giá để đạt lợi nhuận lớn A 42.000 đồng Câu 47: C 43.000 đồng D 39.000 đồng Người ta xây bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 500 m Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây bể 600.000 đồng/m2 Hãy xác định kích thước bể cho chi phí th nhân cơng thấp Chi phí A 85 triệu đồng 258 B 40.000 đồng B 90 triệu đồng C 75 triệu đồng D 86 triệu đồng Hàm Số Nâng Cao  20  ⇒ f (t ) = f   = 2000   ⇒ khoảng cách ngắn chuồn chuồn trình bay 2000 = 20 5(m) Nhận xét: Đây toán cần khả tư thật nhanh làm thi trắc nghiệm Và toán cần khả tính tốn cẩn thận số liệu lớn Ở bước xử lí đạo hàm hàm số f (t ) tính tốn sai bạn chọn đầu đoạn [0;10] nên chọn đáp án B C Câu 36: Một công ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2.000.000 đồng tháng hộ có người th lần tăng giá cho thuê hộ 100.000 đồng tháng có thêm hộ bị bỏ trống Muốn có thu nhập cao nhất, cơng ty phải cho thuê với giá hộ bao nhiêu? A 2.250.000 B 2.350.000 C 2.450.000 D 2.550.000 Hướng dẫn giải: Gọi x giá thuê thực tế hộ, ( x : đồng; x ≥ 2000.000 đồng) Ta lập luận sau: Tăng giá 100.000 đồng có hộ bị bỏ trống Tăng giá x − 2.000.000 đồng có hộ bị bỏ trống Theo quy tắc tam xuất ta có số hộ bị bỏ trống là: ( x − 2.000.000 ) x − 2.000.000 = 100.000 50.000 Do cho thuê với giá x đồng số hộ cho thuê là: x − 2.000.000 x 50 − =− + 90 50.000 50.000 Gọi F ( x ) hàm lợi nhuận thu cho thuê hộ, (F(x): đồng) x   Ta có: F ( x) =  − + 90  x = − x + 90 x ( số hộ cho thuê nhân với giá 50.000  50.000  cho thuê hộ) Bài tốn trở thành tìm GTLN F ( x ) = − x + 90 x , ĐK: x ≥ 2.000.000 50.000 F '( x) = − x + 90 25.000 F '( x) = ⇔ − x + 90 = ⇔ x = 2.250.000 25.000 Bảng biến thiên: X 2.000.000 2.250.000 +∞ F’(x) + − 284 Hàm Số Nâng Cao F(x) Fmax Suy F(x) đạt giá trị lớn x = 2.250.000 Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng hộ lãi lớn Chọn A Nhận xét: x + 90 x Ta không cần phải khảo sát vẽ bảng Sau tìm hàm F ( x) = − 50.000 biến thiên Đề cho bốn đáp án x, ta dùng phím CALC MTCT để thay giá trị vào, làm cho F(x) lớn giá trị cần tìm Câu 37: Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng Phú Thọ với giá bán 50.000 đồng Với giá bán cửa hàng bán khoảng 40 bưởi Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cửa hàng giảm 5000 đồng số bưởi bán tăng thêm 50 Xác định giá bán để cửa hàng thu lợi nhuận lớn nhất, biết giá nhập ban đầu 30.000 đồng A 44.000đ B 43.000đ C 42.000đ D 41.000đ Hướng dẫn giải: Gọi x giá bán thực tế bưởi Đoan Hùng, (x: đồng; 30.000 ≤ x ≤ 50.000 đồng) Ta lập luận sau: Giá 50.000 đồng bán 40 bưởi Giảm giá 5.000 đồng bán thêm 50 Giảm giá 50.000 – x bán thêm quả? Theo quy tắc tam xuất số bán thêm là: 50 = ( 50000 − x ) ( 50000 − x ) 5000 100 Do Số bưởi bán tương ứng với giá bán x: 1 40 + ( 50000 − x ) = − x + 540 100 100 Gọi F ( x) hàm lợi nhuận thu ( F ( x) : đồng)   Ta có: F ( x) =  − x + 540  ( x − 30.000 ) = − x + 840 x − 16.200.000 100  100  Bài toán trở thành tìm GTLN F ( x) = − x + 840 x − 16.200.000 , Đk: 30.000 ≤ x ≤ 50.000 100 F ' ( x ) = − x + 840 50 F ' ( x ) = ⇔ − x + 840 = ⇔ x = 42.000 50 Vì hàm F(x) liên tục 30.000 ≤ x ≤ 50.000 nên ta có: 285 Hàm Số Nâng Cao F ( 30.000 ) = F ( 42.000 ) = 1.440.000 F ( 50.000 ) = 800.000 Vậy với x = 42.000 F ( x ) đạt GTLN Vậy để cửa hàng thu lợi nhuận lớn giá bán thực tế bưởi Đoan Hùng 42.000 đồng Chọn C Câu 38: Một xe khách từ Việt Trì Hà Nội chở tối đa 60 hành khách chuyến Nếu chuyến chở m hành khách giá tiền cho hành khách tính 5m    30 −  đồng Tính số hành khách chuyến xe để nhà xe thu lợi nhuận   chuyến xe lớn nhất.? A 30 B 40 C 50 D 60 Hướng dẫn giải: Gọi x số hành khách chuyến xe để số tiền thu lớn nhất, (0 < x ≤ 60) Gọi F(x) hàm lợi nhuận thu (F(x): đồng) Số tiền thu được: 5x  25  F ( x ) =  300 −  x = 90.000 x − 1500 x + x   Bài tốn trở thành tìm x để F(x) đạt giá trị lớn 75 F ' ( x ) = 90000 − 3000 x + x  x = 120(loai ) 75 F ' ( x ) = ⇔ 90000 − 3000 x + x = ⇔   x = 40(t/ m) Bảng biến thiên X 40 F’(x) + F(x) Fmax 60 − Vậy để thu số tiền lớn chuyến xe khách phải chở 40 người Chọn B Câu 39: Cuốn sách giáo khoa cần trang chữ có diện tích 384cm Lề 3cm , lề trái lề phải 2cm Kích thước tối ưu trang giấy? A Dài 24cm , rộng 17cm C Dài 24cm , rộng 18cm Giải: B Dài 30cm , rộng 20cm D Dài 24cm , rộng 19cm Gọi chiều dài trang chữ nhật x ( cm ) , ( x > ) Chiều rộng trang chữ nhật là: 286 384 cm x Hàm Số Nâng Cao Chiều dài trang giấy x + ( cm ) 384 + ( cm ) x 2304  384  Diện tích trang giấy: S = ( x + )  +  = 408 + x + x  x  Bài tốn trở thành tìm x để S đạt giá trị nhỏ 2304 Ta có: S ' ( x ) = − x  x = 24(t/ m) 2304 S '= ⇔ 4− = ⇔  x  x = −24(loai) Bảng biến thiên x 24 S’(x) − S(x) S Chiều rộng trang giấy là: +∞ + Vậy kích thước tối ưu trang giấy có chiều dài 30 cm, chiều rộng 20 cm Câu 40: Một ảnh hình chữ nhật cao 1,4 mét đặt độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép hình) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đó? Biết góc BOC góc nhọn C 1,4 B 1,8 A AO = 2, 4m B AO = 2m C AO = 2, 6m Giải: D AO = 3m A Đặt độ dài cạnh AO = x ( cm ) , ( x > ) Suy ra: BO = 3, 24 + x , CO = 10, 24 + x Ta sử dụng định lí cosin tam giác OBC ta có: 2 OB + OC − BC ( 3, 24 + x ) + (10, 24 + x ) − 1,96 = cos BOC = 2.OB.OC ( 3, 24 + x )(10, 24 + x ) = 5, 76 + x (3, 24 + x )(10, 24 + x ) Vì góc F ( x) = BOC góc nhọn nên tốn trở thành tốn tìm x để 5, 76 + x ( 3, 24 + x )(10, 24 + x ) Đạt GTNN Đặt ( 3, 24 + x ) = t , ( t > 3, 24 ) 287 O Hàm Số Nâng Cao 63 25 = 25t + 63 Suy F ( t ) = t ( t + ) 25 t ( t + ) t+ Ta tìm t để F (t ) nhận giá trị nhỏ     25 t ( t + ) − ( 25t + 63)  2t +    t (t + 7)    25t + 63 ′     =  F ' (t ) =   25 t ( t + )  25  t (t + 7)            50 ( t + 7t ) − ( 25t + 63)( 2t + )   49t − 441 =   =   25  2t ( t + ) t ( t + )  25  + + t t t t ( ) ( )     F '(t ) = ⇔ t = BBT t F’(t) F(t) 3,24 − +∞ + Fmin Thay vào đặt ta có: ( 3, 24 + x ) = ⇔ x = 144 ⇔ x = 2, 4m 25 Vậy để nhìn rõ AO =2,4 m Chọn A Câu 41: Một cơng trình nghệ thuật kiến trúc cơng viên thành phố Việt Trì có dạng tịa nhà hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính 5(m) Tồn tịa nhà trang trí hình ảnh lịch sử tượng anh hùng, để có khơng gian rộng bên tòa nhà người ta xây dựng tòa nhà cho thể tích lớn Tính chiều cao tịa nhà A h = 20 (m) B h = 22 ( m) C h = 23 ( m) D h = 25 (m) Giải: Gọi độ dài cạnh đáy, chiều cao hình chóp tứ giác x h, (x>0, h>0, m) Dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên cắt trục đáy O, O tâm mặt câu Ta có: OS = 5m, nên OI = h − 5, với I giao đường chéo đáy Vì tam giác OIC vng nên ta có: IC = OC − OI = 52 − ( h − ) ⇔ x = 10h − h 2 ⇔ x = 20h − 2h , ( < h < 10 ) Ta tích khối chóp tứ giác đều: 1 V ( h ) = Bh = 20h − 2h h = ( 20h − 2h3 ) 3 Bài tốn trở thành tìm h để V(h) đạt GTNN ( 288 ) Hàm Số Nâng Cao ( 40h − 6h2 ) 20 V ' ( h ) = ⇔ ( 40h − 6h ) = ⇔ h = 3 BBT h V '( h) = V '( h) + V ( h) 20 10 − Vmax Vậy chọn chiều cao h = 20 ( m) Chọn A Một chi tiết máy có hình dạng hình vẽ 1, kích thước thể hình vẽ (hình chiếu hình chiếu đứng) 10 cm Câu 42: cm 10 cm Hình vẽ Hình vẽ Người ta mạ tồn phần chi tiết loại hợp kim chống gỉ Để mạ 1m bề mặt cần số tiền 150000 đồng Số tiền nhỏ dùng để mạ 10000 chi tiết máy bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị nghìn đồng) A 48238 (nghìn đồng) C 51239 (nghìn đồng) 289 B 51238 (nghìn đồng) D 37102 (nghìn đồng) Hàm Số Nâng Cao Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi S1 , S diện tích nửa hình trụ ngồi chi tiết S3 , S diện tích hình vành khăn diện tích bề mặt trước chi tiết Ta có: S1 = π R1l = π 3.10 = 30π , S = π R2l = π 5.10 = 50π , S3 = π R22 − π R12 = 16π , S = 2.10.2 = 40 Khi đó, diện tích bề mặt chi tiết máy S = 96π + 40 ( cm ) Số tiền nhỏ cần dùng để mạ 10000 chi tiết máy là: 96π + 40 ⋅150000 ⋅10000 ≈ 51238934 ( đồng) 10000 Câu 43: Ông An cần sản xuất thang để trèo qua tường nhà Ơng muốn thang phải ln đặt qua vị trí C, biết điểm C cao 2m so với nhà điểm C cách tường nhà 1m (như hình vẽ bên) Giả sử kinh phí để sản xuất thang 300.000 đồng/1 mét dài Hỏi ông An cần tiền để sản xuất thang? ( Kết làm trịn đến hàng nghìn đồng) A 2.350.000 đồng B 3.125.000 đồng C 1.249.000 đồng D 600.000 đồng Hướng dẫn giải: Chọn C B Đặt BC = x Ta có: ∆BCE ∼ ∆CDF BC CE x ⇔ = ⇔ = CD DF CD CD − 1m E C ⇔ x ( CD − ) = CD ⇔ CD = 4x ⇔ CD = x2 − 2m 2x x2 −1 Vậy chi phí sản xuất thang là: F A  2x  f ( x) =  x +  3.10 với x > x −1    2x2    x −1 −  x − 5  = 3.10  + f ′ ( x ) = 3.10 +   x −1       290    x2 −1   −2 ( ) D Hàm Số Nâng Cao f ′( x) = ⇔ (x − 1) = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = + 3 Hay x = + Khi chi phí sản xuất thang 1.249.000 đồng Câu 44: Một xe buýt hãng xe A có sức chứa tối đa 50 hành khách Nếu chuyến xe buýt x   chở x hành khách giá tiền cho hành khách 20  −  (nghìn đồng) Khẳng định 40   là: A Một chuyến xe buýt thu số tiền nhiều 3.200.000 (đồng) B Một chuyến xe buýt thu số tiền nhiều có 45 hành khách C Một chuyến xe buýt thu số tiền nhiều 2.700.000 (đồng) D Một chuyến xe buýt thu số tiền nhiều có 50 hành khách Hướng dẫn giải: Chọn A Số tiền chuyến xe buýt chở x hành khách  x  3x x3   f ( x ) = 20 x  −  = 20  x − +  ( < x ≤ 50 ) 40  20 1600      x = 40 3x 3x  f ′ ( x ) = 20  − +  ⇔ f ′( x) = ⇔   x = 120  10 1600  x y' + 40 - 50 3200000 y Vậy: chuyến xe buýt thu lợi nhuận cao bằng: 3.200.000 (đồng) Câu 45: Một công ti dự kiến chi tỉ đồng để sản xuất thùng đựng sơn hình trụ có dung tích lít Biết chi phí đề làm mặt xung quanh thùng 100,000 đ/ m , chi phí để làm mặt đáy 120 000 đ/ m Hãy tính số thùng sơn tối đa mà cơng ty sản xuất (giả sử chi phí cho mối nối khơng đáng kể) A 57582 thùng Hướng dẫn giải: B 58135 thùng Chọn B Gọi chiều cao hình trụ h ( h > ) (m) Bán kính đáy hình trụ x ( x > ) (m) 291 C 18209 thùng D 12525 thùng Hàm Số Nâng Cao Thể tích khối trụ là: V = π x h = 5 ⇒h= (m) 1000 1000π x Diện tích mặt xung quanh là: S xq = 2π xh = 100 x Diện tích hai đáy là: S đ = 2π x Số tiền cần thiết để sản xuất thùng sơn là: f ( x ) = Ta có: f ′ ( x ) = 1000 + 240000π x x ( x > 0) −1000 + 480000π x ⇒ f ′ ( x ) = ⇔ x = x 480π Bảng biến thiên: – Vậy với số tiền tỉ đồng cơng ty sản xuất tối đa là: 109 ≈ 58135 thùng 17201.05 Câu 46: Một sở sản xuất khăn mặt bán khăn với giá 30.000 đồng tháng sở bán trung bình 3000 khăn Cơ sở sản xuất có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt Sau tham khảo thị trường, người quản lý thấy từ mức giá 30.000 đồng mà tăng giá thêm 1000 đồng tháng bán 100 Biết vốn sản xuất khăn không thay đổi 18.000 Hỏi sở sản xuất phải bán với giá để đạt lợi nhuận lớn A 42.000 đồng B 40.000 đồng C 43.000 đồng Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi số tiền cần tăng giá khăn x (nghìn đồng) D 39.000 đồng Vì tăng giá thêm (nghìn đồng) số khăn bán giảm 100 nên tăng x (nghìn đồng) số xe khăn bán giảm 100x Do tổng số khăn bán tháng là: 3000 − 100x Lúc đầu bán với giá 30 (nghìn đồng), khăn có lãi 12 (nghìn đồng) Sau tăng giá, khăn thu số lãi là: 12 + x (nghìn đồng) Do tổng số lợi nhuận tháng thu sau tăng giá là: f ( x ) = ( 3000 − 100 x )(12 + x ) (nghìn đồng) 292 Hàm Số Nâng Cao Xét hàm số f ( x ) = ( 3000 − 100 x )(12 + x ) ( 0; +∞ ) Ta có: f ( x ) = −100 x + 1800 x + 36000 = −100 ( x − ) + 44100 ≤ 44100 Dấu xảy x = Như vậy, để thu lợi nhuận cao sở sản xuất cần tăng giá bán khăn 9.000 đồng, tức khăn bán với giá 39.000 đồng Câu 47: Người ta xây bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 500 m Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây bể 600.000 đồng/m2 Hãy xác định kích thước bể cho chi phí th nhân cơng thấp Chi phí A 85 triệu đồng Hướng dẫn giải: B 90 triệu đồng C 75 triệu đồng D 86 triệu đồng Chọn B Cách 1: dùng phương pháp hàm số Gọi x ( m ) chiều rộng đáy bể, chiều dài đáy bể 2x ( m ) h ( m ) chiều cao bể Bể tích 500 500 250 m ⇔ x2h = ⇔h= 3 3x Diện tích cần xây là: S = ( xh + xh ) + x = x Xét hàm S ( x ) = 250 500 + 2x2 = + 2x2 3x x 500 −500 + x2 , ( x > 0) ⇒ S ′ ( x ) = + x = ⇔ x = x x Lập bảng biến thiên suy S = S ( ) = 150 Chi phí thuê nhân cơng thấp diện tích xây dựng nhỏ S = 150 Vậy giá thuê nhân công thấp là: 150.600000 = 90000000 đồng Cách 2: Dùng bất đẳng thức Cauchy S= Câu 48: 500 250 250 250 250 + x2 = + + x2 ≥ 3 x = 150 x x x x x Để làm máng xối nước, từ tơn kích thước 0, 9m × 3m người ta gấp tơn hình vẽ Biết mặt cắt máng xối (bị cắt mặt phẳng song song với hai mặt đáy) hình thang cân máng xối hình lăng trụ có chiều cao chiều dài tôn Hỏi x ( m ) thể tích máng xối lớn nhất? 293 Hàm Số Nâng Cao x 3m 0,3m xm x 0,3 m 0,9 m 3m (a) Tấm tôn A x = 0, 5m 0,3 m 0,3 m (b) Máng xối B x = 0, 65m (c) Mặt cắt C x = 0, 4m D x = 0, 6m Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi h chiều cao lăng trụ Vì chiều cao lăng trụ chiều dài tơn nên thể tích máng xối lớn diện tích hình thang cân (mặt cắt) lớn h ( x + 0,3) Ta có S = BC = x − 0,3 ( x > 0,3) ⇒h= ( 0, 3) ĐK: ( 0, 3) − 2 − B ( x − 0,3) h ( x − 0,3) > 0; ( 0,3 < x < 0,9 ) 0.3m Khi đó: S= 2 ( x + 0,3) ( 0,3) − ( x − 0,3) Xét hàm số f ( x ) = ( x + 0,3) ( 0, 3) − ( x − 0,3) ; ( 0,3 < x < 0,9 ) 2 ⇒ f ′ ( x ) = ( 0, 3) − ( x − 0,3) + ( x + 0,3) 2 ( 0,3) − ( x − 0,3) −2 ( x − 0,3) ( 0,3) − ( x − 0,3) − ( x + 0,3)( x − 0,3) = = ( 0,3) − ( x − 0, 3) 2 0,36 − x ( x − 0,3) ( 0,3) − ( x − 0, 3)  x = −0,3 f ′ ( x ) = ⇔ − x + 0,3 x + 0,18 = ⇔   x = 0, 294 C 2 A 0.3m Hàm Số Nâng Cao 0,3 x f ′( x) 0, + 0, − f ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x ) lớn x = 0, Vậy thể tích máng xối lớn x = 0, 6m Câu 49: Một sợi dây kim loại dài 0,9m cắt thành hai đoạn Đoạn thứ uốn thành tam giác đều, đoạn thứ hai uốn thành hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Tìm độ dài cạnh tam giác (tính theo đơn vị cm ) cho tổng diện tích tam giác hình chữ nhật nhỏ 60 2− Hướng dẫn giải: A B 60 3+2 C 30 1+ D 240 +8 Chọn B Gọi a, b độ dài cạnh tam giác chiều rộng hình chữ nhật Khi 3a + 6b = 90 ( cm ) ⇒ b = 30 − a ( cm ) ( ) 2 + a − 120a + 1800 a2 a2  30 − a  S = S ∆ + S▭ = + 2b = + 2  = 4   ( ) Để S nhỏ f ( a ) = + a − 120a + 1800 nhỏ với a ∈ ( 0;30 ) ( ) f ′ ( a ) = 2 + a − 120 , f ′ ( a ) = ⇔ a = 60 ∈ ( 0;30 ) 2+  60  Ta có f ( ) = 1800 , f ( 30 ) = 900 , f   = 3600 − 5400  2+   60  Nên f ( a ) = f   = 3600 − 5400 a∈( 0;30 )  2+  Vậy a = 60 S nhỏ 2+ Câu 50: Bạn A có đoạn dây dài 20m Bạn chia đoạn dây thành hai phần Phần đầu uốn thành tam giác Phần cịn lại uốn thành hình vng Hỏi độ dài phần đầu để tổng diện tích hai hình nhỏ nhất? 295 Hàm Số Nâng Cao 40 m 9+4 Hướng dẫn giải: A B 180 m 9+4 C 120 m 9+4 D 60 m 9+4 Chọn B Bạn A chia sợi dây thành hai phần có độ dài x ( m ) 20 − x ( m ) , < x < 20 (như hình vẽ) x x2 x Phần đầu uốn thành tam giác có cạnh ( m ) , diện tích S1 =   = (m ) 36 3 Phần cịn lại uốn thành hình vng có cạnh 20 − x 20 − x  ( m ) , diện tích S2 =   (m ) 4   x  20 − x  Tổng diện tích hai hình nhỏ f ( x ) = +  nhỏ khoảng ( 0; 20 ) 36   Ta có: f ' ( x ) = x 20 − x 180 − =0⇔ x= 18 +9 Bảng biến thiên: x 180 +9 f ′( x) − 20 + f ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta x = 180 +9 Câu 51: Cho nhơm hình vng cạnh 6cm Người ta muốn cắt hình thang hình vẽ Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ A C 296 B D Hàm Số Nâng Cao Hướng dẫn giải: Ta có S EFGH nhỏ ⇔ S = S ∆AEH + S ∆CGF + S ∆DGH lớn (do S ∆BEF khơng đổi) Tính 2S = x + y + ( − x )( − y ) = xy − x − y + 36 (1) Ta có EFGH hình thang → AEH = CGF  → ∆AEH ~ ∆CGF  → AE AH x = ↔ =  → xy = ( ) CG CF y 18   Từ (1) ( ) , suy S = 42 −  x +  x  Để 2S lớn 4x + Mà x + 18 nhỏ x 18 18 18 ≥ x = 12 Dấu '' = '' xảy ⇔ x = ⇔ x = → y=2 x x x Chọn C Câu 52: Cho tường cao 2m, nằm song song vưới tòa nhà cách tòa nhà 2m Người ta muốn chế tạo thang bắc từ mặt đất bên tường, gác qua tường chạm vào tịa nhà (xem hình vẽ) Hỏi chiều dài tối đa thang mét 13 m Hướng dẫn giải: A B 2m Chọn B Đặt CEF = ϕ ⇒ AED = 90° − ϕ KHI ĐO AE = Do 297 DE EF ; EC = cos ( 90° − ϕ ) cosϕ C 6m D 5m Hàm Số Nâng Cao AC = 298 2 + ≥ ≥ sin ϕ cosϕ sin ϕ + cosϕ ≥4 π  sin  ϕ +  4  ... < 492 x x + 118 − 492 − x ( 492 − x ) + 487 492 − x ( 492 − x ) + 487 Bình phương hai vế không âm ta x ( 492 − x ) + 487  = ( 492 − x ) ( x + 1182 )   2 ⇔ ( 492 − x ) x + 487 2.x = ( 492 ... = x với < x < 492 , ta MF = 492 − x, AM = x + 1182 , BM = ( 492 − x ) + 487 x + 1182 + Tổng quãng đường AM MB Đặt f ( x ) = x + 1182 + x f ′( x) = ⇔ x + 118 ( 492 − x ) = ( 492 − x ) + 487 với... nhất) A 5 69, 5m 2 69 B 671, 4m C 7 79, 8m D 741, 2m Hàm Số Nâng Cao Hướng dẫn giải: Chọn C Giả sử người từ A đến M để lấy nước từ M B Ta có BD = BF − AE = 3 69 ( m ) , EF = A AB − BD = 492 ( m )