Bất đẳng thức tích phân và ứng dụng ( Luận văn thạc sĩ)

Bất đẳng thức tích phân và ứng dụng ( Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức tích phân và ứng dụng ( Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức tích phân và ứng dụng ( Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức tích phân và ứng dụng ( Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức tích phân và ứng dụng ( Luận văn thạc sĩ)Bất đẳng thức tích phân và ứng dụng ( Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN TUẤN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN TUẤN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2014 Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số bất đẳng thức cổ điển 1.2 Tích phân 1.2.1 Định nghĩa tích phân 1.2.2 Các tính chất 4 6 Bất 2.1 2.2 2.3 2.4 định lý giá trị trung bình đẳng thức tích phân ứng dụng Đánh giá hàm số bất đẳng thức tích phân Một số bất đẳng thức tích phân cổ điển Một số bất đẳng thức tích phân khác Ứng dụng bất đẳng thức tích phân 2.4.1 Tính giới hạn 2.4.2 Chứng minh phương trình có nghiệm 2.4.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 2.4.4 Chứng minh số bất đẳng thức đại số 2.4.5 Giải số phương trình hàm 9 17 32 41 41 43 45 48 52 Kết luận Tài liệu tham khảo 54 55 LỜI NÓI ĐẦU Bất đẳng thức tích phân phần quan trọng tích phân có nhiều ứng dụng khơng tốn học mà lĩnh vực khác Một số bất đẳng thức tích phân kinh điển phải kể đến Bất đẳng thức Bunhiacovski; Bất đẳng thức Chebyshev; Bất đẳng thức Young; Bất đẳng thức Jensen; Bất đẳng thức Holder; Bất đẳng thức Minkowski; Bất đẳng thức Diaz; Bất đẳng thức Polya Bài toán bất đẳng thức tích phân tốn khó thường xuất toán thi học sinh giỏi, kỳ thi Olympic tốn ngồi nước Luận văn nhằm giới thiệu chứng minh chi tiết số bất đẳng thức tích phân cổ điển, số bất đẳng thức tích phân khám phá, đưa hệ thống ví dụ trích dẫn từ tài liệu tham khảo sáng tạo bất đẳng thức tích phân Ngồi đề tài để cập đến số ứng dụng bất đẳng thức tích phân, bao gồm: Đưa số ứng dụng toán giới hạn, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức đại số Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm chương: Chương Kiến thức Chương trình bày bất đẳng thức tốn học Bất đẳng thức AM - GM, Bất đẳng thức Bunhiacovski, Bất đẳng thức Chebyshev, , với định lý tốn học quan trọng giải tích Định lý Lagrange, Định lý Roll Ngoài khái niệm, định nghĩa tích phân tính chất tích phân kiến thức trọng tâm chương Đặc biệt ta quan tâm nhiều đến tính chất bất đẳng thức tích phân định lý đẳng thức tích phân định lý giá trị trung bình tích phân Chương Bất đẳng thức tích phân ứng dụng Chương trình bày toán chứng minh bất đẳng thức tích phân thơng qua việc đánh giá hàm số dấu tích phân, dùng bất đẳng thức tích phân cổ điển để chứng minh Trong chương nêu loạt tập chứng minh bất đẳng thức tích phân dạng phức tạp mà việc giải chúng không đơn giản Một vấn đề nêu chương ứng dụng bất đẳng thức tích phân tốn số học, đại số giải tích Sau thời gian nghiên cứu, luận văn thạc sĩ tơi hồn thành với tên đề tài "Bất đẳng thức tích phân ứng dụng" Những kết ban đầu mà thu nhờ hướng dẫn bảo tận tình TS Trần Nguyên An, Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên Nhờ thầy tiếp cận nắm bắt số vấn đề mẻ công tác nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên hướng dẫn thầy Tác giả xin cảm ơn tới thầy cô Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học toán K6A, trường Đại học Khoa học động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Tác giả xin cảm ơn tới Sở GD - ĐT tỉnh Tuyên Quang, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Sơn Dương tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thời gian học tập hoàn thành luận văn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số bất đẳng thức cổ điển định lý giá trị trung bình Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức AM - GM) Với số thực dương a1 , a2 , , an ta có bất đẳng thức √ a1 + a2 + + an ≥ n a1 a2 an n Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Định lý 1.1.2 ( Bất đẳng thức Bunhiacovski) Với dãy số thực tùy ý a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn ta ln có bất đẳng thức a21 + a22 + + a2n b21 + b22 + + b2n ≥ (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 Dấu đẳng thức xảy a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn tỉ lệ, tức tồn số k để = kbi , với i ∈ 1, n Định lý 1.1.3 (Bất đẳng thức Holder) Với m dãy số thực dương (a11 , a12 , , a1n ), (a21 , a22 , , a2n ), , (am1 , am2 , , amn ) ta có  m m n n ≥ aij i=1 j=1 m m j=1 aij  i=1 Dấu đẳng thức xảy m dãy số tương ứng tỉ lệ Bất đẳng thức Bunhiacovski hệ trực tiếp bất đẳng thức Holder với m=2 Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Chebyshev) (i) Với dãy số thực đơn điệu tăng a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn ta có a1 b1 + a2 b2 + + an bn ≥ (a1 + a2 + + an ) (b1 + b2 + + bn ) n (ii) Với dãy số thực đơn điệu giảm a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn ta có a1 b1 + a2 b2 + + an bn ≤ (a1 + a2 + + an ) (b1 + b2 + + bn ) n Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = = an b1 = b2 = = bn Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức Jensen’s) Nếu f hàm lồi khoảng K ⊆ R x1 , x2 , , xn ∈ K ta có f (x1 ) + f (x2 ) + + f (xn ) ≥ nf ( x1 + x2 + + xn ) n Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = = xn Định lý 1.1.6 (Bất đẳng thức Young) Cho p, q thỏa mãn điều kiện p > 1, q > 1, 1 + = p q Chứng minh rằng, a, b dương, ta có ap b q + ≥ ab p q Định lý 1.1.7 ( Định lý Lagrange) Nếu f (x) liên tục khả vi đoạn [a, b] tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = f (b) − f (a) b−a Định lý 1.1.8 ( Định lý Roll) Nếu f (x) liên tục [a, b], khả vi (a, b), f (a) = f (b) tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = 1.2 Tích phân 1.2.1 Định nghĩa tích phân Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục đoạn [a, b] Chia đoạn [a, b] thành đoạn nhỏ điểm a = x0 < x1 < x2 < < xn = b Mỗi phép chia gọi phép phân hoạch đoạn [a, b] kí hiệu chữ π, điểm x0 , x1 , x2 , , xn gọi điểm chia Trong đoạn [xk−1 , xk ] ta lấy điểm ξk (xk−1 ≤ ξk ≤ xk ) lập tổng: n f (ξk )(xk − xk−1 ) σπ = (1.2.1) k=1 Tổng (1.2.1) gọi tổng tích phân hàm số f (x) ứng với phép phân hoạch π Rõ ràng giá trị tổng phụ thuộc vào phép phân hoạch cách lấy điểm ξk Ta kí hiệu d(π) số lớn độ dài đoạn [xk−1 , xk ], phép phân hoạch π, tức là: d(π) = max (xk − xk−1 ) k (1.2.2) Ta nói tổng σπ dần tới giới hạn I d(π) → nếu: Với số > cho trước nhỏ tùy ý, tồn số δ > cho phép phân hoạch π mà d(π) < δ với cách chọn điểm ξk ta có : n |σπ − I| = f (ξk )(xk − xk−1 ) − I < ε k=1 ta kí hiệu: n f (ξk )(xk − xk−1 ) I = lim σπ = lim d(π)→0 d(π)→0 k=1 Nếu tồn giới hạn n f (ξk )(xk − xk−1 ) I = lim d(π)→0 k=1 giới hạn gọi tích phân xác định hàm số f (x) đoạn [a, b] ta kí hiệu là: b I= f (x)dx a Khi hàm số f (x) gọi khả tích đoạn [a, b] ta gọi f (x) hàm số dấu tích phân; f (x)dx gọi biểu thức dấu tích phân; số a, b gọi cận tích phân ; b cận trên, a cận 1.2.2 Các tính chất a f (x)dx = Tính chất a b a f (x)dx = − f (x)dx Tính chất a b b b f (x)dx, k ∈ R kf (x)dx = k Tính chất a b a b [f (x) ± g(x]dx = Tính chất a b f (x)dx ± a c f (x)dx = Tính chất b a g(x)dx a b f (x)dx, ∀c ∈ [a, b] f (x)dx + a c b Tính chất Nếu f (x) ≥ đoạn [a, b] f (x)dx ≥ a Tính chất Nếu f (x) ≥ g(x) f (x), g(x) khả tích đoạn [a, b] b b f (x)dx ≥ a g(x)dx a Tính chất Nếu m ≤ f (x) ≤ M f (x) khả tích đoạn [a, b] b m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M (b − a) a với m, M số Tính chất Nếu f (x) khả tích đoạn [a, b] |f (x)| khả tích đoạn b b f (x)dx ≤ |f (x)| dx a a Tính chất 10 (Định lý giá trị trung bình thứ nhất) Nếu hàm số f (x), g(x) khả tích đoạn [a, b], g(x) không đổi dấu (a, b) Ký hiệu m = inf f (x), M = sup f (x) tồn số µ với m ≤ µ ≤ M x∈[a,b] x∈[a,b] cho: b b f (x)g(x)dx = µ a g(x)dx a Hơn f (x) liên tục [a, b] tồn số c ∈ [a, b] cho: b b f (x)g(x)dx = f (c) a g(x)dx a Tính chất 11 (Định lý giá trị trung bình thứ hai) (i) Nếu hàm số f (x), g(x) khả tích đoạn [a, b], g(x) hàm đơn điệu (a, b) tồn c ∈ (a, b) để c b f (x)g(x)dx = g(a) a b f (x)dx + g(b) a f (x)dx c (ii) Nếu g(x) hàm đơn điệu giảm, không âm khoảng (a, b) thì: b c f (x)dx, c ∈ [a, b] f (x)g(x)dx = g(a) a a (iii) Nếu g(x) hàm đơn điệu tăng, không âm khoảng (a, b) thì: b c f (x)dx, c ∈ [a, b] f (x)g(x)dx = g(b) a a ... đẳng thức tích phân ứng dụng Đánh giá hàm số bất đẳng thức tích phân Một số bất đẳng thức tích phân cổ điển Một số bất đẳng thức tích phân khác Ứng dụng bất đẳng thức tích phân. .. số bất đẳng thức tích phân kinh điển phải kể đến Bất đẳng thức Bunhiacovski; Bất đẳng thức Chebyshev; Bất đẳng thức Young; Bất đẳng thức Jensen; Bất đẳng thức Holder; Bất đẳng thức Minkowski; Bất. .. Chương Bất đẳng thức tích phân ứng dụng Chương trình bày toán chứng minh bất đẳng thức tích phân thơng qua việc đánh giá hàm số dấu tích phân, dùng bất đẳng thức tích phân cổ điển để chứng minh