Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)

Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ———————————————– PHẠM THỊ HUỆ ỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên-2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ———————————————– PHẠM THỊ HUỆ ỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH.VŨ NGỌC PHÁT Thái Nguyên-2015 i Mục lục Kí hiệu toán học Mở đầu ii 1 Cơ sở toán học 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.2 Sự tồn nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1.3 Hệ phương trình vi phân có trễ 1.2 Bài toán ổn định Lyapunov 1.2.1 Ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân 1.2.2 Ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân có trễ 1.3 Bài toán ổn định hữu hạn thời gian 1.4 Các bổ đề bổ trợ 3 7 10 12 14 Ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính 2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ 2.3 Ứng dụng giải toán ổn định hóa hữu hạn thời gian 15 15 31 34 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 39 ii KÍ HIỆU TOÁN HỌC R tập số thực R+ tập số thực không âm Rn×r không gian ma trận thực cỡ (n × r) L2 ([0, T ], Rm ) không gian hàm khả tích bình phương đoạn [0, T ] nhận giá trị Rm C([−r, 0], Rm ) không gian hàm liên tục trên[−r, 0] nhận giá trị Rm Il ma trận đơn vị cỡ (l × l) AT ma trận chuyển vị ma trận A A>0 ma trận A xác định dương, tức Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = A>B nghĩa A − B xác định dương λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} A K A = λmax (AT A) tập hợp hàm liên tục tăng chặt a(.) : R+ → R+ , a(0) = diag(R(t), ΓK (t))) ma trận chéo khối R(t) 0 ΓK (t) MỞ ĐẦU Nghiên cứu tính ổn định nội dung lý thuyết định tính hệ động lực, cuối kỷ XIX với công trình xuất sắc nhà toán học Nga A.M.Lyapunov Mỗi phân tích thiết kế hệ thống kỹ thuật mô hình kinh tế mô tả phương trình toán học người ta cần nghiên cứu tính ổn định hệ thống Cho đến nay, tính ổn định nghiên cứu phát triển lý thuyết toán học độc lập có nhiều ứng dụng kinh tế, khoa học, kỹ thuật Từ xuất toán nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển Khái niệm ổn định hữu hạn thời gian (FTS) xuất vào cuối năm 1950 giới thiệu tài liệu nhà Toán học Nga Sau đó, suốt năm 1960, khái niệm xuất tạp chí phương Tây Cụ thể hơn, hệ gọi FTS ta đưa giới hạn cho điều kiện ban đầu, trạng thái hệ không vượt khỏi ngưỡng giới hạn suốt khoảng thời gian cho Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân toán có nhiều ứng dụng quan trọng giải toán xuất phát từ thực tế, đòi hỏi phải sử dụng nhiều lý thuyết công cụ toán học đại Có nhiều phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân, có phương pháp hàm Lyapunov Trong khuôn khổ luận văn này, luận văn đề cập đến ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính, có sử dụng phương pháp hàm Lyapunov cho toán ổn định Lyapunov hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ Luận văn gồm hai chương Chương "Cơ sở toán học", chương giới thiệu kiến thức hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ điều kiện cho tồn nghiệm Từ giới thiệu toán toán ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ Bài toán ổn định hữu hạn thời gian bổ đề liên quan đến việc chứng minh tính ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính chương sau Chương "Ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính", nội dung chương trình bày kết tính ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến có trễ, ứng dụng giải toán ổn định hữu hạn thời gian, đưa ví dụ minh họa cho toán ổn định Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình GS TSKH Vũ Ngọc Phát Mặc dù thân cố gắng thời gian có hạn, trình độ hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, người thầy nhiệt tình hướng dẫn, truyền đạt cho kiến thức suốt trình hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Huệ Phạm Thị Huệ Chương Cơ sở toán học Chương trình bày kiến thức hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ điều kiện cho tồn nghiệm nó, toán ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân hệ phương trình vi phân có trễ, toán ổn định hữu hạn thời gian bổ đề liên quan đến việc chứng minh tính ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính Nội dung chủ yếu lấy từ tài liệu [1], [2], [3], [5] 1.1 1.1.1 Hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân Xét phương trình vi phân  x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0; x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, (1.1) f (t, x(t)) : R+ × Rn → Rn với t ≥ t0 , x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái Định nghĩa 1.1 Nghiệm x(t) phương trình vi phân (1.1) hàm số x(t) khả vi liên tục thỏa mãn i) (t, x(t)) ∈ R+ × Rn ; ii) x(t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1) Giả sử hàm f (t, x(t)) liên tục nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1) cho dạng tích phân sau t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds (1.2) t0 1.1.2 Sự tồn nghiệm hệ phương trình vi phân Định nghĩa 1.2 Hàm f : R × Rn → Rn , gọi Lipschitz x theo t tồn số thực dương L cho f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ L x1 − x2 , ∀(t, x1 , x2 ) ∈ R+ × Rn × Rn Định lý sau khẳng định tồn nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1) Định lý 1.3 Xét hệ phương trình vi phân (1.1) giả sử hàm f (t, x) : R+ × Rn → Rn liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x: ∃K > : f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ K x1 − x2 , ∀t ≥ Khi với (t0 , x0 ) ∈ R+ × Rn tìm số d > cho hệ (1.1) có nghiệm khoảng [t0 − d, t0 + d] Định lý 1.4 Giả sử f : R+ × Rn → Rn liên tục thỏa mãn điều kiện sau i) ∃M1 , M2 > : f (t, x) ≤ M1 + M2 x , ∀(t, x) ∈ R+ × Rn ii) ∃M3 > : f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ M3 x1 − x2 , ∀(t, x1 , x2 ) ∈ R+ × Rn × Rn Khi với x0 ∈ Rn , tồn nghiệm x(t, x0 ) khoảng [0, ∞) Nếu vế phải hệ (1.1) không phụ thuộc t ta nói hệ (1.1) ôtônôm, ngược lại ta nói hệ không ôtônôm Xét hệ phương trình vi phân tuyên tính ôtônôm:  x(t) ˙ = Ax(t) + g(t), t ≥ 0; (1.3) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ A ma trận số cấp n × n, g : [0, +∞) → Rn hàm liên tục, hệ có nghiệm xác định [0, +∞) cho công thức Cauchy t eA(t−s) g(s)ds x(t) = eA(t−t0 ) x0 + t0 Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng  x(t) ˙ = A(t)x(t) + g(t), t ≥ 0; (1.4) x(t0 ) = x0 , t ≥ 0, A(t) ma trận hàm số liên tục R+ , g : R+ → Rn hàm liên tục Nghiệm hệ (1.4) thông qua ma trận nghiệm Φ(t, s) hệ tuyến tính x(t) ˙ = A(t)x(t), t ≥ 0, cho công thức t x(t) = Φ(t, t0 )x0 + Φ(t, s)g(s)ds, t0 Φ(t, s) ma trận nghiệm hệ thỏa mãn   dΦ (t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s ≥ 0; dt Φ(t, t) = I 1.1.3 Hệ phương trình vi phân có trễ Chúng ta nhận thấy hệ phương trình vi phân thường mô tả mối quan hệ biến thời gian, trạng thái hệ thống vận tốc thay đổi trạng thái thời điểm Song thực tế, trình xảy tự nhiên thường có liên quan tới khứ Vì mô tả trình này, chúng biểu diễn phương trình vi phân có trễ Giả sử hệ thống phụ thuộc vào khứ với độ trễ (0 ≤ h ≤ +∞) Với x(.) hàm liên tục R+ , nhận giá trị Rn , xây dựng hàm xt ∈ C : C([−r, 0], Rn ) sau xt (s) = {x(t + s), ∀s ∈ [−r, 0]} Như xt đoạn quỹ đạo [t − r, t] hàm x(.) Khi hệ phương trình có trễ mô tả phụ thuộc vận tốc thay đổi thời điểm t vào trạng thái hệ thống khoảng thời gian trước [t − r, t] cho dạng tổng quát x(t) ˙ = f (t, xt ), t ≥ 0, (1.5) f (.) : R+ × C → Rn Một nghiệm x(.) hệ (1.5) qua điểm (t0 , φ) ∈ R+ × C kí hiệu x(t0 , φ) Khi hàm giá trị ban đầu nghiệm khoảng [t0 − r, t0 ] hàm φ, tức xt0 (t0 , φ)(s) = x(t0 + s) = φ(s), ∀s ∈ [−r, 0] Tương tự phương trình vi phân thường ta có công thức nghiệm dạng tích phân hệ (1.5) x(t0 + s) = φ(s), s ∈ [−r, 0], t x(t) = φ(0) + f (s, xs )ds, t ≥ t0 t0 Định lý sau khẳng định tồn nghiệm toàn cục hệ phương trình (1.5) với điều kiện ban đầu x(t0 , φ) Định lý 1.5 Giả sử f (.) : R+ × C → Rn , hàm liên tục theo T thỏa mãn điều kiện sau 26 Nhận xét 2.9 Nếu điều kiện (2.8) - (2.12) (2.21) - (2.24) (2.25) - (2.29) thỏa mãn với α = 0, hệ (2.5)- (2.6) ổn định tiệm cận Lyapunov Xét hệ tuyến tính không ôtônôm x(t) ˙ = A(t)x(t), x(0) = x0 , A(t) ma trận hệ số phụ thuộc vào thời gian, x(t) véc tơ trạng thái Định nghĩa 2.10 Cho số dương c1 , c2 , T với c1 < c2 , R(t) ma trận hàm đối xứng xác định dương đoạn [0, T ] Hệ x(t) ˙ = A(t)x(t), x(0) = x0 , (2.30) gọi ổn định hữu hạn thời gian (Finite-time stability(FTS)) tương ứng với (c1 , c2 , T, R(t)) xT0 R(0)x0 ≤ c1 ⇒ x(t)T R(t)x(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ] (2.31) Định lý sau cho điều kiện cần đủ điều kiện đủ để hệ (2.30) FTS Định lý 2.11 Xét hệ (2.30) Khi phát biểu sau tương đương i) Hệ (2.30) FTS tương ứng với (c1 , c2 , T, R(t)) ii) ∀t ∈ [0, T ] c2 R(0), c1 Φ(t, 0) ma trận chuyển trạng thái Φ(t, 0)T R(t)Φ(t, 0) < iii) ∀t ∈ [0, T ], điều kiện sau thỏa mãn P˙ (τ ) + A(τ )T P (τ ) + P (τ )A(τ ) < 0, P (t) ≥ R(t); c2 P (0) < R(0), c1 P (.) ma trận đối xứng τ ∈ [0, t]; (2.32a) (2.32b) (2.32c) 27 iv) Bất phương trình vi phân Lyapunov P˙ (t) + A(t)T P (t) + P (t)A(t) < 0; (2.33a) P (t) ≥ R(t), ∀t ∈ [0, T ]; c2 P (0) < R(0), c1 (2.33b) (2.33c) P (.) ma trận đối xứng Chứng minh ii) ⇒ i) Cho xT0 R(0)x0 ≤ c1 Khi đó, theo công thức nghiệm Cauchy hệ tuyến tính không ôtônôm x(t) = Φ(t, 0)x0 ta có x(t)T R(t)x(t) = xT0 Φ(t, 0)T R(t)Φ(t, 0)x0 < c2 T x R(0)x0 < c2 c1 Vậy hệ (2.30) FTS i) ⇒ ii) Ngược lại, giả sử với t, x ta có xT Φ(t, 0)T R(t)Φ(t, 0)x ≥ c2 T x R(0)x c1 Đặt x(0) = λx, với λ cho biểu thức sau x(0)T R(0)x(0) = c1 Từ (2.34), suy x(0)T Φ(t, 0)T Φ(t, 0)x(0) ≥ c2 Do x(t)T R(t)x(t) = x(0)T Φ(t, 0)T Γ(t)Φ(t, 0)x(0) ≥ c2 , mâu thuẫn với giả thiết ban đầu, hệ (2.30) FTS (2.34) 28 iii) ⇒ i) Cho V (t, x) = xT P (t)x Từ (2.32a), V˙ (t, x) xác định âm dọc theo quỹ đạo hệ (2.30) Với xT0 R(0)x0 ≤ c1 , x(t)T R(t)x(t) ≤ x(t)T P (t)x(t) < x(0)T P (0)x(0) c2 < x(0)T R(0)x(0) c1 ≤ c2 i) ⇒ iii) Giả sử hệ (2.30) FTS Do tính liên tục đối số, giả sử z = x, với đủ nhỏ, với t ∈ [0, T ] x(0)T R(0)x0 ≤ c1 ⇒ x(t)T R(t)x(t) + z 2 < c2 (2.35) Cho P (.) nghiệm P˙ (τ ) + A(τ )T P (τ ) + P (τ )A(τ ) = − I; (2.36) P (t) = R(t), (2.37) x thỏa mãn xT P (0)x ≥ c2 T x R(0)x c1 (2.38) Với x(0) = λx, với λ cho biểu thức sau x(0)T R(0)x(0) = c1 Từ (2.38), suy x(0)T P (0)x(0) ≥ c2 Từ (2.37), ta thu d x(τ )T P (τ )x(τ ) = − x(τ )T x(τ ) dτ (2.39) Lấy tích phân hai vế từ đến t phương trình (2.39), ta có: x(t)T P (t)x(t) − x(0)T P (0)x(0) = − x 22 29 Khi x(t)T R(t)x(t) ≥ x(t)T P (t)x(t) = x(0)T P (0)x(0) − x 2 ≥ c2 − z 22 , mâu thuẫn với (2.35) iv) ⇒ iii) Dễ kiểm tra P hàm ma trận thỏa mãn điều kiện (2.33) thỏa mãn (2.32) Xét hệ tuyến tính không ôtônôm có nhiễu x(t) ˙ = A(t)x(t) + G(t)w(t), x(0) = x0 , A(t), G(t) ma trận hệ số phụ thuộc vào thời gian, w(t) nhiễu Định nghĩa 2.12 Cho số dương c1 , c2 , T với c1 < c2 , R(t) ma trận hàm đối xứng xác định dương đoạn [0, T ], lớp hàm nhiễu W, hệ x(t) ˙ = A(t)x(t) + G(t)w(t), x(0) = x0 , (2.40) gọi bị chặn hữu hạn(Finite-time boundedness(FTB)) ứng với (c1 , c2 , W, T, R(t)), xT0 R(0)x0 ≤ c1 ⇒ x(t)T R(t)x(t) < c2 , (2.41) với t ∈ [0, T ], với w(.) ∈ W T W = w(.)|w(.) ∈ L2 ([0, T ]), w(τ )T w(τ )dτ ≤ d , L2 ([0, T ]) tập hàm khả tích bình phương đoạn [0, T ] d số dương 30 Định lý 2.13 Hệ (2.40) FTB tương ứng với (c1 , c2 , W, T, R(t)) tồn hàm ma trận đối xứng P (.) cho c1 + d P˙ (t) + A(t)T P (t)+P (t)A(t) + P (t)G(t)G(t)T P (t) < 0; c2 (2.42a) P (t) ≥ R(t), ∀t ∈ [0, T ]; c2 R(0) P (0) < c1 + d (2.42b) (2.42c) Chứng minh Đặt α= c1 + d c2 (2.43) Từ (2.32b) (2.40), ta có được: d T x P x < −αxT P GGT P x + wT GT P x + xT P Gw dt T √ T √ w w T √ − αGT P x = w w − √ − αG P x α α α (2.44) Lấy tích phân hai vế (2.44), suy x(t)T P (t)x(t) − x(0)T P (0)x(0) < α t t wT wdt − 0 √ w √ − αGT P x α T √ w √ − αGT P x dt α T T ≤ w wdt α = d, ∀t ∈ [0, T ] α Với xT0 R(0)x0 ≤ c1 , x(t)T R(t)x(t) ≤ x(t)T P (t)x(t) < x(0)T P (0)x(0) + x(0)T R(0)x(0) + d α ≤ c2 , ∀t ∈ [0, T ] < d α 31 Vậy hệ (2.40) FTB 2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Như biết, hệ phương trình vi phân thường (1.1) mô tả mối quan hệ thời gian t, trạng thái x(t) thời điểm Tuy nhiên, thực tế trình xảy thường có liên quan đến khứ nên nhiều di truyền việc sử dụng lớp hàm cổ điển để phân tích hay thiết kế hệ thống dẫn tới kết yếu, độ xác không cao Trong trường hợp này, tốt ta xem xét hoạt động hệ dựa vào thông tin, trạng thái trước Những hệ mà trình hoạt động không phụ thuộc vào trạng thái mà phụ thuộc vào thông tin trạng thái trước gọi hệ có trễ Xét hệ phương trình sau  x˙ = Ax(t) + A x(t − τ ), ∀t ∈ [0, T ]; 1 (2.45) x(t) = ψ(t), t ∈ [−τ, 0], A ∈ Rn×n A1 ∈ Rn×n ma trận thực, Ψ(t) : [−τ, 0] −→ Rn hàm liên tục cho trước, τ > số cho trước Định nghĩa 2.14 Hệ (2.45) ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , T, R) max ΨT (t)RΨ(t) ≤ c1 , −τ ≤t≤0 suy xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ] Định lý 2.15 Hệ (2.45) ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với c1 , c2 , T, R tồn số α > hai ma trận đối xứng xác định dương P > 0, Q > cho điều kiện sau thỏa mãn AT P + P A − αP P A1 < 0, −Q AT1 P (2.46) 32 λmax (P ) + τ λmax (Q) c2 −αT < e , c1 λmin (P ) (2.47) 1 P = R− P R , 1 Q = R− P R− Chứng minh Xét hàm toàn phương dạng t V (t, xt ) = eαt P x(t), x(t) + eαt Qx(s), x(s) ds, t−τ lấy đạo hàm V (xt ) theo t dọc theo quỹ đạo nghiệm hệ (2.45) ta có V˙ (t, xt ) = eαt (AT + P A + Q − αP )x(t), x(t) + P A1 x(t − τ ), x(t) − eαt Qx(t − τ ), x(t − τ ) + αV (x(t)) Ta có V˙ (t, xt ) = eαt x(t) x(t − τ ) T AT P + P A + Q − αP P A1 −Q AT1 P x(t) + αV (t, xt ) x(t − τ ) Từ điều kiện (2.46) ta có: e−αt V˙ (t, xt ) − αV (t, xt )e−αt ≤ 0, ∀t ∈ [0, T ] Lấy tích phân hai vế từ đến t ta V (t, xt ) ≤ eαt V (0, x(0)), ∀t ∈ [0, T ] Mặt khác ta có V (t, xt ) ≥ eαt P x(t), x(t) ≥ P x(t), x(t) 1 1 = xT (t)R R− P R− R x(t) 33 1 Đặt P = R− P R− ta có 1 V (t, xt ) ≥ xT (t)R− P R x(t) ≥ λmin (P )xT (t)Rx(t) (2.48) Hơn ta có đánh giá V (0, x(0)) ≤ λmax (P ) + τ λmax (Q) max ΨT (t)RΨ(t), −τ ≤t≤0 t ∈ [0, T ] (2.49) Q = R − 12 QR − 12 Theo điều kiện định nghĩa max ΨT (t)RΨ(t) ≤ c1 , −τ ≤t≤0 từ (2.48) (2.49) ta có λmin (P )xT (t)Rx(t) ≤ V (x(t)) ≤ V (0, x(0))eαt ≤ λmax (P ) + τ λmax (Q) c1 eαT Vì t < T theo điều kiện (2.47) ta có xT (t)Rx(t) λmax (P ) + τ λmax (Q) c1 < c2 λmin (P ) Định lý chứng minh Ví dụ 2.16 Xét hệ x(t) ˙ = Ax(t) + A1 x(t − τ ), với R = I, α = 1, T = 1, giả sử A= a1 a2 , a3 Q= , P = Ta xét AT P + P A − P < 0, Ta có a1 3 a1 a2 6a1 − 3a2 + − = a2 a3 1 a3 3a2 6a3 − 34 Từ điều kiện (2.46) định lý ta có    2a1 < (2a1 − 1)(2a3 − 1) − 3a22 >    a1 = −2 ⇔    a1 = −2 a3 = −4    a2 = Vậy A= −2 , −4 Q= , Tương tự ta tìm ma trận A1 = P = −3 Vì R = I , suy −4 −1 P = P, Q = Q, λmax (P ) = 3; λmin (P ) = 1; λmax (P ) = 4, lấy τ = 0, ta chọn c1 = e−1 , c2 = Như hệ  x˙ = −2x (t) + 3x (t) − 3x (t − 0, 5) 1 , x˙ = −4x2 (t) − 4x1 (t − 0, 5) − x2 (t − 0, 5) ổn định hữu hạn thời gian (e−1 , 6, 1, I) 2.3 Ứng dụng giải toán ổn định hóa hữu hạn thời gian Xét hệ điều khiển tuyến tính ôtônôm mô tả hệ phương trình vi phân điều khiển có nhiễu sau x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) + Gw(t), (2.50) w(t) ˙ = F w(t), (2.51) u(t) véc tơ điều khiển, u(t) ∈ L2 ([0, T ], Rm ) w(t) nhiễu, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , G ∈ Rn×r F ∈ Rr×r ma trận 35 Định nghĩa 2.17 Hệ (2.50), (2.51) ổn định hóa (Finite-time stabilization ( FTSz ) ứng với (c1 , c2 , R, T ) Nếu tồn hàm điều khiển ngược u(t) = Kx(t), (2.52) cho hệ đóng  x(t) ˙ = (A + BK)x(t) + Gw(t), w(t) ˙ = F w(t) (2.53) ( FTSz ) ứng với (c1 , c2 , R, T ) Định lý sau đưa tiêu chuẩn cho tồn điều khiển ngược đảm bảo cho hệ đóng (2.53) bị chặn hữu hạn Định lý 2.18 Hệ (2.53) FTB tương ứng với (c1 , δ, c2 , T, R) tồn số α ≥ 0, λi xác định dương, i = 1, 2, 3, hai ma trận đối xứng xác định dương Q1 ∈ Rn×n , Q2 ∈ Rr×r cho bất đẳng thức sau đúng:   ˜ AT + AQ ˜ + BM Q G   ˜1 (2.54)   < 0, + M T B T − αQ ˜2 + Q ˜ F − αQ ˜2 GT FTQ λ3 I < Q1 < I; (2.55) λ4 I < Q2 < λ2 I; (2.56) e(λ0 −α)T λ4 − λ2 < 0, √ c1 λ3 δλ2 − δe(λ0 −α)T λ4 − c2 e−αT < √ c1 λ3 −λ3 (2.57) (2.58) ˜ = R− 12 Q1 R− 12 , Q λ0 = λmin (F T + F ), ˜ = R 21 Q2 R 12 , Q ˜ −1 K = MQ ˜ , áp dụng hệ 2.8, ta suy Chứng minh Đặt M = K Q điều phải chứng minh 36 Bài toán 2.19 Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t) + G(t)w(t), x(0) = x0 , (2.59) u(t) điều khiển liệu đầu vào, w(t) nhiễu Cho số dương c1 , c2 , T , với c1 < c2 , R(t) ma trận đối xứng xác định dương [0, T ], tìm điều khiển ngược trạng thái: u(t) = K(t)x(t), t ≥ 0, (2.60) Từ (2.59) (2.60), ta có được: x(t) ˙ = (A(t) + B(t)K(t))x(t) + G(t)w(t), x(0) = x0 , (2.61) FTB tương ứng với (c1 , c2 , W, T, R(t)) Định lý 2.20 Hệ (2.59) Finite-time stabilityzation (FTSz) ứng với (c1 , c2 , R, T ) ma trận hàm đối xứng Q(.) ma trận hàm L(.) thỏa mãn bất đẳng thức ma trận vi phân sau: ˙ −Q(t) + A(t)Q(t) + Q(t)A(t)T + L(t)T B(t)T c1 + d G(t)G(t)T < 0; + B(t)L(t) + c2 −1 Q(t) ≤ Γ (t), ∀t ∈ [0, T ]; c1 + d −1 Q(0) > Γ (0) c2 (2.62a) (2.62b) (2.62c) Ngoài ra, hàm điều khiển ngược u(t) = L(t)Q−1 (t)x(t) Chứng minh Từ định lý 2.13 áp dụng cho toán 2.19 suy tồn ma trận hàm đối xứng P (.) ma trận hàm K(.) cho P˙ (t) + (A(t) + B(t)K(t))T P (t) + P (t)(A + BK(t)) c1 + d P (t)G(t)G(t)T P (t) < 0; + c2 P (T ) ≥ R(t), ∀t ∈ [0, T ]; c2 R(0) P (0) < c1 + d (2.63a) (2.63b) (2.63c) 37 Nhân hai vế (2.63a) P −1 (t) cho Q(t) = P −1 (t) Từ điều kiện (2.62a) ta có được: ˙ Q(t) = −Q(t)P˙ (t)Q(t) Đặt L(t) = K(t)Q(t), kết hợp với điều kiện (2.63b), (2.63c) dễ dàng suy (2.62b) (2.62c) Định lý chứng minh Định lý 2.21 Hệ (2.59) (với w(t) = 0) ổn định hóa hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , W, T, diag(R(t), ΓK (t))), tồn ma trận hàm P (.) đối xứng ma trận hàm L(.) cho ˙ −Q(t) + A(t)Q(t)+Q(t)A(t)T + L(t)T B(t)T + B(t)L(t) < 0; (2.64a) Q(t) ≤ Γ−1 (t), ∀t ∈ [0, T ]; c1 Q(0) > Γ−1 (0) c2 (2.64b) (2.64c) Ngoài ra, hàm điều khiển ngược u(t) = L(t)Q−1 (t)x(t) Xét trường hợp điều khiển ngược Định lý 2.22 Bài toán 2.19 giải tồn ma trận hàm đối xứng Q(.) ma trận hàm L(.) cho ˙ −Q(t) + A(t)Q(t) + Q(t)A(t)T + L(t)T B(t)T c1 + d + B(t)L(t) + G(t)G(t)T < 0; c2 −1 Q(t) ≤ Γ (t), ∀t ∈ [0, T ]; c1 + d −1 Q(0) > Γ (0) c2 (2.65a) (2.65b) (2.65c) Ngoài ra, hàm điều khiển ngược u(t) = L(t)Q−1 (t)x(t) Chứng minh Từ định lý 2.13, suy toán 2.19 có nghiệm tồn 38 P (.) ma trận hàm đối xứng ma trận hàm K(.) cho P˙ (t) + (A(t) + B(t)K(t))T P (t) + P (t)(A + BK(t)) c1 + d + P (t)G(t)G(t)T P (t) < 0; c2 P (T ) ≥ R(t), ∀t ∈ [0, T ]; c2 P (0) < R(0) c1 + d (2.66a) (2.66b) (2.66c) Nhân hai vế (2.66a) P −1 (t) cho Q(t) = P −1 (t) Từ điều kiện (2.65a) ta có được: ˙ Q(t) = −Q(t)P˙ (t)Q(t) Đặt L(t) = K(t)Q(t), kết hợp với điều kiện (2.66b), (2.66c) suy (2.65a) (2.65b) Định lý chứng minh Định lý 2.23 Hệ (2.59) (với w(t) = 0) ổn định hữu hạn thời gian ngược trạng thái tương ứng với (c1 , c2 , W, T, diag(R(t), ΓK (t))), tồn ma trận hàm đối xứng P (.) ma trận hàm L(.)sao cho ˙ −Q(t) + A(t)Q(t)+Q(t)A(t)T + L(t)T B(t)T + B(t)L(t) < 0; (2.67a) Q(t) ≤ Γ−1 (t), ∀t ∈ [0, T ]; c1 Q(0) > Γ−1 (0) c2 Ngoài ra, hàm điều khiển ngược u(t) = L(t)Q−1 (t)x(t) (2.67b) (2.67c) 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: • Các kiến thức sở hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ tồn nghiệm nó, toán ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân hệ phương trình vi phân có trễ, toán ổn định hữu hạn thời gian khác ổn định hữu hạn thời gian ổn định Luyapunov • Các tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình phân: hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ hệ ôtônôm hệ không ôtônôm, ứng dụng giải toán ổn định hóa • Sự đóng góp luận văn tìm hiểu làm rõ nội dung toán ổn định hữu hạn thời gian nêu báo [4], [5], [6] đưa số ví dụ minh họa 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Amato F., Ambrosino R., Ariola M (2013), Finite-Time Stability and Control, Springer, Berlin [4] Amato F., Ariola M., Cosentino C (2005), "Finite-time control of linear time-varying systems via output feedback", In Proc American Control Conference, June 8-10, Portland, OR, USA, pp.4722-4726 [5] Kharitonov V.L (2003), Time-Delay Systems: Lyapunov Functionals and Matrices, Birkhauser, Berlin [6] Shen Y (2008), "An LMI method for stabilization for linear systems on finite time horizon", In Proc Chinese Control Conference, July 16–18, Kunming, Yunnan, China IEEE, pp.616-620 ... 14 Ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính 2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ 2.3 Ứng dụng giải toán ổn. .. vi phân tuyến tính" , nội dung chương trình bày kết tính ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến có trễ, ứng dụng giải toán ổn định hữu hạn. .. tính ổn định hữu hạn thời gian cho số lớp hệ phương trình vi phân: hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ, ứng dụng giải toán ổn định hóa Nội dung chương trình