Rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy học hình học lớp 8

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐĂNG KHOA RÈN LUYỆN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 8 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Chuyên ng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐĂNG KHOA

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC

HÌNH HỌC LỚP 8

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

TP.HỒ CHÍ MINH – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐĂNG KHOA

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC CHỨNG MINH

CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC

HÌNH HỌC LỚP 8

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.10.11

Người hướng dẫn khoa học: TS ĐINH QUANG MINH

TS NGUYỄN CHIẾN THẮNG TP.HỒ CHÍ MINH – 2014

Tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, bạn bè đồng nghiệp trường THCS Tân Túc, huyện Bình Chánh, thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình thực nghiệm đề tài

Dù đã cố gắng, tuy nhiên trong luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, mong nhận được các ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp

1 Lí do chọn đề tài 1

1.1.4 Các yêu cầu của một phép chứng minh toán học 7 1.1.5 Vai trò và yêu cầu về dạy học chứng minh toán học ở trường

1.5 Sơ lược về các dạng toán chứng minh trong SGK hình học lớp 8 26

Chương 2: Khảo sát thực trạng việc rèn luyện năng lực chứng

2.1 Mục tiêu của khảo sát 35 2.2 Thực trạng học các dạng toán chứng minh và việc rèn luyện

năng lực chứng minh của học sinh thông qua dạy học hình học 8 36

Chương 3: Các biện pháp rèn luyện năng lực chứng minh cho

3.2 Các biện pháp rèn luyện năng lực chứng minh toán học 42 3.2.1 Biện pháp 1: Gợi động cơ chứng minh cho học sinh 42 3.2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng đọc hiểu và vẽ hình 48 3.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng phân tích và tổng hợp 50 3.2.4 Biện pháp 4: Đặt câu hỏi gợi ý để học sinh tìm hướng chứng

minh và rèn luyện khả năng dùng sơ đồ suy xuôi, suy ngược để tìm

Kết luận 107

QUI ƯỚC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Văn kiện Đại hội X của Đảng khẳng định: “Ưu tiên hàng đầu cho việc

nâng cao chất lượng dạy và học Đổi mới phương pháp dạy và học, nâng cao chất lượng đội ngũ giáo viên và tăng cường cơ sở vật chất của nhà trường, phát huy khả năng sáng tạo và độc lập suy nghĩ của học sinh, sinh viên Coi trọng bồi dưỡng cho HS, sinh viên khát vọng mãnh liệt xây dựng đất nước giàu mạnh, gắn liền lập nghiệp bản thân với tương lai của cộng đồng, của dân tộc, trao dồi cho HS, sinh viên bản lĩnh, phẩm chất và lối sống của thế hệ trẻ Việt Nam hiện đại Triển khai thực hiện hệ thống kiểm định khách quan, trung thực chất lượng giáo dục, đào tạo”

Luật giáo dục nước Cộng hòa Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam cũng đã qui

định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,

chủ động, tư duy sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của HS” (Luật giáo dục 2012 chương I, điều 28)

Theo Lê Tử Thành [17] “Chứng minh là một hình thức suy luận, dựa

vào những phán đoán mà tính chân thực được công nhận để khẳng định tính chân thực của một phán đoán khác cần được chứng minh” Từ đó ta thấy

chứng minh một bài toán hình học đòi hỏi việc suy luận chặt chẽ và chính xác Nếu việc chứng minh trong toán học nói chung và chứng minh hình học nói riêng được học sinh thực hiện tốt và vận dụng có phương pháp thì sẽ giúp tư duy của học sinh được nâng cao

Đã có nhiều công trình nghiên cứu về phương pháp rèn luyện chứng minh hình học nhưng đa số các công trình chủ yếu nói về một phần trong chứng

minh hình học như vẽ đường phụ hoặc các biện pháp rèn luyện hình học nói chung, chưa đi sâu vào các phương pháp rèn luyện chứng minh cho học sinh thông qua dạy hình học lớp 8 Như thế nghiên cứu các phương pháp rèn luyện chứng minh cho học sinh thông qua dạy hình học lớp 8 sẽ góp phần nâng cao chất lượng học hình học cho học sinh cũng như giúp giáo viên có thêm tài liệu

để tham khảo

Ta đã biết, kiến thức Toán ở bậc THCS gồm Số học, Đại số và Hình học Việc đổi mới PPDH cần phải đổi mới toàn diện Nhưng qua kiểm tra đánh giá chất lượng đầu năm cũng như kiểm định kỳ ở bộ môn Toán thì đa số học sinh làm không tốt ở phân môn Hình học, đặc biệt là Hình học lớp 8 Chính vì thế chúng tôi đã khảo sát và điều tra nguyên nhân các em học sinh không làm tốt các bài kiểm tra chất lượng, kiểm tra định kỳ Đó là do các em học sinh chưa nắm được phương pháp học môn Hình học, đặc biệt là phần chứng minh các bài toán hình học lớp 8

Các bài toán chứng minh trong hình học có một tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh, nó vừa giúp học sinh nắm vững kiến thức vừa giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp,

so sánh

Bằng kinh nghiệm của bản thân, trải qua quá trình học tập và thực tế giảng dạy ở trường phổ thông chúng tôi lại nhận thức rõ hơn tầm quan trọng trong việc rèn luyện năng lực chứng minh hình học cho học sinh lớp 8 Đây là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên Vì đa số các kiến thức hình học ở bậc THCS được hình thành ở năm học lớp 8 nên năng lực, tư duy cũng như lòng ham thích hình học của học sinh cần phải được bồi dưỡng ngay

từ đây

Vì vậy, chúng tôi lựa chọn đề tài “Rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy hình học lớp 8”

Năng lực chứng minh hình học nói trên có phạm vi rất rộng Do hạn chế về mặt thời gian nên trong đề tài này tôi chỉ nghiên cứu các phương pháp rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy học định lí và các bài tập hình học được khai thác từ SGK lớp 8

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng năng lực chứng

minh cho học sinh thông qua dạy giải bài tập hình học lớp 8

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Nghiên cứu lý luận về dạy học chứng minh

2 Nghiên cứu về vai trò của việc dạy học chứng minh hình học

3 Nghiên cứu về nội dung, chương trình SGK lớp 8 hiện hành và thực tiễn thực hành giải toán ở trường THCS

4 Xây dựng và đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy giải bài tập hình học lớp 8

5 Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các biện pháp đã

đề ra

4 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở chương trình môn Toán hiện hành, nếu xây dựng được một

số biện pháp rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy giải bài tập hình học lớp 8 một cách hợp lý thì có thể góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường trung học cơ sở

5 Phương pháp nghiên cứu

5 1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu các tài liệu sách báo, các công trình liên quan đến đề tài của luận văn

5.2 Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn

Tìm hiểu thực trạng việc dạy và học Toán đại số ở trường THCS Tân Túc huyện Bình Chánh

5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Xem xét tính khả thi và hiệu quả của một số biện pháp đề xuất trong luận văn

6 Đối tượng nghiên cứu

Các phương pháp chứng minh hình học

7 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các phương pháp chứng minh hình học để áp dụng vào rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy giải bài tập hình học lớp 8

Khảo sát thực tế trên học sinh THCS Tân Túc huyện Bình Chánh

8 Những đóng góp của luận văn

Làm rõ thêm các vấn đề lý luận và thực tiễn của việc dạy học chứng minh nói chung, dạy học chứng minh hình học nói riêng

Giúp giáo viên và học sinh hiểu rõ các phương pháp chứng minh hình học có thể vận dụng vào giải các bài tập chứng minh hình học lớp 8, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trường THCS

Xây dựng và đề xuất được một số biện pháp nhằm rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy giải bài tập hình học lớp 8

9 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm 4 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận

Chương 2 Khảo sát thực trạng việc rèn luyện năng lực chứng minh

trong dạy học hình học lớp 8 Chương 3 Các biện pháp rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh

thông qua dạy học hình học 8 Chương 4 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Năng lực chứng minh toỏn học

1.1.1 Năng lực

Theo quan điểm của cỏc nhà tõm lớ học, Năng lực là tổng hợp cỏc đặc điểm, thuộc tớnh tõm lớ của cỏ nhõn phự hợp với yờu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao

Cỏc năng lực hỡnh thành trờn cơ sở của cỏc tư chất tự nhiờn nơi đúng vai trũ quan trọng, năng lực của con người khụng phải hoàn toàn do tự nhiờn mà

cú, phần lớn do cụng tỏc, do luyện tập mà nờn Năng lực cú hai dạng khỏc nhau

đú là năng lực chung và năng lực chuyờn mụn

Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khỏc nhau như năng lực phỏn xột tư duy lao động, năng lực khỏi quỏt húa, năng lực tưởng tượng

Năng lực chuyờn mụn là năng lực đặc trưng trong lĩnh vực nhất định Trong thực tế mọi hoạt động cú kết quả và hiệu quả cao thỡ mỗi người cần phải cú năng lực chung phỏt triển ở trỡnh độ cần thiết và cú một vài năng lực chuyờn mụn tương ứng với lĩnh vực cụng việc của mỡnh

Một số công trình nghiên cứu về tâm lý học và giáo dục học chỉ ra rằng, qua quá trình hoạt động HS dần hình thành tri thức, kĩ năng , kĩ xảo cho bản thân Và từ những nền tảng đó họ bắt đầu phát triển những khả năng của mình ở mức độ từ thấp đến cao Cho đến một lúc sự phát triển bên trong

đủ khả năng giải quyết những vấn đề xuất hiện trong học tập và trong cuộc sống thì lúc đó HS sẽ có những năng lực nhất định

Vậy thế nào là năng lực? Khái niệm này cho đến nay vẫn có nhiều cách hiểu và cách diễn đạt khác nhau, d-ới đây là một số cách hiểu về năng lực

Theo từ điển Tiếng Việt thì: “ Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao”

Năng lực là một khái niệm tích hợp ở chỗ nó bao hàm cả những nội dung, những hoạt động cần thực hiện và những tình huống trong đó diễn ra các hoạt động Garard và Roegies đã định nghĩa: “Năng lực là một tích hợp những kĩ năng cho phép nhận biết một tình huống và đáp ứng với tình huống

Cho dù cách tiếp cận khác nhau nh-ng ta thấy năng lực biểu hiện bởi các đặc tr-ng:

Cấu trúc của năng lực là tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện những hoạt

động thành phần có quan hệ chặt chẽ với nhau

- Năng lực tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; nói đến năng lực tức là gắn với khả năng hoàn thành một hoạt động nào đó của cá nhân

- Năng lực chỉ nảy sinh trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới

mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo t- duy có khác nhau về mức

độ

- Năng lực có thể rèn luyện và phát triển đ-ợc

- Với các cá nhân khác nhau có các năng lực khác nhau

ở mỗi ng-ời có những loại năng lực khác nhau và hai ng-ời khác nhau thì có những năng lực khác nhau và tố chất ở họ khác nhau

1.1.2 Chứng minh toán học

Chứng minh là một hình thức suy luận, dựa vào những phán đoán mà tính chân thực được công nhận để khẳng định tính chân thực của một phán đoán khác cần được chứng minh

Trong phạm vi toán học: Chứng minh là phép suy luận để thiết lập sự đúng hay sai của một khẳng định

Trong phạm vi toán học THCS: Chứng minh định lí là dùng các lập luận

để suy luận từ giả thiết ra kết luận Lập luận là nêu những khẳng định và vạch

rõ vì sao, căn cứ vào đâu mà có những khẳng định đó

1.1.3 Năng lực chứng minh toán học

Năng lực chứng minh hình học là gì? Ta có thể hiểu nó như sau

Năng lực chứng minh hình học là một tổ hợp những đặc điểm tâm lí của con người qua đó họ có thể vận dụng các kiến thức đã có cùng với các phương pháp chứng minh hình học đã biết để đi đến giải quyết được yêu cầu của một bài toán chứng minh

1.1.4 Các yêu cầu của một phép chứng minh toán học

- Tiền đề và luận cứ phải chân thực: Các điều kiện vào chỉ có thể là giả

thiết, các mệnh đề đúng đã biết, hay các mệnh đề kết luận của các bước thay thế Các quy tắc thay thế phải là các định nghĩa, định lí, tính chất hay tiền đề đúng đã biết

- Luận cứ phải hợp lôgic: Các phép suy diễn được sử dụng (ngầm ẩn) phải

hợp lôgic

- Không đánh tráo luận đề: Không thay thế mệnh đề cần chứng minh bằng

một mệnh đề khác không tương ứng với nó[17, tr121]

Một số sai lầm do vi phạm các yêu cầu trên

- Sai lầm về mặt tiền đề: Thường do chỉ dựa vào trực giác hay sử dụng các

mệnh đề chưa chứng minh

- Sai lầm về mặt luận cứ: Do áp dụng sai quy tắc, định lí, định nghĩa, tiên đề

- Sai lầm về mặt luận chứng: Do sử dụng quy tắc suy luận không hợp lôgic

Ví dụ 1: Cho ABC dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABEF và ACGH Từ A dựng đường vuông góc với BC, cắt BC tại D và cắt FH tại M Chứng minh FM=MH

Xét bài làm sau của một học sinh

Nên:

Suy ra: FM=MA

Chứng minh tương tự ta có MH=MA

Vậy FM=MH

Sai lầm về mặt tiền đề Học sinh đã vẽ ABC là tam giác vuông, nên ghi nhận trực giác rằng F, A, C thẳng hàng

1.1.5 Vai trò và yêu cầu về dạy học chứng minh toán học ở trường THCS

Ở lứa tuổi trung học cơ sở, tư duy của các em học sinh bắt đầu phát triển và môn hình học cũng được đưa vào sâu ở bậc học này Vì thế vai trò của hình học rất quan trọng đặc biệt là dạy cho học sinh biết cách chứng minh

ở giai đoạn này

1.1.5.1 Vai trò của việc dạy học chứng minh hình học ở trường THCS

Về kiến thức và kỹ năng: Hình thành cho học sinh một hệ thống khái niệm, định lí, tính chất hình học Bước đầu giúp học sinh làm quen với một số phương pháp chứng minh đồng thời nắm được ngôn ngữ và các kí hiệu toán học liên quan đến chứng minh Bên cạnh đó còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình, vận dụng kiến thức chứng minh được để giải quyết các vấn đề thích hợp trong cuộc sống,… và trình bày lời giải rõ ràng chính xác

Về phát triển trí tuệ: Phát triển ở học sinh tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác Trong quá trình suy luận và chứng minh phần nào giúp học sinh tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng hình học Đồng thời phát triển óc quan sát

và trí nhớ

Về tư tưởng đạo đức: Xây dựng cho học sinh nhận thức đúng đắn về tính thực tiễn của hình học, giáo dục lòng yêu nước thông qua các bài toán và

ví dụ từ cuộc sống

1.1.5.2 Yêu cầu về dạy học chứng minh toán học ở trường THCS

Điều quan trọng nhất là phải làm cho học sinh ở THCS thấy được sự cần thiết để chứng minh

1.1.5.2.1 Để phát huy tính tự giác và tích cực của học sinh trong

việc học tập các định lí, điều đầu tiên là phải làm cho các em nhận thức rõ sự cần thiết phải chứng minh các định lí đó Yêu cầu này đặt ra rất rõ khi hoc sinh bắt đầu học hình học Trong đại số lớp 7 đã có một vài định lí được chứng minh như: “tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” nhưng các định lí này khá cụ thể, học sinh dễ thấy tác dụng của nó, nên ít băn khoăn về cách suy luận để đi đến định lí đó Trái lại khi mới học hình học, học sinh gặp ngay việc chứng minh nhiều định lí mà sự đúng đắn của chúng đối với các em là

“hiển nhiên”, “còn chứng minh làm gì nữa?”[4, tr 136]

Ví dụ 2: Chứng minh “hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông”

giữa tia kia hay không thì mới là chặt chẽ Do đó công việc của giáo viên ở đây làm sao cho học sinh thấy cần thiết phải chứng minh là rất khó khăn, trong nhiều trường hợp là bất lực

1.1.5.2.2 Xuất phát từ những yêu cầu của thực tế là một biện pháp

giúp học sinh thấy được sự cần thiết để chứng minh

Ví dụ 3:

Hình 1.3 Đứng từ điểm B ở bên này bờ sông muốn đo khoảng cách từ B đến A bên kia sông, người ta có thể làm như sau:

Lấy các điểm C, D sao cho D, C, B thẳng hàng và DC=CB Kẻ DM sao cho , rồi trên DM lấy E sao cho A, C, E thẳng hàng Lúc đó DE=AB vì sao có thể kết luận được như vậy?

Làm được điều này cũng giải thích sự cần thiết để chứng minh Từ những kiến thức khởi điểm này sẽ làm các học sinh học vững hơn ở các năm lớp 8 trở lên

1.1.5.2.3 Đối với một số định lí, nên làm cho học sinh thấy được sự

cần thiết của chứng minh để có được một sự kết luận chính xác

Ví dụ: Khi dạy bài tổng bốn góc trong một tứ giác bằng 360 ta có thể cho học sinh đo bốn góc rồi cộng lại dự đoán Khi ấy kết quả có thể là 360o, 361o,

362o, 359o,… Giáo viên mới cho học sinh thấy rằng, các kết quả rất gần giống nhau, kết quả đúng bao giờ cũng là 360o, ta cần chứng minh điều này

1.1.5.2.4 Để giúp cho học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng

minh, chứ không thể dựa vào sự đúng đắn của hình vẽ thông qua mắt nhìn, nên cho học sinh thấy rằng đôi khi hình vẽ “đánh lừa” mắt ta, làm cho ta đánh giá nhiều vấn đề sai sự thật

Ví dụ 4: Các ảo giác hình học

Đoạn thẳng nào dài hơn: XY hay YZ; AB hay CD?

Hình 1.4 1.1.5.2.5 Giải thích và tương tác giữa khám phá và hiểu biết

Giải thích phải được xây dựng dựa trên sự hiểu biết thỏa đáng của người giải quyết về các tình huống vấn đề hay đối tượng của tư tưởng và sự hiểu biết của

họ có thể được đào sâu thông qua những khám phá của họ về những tình huống hoặc các đối tượng Tuy nhiên, nó thường được quan sát thấy trong vấn

đề giải quyết toán học mà sự hiểu biết hoặc giải thích của giải quyết tại một

thời điểm cụ thể có thể chỉ hướng hoặc ảnh hưởng đến việc khám phá của họ

Vì vậy, điều quan trọng là tham dự vào sự tương tác giữa những khám phá của người giải quyết và sự hiểu biết của họ Điều này ngụ ý rằng khi phân tích các quá trình nơi mà người giải quyết đạt đến sự giải thích của họ về hiện tượng hoặc các mệnh đề trong câu hỏi, sự quan tâm của chúng ta nên tập trung vào cách sự hiểu biết của người giải quyết làm thay đổi hoặc cải thiện dần dần trong những quá trình này, cũng như làm thế nào tình trạng hiểu biết của họ tại một giai đoạn nhất định cho phép việc thăm dò họ áp dụng

Một mặt, một số phần hiểu biết của người giải quyết được xác nhận bởi các giải thích toán học Mặt khác có những phần hiểu biết không được xác nhận

về mặt toán học như các nghi ngờ về giá trị của việc chứng minh các kết luận trong các vấn đề, các thông tin dựa trên các giả định ngầm người giải quyết vấn đề có, và sự mong đợi chỉ với một số hình thức giải thích nhất định Một

số khía cạnh thảo luận trong chương này có thể được tóm tắt trong sơ đồ, nơi

mà những giải thích địa phương liên quan tới những đặc tính cho từng phần

và những giải thích đầy đủ đề cập đến các hiện tượng toán học trong câu hỏi Pedemonte (2007) đã cố gắng phân tích "Toàn bộ quá trình giải quyết" khi giải quyết vấn đề luận cứ và trong lúc phân tích đó, đã chú ý đến các mối quan hệ cơ cấu "Giữa lập luận ủng hộ một giả thuyết và luận cứ của nó" Khuôn khổ trình bày ở đây hướng sự chú ý của chúng ta đến các yếu tố cơ bản mà có thể hỗ trợ cả việc tranh luận và các chứng minh (tức là sự hiểu biết của người giải quyết về các tình huống vấn đề hay đối tượng) và cho thấy một kiểu liên tục giữa chúng[19]

Khám phá tình huống hoặc đối

tượng Khám phá đối tượng mới

Giải thích

ban đầu Giải thích ban đầu Giải thích ban đầu

Giải thích hoàn chỉnh

Ta rút ra mệnh đề: ABCD có hai đường chéo bằng nhau

Như vậy là ta đã suy luận Mệnh đề (các mệnh đề) đã có gọi là tiền đề (các tiền đề) của suy luận, mệnh đề mới được rút ra là kết luận của suy luận

1.2.2 Suy luận diễn dịch

Suy luận diễn dịch là suy luận theo những quy tắc, xác định rằng nếu tiền đề là đúng thì kết luận rút ra cũng là đúng

1.2.3 Suy luận có lí

Suy luận có lí không theo một quy luật tổng quát nào để từ những tiền

đề đã có, rút ra được kết luận xác định Nếu các tiền đề đều đúng, thì không thể nói kết luận là đúng hay sai

1.2.4 Quy tắc suy diễn

Cho A và B là hai mệnh đề

Nếu ta lập mệnh đề AB

Thì tức là ta đã suy luận từ tiền đề A để có kết luận B

Suy luận này thường được viết dưới dạng sơ đồ A

B (đọc: “A, vậy B” hoặc “từ

A suy ra B”)

1.2.5 Suy diễn từ nhiều tiền đề

Nếu ta lập mệnh đề A B C thì ta đã suy luận từ hai tiền đề A và B

để có kết luận C Suy luận này được viết dưới dạng sơ đồ A B,

C (đọc: “A và

B, vậy C”)

1.2.6 Quy tắc kết luận từ mệnh đề phổ biến

Quy tắc suy luận:

Nếu các tiên đề A1, A2,…, An đều đúng thì ta gọi kết luận B là một kết luận chứng minh và suy luận đó gọi là một phép chứng minh

Một phép chứng minh lôgic đều gồm ba bộ phận:

- Luận đề: Là mệnh đề phải chứng minh Nó trả lời câu hỏi: “Chứng minh cái gì?” ta còn gọi luận đề là kết luận

- Luận cứ: Là những mệnh đề đã được thừa nhận (định nghĩa, tiên đề, định lí) được đưa ra làm tiên đề trong mỗi suy luận Nó trả lời cho câu hỏi: “Chứng minh dựa vào cái gì?” Trong mỗi bài toán chứng minh, luận cứ còn là các dữ kiện, các quan hệ đã cho trong bài toán

- Luận chứng: Là những quy tắc suy luận hợp lôgic Nó trả lời cho câu hỏi: “Chứng minh như thế nào?”, “Theo những quy tắc suy luận nào?”

1.3.2 Các phương pháp chứng minh

1.3.2.1 Chứng minh trực tiếp

Chứng minh trực tiếp là đưa ra các luận cứ, dùng quy tắc suy luận để rút ra luận đề Cơ sở của chứng minh trực tiếp là các quy tắc “suy luận kết luận” và “suy luận bắc cầu”

Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề AB là đúng (A là giả thiết, B là kết luận), ta lập các mệnh đề mới A1, A2,…, An gọi là các mệnh đề trung gian

và chứng minh các mệnh đề sau là đúng: AA1, A1A2,…, AnB Tức là ta

đã vận dụng liên tiếp các quy tắc kết luận sau:

 OA=OC và OD=OB (hai cạnh tương ứng)

Vậy AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Phép chứng minh trực tiếp ưu điểm nổi bật là trình bày gọn gàng, chặt chẽ, có hệ thống Do vậy phép chứng minh này thường được sử dụng để trình bày phép chứng minh một định lí trong sách giáo khoa hoặc trình bày giải một bài toán nói chung và lời giải một bài toán chứng minh hình học nói

GT ABCD là hình bình hành

KL O là trung điểm của

AD và BC

riêng Tuy nhiên, về phương diện sư phạm phép chứng minh này thiếu tự nhiên vì học sinh không hiểu lí do vì sao (tìm đâu ra, làm sao phải tìm) lại bắt đầu từ A1 mà trong ví dụ trên là gọi O là giao điểm hai đường chéo

1.3.2.2 Chứng minh gián tiếp

Chứng minh gián tiếp một mệnh đề là chứng minh một mệnh đề khác sai Cơ sở của phép chứng minh này là quy tắc “suy luận phản chứng” Giả

sử ta phải chứng minh mệnh đề AB là đúng, A là giả thiết, là mệnh đề đã cho là đúng, ta phải chứng minh B đúng

Giả thiết phản chứng là B, ta suy ra A, điều này mâu thuẫn với giả thiết A hoặc mâu thuẫn với một mệnh đề đúng đã biết Vậy B đúng (theo luật mâu thuẫn)

Ví dụ 6: Chứng minh nếu tứ giác ABCD có AB//CD và AB=CD thì tứ giác ABCD là hình bình hành

Hình 1.6 Gọi O là giao điểm của AC và BD

Giả sử ABCD không phải là hình bình hành

AD và BC không song song

AB CD (gt)

(hai góc so le trong) Nên: ABO=CDO (g.c.g)

OB=OD và OA=OC (hai cạnh tương ứng)

Nên: BC//AD (mâu thuẫn)

Vậy ABCD phải là hình bình hành

Ví dụ 7: Cho hình thang ABCD (AD//BC) có cạnh bên AB bằng tổng hai đáy

AD và BC Chứng minh rằng đường phân giác của hai góc kề cạnh bên AB cùng đi qua trung điểm M của cạnh bên CD

Hình thang ABCD (AD//BC)

Hình 1.7

Thực chất là chứng minh ba đường thẳng đồng qui tại một điểm cho trước Với bài toán này chứng minh trực tiếp là tương đối khó Ta dùng phương pháp chứng minh gián tiếp để chứng minh bài toán này Ta có thể thành lập một mệnh đề đảo của bài toán như sau: "Nếu trong hình thang ABCD (AD//BC) có cạnh bên AB bằng tổng hai đáy AD và BC và M là trung điểm của CD thì AM và BM là tia phân giác của các góc A và B"

Vì qua hai điểm chỉ vẽ được một đường thẳng (AM, BM) và mỗi góc chỉ có một đường phân giác nên nếu ta chứng minh được mệnh đề đảo trên là đúng thì ta cũng có thể kết luận bài toán đã cho (mệnh đề thuận) đã được chứng minh

Như vậy thay vì phải chứng minh ba đường thẳng đồng quy tại M cho trước ta bắt đầu từ trung điểm M của CD nối MA, MB và chứng minh cho

MA, MB là phân giác của góc A và B của hình thang ABCD Tức là ta đã

"thừa nhận B (kết luận) để chứng minh A (giả thiết) như trên đã nói

(so le trong vì BC//AE)

Suy ra hay BM là phân giác của

Từ (1)  BM=ME Nên AM là trung tuyến thuộc cạnh đáy của tam giác cân ABE Suy ra AM là tia phân giác của (tính chất tam giác cân)

Chứng tỏ hai đường phân giác của hai góc kề với cạnh AB và cạnh bên

CD cùng đi qua trung điểm M của CD (điều phải chứng minh)

Qua ví dụ trên ta thấy đều không chứng minh trực tiếp kết luận của bài

ra mà ta chứng minh gián mệnh đề đảo Cách chứng minh như vậy gọi là chứng minh phản chứng

1.4 Nội dung môn Toán lớp 8

Học kỳ I:

19 tuần: 72 tiết

15 tuần x 4 tiết/T

giải thích, chứng minh

§7 Hình bình hành Luyện tập

II Đa giác

§3 Tính chất đường phân giác của tam giác Luyện tập

44

§6 Trường hợp đồng dạng thứ hai

45

§7 Trường hợp đồng dạng thứ ba Luyện tập

46 – 47

§8 Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Luyện tập

48 – 49 Mục 2, ?(trang 81):

Hình c và hình d, giáo viên tự chọn độ dài các cạnh sao cho kết quả khai căn là số tự nhiên,

ví dụ: A B' '5;B C' '13

AB BC

§9 Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng

50

Thực hành (đo chiều cao

một vật, đo khoảng cách giữa hai điểm trên mặt đất, trong

đó có một điểm không thể tới được)

51 – 52

Ôn tập chương III (Với sự

trợ giúp của máy tính cầm tay

đứng Hình

chóp đều

(15 tiết)

§3 Thể tích hình hộp chữ nhật Luyện tập

61 – 62

§7 Hình chóp đều và hình chóp cụt đều

1.5 Sơ lược về các dạng toán chứng minh trong SGK hình học lớp 8

1.5.1 Các bài toán chứng minh liên quan tới chương tứ giác

1 Tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của góc A Chứng minh

rằng ABCD là hình thang

2 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Kẻ các đường cao AE,

BF của hình thang Chứng minh rằng DE = CF

3 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo

Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED

4 Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC,

E ∈ AB) Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên

5 Hình thang ABCD (AB // CD) có Chứng minh rằng ABCD

là hình thang cân

6 Chứng minh định lí “Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình

thang cân” qua bài toán sau : Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E Chứng minh rằng:

a) BDE là tam giác cân

b) ACD = BDC

c) Hình thang ABCD là hình thang cân

7 Hình thang ABCD có đáy AB, CD Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm

của AD, BC, BD Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng

8 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC

10 Cho hình bình hành ABCD (AB > BC) Tia phân giác của góc D cắt AB ở

E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F

a) Chứng minh rằng DE // BF

b) Tứ giác DEBF là hình gì ? Vì sao ?

11 Cho hình 72, trong đó ABCD là hình bình hành

Hình 72

a) Chứng minh rằng AHCK là hình bình hành

b) Gọi O là trung điểm của HK Chứng minh rằng ba điểm A, O, C thẳng hàng

12 Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,

BC, CD, DA Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?

13 Cho hình bình hành ABCD Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD,

AB Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M và N Chứng minh rằng : a) AI // CK

b) DM = MN = NB

14 Cho hình bình hành ABCD Gọi E là điểm đối xứng với D qua điểm A,

gọi F là điểm đối xứng với D qua điểm C Chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm F qua điểm B

15 Cho hình 82, trong đó MD // AB và ME // AC Chứng minh rằng điểm A

đối xứng với điểm M qua điểm I

Hình 82

16 Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo Một

đường thẳng đi qua O cắt các cạnh AB và CD theo thứ tự ở M và N Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua O

17 Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm

đối xứng với H qua I Tứ giác AHCE là hình gì ? Vì sao ?

18 Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt

nhau như trên hình 91 Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật

Hình 91

19 Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau Gọi E, F, G, H

theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH là

hình gì? Vì sao?

20 Cho hình 107, trong đó ABCD là hình vuông Chứng minh rằng tứ giác

EFGH là hình vuông

Hình 107

21 Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và C Qua D kẻ các đường

thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự ở E

và F

a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?

b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi ?

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì ? Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông ?

22 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD Gọi E, F theo thứ tự là trung

điểm của AB, CD Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF

và CE

a) Tứ giác ADFE là hình gì ? Vì sao ?

b) Tứ giác EMFN là hình gì ? Vì sao ?

1.5.2 Các bài toán chứng minh liên quan tới định lí Thalet, tính chất đường phân giác của tam giác và hai tam giác đồng dạng

1 Cho biết AB' AC'

AB  AC (h 6)

Hình 6

Chứng minh rằng :

2 Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM Tia phân giác của góc

AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E Chứng minh rằng DE // BC (h.25)

Hình 25

3 Cho hình thang ABCD (AB // CD)

Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại E và

4 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại

O Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và E (h 26)

6 Cho tam giác ABC, trong đó AB = 15cm, AC = 20cm Trên hai cạnh AB

và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho AD = 8cm, AE = 6cm Hai tam giác ABC và ADE có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ?

7 Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 24cm, AC = 28cm Tia phân giác của

góc A cắt cạnh BC tại D Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD

a) Tính tỉ số BM

CN

b) Chứng minh rằng AM DM

AN  DN