Bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập hình học 10

Toán học trong chương trình nhà trường phổ thông là một môn học cơbản và có tính phát triển liên tục hệ thống logic, giúp người học ngoài việc nắmvững các kiến thức cơ bản của toán còn n

PHAN VĂN HÂY

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC KHÁM PHÁ CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN, 2013

PHAN VĂN HÂY

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC KHÁM PHÁ CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC 10

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Phạm Xuân Chung

NGHỆ AN, 2013

Trong quá trình nghiên cứu và viết luận văn tôi đã nhận được sự quan tâm, hướng dẫn, giúp đỡ của nhiều tập thể, cá nhân trong và ngoài trường Đại học học Vinh.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, ban chủ nhiệm khoa sau đại học trường Đại học Vinh; Ban Giám hiệu, phòng Tổ chức cán bộ trường Đại học Sài Gòn; cùng tất cả quý thầy (cô) giáo đã tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu và hoàn thành các chuyên đề thạc sĩ khóa 19, ngành Toán của trường Đại học Vinh đặt tại trường Đại học Sài Gòn

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban Giám hiệu, tổ Toán trường THPT Lộc Hưng, tỉnh Tây Ninh – nơi tôi đang công tác giảng dạy.

Đặc biệt, tôi xin được gởi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Phạm Xuân Chung, đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành tốt luận văn này.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã tạo điều kiện và khích lệ tôi hoàn thành luận văn này.

Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.

Tác giả

Phan Văn Hây

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Trong những năm gần đây, ngành giáo dục nước ta rất quan tâm đếnviệc đổi mới phương pháp dạy học, với xu thế “Dạy học tâp trung vào ngườihọc”, hay là “Phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh” Về mụctiêu, vai trò, nhiệm vụ của ngành Giáo dục Đào tạo cũng được khẳng định “Pháttriển giáo dục là một trong những động lực thúc đẩy sự nghiệp công nghiệp hoáhiện đại hoá, là điều kiện phát huy nguồn lực con người yếu tố cơ bản để pháttriển xã hội tăng trưởng kinh tế nhanh và bền vững Cần tạo chuyển biến cơ bản

về giáo dục, đào tạo lớp người lao động có kiến thức cơ bản làm chủ kỹ năngnghề nghiệp, có ý thức vươn lên về khoa học và công nghệ Đổi mới phươngpháp dạy học, phát huy tư duy sáng tạo và năng lực tự đào tạo của người học,coi trọng việc làm chủ kiến thức, tránh nhồi nhét, học vẹt, học chay”

1.2 Toán học trong chương trình nhà trường phổ thông là một môn học cơbản và có tính phát triển liên tục hệ thống logic, giúp người học ngoài việc nắmvững các kiến thức cơ bản của toán còn nâng cao khả năng suy luận, hình thànhcác phưong pháp học khoa học và hỗ trợ có hiệu quả trong việc học các môn họckhác Tuy nhiên hiện nay tình trạng học sinh học môn toán một cách máy móc,thụ động khá phổ biến, tính độc lập sáng tạo trong học và giải toán chưa đượcphát huy tốt Mà trong chúng ta ai ai cũng biết rằng, hiện nay nội dung chươngtrình trong trường phổ thông đã được đổi mới toàn bộ nhiều mặt, nhiều khâu từchương trình sách giáo khoa, phương pháp giảng dạy theo hướng tích cực hoáhoạt động học tập của học sinh nhằm giúp học sinh tự tiếp cận kiến thức Vậygiúp cho học sinh tích cực học tập tự lực tiếp cận kiến thức mới để đạt đươc kếtquả khả quan thì theo chúng tôi việc bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh

là điều hết sức quan trọng

1.3 Dạy học theo quan điểm khám phá đã được nhiều tác giả đề cập đếnthông qua các công trình nghiên cứu, trong các công trình đó có thể kể tới Luận

án Tiến sĩ của Lê Võ Bình (2007), “Dạy học Hình học các lớp cuối cấp THCStheo hướng bước đầu tiếp cận phương pháp dạy học khám phá”; luận văn Thạc

sĩ của Hà Duyên Nam (2006), Nguyễn Công Chuẩn (2009), có nghiên cứumột số vấn đề về dạy học khám phá, nhưng chưa đề cập đến năng lực khám phácủa học sinh Trong cuốn sách “tiếp cận các phương pháp dạy học không truyềnthống trong dạy học Toán ở trường Đại học và trường Phổ thông” các tác giảĐào Tam, Lê Hiển Dương có đề cập đến năng lực khám phá kiến thức mới mộtcách khái quát và đã đề xuất một số biện pháp rèn luyện các thành tố của nănglực khám phá kiến thức cho sinh viên trong dạy học hình học sơ cấp ở trường

Đại học Sư phạm Vì những lí do trên đó chúng tôi chọn đề tài luận văn là “Bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập hình học 10’’.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn về phương pháp dạy học toán

và đề xuất một số biện pháp bồi dưỡng cho học sinh năng lực khám phá thôngqua việc khai thác một số bài tập toán hình học lớp 10, qua đó góp phần đổi mớiphương pháp dạy học và nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường trunghọc

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là một số vấn đề lý luận và thực tiễn vềphương pháp dạy học toán và những ứng dụng của chúng vào việc bồi dưỡngnăng lực khám phá kiến thức mới cho học sinh, thông qua việc dạy học giải bàitập toán hình học lớp 10

4 Giả thuyết khoa học

Trong quá trình dạy học giải bài tập hình học 10, nếu xây dựng được một sốbiện pháp bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh một cách hợp lý thì sẽ gópphần nâng cao chất lượng dạy học hình học 10 nói riêng và dạy học môn toánnói chung

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề phương pháp dạyhọc toán.

5.2 Tìm hiểu một số thành tố ảnh hưởng đến việc bồi dưỡng năng lựckhám phá

5.3 Đề xuất những biện pháp có thể góp phần bồi dưỡng năng lực khámphá cho học sinh

5.4 Làm thử nghiệm sư phạm để kiểm chứng những đề xuất

6 Phạm vi nghiên cứu

6.1 Nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến việc bồi dưỡng năng lựckhám phá cho học sinh thông qua việc khai thác một số bài tập toán hình học lớp10

6.2 Phạm vi khảo sát thực tiển dạy học ở các trường trung học trong tỉnhTây Ninh

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách báo, các tài liệu chuyên mônliên quan đến một số vấn đề lý luận và thực tiễn về phương pháp dạy học toán 7.2 Nghiên cứu thực tiển: điều tra, khảo sát thực tế

7.3 Thực nghiệm sư phạm

7.4 Xử lí số liệu thực tiễn và thực nghiệm bằng phương pháp thống kêtoán học

8 Đóng góp của luận văn

8.1 Cung cấp các tư liệu về quá trình bồi dưỡng năng lực khám phá kiếnthức mới cho học sinh, làm thành một tài liệu tham khảo trong công tác chuyênmôn

8.2 Phân tích nội dung bài tập chương trình hình học lớp 10 và hệ thốnghóa các dạng toán điển hình nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực khám phá trongviệc giải bài tập toán hình học lớp 10 cho học sinh

8.3 Đề xuất được các biện pháp bồi dưỡng năng lực khám phá cho họcsinh thông qua việc dạy học giải bài tập hình học lớp 10

9 Dự kiến cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn.

Chương 2 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh

thông qua dạy học giải bài tập hình học 10

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm.

tổ hợp các đặc điểm tâm lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm

lí của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhấtđịnh tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy”, [9, tr.45]

- “…Năng lực tự nhiên là loại năng lực được nảy sinh trên cơ sở những tưchất bẩm sinh di truyền, không cần đến tác động của giáo dục và đào tạo Nócho phép con người giải quyết được những yêu cầu tối thiểu, quen thuộc đặt racho mình trong cuộc sống”, [32, tr.11]

Từ đó ta thấy rằng, trong cuộc sống nói chung, trong việc giải Toán nóiriêng, sự đáp ứng yêu cầu của các năng lực tự nhiên rất hạn hẹp Chính vì lẽ đó

đã hình thành ở con người những loại năng lực mới bằng con đường giáo dụcvào đào tạo, gọi là Năng lực được đào tạo hay Năng lực tự tạo

-“…Năng lực được đào tạo là những phẩm chất của quá trình hoạt độngtâm lý tương đối ổn định và khái quát của con người, nhờ nó chúng ta giải quyếtđược (ở mức độ này hay mức độ khác) một hoặc một vài yêu cầu mới nào đócủa cuộc sống”, [32, tr.11]

-“Năng lực của con người thường được phân ra thành các năng lực chungnhư hoạt động tổ chức - quản lý, hoạt động khoa học - công nghệ, hoạt động

giáo dục dạy học, hoạt động kinh doanh… và năng lực chuyên biệt như ca hát,thể thao, hội họa…”, [32, tr.12].

“…Năng lực biểu lộ ở tính nhanh, tính dễ dàng, chất lượng tiếp nhận vàthực hiện hoạt động, ở bề rộng của sự di chuyển, tính mới mẻ, tính độc đáo củahoạt động giải quyết những vấn đề mới…”

Ở phương Tây có nhiều quan điểm về năng lực: Theo quan điểm di truyềnhọc, trường phái A Binet (1875-1911) và T Simon cho rằng: Năng lực phụthuộc tuyệt đối vào tính chất bẩm sinh của di truyền gen Theo quan điểm xã hộihọc, E Durkhiem (1858-1917) cho rằng: Năng lực, nhân cách con người đượcquyết định bởi xã hội (như một môi trường bất biến, tách rời khỏi điều kiệnchính trị) Theo phái tâm lí học hành vi, J B Watson (1870-1958) coi năng lựccủa con người là sự thích nghi “sinh vật” với điều kiện sống [12] Nhìn chung,các quan điểm này chủ yếu xem xét năng lực từ khía cạnh bản năng, từ yếu tốbẩm sinh, di truyền của con người mà coi nhẹ yếu tố giáo dục

Các nhà tâm lí học Mác xit nhìn nhận và nghiên cứu vấn đề năng lực theocách khác Họ không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối vớinăng lực mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và học tập trong việc hình thànhnăng lực

C Mác chỉ rõ: “Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của các cá nhân khôngphải là nguyên nhân mà là kết quả của sự phân công lao động” ,[19, tr 167]

Ph Ăng ghen thì cho rằng: “Lao động đã sáng tạo ra con người”, [1, tr 641]

Trường phái tâm lí học Xôviết với A G Côvaliov [2, tr 84-127], N X.Lâytex, …và tiêu biểu là B M Chieplôv đã có nhiều công trình nghiên cứu vềnăng lực trí tuệ B.M Chieplôv coi năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân

có liên quan với kết quả tốt đẹp với việc hoàn thành một hoạt động nào đó Theoông có hai yếu tố cơ bản liên quan đến khái niệm năng lực:

Thứ nhất, năng lực là những đặc điểm tâm lí mang tính cá nhân Mỗi cá

thể khác nhau có năng lực khác nhau về cùng một lĩnh vực Không thể nói rằng:Mọi người đều có năng lực như nhau!

Thứ hai, khi nói đến năng lực, không chỉ nói tới các đặc điểm tâm lí

chung mà năng lực còn phải gắn với một hoạt động nào đó và được hoàn thành

1.2 Năng lực khám phá

Khám phá là tìm ra, phát hiện ra cái còn giấu, cái bí mật [22, tr.610].

Theo [21, tr.159], " Khám phá " là quá trình hoạt động và tư duy, có thể

bao gồm quan sát, phân tích, nhận định, đánh giá, nêu giả thuyết, suy luận…nhằm đưa ra các khái niệm, phát hiện ra những tính chất, quy luật… trong sự vậthiện tượng và mối liên hệ giữa chúng

"Khám phá" là một quá trình có mục đích của việc chiếm lĩnh tri thức,giải quyết vấn đề [13, tr.30]

Dewey đưa ra ý kiến cho rằng khám phá là “sự tìm hiểu một cách chủ động, kiên trì và kỹ lưỡng về một niềm tin hoặc một dạng kiến thức nào đó

từ những nền tảng hỗ trợ cho nó và những kết luận gần hơn với ý kiến đó”.

Với Dewey, việc đặt nền móng cho “bất kỳ một niềm tin nào đó” xảy ra trongcác quá trình khám phá: lý do, bằng chứng, sự suy diễn và sự khái quát hoá Gầnđây, các nhà giáo dục khoa học đã đưa ra các danh mục khác nhau cho quá trìnhkhám phá Một trong những danh mục đó gồm có: quan sát, đo đếm, dự báo, suydiễn, sử dụng các con số, sử dụng các mối liên hệ không gian - thời gian, địnhnghĩa theo phương pháp toán tử, xây dựng các giả thuyết, diễn giải các dữ liệu,kiểm soát các biến số, thử nghiệm và thông tin

Trong học tập, người học sẽ chủ động tham gia vào quá trình khám phá

khi phải đối mặt với “tình huống với nhiều sự lựa chọn” hoặc một vấn đề làm

các em lúng túng và gây ra một số lo lắng nhất định cho bản thân Trong phươngpháp khám phá được trình bày ở đây, việc tạo ra những tình huống cần lựa chọnhoặc những vấn đề phức tạp là cần thiết đối với các hoạt động khám phá khoahọc

Dạy học khám phá là một phương pháp hướng dẫn, định hướng nhưngkhông phải là phương pháp duy nhất được sử dụng trong dạy học Theo cáccông trình nghiên cứu về khám phá thì khám phá là sự tìm tòi tích cực, bao gồmnhiều quá trình mà qua đó biến kinh nghiệm trở thành kiến thức Có 4 kiểu

khám phá đó là:

- Khám phá quy nạp: Người học đưa được cái cụ thể thành những khái

niệm tổng quát

- Khám phá diễn dịch: Người học bắt đầu từ những ý tưởng lớn, từ những

kết luận và các khái niệm tổng quát để tìm hiểu các trường hợp cụ thể

- Dạy học tự phát hiện ( còn gọi là học tập khám phá ): Đây là khái niệm được đề xuất bởi Jerome Bruner, theo ông loại hình dạy học này là " dạy học mang tính giả thuyết " và dạy học với ý nghĩa là " thu hút học sinh tham gia" chứ không phải là "truyền đạt kiến thức " Như vậy dạy học tự phát hiện trong

các môn học là thu hút người học tham gia vào các hoạt động học nhằm giúp các

em hiểu được khái niệm và nguyên lý mới

- Giải quyết vấn đề: là một dạng khác của phương pháp khám phá Những

vấn đề thách thức được giải quyết bởi người học Việc giải quyết những vấn đềnêu trong lớp học không chỉ đưa người học tiếp cận vào những vấn đề của thếgiới thực tại mà còn đánh giá cao quá trình khám phá của người học

Các tác giả Đào Tam - Lê Hiển Dương [25, tr.41-46] đã nêu lên năng lựckhám phá kiến thức mới gồm:

1.2.1 Năng lực mô hình hoá các lớp đối tượng, hiện tượng toán học theo một số quan hệ và tính chất chung của chúng

Mô hình hoá các lớp đối tượng quan hệ của hiện thực khách quan làphương pháp chủ yếu của Toán học để nhận thức các lớp đối tượng và quan hệnói trên

Để thu được các mô hình (sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu toán để mô tả cáclớp đối tượng, quan hệ của hiện thực khách quan) đòi hỏi học sinh phải tiếnhành các thao tác, các hành động như: mô tả, so sánh, phân tích, tổng hợp, kháiquát hoá, trừu tượng hoá và chuyển di các liên tưởng, các chức năng, thái độ vàocác tình huống khác nhau Từ đó mới có thể rút ra các tính chất chung, các quan

hệ chung từ các lớp đối tượng, hiện tượng muôn màu muôn vẻ để dẫn tới cáckhái niệm mới các lí thuyết mới

1.2.2 Năng lực chuyển di chức năng hành động nhờ chuyển đổi các đối tượng của hoạt động

Năng lực này được xem xét dựa trên quan điểm của lí thuyết hoạt động,thuyết liên tưởng và các thành tố của sơ đồ cấu trúc khám phá Việc bồi dưỡngnăng lực này góp phần phát triển, mở rộng kiến thức hình học và bồi dưỡngphương thức khám phá cho học sinh từ cơ sở các kiến thức đã có, phát hiện tìmtòi kiến thức mới

1.2.3 Năng lực thể hiện các quan điểm biện chứng của tư duy toán học trong việc phát hiện khám phá kiến thức mới

Việc phát triển cho học sinh năng lực này nhằm vào các mục tiêu chủ yếusau đây:

+ Khám phá, phát triển từ một bài toán thành nhiều bài toán mới theoquan điểm một cái riêng nằm trong nhiều cái chung khác nhau;

+ Tìm tòi các kiến thức mới, bài toán mới từ nhiều trường hợp riêng theo

tư tưởng nhiều cái riêng được bao trùm bởi một cái chung, cái tổng quát;

+ Từ việc xem xét cẩn thận mối quan hệ giữa nội dung và hình thức, giúphọc sinh thấy được mối quan hệ giữa ngữ nghĩa và cú pháp của một vấn đề, họcsinh biết: sử dụng hình thức cũ thể hiện nội dung mới; dùng hình thức mới đểnguỵ trang nội dung cũ; lựa chọn hình thức thích hợp trong hoàn cảnh cụ thể

+ Cũng từ việc xem xét mối quan hệ giữa cái cụ thể (hình học phẳng) vàcái trừu tượng (hình học không gian) theo quan điểm biện chứng sẽ góp phầngiúp học sinh định hướng giải toán hình học không gian bằng cách xem xét mốiliên hệ với bài toán phẳng thông qua hoạt động chuyển các bài toán không gian

Ngoài các năng lực cơ bản của hoạt động phát hiện tìm tòi kiến thức mới

kể trên, để kiểm chứng giả thuyết, giải quyết các vấn đề chúng ta cần chú trọngrèn luyện cho học sinh năng lực tìm tòi các phương thức giải quyết vấn đề

Các thành tố của năng lực này bao gồm:

+ Năng lực huy động đúng đắn kiến thức và phương pháp để giải quyếtvấn đề, giải các bài toán

+ Năng lực huy động kiến thức và phương pháp bằng nhiều cách khácnhau

+ Năng lực biến đổi vấn đề, bài toán để dễ dàng huy động kiến thức,phương pháp và công cụ thích hợp để giải quyết vấn đề.

+ Năng lực lập luận lôgic, lập luận có căn cứ

1.3 Những vấn đề liên quan đến năng lực phát hiện phương pháp giải toán của học sinh trung học phổ thông

1.3.1 Các chức năng chủ yếu của bài toán trong dạy học toán

Ở một số nước trên thế giới, trong đó có Việt Nam, cấu trúc truyền thốngcủa SGK thường có hai phần riêng biệt: Phần lí thuyết và tiếp sau đó là phần bàitập Ngay trong phần lí thuyết, kiến thức lí thuyết (định nghĩa, định lí, côngthức…) chủ yếu vẫn được trình bày trước, sau đó là các ví dụ minh họa hay bàitập áp dụng Dạy học các kiến thức lí thuyết luôn đóng vai trò trung tâm

Cấu trúc này tương thích với mô hình dạy học truyền thống, theo đó GVthường truyền thụ trực tiếp kiến thức cho HS, cho một vài ví dụ minh họa và yêucầu HS làm các bài tập áp dụng theo đúng mẫu mà GV đã trình bày Nói cách

khác đây là kiểu dạy cầm tay chỉ việc.

Đó có thể là những nguyên nhân chủ yếu dẫn tới quan niệm khiếm khuyết

đồng nhất bài toán (problem) với bài tập (exercise), và từ đó bó hẹp chức năng

của các bài toán chỉ là củng cố và vận dụng các kiến thức đã học, rèn luyện kĩnăng, kĩ xảo hay kiểm tra kiến thức của HS

Tuy nhiên, những nghiên cứu khoa học về lịch sử toán học đã chỉ rõ rằnghầu hết các khái niệm và các lí thuyết toán học thường nảy sinh từ nhu cầu giảiquyết các bài toán trong thực tế cuộc sống, trong nội bộ toán học hay trong cáckhoa học khác Nói cách khác, tri thức toán học không phải có sẵn mà được xâydựng bắt đầu từ việc giải quyết các bài toán Như vậy, quan hệ thứ tự giữa kiếnthức lí thuyết và bài toán không còn là: Kiến thức lí thuyết→Bài tập áp dụng màchủ yếu là: Bài toán→Kiến thức lí thuyết→Bài tập áp dụng→Bài toán mới

Những nghiên cứu tâm lí học (nhất là của J.Piaget) cũng cho thấy: Việchọc tập thực sự chỉ nảy sinh trong sự tác động qua lại của chủ thể (người học)

với môi trường, trong đó người học thấy được và có nhu cầu giải quyết các bàitoán.

Từ đó, quan điểm sư phạm hiện đại về dạy học toán đang được áp dụngtrên nhiều nước là: Tập trung dạy học toán trên hoạt động của HS (phù hợp vớiquan điểm dạy toán là dạy hoạt động toán học) Chính HS tự mình xây dựng cáckiến thức toán học thông qua hoạt động giải các bài toán Nói cách khác, giảicác bài toán đóng vai trò trung tâm trong hoạt động dạy học.Chức năng của bàitoán không còn bó hẹp trong chức năng của bài tập áp dụng Sau đây chúng tôiphân tích kĩ hơn về một số chức năng chủ yếu của bài toán trong dạy học toán:

1.3.1.1 Gợi động cơ

Gợi động cơ là làm cho HS có ý thức về ý nghĩa của những hoạt động vàcủa đối tượng hoạt động [14, tr.81]

a) Gợi động cơ cho việc tiến hành nghiên cứu đối tượng mới Trong

trường hợp này, bài toán sẽ tạo ra nhu cầu và hứng thú giải quyết vấn đề đặt ra,

từ đó tạo nên động cơ đi vào nghiên cứu một đối tượng mới

b) Gợi động cơ nảy sinh khái niệm mới Trong toán học, bài toán, ý tưởng

và công cụ hình thành nên ba thành phần chủ yếu của hoạt động toán học [17,

tr.8] Trong đó, bài toán cần giải quyết là động cơ của nghiên cứu, công cụ làphương tiện giải quyết vấn đề, còn ý tưởng là yếu tố trung gian nối khớp bàitoán và công cụ Trong mối quan hệ này bài toán đóng vai trò cơ bản

Ví dụ 1 SGK Hình học 10 nâng cao hiện hành, khi xây dựng tích vô

hướng của hai vectơ từ khái niệm “cộng sinh bởi một lực” trong Vật lí:

“Giả sử một lực không đổi F tác dụng lên một vật làm cho vật đó dichuyển từ điểm O đến O’ (Hình 1.1 )

Khi đó lực F đã sinh một công A tính theo công thức

ϕ cos

Trong Toán học, giá trị A trong biểu thức trên (không kể đơn vị đo) đượcgọi là tích vô hướng của hai vectơ F và OO'”

Từ đó phát biểu định nghĩa tổng quát trong SGK

1.3.1.2 Chức năng huy động kiến thức cũ

Sự liên kết trong toán học với nhau là một chuỗi các mắt xích rất phức tạp

vì thế kiến thức cũ là một nền móng hết sức quan trọng trong quá trình hình thànhkiến thức mới Tuy nhiên không phải lúc nào HS cũng nhớ một cách đầy đủ cáckiến thức cũ này hoặc có nhớ nhưng đôi khi lại không biết vận dụng Vì thế đểgiúp cho HS đảm bảo kiến thức được liền mạch thì người giáo viên lúc nào cũngsẵn sàng huy động các kiến thức cần thiết cho dạy học nội dung mới Ở đây phảinói đến hoạt động giải các bài toán là một trong các cách thức tốt nhất để HS tìmlại được các kiến thức và kĩ năng này vì nó cho phép phát huy vai trò chủ động vàtích cực của HS

Ví dụ 2 Khi ta dạy học giải bài tập chứng minh một đẳng thức lượng giác

trong bài “Giá trị lương giác của một góc bất kì (từ 0 đến 0 180 ) ” trong chương0

F

ϕHình 1.1

trình SGK hình học 10 nâng cao Cụ thể ta đi chứng minh bài toán sau:

Để làm được bài toán này thì kiến thức cũ cần huy động cho HS như sau:

- Phương pháp chứng minh một đẳng thức, kiến thức này HS đã biết cáchlàm gần đây nhất là trong việc chứng minh một đẳng thức vectơ

- Định nghĩa giá trị lượng giác

Từ đó ta được kết quả của bài toán

1.3.1.3 Là phương tiện đưa vào kiến thức mới

Ở cấp độ thấp hơn, các bài toán cũng có thể được sử dụng như phươngtiện đưa vào kiến thức mới Kiến thức mới này nảy sinh không phải như là công

cụ mà như là kết quả của hoạt động giải quyết vấn đề

Ví dụ 3 Bài toán sau đây là phương tiện để dạy Định lí hàm số sin trong

tam giác Cho tam giác ABC vuông tại A BC a CA b AB c R, = , = , = , là bán kínhđường tròn ngoại tiếp tam giác đó

a) Tính sin , sin , sinA B C theo a b c, ,

b) Tìm mối liên hệ giữa ba cạnh, ba góc của tam giác ABC và R.

Lời giải (mong đợi).

a) Ta có sinA=sin 900 =1, sinB b, sinC c.

Hệ thức (*) có đúng đối với tam giác đều không? Hiển nhiên ta có

0

2

Việc giải các bài tập toán học không chỉ cho phép củng cố các kiến thức

và kĩ năng vừa mới được hình thành mà cả những kiến thức, kĩ năng đã có trướcđó

1.3.1.5 Chức năng phát triển các năng lực và phẩm chất tư duy

Việc giải các bài toán là một trong những cơ hội tốt nhất để rèn luyện cácthao tác tư duy như: Phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa vàphát triển các phẩm chất tư duy như: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tínhphê phán

Ngoài các chức năng nêu trên, việc giải các bài toán còn là cơ hội hìnhthành ở HS thế giới quan duy vật biện chứng, các phẩm chất đạo đức, thẩm mĩ

Nó cũng là công cụ cho phép kiểm tra đánh giá kết quả học tập của HS

Mỗi bài toán cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạyhọc nói chung, trong một bài học nào đó nói riêng đều chứa đựng một cáchtường minh hay ngầm ẩn những chức năng khác nhau Các chức năng này khôngbộc lộ một cách riêng lẻ, tách rời nhau mà trong mối quan hệ mật thiết với nhau.

Khi nhấn mạnh một chức năng cụ thể nào đó, ta muốn nói rằng, ở thờiđiểm đang xét chức năng này có vị trí trung tâm hơn so với các chức năng khác

1.3.2 Phương pháp giải Toán và năng lực phát hiện phương pháp giải Toán

1.3.2.1 Phương pháp giải Toán

Thuật ngữ Phương pháp (theo tiếng Hy Lạp “Méthodos”) là con đường,

cách thức thực hiện một kiểu nhiệm vụ nào đó, nhằm đạt tới kết quả đạt được mụcđích đặt ra

Phương pháp giải toán (hay phương pháp tìm lời giải bài toán) là cáchthức và ứng xử của người làm toán khi đứng trước một bài toán để gây nênnhững hoạt động tư duy của bản thân nhằm tìm ra lời giải của bài toán đó

Những hoạt động tư duy bao gồm: khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự,

quy nạp, phân tích, tổng hợp, so sánh… đặc biệt là suy luận có lý.

Ví dụ 4 Chứng minh rằng nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:

)OBOA

Chứng minh rằng nếu G là trọng tâm tam giác ABC, O là điểm bất kỳ thì

ta có OG = 31 ( OA + OB + OC ) Tìm kết quả tương tự cho tứ giác Khái quátlên cho đa giác n cạnh thì như thế nào?

Tương tự khi G là trọng tâm tứ giác ABCD ta cũng có:

4

OGuuur= OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur+ + +

Nếu G là trọng tâm đa giác A1A2 An thì:

uuur uuur uuuur uuuur

Như vậy thông qua khái quát hóa đã giúp HS có thể khám phá từ các bàitoán cụ thể đi đến bài toán tổng quát hơn

* Đặc biệt hóa: Là quá trình ngược lại của khái quát hóa, đặc biệt hóa là

việc chuyển từ nghiên cứu một tập đối tượng đã cho sang nghiên cứu một tậpnhỏ hơn chứa trong nó Đặc biệt hóa cũng là thao tác tư duy chuyển từ kháiniệm hay tính tổng quát về khái niệm hay tính xuất phát

Để giải bài toán, trước hết ta giải chúng cho một vài trường hợp đặc biệt,rồi thử dùng trường hợp đặc biệt này xem có giải trường hợp đặc biệt khác haytrong bài toán tổng quát không

Đặc biệt hóa là thao tác tư duy ngược lại của khái quát hóa Đặc biệt hóa làthao tác tư duy chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sangviệc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho

Nói cách khác, khi đưa thêm các điều kiện hạn chế, ta đã chuyển từ trườnghợp chung sang trường hợp riêng, đã tiến hành đặc biệt hóa bài toán ban đầu.Cho tứ giác lồi ABCD, gọi α là góc hợp bởi hai đường chéo AC và BD Chứngminh rằng diện tích của tứ giác cho bởi công thức S =

2

1 AC.BD.sin α Nêu kếtquả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc

Ví dụ 5: GV có thể tổ chức cho HS các hoạt động sau:

Kẻ các đường cao CK, AH, ta có: S∆ABD =

2

1 AH.BD

S∆BCD =

2

1 CK.BD

Tương tự CK = CO.sin α ⇒ S∆BCD =

2

1.CO.BD.sinα

- Hãy chứng minh bài toán trên:

HS chứng minh và đi đến kết quả sau: S =

2

1.AC.BD.sinα

Hoạt động 4: (Đặc biệt hoá cho góc α = 900)

- Hãy tính diện tích của tứ giác trong trường hợp AC vuông góc BD vàphát biểu bài toán

Trong ví dụ trên HS được tập luyện việc tính diện tích của tứ giác thôngqua diện tích của hai tam giác Phương pháp được truyền thụ ở đây là "quy lạ vềquen", nhờ đó HS đã chứng minh được bài toán dưới sự tổ chức các hoạt độngcủa GV

* Tương tự hóa: Là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất

và quan hệ của những đối tượng toán học khác nhau

Thường trong toán học, xét sự tương tự trên các khía cạnh sau:

- Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp là giốngnhau

- Hai hình là tương tự, nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau Nếu vaitrò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó, hoặc nếu giữa các phần tửcủa chúng có quan hệ giống nhau

Sự tương tự, do tính trực quan và dễ hiểu của nó nên được sử dụng rấtnhiều trong giải toán Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau:

Hình 1.2

Ví dụ 6 (Bài toán có cách giải tương tự) Chứng minh rằng nếu G là

trọng tâm tứ giác ABCD, O bất kỳ ta có: OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur+ + + =4OGuuur

Bài toán khi đọc ta thấy ngay giống cách giải với bài: “Nếu G là trọng tâmtam giác ABC, O là điểm bất kỳ ta có OA + OB + OC = 3OG và có cách giảitương tự

Cả hai bài toán có cách phân tích tương tự nhau:

Đối với tam giác:

Đối với tứ giác:

1.3.2.2 Vai trò của phương pháp giải toán

Có thể xem quá trình giải toán gồm hai bước chính: xác định hướng giảibài toán và thực hiện lời giải (thực hiện các thao tác trong tiến trình giải toán).Với cách hiểu về hệ thống cấp độ trong tiến trình giải toán thì hướng giải bàitoán và tiến hành giải bài toán là hai nội dung khác nhau, độc lập với nhau tuy

có quan hệ hỗ trợ nhau, có khi tiến hành đồng thời hoặc tiến hành hai quá trìnhriêng biệt:

"Giải bài toán là một dạng hoạt động sáng tạo, còn việc tìm ra lời giải làmột quá trình phát minh" [10, tr.7-10]

“Quá trình giải một bài toán là đi tìm kiếm một lối thoát ra khỏi khó khănhoặc một con đường vượt qua trở ngại; đó chính là quá trình đạt tới một mụcđích mà thoạt nhìn thì dường như không thể đạt được ngay Giải toán là khảnăng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ có ở con người; vì vậy giải toán có thểxem như một trong những biểu hiện đặc trưng nhất trong hoạt động con người”[6, tr.5]

Trước hết xác định hướng giải bài toán phải xuyên suốt quá trình giải bàitoán Tư duy logic và phép biện chứng phối hợp chặt chẽ với logic hình thứctrong quá trình xác định hướng giải bài toán cũng như phát hiện những vấn đềphải giải quyết trong bài toán Đây là khâu rất quan trọng trong tiến trình giảitoán, bởi lẽ:

- Khâu tìm được hướng giải bài toán có ý nghĩa quyết định trong tiến trìnhgiải toán, bởi vì chất lượng giải bài toán phụ thuộc phần lớn ở khâu này

- Dù có nắm vững lý thuyết giải toán cũng như phương pháp thực hành,thành thạo trong các quy trình và các thao tác có tính kỹ thuật song nếu không

có hướng giải (hoặc có nhưng không thích hợp) thì chưa thể có lời giải (hoặc lờigiải chưa tốt)

- Tiến trình giải toán gồm nhiều bước, song lao động tìm ra hướng giải bàitoán huy động nhiều trí lực và mang tính sáng tạo nhất

Xác định hướng giải bài toán là cơ sở cho việc rèn luyện năng lực giảitoán theo hướng độc lập, tự chủ, biết giải quyết các yêu cầu của bài toán, gópphần rèn luyện tư duy cho người giải toán

Để giải quyết một bài toán cần thực hiện hai bước chủ yếu, đó là tìm raphương pháp giải và thực hiện lời giải Hai bước này có khi tiến hành đồng thờinhưng cũng có khi tách thành hai quá trình riêng biệt Nếu chúng ta đưa một sự sosánh bước nào quan trọng hơn bước nào thì cũng chỉ đúng trong một chừng mựcnào đó mà thôi

Trước hết, nếu ta đứng trước một bài toán đã có phương pháp giải thì việcgiải bài toán một cách hoàn chỉnh không phải hoàn toàn đơn giản mà là cả mộtquá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: nắm vững các kiến thức cơ bản về nộidung lí thuyết lẫn phương pháp thực hành, luyện tập thành thạo các quy trình vàthao tác có tính chất kĩ thuật Những điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiênnhẫn và một phương pháp làm việc khoa học của người giải toán

Ví dụ 7 Trong tam giác ABC Chứng minh:

cotA + cotB + cotC =

R a b c abc

+ +

Giả sử HS đã biết hướng giải của bài toán này là nhận thấy được vế trái

của bài toán có sự liên hệ giữa cotA với sinA và cosA: cot cos

sin

A A

A

=

Dựa trên kiến thức đã học HS dễ dàng thấy được vấn đề là:

Theo định lý sin, ta có: sin ;

2

a A R

+ +

Vậy trong trường hợp này việc tìm ra phương pháp giải không khó, đôikhi đã khá rõ ràng, thế nhưng cái khó chủ yếu lại thuộc về kỹ thuật giải Điềunày đòi hỏi người làm toán không những sáng tạo trong quá trình tìm phươngpháp giải mà còn phải sáng tạo trong quá trình thực hiện lời giải bài toán

Vì vậy, GV cần tránh tình trạng ít ra bài tập đòi hỏi tính toán, cũng nhưkhi dạy giải bài tập chỉ dừng lại ở phương hướng mà ngại làm các phép tính cụthể để đi đến kết quả cuối cùng Tình trạng này có tác hại không nhỏ đối với HStrong học tập hiện tại và trong cuộc sống sau này Khi giải quyết vấn đề, có đisâu vào những chi tiết, những tính toán cụ thể mới sáng tỏ nhiều khía cạnh, cókhi giúp ta điều chỉnh cả phương hướng nữa GV cần thường xuyên khuyếnkhích HS tìm tòi các cách tính khác nhau và biết chọn phương án hợp lý nhất.

Từ đó chúng ta có thể thấy rằng việc rèn luyện khả năng thực hiện lời giảibài toán khi đã có phương pháp giải rất quan trọng Tuy nhiên, việc tìm raphương pháp giải mới là khâu có tính chất quyết định, bởi lẽ: Dù có kỹ thuật cao

và rất thành thạo trong việc thực hiện các thao tác và các phép tính nhưng khichưa có phương pháp giải thì người làm toán không thể có được một lời giải;mặt khác, quá trình thực hiện lời giải bài toán là quá trình lao động mang đậmtính kỹ thuật, ít có những sáng tạo lớn như quá trình tìm ra phương pháp giải;ngoài ra, coi trọng khâu rèn luyện phương pháp giải toán chính là cơ sở quantrọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập, sáng tạo của HS “Giải bàitoán là một dạng hoạt động sáng tạo, còn việc tìm ra lời giải là một quá trìnhphát minh” (G Pôlya)

Ví dụ 8 Dựng lên tam giác ABC có G là trọng tâm và nội tiếp trong

đường tròn (O;R) Chứng minh rằng: 2 2 1( 2 2 2)

9

OGuuur =R − a + +b c Trong đó a, b,

c là các cạnh của tam giác ABC

Chúng tôi đã ra cho các em HS khá, giỏi lớp 10 trường THPT Lộc Hưnggiải bài toán này, tuy nhiên rất nhiều em đã lao vào biến đổi vế phức tạp (VP),tuy các em đã cố gắng sử dụng các kiến thức như các định lí đã học nhưng điềunày khá phức tạp và rối rắm

Cái mà chúng ta đã biết là: 1( )

3

OGuuur= OA OB OCuuur uuur uuur+ + Như vậy từ cái đãbiết, kết hợp với yêu cầu của bài toán HS dễ dàng thực hiện bước tiếp theo củabài toán là bình phương 2 vế lên ta được :

9

uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuuruuur uuuruuur

OG OA OB OC OAOB OAOC OBOC

uuuruuur uuur uuur uuur

uuuruuur uuur uuur uuur

uuuruuur uuur uuur uuur

⇒2OAOBuuuruuur+2OAOCuuuruuur+2OBOCuuuruuur=6R2 −a2 − −b2 c2

99

OGuuur =  R − a + +b c  2 1 2 2 2

9

=R − a + +b c

1.3.3 Năng lực phát hiện phương pháp giải toán của HS THPT

1.3.3.1 Năng lực tìm tòi và phát hiện phương pháp giải toán

Trong DH truyền thống, theo kiểu " thầy đọc, trò chép" cơ hội tìm tòi vàphát hiện vấn đề rất hiếm hoi, chỉ có thể gặp trong một số giờ luyện tập Vớicách DH đề cao vai trò chủ thể của người thầy, HS ít khi được phát hiện vấn đềmới, mà thường lặp lại hoặc phát hiện lại vấn đề được GV đưa ra Kiểu học nhưvậy kéo dài góp phần làm mất đi khả năng tự tìm kiếm, tự phát hiện của HS nêntrái với quan niệm về việc học là sự biến đổi bản thân mình trở nên có thêm giátrị mới lấy từ bên ngoài, là một hành trình nội tại được cắm mốc bởi kiến thức,phương pháp tư duy và sự thực hiện được phê bình, để tự hiểu bản thân mình

Vì vậy trong quá trình DH, GV biết bồi dưỡng cho HS năng lực nhận biết tìmtòi, phát hiện ra được hướng giải của bài toán sẽ giúp HS rèn luyện các kỹ năng

tư duy vào thói quen phát hiện tìm tòi, luyện tập, năng lực này đòi hỏi HS phảinhận biết, hiểu, phân tích, tổng hợp, so sánh; suy xét từ nhiều góc độ có hệ

thống trên cơ sở những lí luận và hiểu biết đã có của mình, phát hiện ra các khókhăn, mâu thuẫn, các điểm chưa hoàn chỉnh cần giải quyết, bổ sung, khám phá,

dự đoán, thử nghiệm, đề xuất các giả thuyết Đây là bước khởi đầu của sự nhậnthức có tính phê phán đòi hỏi nội lực có trí tuệ cao, việc thường xuyên rèn luyệnnăng lực này tạo cho HS thói quen hoạt động trí tuệ, luôn luôn tích cực khámphá tìm tòi ở mọi nơi, mọi lúc, mọi trường hợp và với nhiều đối tượng khácnhau

Ví dụ 9 CMR G là trọng tâm của tứ giác ABCD khi và chỉ khi:

là: G là trọng tâm ABC MG = (MA + MB + MC)1

3

∆ ⇔uuuuur uuuuur uuuur uuuur , với M bất kỳ Rồi cho HSsuy nghĩ điều đó có đúng không đối với tứ giác, GV cần cho HS phân biệt sự giốngnhau và khác nhau của bài toán trong tam giác và trong tứ giác Trên cơ sở đó, dựđoán phương pháp chứng minh bài toán mới và phát biểu vấn đề cần chứng minhtheo 2 chiều sau:

+ Chiều thuận: giả sử G là trọng tâm tứ giác ABCD, M là điểm bất kỳ Ta

chứng minh MG = (MA + MB + MC + MD)1

4

uuuuur uuuuur uuuur uuuur uuuuur

(1)

+ Chiều đảo: giả sử đã có MG = (MA + MB + MC + MD)uuuuur 14 uuuuur uuuur uuuur uuuuur với M là điểm bất

kỳ Ta cần chứng minh G là trọng tâm tứ giác ABCD Cuối cùng giáo viên hướng dẫn

HS tự giải quyết vấn đề bằng phép chứng minh bài toán theo hai chiều đã nêu ở trên

Có thể nói năng lực tìm tòi và phát hiện phương pháp giải toán đòi hỏingười học phải tư duy sáng tạo ở những mức độ khác nhau Tư duy sáng tạo sẽnẩy sinh và trở thành thành tố của năng lực tìm tòi và phát hiện phương phápgiải toán khi người học đứng trước một bài toán hàm chứa trong nội dung một

tình huống có vấn đề và tìm phương thức giải quyết Trong quá trình phát triểnnăng lực phát hiện phương pháp giải toán cần chú ý khai thác tiềm năng sáng tạo

và rèn luyện khả năng đó qua việc tìm kiếm các hướng giải khác nhau của cùngmột bài toán nhất định Ta thấy rằng: Khi giải toán được xem như một quá trìnhthì chiến lược, các phương pháp, quy trình thủ thuật mà HS sử dụng để giải toán

sẽ là những điều quan trọng Chúng là những bộ phận cơ bản của quá trình giảitoán, được đặc biệt chú ý trong chương trình môn toán

Khi giải toán được xem như một kĩ năng cơ bản thì khả năng lựa chọn cácphương pháp giải và các kỹ thuật giải là những vấn đề then chốt mà HS phải họckhi giải quyết vấn đề

1.3.3.2 Các đặc trưng của năng lực phát hiện phương pháp giải toán,

[17 tr.21]

- Về lĩnh vực cảm xúc: Khát vọng phát hiện được phương pháp giải vàgiải được bài toán, thể hiện ở sự kiên trì về mặt ý chí và hứng thú, say mê tronggiải toán

- Về lĩnh vực nhận thức.

+ Năng lực nhận thức và tổ chức hoạt động nhận thức trong việc phát hiện

phương pháp giải toán: Hiểu bài toán (thu nhận, xử lý, lưu trữ thông tin ), lĩnhhội được tiến trình giải một bài toán

+ Khả năng xây dựng kế hoạch giải và tiến hành chiến thuật giải một bàitoán

+ Năng lực khái quát hóa, phát hiện các vấn đề mới trong các bài toánquen thuộc Từ đó đề xuất và sáng tạo các bài toán mới, các phương pháp giảimới

- Về lĩnh vực trí tuệ

+ Năng lực phát hiện những thuộc tính chung, bản chất tạo nên nội hàm

của bài toán thông qua các hoạt động trí tuệ như so sánh, tương tự, khái quát hoáđặc biệt hoá, trừu tượng hoá, cụ thể hoá,…

Ví dụ 10 Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng

∆:4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1:x + y + 4 = 0 và ∆2

:7x- y + 4 = 0

Trước khi HS giải bài tập này thì các em đã biết về một số công thức như:công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Trong mặt phẳngOxy cho đường thẳng D có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M0(x0;y0).Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng D, kí hiệu là d(M0, D), được tính bởi

x y

=



 = −



x y

Do đó có 2 đường tròn (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Từ cách giải bài toán này ta nhận thấy đây không phải là bài toán lậpphương trình đường tròn một cách áp dụng công thức về phương trình đườngtròn đơn thuần, mà nó là sự mở rộng của bài toán về lập phương trình đường

tròn, có sự liên hệ đến công thức tính khoảng cách: ( ) 0 0

+ Năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán, tri giác hệ thống hóa kiến

thức về giải toán, năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn có thiên hướng vềthao tác với các số liệu về giải toán: ký hiệu, dấu, số, dữ liệu, điều kiện, giảthiết, kết luận Biểu lộ sự phát triển mạnh, linh hoạt của tư duy lôgic, tư duy sángtạo Có tốc độ tư duy nhanh biểu hiện rõ nét của tư duy độc lập, mềm dẻo trong giảitoán

+ Năng lực hình thành và diễn đạt nội dung các bài toán theo các hướngkhác nhau, thông qua hoạt động sử dụng ngôn ngữ kí hiệu và các qui tắc toánhọc, đặc biệt là biết cách hướng tới cách diễn đạt có lợi cho bài toán đang cầngiải quyết, hoặc cách diễn đạt mà nhờ đó sẽ cho phép nhận thức bài toán mộtcách chính xác hơn, nhằm tránh những sai lầm, thiếu sót trong suy luận và tínhtoán

Ví dụ 11 Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có 3 cạnh:

Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ: 5 2 0 (7;1)

Ta gọi phương trình tổng quát của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC códạng: x2 +y2 =2ax+2by c+ =0 ( )C

Chúng ta có thể diễn đạt lời giải theo hướng khác như sau: ( )∆1 là đườngtrung trực của AB và đi qua M1(2;0), VTPT n ABr uuur= = −( 10; 2)−

Vậy Phương trình đường tròn là: (x−2)2 +y2 =26

Nhận xét về 2 hướng giải quyết vấn đề trên thì hướng giải quyết thứ nhấtquen thuộc với nhiều HS hơn hướng giải quyết thứ hai, chính vì thế nên hướngcho học sinh giải bài toán này theo hướng thứ nhất để kĩ thuật tính toán của các

em chính xác hơn, nhanh hơn và ít gặp nhiều sai sót hơn trong quá trình lập luậncũng như việc tính toán khi làm toán

Ví dụ 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy cho hai điểm

A(4;0); B(0,3) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, có tâm I cách đều 3 cạnhcủa tam giác ABC và đặt biệt trong bài này tam giác đã cho có hai cạnh nằmtrên hai trục tọa độ, do đó tâm I của đường tròn nội tiếp này cách đều hai trụctọa độ, nên ta nghĩ ngay đến vấn đề cần giải quyết như sau:

Gọi I(a,b) và d(I;Ox) = b = d(I;Oy) = a

Vậy a = b, nên tâm I(a,b) thuộc góc phần tư thứ nhất Vì đường tròn tiếpxúc với Ox và Oy nên a = b = r Đến đây ta suy nghĩ đến việc tính r, vì nếu như

có được r thì coi như ta đã có được a và b

Để tính được r ta nghĩ ngay đến công thức tính diện tích của tam giác cóliên quan đến r Nên theo công thức tính diện tích S = pr Từ công thức này ta dễdàng tính được p và S.

Ta có: p = 3 4 5 6

2

+ + = Mặt khác ta có: 1.3.4 6

2

S = = (Vì tam giác ABC

là tam giác vuông tại O) Vậy r = 1, I(1,1)

Suy ra phương trình đường tròn nội tiếp tam giác là: (x−1)2 +(y−1)2 =1Đối với bài toán này chúng ta có thể diễn đạt lời giải theo hướng khác nhưsau: Ta có góc tọa độ O là một đỉnh của tam giác OAB và theo giả thuyết nên ta

dễ dàng có được đường phân giác trong góc AOB là đường thẳng y = x Đến đâynếu có được một trong hai đường phân giác trong của góc A hoặc góc B thì ta dễdàng tìm được tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của haiđường phân giác trong Nên ta đi tìm phân giác trong góc B của tam giác ABC:

Vậy xét tọa độ điểm O với vế trái ∆1 ta có: 0 + 0 – 12 < 0

Tọa độ điểm A với vế trái ∆1 ta có: 8.4 + 0 – 12 = 0 > 0

Vậy đường ∆1 là phân giác trong nên tâm I có tọa độ là nghiệm của hệ:

+ Năng lực nắm bắt, đưa ra những qui tắc thuật giải, tựa thuật giải từ những tiền đề cho trước.

Ví dụ sau khi HS đã được học các quy tắc sau:

- Với ba điểm A , B , C tuỳ ý ,ta có:

- AC CBuuur uuur= (quy tắc trừ )

- Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD ACuuur uuur uuur+ = (quy tắc hình bình hành)

-I là trung điểm của đoạn thẳng AB ta có: IA IB ouur uur r+ =

-I là trung điểm của đoạn thẳng AB, với mọi M ta có: MA MBuuur uuur uuuur+ =2MI

-G là trọng tâm tam giác ABC ta có: GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0

G là trọng tâm tam giác ABC, với mọi M ta có: MA MB MCuuur uuur uuur+ + =3MGuuuur

Học sinh có thể phát hiện ra được quy tắc tính biểu thức vectơ bằng cách áp dụng quy tắc ba điểm vừa mới học

Ví dụ 13 CMR: uuur uuur uuur uuur uuur uuurAD BE CF CD AE BF+ + = + +

Đối với bài này HS cũng áp dụng các quy tắc đã học như đã nêu ở trênnhưng hình thức thực hiện không phải là nhóm các cặp vectơ thỏa mãn quy tắclại với nhau mà ta thực hiện theo chiều ngược lại của quy tắc nêu ở trên là: phântích một vectơ thành hai vectơ hoặc nhiều hơn nhưng vẫn thõa mãn theo quy tắc

đã nêu ở trên Do đó ta có VT của bài toán này đuộc phân tích như sau:

=(uuur uuur+ ) (+ uuur uuur+ ) (+ uuur uuur+ )

VT AE ED BF FE CD DF

=(uuur uuur uuurAE BF CD+ + ) (+ uuur uuur uuurED DF FE+ + )

Đến đây ta nhóm các véctơ giống VP lại với nhau, còn những vectơ nào

không giống thì ta tiếp tục thực hiện phép tính giống như ví dụ ở trên, khi đó tađược kết quả như mong đợi

=(uuur uuur uuurAE BF CD+ + ) (+ uuur uuurEF FE+ ) =(uuur uuur uuurAE BF CD+ + ) (+ uuurEE)

=(uuur uuur uuurAE BF CD+ + ) 0+r =(uuur uuur uuurAE BF CD+ + ) =VP

Ví dụ 14 Cho hình bình hành ABCD ,tâm O.Gọi G là trọng tâm tam giác

ABC Chứng minh rằng:

a) 4uuur uuur uuurAD AC AB+ + =2uuurAC+3uuurAD

b) GA GCuuur uuur+ +2OG Ouuur ur=

Đối với bài toán này ta áp dụng quy tắc đã học ở trên đó là quy tắc hìnhbình hành

a) 4uuur uuur uuurAD AC AB+ + =2uuurAC+3uuurAD

3

VT = uuur uuur uuur uuurAD AD AC AB+ + + =3AD AC ACuuur uuur uuur+ + =3uuurAD+2uuurAC VP=

b) GA GCuuur uuur+ +2OG Ouuur ur=

Ta có O Là trung điểm AC với mọi G bất kì ta có : GA GCuuur uuur+ =2GOuuur

VT=GA GCuuur uuur+ +2OGuuur=2GOuuur+2OGuuur =2(GO OGuuur uuur+ )= =O VPur

Ví dụ 15 Cho ∆ABC, lấy M, N, P trên các đường thẳng BC, CA, AB saocho: MC 2MB, NAuuur= uuur uuur= − 2NCuuur và PAuuur= −PBuuur Chứng minh: M,N,P thẳng hàng

Ta thấy mọi vectơ đều phân tích được 2 vectơ không cùng phương (cơ sởcủa không gian vectơ hai chiều)

Ta cần chứng tỏ rằng: MN kMPuuuur= uuur, vậy chỉ cần phân tích MN, MP uuuur uuur

theomột cơ sở, chẳng hạn ABuuur và ACuuur Theo cách trên ta có:

Tóm lại đặc trưng của năng lực phát hiện phương pháp giải toán: Là tập

hợp tất cả những nét riêng biệt và tiêu biểu được xem là dấu hiệu để phân biệtvới các năng lực khác, gồm:

- Năng lực phát hiện phương pháp giải toán được đặc trưng bởi hoạt động

tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo của chủ thể (HS); tận lực huy động tri thức vàkinh nghiệm trong tiến trình giải toán để đi đến lời giải; để tìm được hướng giảiquyết bài toán đã cho và xác định hướng giải các bài toán mới có từ bài toán banđầu

- Năng lực phát hiện phương pháp giải toán của chủ thể (HS) luôn thể hiện

ở "trạng thái động" ở tính linh hoạt, mềm dẻo thích ứng của tư duy và thay đổicác phương thức khác nhau để giải bài toán

- Năng lực phát hiện phương pháp giải toán được đặc trưng bởi tính hướngđích và tính kết quả cao: Phát hiện, tiếp cận vấn đề, áp dụng mọi hướng giải để điđến kết quả của bài toán

Tiến trình giải một bài toán cụ thể có 3 mức độ của năng lực phát hiệnphương pháp giải toán:

+ Mức độ 1: Tập trung vào sự đáp ứng những yêu cầu mà bài toán đặt ra + Mức độ 2: Tập trung vào sự lựa chọn những tri thức và phương pháp

giải toán thích hợp; việc sử dụng có hiệu quả những tri thức và phương pháp đó

để hoàn tất tiến trình giải toán

+ Mức độ 3: Tập trung vào việc tiên liệu những điều kiện đã làm nảy sinh

các vấn đề, tình huống vấn đề, các nhu cầu hoặc khó khăn, mâu thuẫn cần giảiquyết trong bài toán và việc "phán xét", cách tiếp cận, giải quyết các vấn đề trongtiến trình giải toán

1.4 Một số yếu tố ảnh hưởng đến năng lực khám phá của học sinh trung học phổ thông

1.4.1 Ý thức học tập, nhu cầu hiểu biết kiến thức và động cơ nhận thức của bản thân HS

Mặc dù HS chỉ phát hiện lại những điều mà loài người đã biết, đã tích lũyđược Nhưng trong học tập HS cũng phải được khám phá ra những điều mới sovới bản thân HS sẽ thông hiểu, ghi nhớ lâu, vận dụng linh hoạt những gì màmình nắm được thông qua hoạt động chủ động khám phá của chính mình Quátrình khám phá của HS có sự định hướng, hướng dẫn của GV, do đó kết quảkhám phá sẽ nhanh và hiệu quả hơn, chứ không phải mò mẫm như trong nghiên

cứu khoa học Nhưng ý thức học tập, nhu cầu hiểu biết kiến thức và động cơ nhận thức của bản thân HS cũng ảnh hưởng đến năng lực khám phá của học

sinh

Ý thức là một trong hai phạm trù thuộc vấn đề cơ bản của triết học Nó làhình thức cao của sự phản ánh của thực tại khách quan, hình thức mà riêng conngười mới có Ý thức của con người là cơ năng của cái “khối vật chất đặc biệtphức tạp mà người ta gọi là bộ óc con người” (Lênin) Tác động của ý thức họctập đối với chất lượng học tập là vô cùng to lớn Nó không những là kim chỉnam cho hoạt động mà còn là động lực của thực tiễn Sự trưởng thành hay sa sútcủa HS phụ thuộc vào vai trò chỉ đạo của ý thức.

Ý thức học tập, nhu cầu hiểu biết và động cơ nhận thức có ý nghĩa quyếtđịnh trong quá trình hình thành và phát triển năng lực khám phá ra phương phápgiải toán của HS Suy cho cùng, chất lượng học tập phải là kết quả trực tiếp của

sự nỗ lực của chính bản thân người học Nếu người học không xác định được vaitrò quyết định của mình trong sự thành bại của sự học thì không bao giờ thànhcông Chỉ khi đã xác định được mục đích và động cơ học tập đúng đắn, HS mới

có thể phát huy được "nội lực" trong học tập, từ đó kết hợp các yếu tố "ngoại lực"khác để tổ chức các hoạt động diễn ra một cách hợp lý và thu được kết quả cao

1.4.2 Kiến thức hiện có của bản thân HS, đặc biệt là kiến thức phương pháp giải toán

Kiến thức là cơ sở để HS rèn luyện kỹ năng và thực hiện các nhiệm vụkhác Không nên hiểu là quan trọng hơn các nhiệm vụ khác mà chỉ có nghĩa lànếu HS không vốn kiến thức tương đối thì không thể thực hiện được các nhiệm

vụ khác Tuy nhiên chúng ta tránh tình trạng gia tăng khối lượng kiến thức quánhiều, nhồi nhét kiến thức cho HS Để việc học có hiệu quả thì người học dưới

sự dẫn dắt của người thầy phải tự trang bị cho mình vốn kiến thức tối thiểu đủ

để có thể tự nghiên cứu các vấn đề liên quan đến phương pháp giải toán

Với tư cách là cơ sở của giáo dục toán học, kiến thức có quan hệ mật thiếtvới việc thực hiện các nhiệm vụ môn toán Đặc biệt những kiến thức phươngpháp giải toán liên quan chặt chẽ với việc rèn luyện kỹ năng, những tri thứcnhiều khi có liên hệ với việc tạo động cơ hoạt động, điều đó cũng ảnh hưởng tớiviệc rèn luyện kỹ năng, phát triển năng lực khám phá của HS

1.4.3 Năng lực tư duy sáng tạo

Theo từ điển tiếng Việt, “sáng tạo” là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn

đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sáng tạo gồmhai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cáicũ) Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kì hoạt động nào của xã hội loàingười Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quátrình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là mộtnăng lực của con người

Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo.Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là nhữngđiều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khácnhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năngtạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ", [15]

Theo Tôn Thân: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ýtưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao" Và theo tác giả "Tưduy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có.Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giảipháp Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cánhân đã tạo ra nó”, [24]

Trong cuốn: "Sáng tạo toán học", G Polya cho rằng: "Một tư duy gọi là

có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi

là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán saunày Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn,

có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ:lúc những cố gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụngcho những bài toán khác Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cáchgián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì

đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả"