- Hướng 3: Đối với HS khá giỏi, GV có thể hướng dẫn cho các em dự đoán, suy luận theo hướng thay các hệ số của vectơ từ hằng suy biến.
2.2.5. Biện pháp 5: Chú trọng cho học sinh phát hiện và sửa chữa sai lầm trong quá trình dạy học giải bài tập toán
lầm trong quá trình dạy học giải bài tập toán
2.2.5.1. Một số kiểu sai lầm của học sinh khi giải toán hình học 10 a) Sai lầm khi sử dụng định nghĩa, công thức, định lý
Một số học sinh do không nằm vững định nghĩa, công thức, định lý đã sai lầm trong giải toán, mặc dù hướng giải bài toán đã được xác định. Một số sai lầm thường thấy:
- Hai vectơ bằng nhau, chỉ chú ý đến độ dài, quên yếu tố cùng hướng. Ví dụ như cho tam giác ABC đều ta có uuur uuur uuurAB BC CA= =
- Góc giữa hai vectơ, học sinh thường quên yếu tố cùng gốc. Ví dụ cho tam giác ABC đều ta có (uuur uuurAB BC, ) =600
- Do không nắm vững lý thuyết về góc giữa hai vectơ nên khi sử dụng tích vô hướng lại mắc phải sai lầm. Ví dụ như: cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh AB = a, thì uuur uuurAB BC AB BC. = . .cos450 =a2 (sai số đo góc giữa 2 vectơ (uuur uuurAB BC, )).
- Sử dụng sai độ dài vectơ tổng, vectơ hiệu:
; , ,
+ = + − = − ∀
r r r r r r r r r r
a b a b a b a b a b
b) Sai lầm do không nắm vững bản chất của vấn đề
* Sai lầm do bệnh máy móc, rập khuôn
Ví dụ 57. Học sinh đều biết rằng nếu ABCD là hình bình hành thì có
=
uuur uuur
AB DC. Nhưng phần lớn đa số học sinh khi gặp bài toán: Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(-2; -1) ; B(1;5) ; và C(3;9), tìm D để ABCD là hình bình hành, thường các em mắc phải sai lầm đáng tiếc.
Học sinh đã giải: ABCD là hình bình hành ⇔uuur uuurAB DC= , mà uuurAB=(3;6) và CDuuur= −(3 xD;9−yD). Do đó: − = = = ⇔ ⇔ ⇔ − = = uuur uuur 3 3 0 (0;3) 9 6 3 D D D D x x AB DC D x y
Học sinh có thói quen là khi giải đến kết quả cứ yên tâm là đúng!. Nếu ta tinh ý thì 4 điểm A, B, C và D thẳng hàng. Do đó bài toán này không tìm được điểm D thỏa mãn yêu cầu, vì 3 điểm A, B và C thẳng hàng.
* Sai lầm do không lường hết các trường hợp, không nắm vững bản chất vấn đề
Ví dụ 58. Cho ∆ABC đường cao AH =12 ;cm HB=4 ;cm HC =6cm. Tính số đo góc A và tính diện tích VABC.
Tóm tắt lời giải của học sinh:
Áp dụng định lí pitago cho tam giác vuông ABH và ACH ta được 4 10
=
AB và AC=6 5. Mà BC BH CH= + =10
Theo định lí cosin ta có: BC2 = AB2 +AC2 −2 .AB AC.cosA
0 100 160 180 2.4 10.6 5.cos 1 cos 45 2 ⇔ = + − ⇔ = ⇔ = A A A
Nguyên nhân sai lầm của học sinh khia giải bài toán này là: Học sinh đa phần ngộ nhận chân đường cao H nằm giữa B và C, sót trường hợp H nằm ngoài B và C. Khi đó BC=2và cos 7 8 7480 ' '' 5 2 = ⇔ ≈ A A H B C A H C B A
2.2.5.2. Giáo viên kiến tạo các tình huống dễ dẫn tới sai lầm để học sinh được thử thách với những sai lầm đó
Bản chất của vấn đề là chúng ta cần cho học sinh được thử thách với những bài toán dễ mắc sai lầm; cần phải tiếp xúc với những sai lầm thì mới sửa
chữa được sai lầm. Quan điểm này cũng phù hợp với quan điểm của J. Piaget: "Chỉ có sự hoạt động được giáo viên thường xuyên định hướng và khích lệ, nhưng vẫn luôn luôn tự do trong việc mò mẫm và ngay cả trong những sai lầm, mới có thể đưa đến sự độc lập về mặt trí tuệ" (Dẫn theo IREM GRENOBLE). Thông qua sự quan tâm, theo dõi đó, giáo viên sẽ phân loại được sai lầm, tiên lượng được những sai lầm khi nó bắt đầu xuất hiện. Và từ đó dẫn dắt học sinh đi theo con đường tránh các sai lầm. Thầy biết đặt mình vào vị trí học sinh, hình dung và bình luận các sai lầm mà học sinh thường mắc phải, biết xoay chuyển hướng suy nghĩ khi gặp khó khăn, chứ không phải đột nhiên đưa ra ngay một lời giải đúng.
Không nên nghĩ rằng một phương thức dạy học bình thường sẽ phòng tránh được những sai lầm của học sinh. Mặc dù giáo viên rất chú trọng tới những pha lập luận. Nhưng học sinh vẫn có thể phạm phải sai lầm đó. Để học sinh ý thức được những sai lầm thì họ cần phải được thường xuyên thử thách trên những sai lầm, từ đó mới rút ra những kinh nghiệm và chấm dứt cách thức trình bày của bản thân.
Một trong những phương thức cho học sinh thử thách thường xuyên với những bài toán dễ dẫn đến sai lầm trong lời giải đó là cài đặt các bài toán có chứa các “bẫy” (cho học sinh va chạm).
Ví dụ 59. Cho ∆ABC cân tại A, cạnh đáy BC = 6, bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 5. Tính độ dài cạnh bên?
Yêu cầu học sinh tìm chỗ sai trong lời giải sau:
Theo định lí sin ta có 2 sin 6 3
sin = ⇒ = 2 =10 5=
BC R A BC
A R
Nên ta có: cos 1 sin2 4 5
= − =
A A
Theo định lí cosin ta có: BC2 = AB2 +AC2 −2 .AB AC.cosA
2 2 4 2
36 2 2 . 90 3 10
5
Mong muốn học sinh tìm được nguyên sai lầm là: Có hai giá trị của góc A có giá trị sin 3
5 =
A , đó là hai góc bù nhau nên lời giải trên còn sót trường hợp 4
cos
5 = −
A , khi đó AB = 10.
Như vậy tình huống dễ mắc sai lầm ở đây là tam giác ABC tuy cân ở A nhưng có hai khả năng xảy ra đó A nhọn và A tù, nếu học sinh không để ý thì thường bỏ sót trường hợp góc A tù, dẫn đến lời giải không đầy đủ.
2.2.5.3. Phát hiện và sửa chữa các sai lầm mà học sinh thường mắc phải
Khi học toán, HS có thể mắc phải nhiều kiểu sai lầm ở nhiều mức độ khác nhau. Có khi là sai lầm về tính toán cơ học, sai lầm về suy luận, sai lầm về hổng kiến thức, áp dụng mệnh đề và định lí một cách vô căn cứ... Có những sai lầm rất “tinh tế”, khó phát hiện và thậm chí thầy giáo khó cắt nghĩa cho HS; nhưng cũng có những sai lầm khá thô. Có thể dẫn ra các sai lầm của học trong các lời giải bài toán sau:
Ví dụ 60. Cho tam giác ABC với đường cao AH. Chứng minh rằng:
.sin .sin = .sin( + )
BC B C AH B C Lời giải sai:
Ta có: BC BH HC= + (cot cot ) .sin( ) sin .sin
+
= AH B+ C = AH B C
B C
Suy ra: BCsin .sinB C AH= .sin(B C+ )
Nguyên nhân sai:
Chỉ viết được BC = BH + HC khi B và C nhọn. Nếu B tù thì lại có
= −
BC CH BH. Thói quen phổ biến của học sinh hiện nay là khi bài toán cho tam giác bất kì nhưng học sinh thường vẽ tam giác nhọn! Khi đó cần kiểm tra lời giải có phụ thuộc vào hình vẽ hay không. Để khắc phục lời giải trên cần bổ sung trường hợp B≥900. Có thể giải theo cách sau đây để khỏi phụ thuộc vào hình vẽ:
Lời giải đúng là:
Nếu kí hiệu S là diện tích tam giác. R là bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác thì: sin .sin = . .sin = = .
2 2
BC CA C S BC AH BC B C
R R R
= AH.sinA AH= sin(B C+ )
Ví dụ 61. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C):
2 2
(x −2) + −(y 1) =9, viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(5;4).
Học sinh trình bày:
Đường tròn (C) có tâm I(2;-1) và bán kính R = 3.
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng ( )∆ qua điểm M, thì phương trình của ( )∆ có dạng: y k x= ( − + ⇔5) 4 kx y− −5k + =4 0.
Điều kiện cần và đủ để ( )∆ tiếp xúc với (C) là d=(I,( )∆ =) R
2 2 2 .2 1 5 4 8 3 ( 3 5) 9( 1) 15 1 + − + ⇔ = ⇔ − + = + ⇔ = − + k k k k k k
Vậy có một tiếp tuyến qua M có phương trình là: 8x−15y+100 0= . Nếu nhìn qua ta thấy là lời giải đúng chặt chẽ, và có duy nhất một tiếp tuyến. Nhưng nếu để ý kỹ hơn thì ta thấy điểm M nằm ở ngoài đường tròn, như vậy sẽ có 2 tiếp tuyến qua M, vậy còn một tiếp tuyến nữa ở đâu? và lời giải sai ở điểm nào?
Giáo viên giúp học sinh thấy có 1 lớp đường thẳng không có hệ số góc, đó là các đường thẳng song song với trục Oy, trong đó có đường thẳng x = 5 là tiếp xúc với (C), vì vậy khi dùng hệ số góc phải xét trường hợp đặc biệt gồm các đường thẳng song song với trục Oy.
Để tránh tình trạng trên, nên dùng phương trình tổng quát của đường thẳng ( )∆ qua 1 điểm M có vectơ pháp tuyến nr=( ; ) 0a b ≠r có phương trình:
( − +5) ( − =4) 0
a x b y . Điều kiện cần và đủ để ( )∆ tiếp xúc với (C)là:
( ) 2 2 2 2 2 2 5 4 ,( ) − − − 3 ( 3 5 ) 9( ) = ∆ = ⇔ = ⇔ − − = + + a b a b d I R a b a b a b 0 ⇔ =b hoặc 15a+8b=0
Vậy ta được 2 tiếp tuyến là ( ):∆1 x =5 và ( ):8∆2 x −15y+100 0= .
Rất nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm cho HS trong quá trình giảng dạy toán, chẳng hạn G. Polya cho rằng: chỉ ra những sai lầm của HS cùng với việc phân tích nguyên nhân của những sai lầm đó là việc làm quan trọng nhằm kích thích việc tiếp thu tri thức của HS, bởi vì
“Con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình”, A. A. Stôliar
phát biểu: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của
HS”, theo J. A. Komenxki thì: “Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho HS kém đi nếu như GV không chú ý ngay đến sai lầm đó, và hướng dẫn HS nhận ra, sửa chữa khắc phục sai lầm”.
Theo các ý kiến trên đây của các nhà khoa học thì phải thừa nhận rằng, trong giải toán bất kì người nào cũng từng phạm sai lầm, còn những vướng mắc và khó khăn thì thường xuyên. Không có ai mà chưa từng bao giờ gặp sai lầm trong làm toán. Như vậy có thể khẳng định rằng, các sai lầm của HS khi giải toán là cần và có thể khắc phục được. Chức năng của người thầy giáo là kịp thời vạch rõ để HS thấu hiểu sai lầm đó sao cho về sau không còn tiếp diễn. Một trong những năng lực của người thầy là đánh giá đúng mức sai lầm của HS đã
M
x y
mắc, không nên cân bằng các mức độ. Tất nhiên, sửa sai phải kịp thời nếu không thì sai lầm sẽ nối tiếp sai lầm và thậm chí còn hình thành nhận thức lệch lạc.
2.3. Kết luận chương 2
Trong chương này luận văn đã đề xuất ra được một số biện pháp nhằm bồi dưỡng cho học sinh năng lực khám phá thông qua dạy học giải bài tập hình học. Luận văn đặc biệt quan tâm đến cách thức đặt câu hỏi để khai thác tình huống thông qua các bài toán thực tiễn.
Chương 3