M I= A B+
2.2.2. Biện pháp 2: Thiết kế và tổ chức các tình huống dạy học theo định hướng tăng cường hoạt động dự đoán cho học sinh
định hướng tăng cường hoạt động dự đoán cho học sinh
2.2.2.1. Quan niệm về dự đoán, suy luận
a. Dự đoán
Theo [33] “Dự đoán” là đoán trước điều, sự việc sẽ xảy ra như: Dự đoán tình hình, dự đoán khá chính xác.
Theo Đào Văn Trung mô tả: Dự đoán là một phương pháp tư tưởng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học. Đó là căn cứ vào các nguyên lý và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưa biết. Hay, dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận [30, tr.242].
Không chỉ trong khoa học mà trong cuộc sống, dự đoán cũng được ứng dụng rất rộng rãi: đó là các kết luận quy nạp của các nhà Vật lý, những kết luận gián tiếp của Luật gia, những dẫn chứng tài liệu của các nhà Sử học, các kết luận thống kê của các nhà Kinh tế (cổ phiếu, … dự đoán để đầu tư). Nói chung, "để trở thành nhà Toán học giỏi hay người đánh bài cừ, hoặc một chuyên gia xuất sắc trong mọi lĩnh vực, bạn cần biết dự đoán tài" [7, tr.150].
Dự đoán có vai trò quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống, vậy liệu có cách nào học được dự đoán hay không? Theo G. Polya thì trừ những người được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải học tập để có được năng khiếu dự đoán đó. Quá trình dự đoán có kết quả khi phán đoán mà chúng ta đưa ra gần với chân lý nhất, để làm được điều đó "các bạn cần nghiên cứu dự đoán của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và như vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dự đoán sai và các dự đoán đúng. Với kinh nghiệm đó trong tiềm thức, các bạn sẽ có thể phán đoán một cách có cơ sở hơn, xem dự đoán nào đúng và dự đoán nào sai" [7, tr.150,151].
Dự đoán là một hình thức tư duy trong đó đoán ra một điều là một dấu hiệu nào đó thuộc về hay không thuộc về một đối tượng xác định. Trong toán học dự đoán là đoán trước những kết quả trong quá trình đi tìm kiến thức mới, hay đoán trước những phương pháp trong quá trình giải toán. Những điều dự đoán đó có thể đúng hoặc sai.
Các nhà tâm lý dạy học P. I. Pitcaixtui, B. I. Côrôtiaiv khẳng định: tương ứng với hai loại hoạt động nhận thức tái tạo và tìm tòi, sáng tạo của học sinh thì có hai loại thông tin và dự đoán. Thông tin tái hiện là những tri thức được học sinh lĩnh hội ở dạng có sẵn, thông qua việc ghi nhận và tái hiện lại thông tin dự đoán là các tri thức học tập được học sinh khôi phục lại bằng cách thiết kế, tìm kiếm và kiểm tra tính đúng đắn của điều dự đoán. Trong khi hoạt động tái hiện chỉ có duy nhất một phương án và việc thực hiện nó chính xác luôn dẫn đến kết quả, thì hoạt động tìm tòi và sáng tạo lại dựa vào những thông tin ẩn tàng, chưa tường
minh. Học sinh sẽ kiểm tra điều dự đoán trên cơ sở tìm kiếm và lựa chọn phương án có khả năng nhất trong hệ thống kiến thức đã có của mình và do đó nhiều phương án chưa được kiểm tra nên thường có khả năng kết quả dự đoán và thu nhận khác nhau.
b. Suy luận
Theo [33] “Suy luận” có thể theo hai hướng. Một là, rút ra một hay nhiều phán đoán mới trên cơ sở một hay nhiều phán đoán có sẵn, có suy luận logic.
Hai là, suy ra điều này, điều nọ một cách thiếu logic, thiếu căn cứ thực tế.
Theo [11] “Suy luận” là nhận thức hiện thực một cách gián tiếp, đó là quá trình tư duy xuất phát từ một hay nhiều điều đã biết, người ta đi đến những phán đoán mới.
Theo [29, tr.17] “Suy luận” là nhận thức hiện thực một cách gián tiếp. Đó là quá trình tư duy, xuất phát từ một hay nhiều điều đã biết để đi đến những phán đoán mới”
Theo [4, tr.58] “Suy luận” là rút ra mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã có.
Có hai loại suy luận: Suy luận chứng minh (hay còn gọi là suy diễn, suy luận diễn dịch) và suy luận có lý. "Chúng ta củng cố các kiến thức toán học của mình bằng các suy luận chứng minh, nhưng chúng ta hỗ trợ các giả thuyết của mình bằng các suy luận có lý. Một chứng minh toán học là suy luận chứng minh còn các kết luận của các nhà Vật lý, những bằng chứng gián tiếp của các Luật gia, những dẫn chứng tài liệu của các nhà Sử học, kết luận thống kê của các nhà Kinh tế đều thuộc suy luận có lý" [7, tr.5]. Vậy sự khác nhau giữa hai kiểu suy luận này là gì?
Suy luận chứng minh là suy luận theo những quy tắc (quy tắc suy diễn) xác định rằng, nếu tiền đề (các tiền đề) là đúng thì kết luận rút ra cũng đúng. Các quy tắc suy diễn nói đến ở đây là quy tắc suy diễn của Logic hình thức: từ hai mệnh đề phức hợp A, B, nếu mệnh đề A ⇒ B là hằng đúng (bất kể các mệnh đề thành phần P, Q của A, B lấy giá trị gì) thì ta nói đã có một phép suy diễn với
quy tắc suy diễn là A
B. Trong suy luận, các quy tắc thường được sử dung là
Modus ponens, Modus tollens kết luận từ mệnh đề phổ biến, lựa chọn hội, bắc cầu của phép kéo theo … Muốn suy luận đúng nhất định phải tuân theo các quy tắc suy luận đó.
Khác với suy luận chứng minh, suy luận có lý không tuân theo một quy tắc tổng quát nào để từ những tiền đề đã có, rút ra được một kết luận xác định. Nếu các tiền đề là đúng thì không thể nói rằng kết luận là đúng hay sai [4, tr.60]. "Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được và dứt khoát. Suy luận có lý là suy luận bấp bênh, phải tranh cãi và có điều kiện" [7, tr.5].
2.2.2.2. Phân tích vai trò, ý nghĩa của dự đoán, suy luận qua thực tiễn giải toán.
Nhà sư phạm người Mỹ G. Polya nhấn mạnh trong cuốn sách của ông: "Toán học được coi như là một môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên, đó mới chỉ là một khía cạnh của nó. Toán học hoàn chỉnh, được trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh xem như chứng minh thuần túy, chỉ bao gồm các chứng minh. Nhưng toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại, bạn phải dự đoán về một định lý của toán học trước khi bạn chứng minh nó, bạn phải dự đoán về ý của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết. Bạn phải đối chiếu các kết quả quan sát và suy ra những điều tương tự. Bạn phải thử đi thử lại ..." [30, tr. 6].
G. Polya cũng đã phát biểu: "Tôi không tin rằng có một phương pháp đảm bảo tuyệt đối việc học thông thạo cách dự đoán" [7, tr.7]. Những quy tắc, phương pháp tìm đoán chỉ là những gợi ý giải quyết vấn đề chứ không phải là những thuật giải đảm bảo chắc chắn dẫn tới thành công. Vì vậy, khi cho học sinh sử dụng chúng cần rèn luyện cho họ tính mềm dẻo, linh hoạt, biết điều chỉnh phương hướng khi cần thiết. Sẽ không có gì đáng ngại nếu học sinh không thành công khi áp dụng một quy tắc, phương pháp tìm đoán nào đó, họ phải phát
hiện ra sự lầm đường, biết thay đổi phương hướng và cuối cùng đi tới thành công [15, tr.386, 387].
Các tác giả của Giáo dục học môn Toán nhận xét: “Trong việc giảng dạy và học tập môn toán, việc tách rời giữa suy luận quy nạp và suy diễn là nguyên nhân rất cơ bản của việc kìm hãm sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh” [11, tr.90].
Tuy nhiên, trong việc giảng dạy và học tập môn toán hiện nay, do chỉ chú trọng đến việc truyền thụ kiến thức nên SGK và bài giảng do giáo viên thiết kế đều trình bày cho học sinh những kiến thức toán học ở dạng có sẵn, thường không rõ ai phát minh vào lúc nào và bằng cách nào; nhiệm vụ của giáo viên thường là giảng để học sinh hiểu rõ nội dung các kiến thức đó, rồi dùng suy diễn logic để chứng minh chúng, vừa để cho học sinh tin kiến thức đó là đúng, đồng thời cũng cho họ tập làm quen với chứng minh toán học [28, tr.5].
Nhận xét trên thật không quá chút nào với thực tế dạy học toán hiện nay. Đành rằng cũng có nhiều giáo viên tâm huyết với nghề, luôn trăn trở để có các bài giảng sinh động, hiệu quả, nhưng bên cạnh đó còn không ít giáo viên vẫn chưa cải tiến được phương pháp dạy học của mình. Vẫn còn theo kiểu dạy học cũ - thầy đọc trò chép, truyền thụ một chiều. Theo kiểu dạy học này, dường như hoạt động tư duy tích cực ở học sinh không được phát huy. Chẳng hạn đứng trước bài toán:
Ví dụ 27. Cho tam giác ABC thỏa mãn S=(p a p b− )( − ). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
Giải:
Theo giả thuyết: p p a p b p c( − )( − )( − =) (p a p b− )( − )
2 2 ( )( )( ) ( ) ( ) p p a p b p c p a p b ⇔ − − − = − − ( ) ( )( ) p p c p a p b ⇔ − = − − 2 2 ( ) p pc p p a b ab ⇔ − = − + + (a b c p ab) (a b c a b c)( ) 2ab ⇔ + − = ⇔ + − + + =
2 2 2 2 2
( ) 2
⇔ +a b − =c ab⇔a +b =c ⇔ ∆ABC vuông tại C.
Qua lời giải trên ta thấy tác giả trình bày một cách đột ngột như vậy là không tốt. Học sinh không hiểu rằng tại sao giáo viên lại áp dụng công thức
( )( )( )
S= p p a p b p c− − − trong khi có rất nhiều công thức để tính diện tích của tam giác. Do đó, tri thức mà học sinh lĩnh hội được sẽ là sự ghi nhớ một cách máy móc. M. Grugliăc cho rằng: "Tri thức và lĩnh hội tri thức không phải là sự ghi lại trong đầu một cách máy móc tựa như cuốn phim ảnh. Biết một điều gì đấy không có nghĩa là chỉ lặp một cách phát biểu hay mô tả một hiện tượng hoặc một sự kiện đã tri giác được. Một tri thức loại như vậy chỉ là kết quả của sự rèn luyện trí nhớ mà thôi" (M. Grugliăc 1977, tr. 64).
Để dạy học sinh bài toán trên, giáo viên phải cho HS quan sát vế phải của
( )( )
S= p a p b− − ta thấy các yếu tố p, a, b nên ta sử dụng công thức
( )( )( )
S= p p a p b p c− − − cho vế trái? Tất nhiên, đây cũng chỉ là dự đoán. Dự đoán ấy được khẳng định hay bác bỏ tùy thuộc vào người giải toán có đi tiếp được đến "đích" hay không.
Nếu như áp dụng được S = p p a p b p c( − )( − )( − ) thì học sinh sẽ được phương trình: p p a p b p c( − )( − )( − =) (p a p b− )( − ) đúng như dạng phương
A B= mà HS đã học và biết giải, do (p a p b− )( − ) > 0, nên bình phương 2 vế phương trình ta được: p p a p b p c( − )( − )( − =) (p a− ) (2 p b− )2.
Đến đây hướng giải quyết bài toán đã được mở ra. Vấn đề còn lại là trình bày lời giải. Và tất nhiên, những dự đoán ấy không nhất thiết phải trình bày trong bài giải, nhưng nếu thiếu những thao tác tư duy ấy, chúng ta khó có tìm ra được lời giải Bài toán.
Ví dụ 28. Cho tam giác ABC, biết các trung điểm M( ;4)1 2 , N 7 7 ( ; ) 2 2 − và P( 2; )9 2
− lần lượt của các cạnh AB, AC và BC. Hãy lập phương trình tổng quát các cạnh AB, AC của tam giác ABC và suy ra góc A của tam giác ABC
Sai lầm thường gặp ở học sinh khi giải bài toán này: * Tính toán độ điểm A. Gọi A( ;x yA A)
Ta có: ( 7 ;7 ) 2 A 2 A AN − −x − y uuur 5 1 ( ; ) 2 2 − uuur MP
Trong tam giác ABC ta có AMPN là hình bình hành nên: uuur uuurAN =MP
7 5 2 2 7 1 2 2 A A x y − − − = ⇔ − = 1 ( 1;3) 3 A A x A y = − ⇔ = ⇒ −
Tương tự như thế ta tính được tọa độ điểm các đỉnh còn lại của tam giác là: B(2;5) và C(-6;4).
* Lập phương trình tổng quát cạnh AB của tam giác ABC Ta có: uuurAB(3;2)
Đường thẳng AB có: - Điểm đi qua A(-1;3) - VTCP là uuurAB(3;2)
1(2; 3)
VTPT n
⇒ ur −
Suy ra PTTQ cạnh AB là: 2(x + 1) - 3(y - 3) = 0⇔2x - 3y + 11 = 0. * Lập phương trình tổng quát cạnh AC của tam giác ABC
Ta có: uuurAC(5; 1)− Đường thẳng AC có: - Điểm đi qua A(-1;3)
- VTCP là uuurAC(5; 1)− ⇒VTPT nuur2(1;5)
Suy ra PTTQ cạnh AB là: (x + 1) + 5(y - 3) = 0⇔ x + 5y – 14 = 0. * Suy ra góc A của tam giác ABC
cosA c= os(AB AC; )= 1 2 1 2 . . n n n n ur uur = 2.1 ( 3)5 4 9. 1 25 + − + + = 2 2 Suy ra góc A=45 .0
Sai lầm của em học sinh trên là các em cho rằng góc A của tam giác ABC chính là góc tạo bởi hai đường thẳng AB và AC mà các em quên mất góc tạo bởi hai đường thẳng là góc nhọn, trong khi đó góc A của tam giác ABC có thể là góc nhọn hoặc góc tù
Trong thực tiễn dạy học toán, chúng ta bắt gặp thường xuyên những sai lầm của học sinh. Nếu như người giáo viên có ý thức theo dõi các sai lầm thì rất có ý nghĩa về phương diện sư phạm. Theo A. A. Stoliar: "Dạy toán là dạy hoạt động toán học. ở trường PT, trong môn toán có nhiều tình huống điển hình, nhưng có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học" (A. A. Stoliar 1969, tr. 7). Bởi vậy, bản chất của vấn đề là chúng ta cần cho học sinh được thử thách với những bài toán dễ mắc sai lầm; cần phải tiếp xúc với những sai lầm thì mới sửa chữa được sai lầm. Biện pháp này cũng phù hợp với quan điểm của J. Piaget: "Chỉ có sự hoạt động được giáo viên thường xuyên định hướng và khích lệ, nhưng vẫn luôn luôn tự do trong việc mò mẫm và ngay cả trong những sai lầm, mới có thể đưa đến sự độc lập về mặt trí tuệ" (Dẫn theo IREM GRENOBLE). Thông qua sự quan tâm, theo dõi đó, giáo viên sẽ phân loại được sai lầm, tiên lượng được những sai lầm khi nó bắt đầu xuất hiện. Và từ đó dẫn dắt học sinh đi theo con đường tránh các sai lầm. Tuy nhiên, dẫn dắt học sinh không có nghĩa là thầy giải để trò xem mà có thể là bằng những câu hỏi mang dụng ý sư phạm nào đó để ngay trong quá trình tìm tòi lời giải, học sinh cũng thấy được rằng kiểu định hướng của mình là không đúng. Chẳng hạn, trong bài toán trên, giáo viên không nên nói ngay rằng "Em đã giải sai", mà hãy cho các em kiểm tra lời giải bằng các câu đại loại như "Em có tin chắc lời giải của mình là đúng không? Khi nào thì cosA c= os(AB AC; )?
Đúng vậy, mấu chốt của bài toán là HS phải phân biệt thật kỹ khi nào có thể coi cosA c= os(AB AC; )
Do đó cosA c= os(uuur uuurAB AC; )= 2.1 ( 3)5 4 9. 1 25 + − + + = 2 2 − Suy ra góc A = 1350
Qua hai ví dụ trên đây cũng cho thấy rằng, trong dạy học toán, cần giải quyết thỏa đáng cho học sinh những câu hỏi như: Tại sao lại áp dụng công thức này mà không phải là công thức kia? Tại sao lại biến đổi biểu thức theo kiểu này mà không phải là theo kiểu khác? Tại sao lại nghĩ tới việc kẻ đường phụ như vậy?, ... M. Crugliắc cũng có quan điểm tương tự khi cho rằng: "Sự lĩnh hội chân chính chỉ có được khi nào ngoài hiểu biết về một sự kiện và các quy luật của sự kiện ấy, còn hiểu biết rằng vì sao có hiện tượng ấy, cái gì chế ước nó, trên cơ sở khái quát hóa làm thế nào rút ra được những quy luật của nó, quy luật ấy được chứng minh và khẳng định ra sao?" (M. Crugliắc 1977, tr. 61).
Ví dụ 29. Cho tam giác ABC không đều nội tiếp đường tròn (O;R). Tìm điểm M trên (O) để tổng T = MA2 + MB2 + MC2 có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Giải:
Ta nhận thấy việc tìm lời giải của bài toán này là một vấn đề rất khó khăn, bởi vì nó không có một thuật giải cụ thể, để tìm lời giải thì người làm toán phải