- Hoạt động ngôn ngữ là hoạt động thường xuyên xảy ra trong cả quá trình dạy h ọc, do đó có nhiều cơ hội để thực hiện biện pháp 2.2.2 Tuy nhiên, c ũng cần phả
2.2.6. Biện pháp 6 Làm rõ quá trình vận dụng các phương pháp xác suất và thống kê vào thực tiễn đời sống trong dạy học Toán; trên cơ sở đó, bồ
và thống kê vào thực tiễn đời sống trong dạy học Toán; trên cơ sở đó, bồi dưỡng các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn
2.2.6.1. Mục đích của biện pháp
Thông qua biện pháp 2.2.6, bồi dưỡng cho học sinh một số thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn đồng thời làm đậm nét mạch toán ứng dụng trong nhà trường phổ thông.
2.2.6.2. Cơ sở và vai trò của biện pháp
- Các tri thức về xác suất và thống kê toán là những tri thức có liên hệ trực tiếp với thực tiễn;do đó, dạy học những vấn đề này có điều kiện đưa toán học xâm nhập sâu rộng vào đời sống của con người. Quá trình vận dụng các phương pháp xác suất
và thống kê toán vào trong thực tiễn cũng bao hàm những đặc trưng của các phương pháp vận dụng toán học vào giải các bài toán của thực tiễn.
- Hiểu theo một nghĩa nào đó, các bảng số liệu, biểu đồ, đồ thị, đa giác tần số (tần suất) ghép lớp trong thống kê và khái niệm xác suất là các mô hình toán phản ánh một sự vật, hiện tượng nào đó.
Do đó, trong dạy học những kiến thức về thống kê, xác suất nếu biết khai thác hợp lý thì có thể bồi dưỡng cho người học các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn.
2.2.6.3. Hướng dẫn thực hiện biện pháp
a) Đối với dạy học Thống kê: cái đích đạt được trong dạy học Thống kê là phải làm cho học sinh tự mình có thể giải quyết được bài toán thống kê đơn giản trong cuộc sống. Điều đó có được khi họ nắm vững và thực hiện thành thạo toàn bộ quy trình vận dụng phương pháp thống kê vào thực tiễn:
Thu thập dữ liệu Tổ chức dữ liệu Phân tích và giải thíchBiểu diễn. Dạy cho học sinh thực hiện quy trình trên, một mặt hoàn thành nhiệm vụ của chương trình bắt buộc; mặt khác,thông qua đó, bồi dưỡng cho người học nhiều thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn.
Thứ nhất, có thể xem quá trình thu thập dữ liệu là quá trình thu nhận thông tin từ tình huống thực tiễn. Bởi vậy, thông qua quá trình này có thể bồi dưỡng cho học sinh thành tố đầu tiên của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn. Tiếc rằng, công đoạn này trong chương trình dạy học hiện hành bị cắt giảm. Chúng tôi cho rằng: phải làm cho học sinh ý thức được lấy thông tin từ tập mẫu là thu nhận thông tin từ thực tiễn; thông tin đó phải trung thực và phải đại diện cho lớp đối tượng mà mình quan tâm nghiên cứu. Việc lấy mẫu số liệu, nhiều khi cũng liên quan đến công tác điều tra, do đó các em phải có kỹ năng đặt ra các câu hỏi để lấy được thông tin, không tỏ ra thiên vị. Trong [133], thể hiện rất rõ giáo dục toán học phổ thông ở Mĩ rất chú ý đến công đoạn này. Thông qua khâu này, người học được rèn luyện kỹ năng quan sát, biết lọc ra những thông tin phản ánh mối quan hệ định lượng của sự vật hiện tượng. Trong điều kiện dạy học hiện tại ở nước ta, có thể thực hiện một số
hoạt động cụ thể sau: cho học sinh thu thập số liệu hay tổ chức một hoạt động nhằm xác định mẫu số liệu về một dấu hiệu nào đó. Vấn đề này có thể xem là công tác chuẩn bị cho dạy học trên lớp. Chẳng hạn, có thể yêu cầu từng tổ (nhóm) học sinh điều tra: mức thu nhập của từng gia đình trong một tháng ở một khu phố; đo chiều dài của chiếc bàn trong phòng học, … Chú ý nhắc nhở người học trong khi lấy mẫu số liệu cần đảm bảo tính ngẫu nhiên và mang tính đại diện.
Thứ hai, việc tổ chức số liệu được thể hiện qua lập bảng phân bố tần số (tần suất) ghép lớp, cũng có thể xem các mô hình toán của tập mẫu. Nếu như mẫu có thể đại diện cho lớp đối tượng nghiên cứu thì nó có thể xem là mô hình cho vấn đề thực tế đang quan tâm. Do đó, rèn luyện cho học sinh kỹ năng lập các bảng phân bố tần số (tần suất) ghép lớp là rèn luyện cho người học kỹ năng xây dựng mô hình toán cho tình huống thực tiễn.Ở đây, một thao tác cần được bổ sung là kỹ năng phân lớp mẫu số liệu, trong dự thảo chương trình 2009 – 2020 đã đề cập đến vấn đề này (dẫn theo [13]).
Thứ ba, việc nghiên cứu trên các bảng đã trình bày ở trên chính là khai thác
chức năng của mô hình, thông qua việc tính các số đặctrưng; từ đó giải thích, đánh giá lại tình huống thực tiễn. Cần cho học sinh biết ý nghĩa của các số đặc trưng và dùng các số đặc trưng để đánh giá các khía cạnh của sự vật, hiện tượng. Thông thường, người học biết thao tác tính các số đặc trưng; tuy nhiên, không nắm được ý nghĩa của chúng và cách sử dụng cho phù hợp. Chẳng hạn, đối với mẫu có kích thước đủ lớn (thông thường n10) và độ lệch giữa các phần tử không quá lớn thì số trung bình có thể đại diện cho mẫu đang xét. Có thể đưa ra các ví dụ cụ thể sau, cho học sinh thấy được điều đó.
Ví dụ 1. Kết quả điểm kiểm tra của An về môn toán năm học vừa qua, cho bởi mẫu số liệu: (7,8, 6, 7, 7, 8, 9, 6,10,7). Điểm trung bình của An là 7,5 điểm. Ở đây, kích thước của mẫu bằng 10 (tương đối lớn) nên trung bình cộng tương đối ổn định. Bạn An được đánh giá là học sinh khá về môn toán. Nếu có kiểm tra thêm một vài bài kiểm tra nữa thì điểm trung bình vẫn dao động xung quanh 7,5, đó là ý nghĩa của trung bình cộng. Tuy nhiên, vì một lý do gì đó, An chỉ kiểm tra 2 lần được kết
quả là 9 và 10, số trung bình cộng là 9,5 nhưng với kích thước mẫu quá bé (n2) thì không thể lấy giá trị trung bình này để đánh giá An là học sinh xuất sắc về môn Toán. Cũng như vậy, cần giải thích tỉ mỉ đối với các số đặc trưng khác như trung vị và mốt. Một vấn đề nữa cần phải làm sáng tỏ cho người học là nên chọn số đặc trưng nào làm đại diện cho mẫu. Vấn đề này còn phụ thuộc vào sự quan tâm của con người đối với mẫu trong ngữ cảnh đó. Chẳng hạn, xét ví dụ sau đây:
Ví dụ 2. Một cửa hàng điện tử gia dụng bán 5 loại tivi với giá mỗi loại tương ứng là 1; 2; 3; 4; 5 (triệu đồng). Trong năm vừa qua có 1285 lượt khách đến mua các mặt hàng trên với bảng số liệu 2.11.
Giá tiền 1 2 3 4 5
Số chiếc bán được 256 350 500 104 75
Bảng 2.11
Ở đây, một chiếc tivi với giá tiền trung bình là 2,527 triệu đồng, mode của dãy số liệu trên là 3. Cục thuế thì quan tâm đến giá tiền trung bình của mỗi chiếc tivi (số trung bình cộng); còn chủ hàng thì quan tâm đến mode của dãy số liệu trên (loại ti vi giá 3 triệu đồng được mua nhiều nhất). Như vậy, đối với cục thuế, số đặc trưng đại diện cho mẫu trên là số trung bình cộng 2,527 còn đối với chủ của hàng, số đặc trưng đại diện cho mẫu số liệu là 3 (giá trị mốt) [86, tr.231].
Thứ tư, rèn luyện kỹ năng biểu diễn số liệu thông qua vẽ các biểu đồ, đa giác tần số (tần suất) ghép lớp,… cũng chính là rèn luyện kỹ năng xây dựng mô hình toán (mô hình thực nghiệm). Cái đích của giáo viên cần đạt được ở đây là học sinh phải làm cho các số liệu “biết nói”. Các biểu đồ, đồ thị mà người học biểu diễn phải làm bộc lộ được quy luật ẩn dấu bên trong các số liệu. Chú ý cần tập luyện cho người học phát hiện ra những cách biểu diễn sai, làm mất đi những thông tin quan trọng. Sau đây là một vài ví dụ.
Ví dụ 3. Bảng 2.12. chỉ ra tiền lương (tính bằng nghìn đô la) của một đội bóng chuyên nghiệp còn biểuđồ 2.1là biểu đồ tần suất mô tả bảng số liệu đó.
TT A B C 1 360 1000 2260 2 225 1000 2000 3 215 915 2000 4 120 850 5 50 650 6 50 Bảng 2.12 Biểu đồ 2.1
Hãy bình luận biểu đồ tần số hình cộtđược dựngở trên.
Biểu đồ hình cột ở trên che dấu một thông tin khá quan trọng. Cột thứ nhất tính từ trái sang phải biễu diễn 6 người có mức lương dưới 500 ngàn đô la, trong đó có đến 5 người có mức lương dưới 250 ngàn đô la. Sai lầm này có liên quan đến sự phân lớp cho mẫu số liệu. Sẽ là tốt hơn nếu biểu diễn bằng biểu đồ 2.2.
Biểu đồ 2.2
Ví dụ 4. Bảng 2.13 sau là bảng phân bố tần suất chiều cao của 50 học sinh lớp 10 trường Trung học phổ thông, còn biểu đồ hình quạt 2.3 mô tả bảng số liệu đó.
lương 500 1000 6 4 2 0 Số người
Chiều cao của 50 học sinh lớp 10
Lớp chiều cao(cm) Tần suât
[140;145) 5% [145;150) 12% [150;155) 30% [155;160) 35% [160;165) 18% Cộng 100% Bảng 2.13
Chiều cao học sinh nằm trong khoảng [155;160); Chiều cao của học sinh nằm trong khoảng [150;155); Chiều cao của học sinh nằm trong khoảng [145;150); Chiều cao của của các học sinh còn lại.
Biểu đồ 2.3.
Hãy bình luận cách biểu diễn của biểu đồ này.
Trong biểu đồ 2.3, chiều cao của học sinh trong khoảng [145;150) đã được “nhấn mạnh” hơn, chiều cao của học sinh trong khoảng [160; 165) đã bị “che khuất”, gợi cho người ta nghĩ rằng các khoảng chiều cao của học sinh còn lại không có khoảng nào vượt quá 12%.
Hy vọng của giáo viên là học sinh nhận ra được các sai lầm trong việc dựng các biểu đồ nói trên; đạt được mục đích này, chứng tỏ các em đã có khả năng phát hiện quy luật của tình huống thực tiễn phản ánh qua biểu đồ, đồ thị.
b) Đối với dạy học Xác suất: quá trình vận dụng xác suất vào trong thực tiễn có thể mô tả như sau: nắm chắc Phép thử (sự kiện, hiện tượng) Xây dựng không gian mẫu (mô hình toán của phép thử) Dựa trên không gian mẫu để đánh giá khả năng (xác suất ) xảy ra của các tình huống. Trên cơ sở đó, con người dựa vào các kết quả thu nhận được để vận dụng vào hoạt động thực tiễn của bản thân mình. Dạy học dựa vào quy trình này cũng có thể rèn luyện nhiều thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho người học.
Thứ nhất, khác với dạy học các tri thức toán học khác, ngoài những suy luận có tính logic, người học cần có sự liên tưởng đến các tình huống xảy ra trong cuộc sống.
Quá trình đó được diễn ra trong đầu người học, họ phải tự đặt ra câu hỏi: có những tình huống nào xuất hiện khi sự kiện, hiện tượng xảy ra? Rõ ràng, người học đã thực hiện hoạt động dự đoán, ước tính nhằm vào việc xây dựng mô hình định tính cho không gian mẫu.
Thứ hai, dạy học Xác suất có nhiều vấn đề liên quan đến mô hình toán: không gian mẫu là mô hình toán của phép thử; Xác suất là mô hình toán để lượng hóa khả năng xảy ra biến cố ngẫu nhiên. Do đó, dạy học phần này có cơ hội để rèn luyện một số thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn. Trước hết, thông qua dạy học xác suất ở trường Trung học phổ thông, ta có thể rèn luyện cho học sinh về mặt ngôn ngữ. Điều đó, được thể hiện qua một số hoạt động chính sau đây:
- Hướng dẫn cho học sinh dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả sự kiện (biến cố) đúng ngữ nghĩa và cú pháp. Thực tế dạy học ở phổ thông, nhiều em khi dùng ngôn ngữ của mình có thể diễn tả biến cố ngẫu nhiên sai về mặt cú pháp (Sai lầm này là cũng đã được đề cập đến trong biện pháp 2.2.2).
- Hướng dẫn học sinh “toán học hóa” các biến cố ngẫu nhiên bằng cách mô tả chúng bởi các tập hợp. Thực tiễn dạy học cho thấy rằng: nhiều học sinh (ngay cả một số giáo viên) cũng làm tắt bỏ qua công đoạn này, khi giải quyết các bài toán xác suất liên quan đến đời sống thực tiễn. Cần phân biệt cho học sinh cái biểu diễn và cái được biểu diễn, cái kí hiệu và cái được kí hiệu trong khi dạy học các vấn đề cụ thể liên quan đến chủ đề này, để góp phần bồi dưỡng các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn. Chẳng hạn, khi cho học sinh xét bài toán sau:
Bài toán. Gieo một con súc sắc trên mặt phẳng nằm ngang. Tìm xác suất để: a) Mặt có số chấm là số nguyên tố xuất hiện;
b) Mặt có số chấm không phải là số nguyên tố xuất hiện.
Giáo viên có thể yêu cầu học sinh lập bảng 2.14 sau đây để buộc người học hoạt động theo dự tính của mình.
Cái được biểu diễn (cái được kí hiệu) Cái biểu diễn ( kí hiệu) Phép thử: Gieo con súc sắc 1, 2, 3, 4, 5, 6
A: "Xuất hiện số chấm là số nguyên tố". A 2, 3, 5
Khảnăng xảy ra biến cố A là ½ P A( )1/ 2 B:Xuất hiện số chấm không phải là số nguyên tố". B 1, 4, 6
Khảnăng xảy ra biến cố B là ½ P B( )1/ 2
Bảng 2.14.
Phân biệt cái được biểu diễn, cái được kí hiệu với cái biểu diễn và cái kí hiệu giúp cho người học thấy được sự chuyển đổi giữa ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Thông qua đó, học sinh cũng thấy được rằng: chính là mô hình toán của phép thử; A, B thứ tự là các tập hợp mô tả các biến cố A, B. Trong thực tiễn dạy học, do không tách bạch rõ ràng giữa cái kí hiệu, cái biểu diễn với cái được kí hiệu, cái được biểu diễn nên nhiều học sinh đã mắc sai lầm. Các tác giả [108] đã chỉ ra nhiều ví dụ, học sinh mắc phải sai lầm liên quan đến vấn đề này.
- Giải thích cho học sinh khái niệm xác suất là mô hình toán để lượng hóa khả năng xảy ra các biến cố ngẫu nhiên. Trong một số ngữ cảnh nhất định, con số đó đồng nghĩa với “tỉ lệ” hay “khả năng”. Làm như vậy, học sinh sẽ thấy được khái niệm này “gần gũi” với cuộc sống hơn và dễ vận dụng nó vào trong thực tiễn.
- Cần chú ý rằng, các bài toán về xác suất trong chương trình phổ thông có liên quan nhiều đến các tri thức về tổ hợp và chỉnh hợp. Các tri thức này được xây dựng trên nền tảng tập hợp nên có tính phổ dụng rất lớn. Bởi vậy, khi hướng dẫn người học giải các bài toán dạng này, cần yêu cầu họ phát biểu các bài toán cùng dạng trong những ngữ cảnh khác nhau, góp phần đưa toán học thâm nhập sâu rộng vào đời sống thực tiễn. Chẳng hạn, ví dụ sau đây:
Một hộp có 13 viên bi được đánh số thứ tự từ 1 đến 13. Lần lượt lấy các viên bi ra khỏi hộp. Tính xác suất để 4 viên bi lấy ra cuối cùng không có thứ tự lần lượt là 10, 11,12,13.
Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu một bài toán cùng dạng (cùng mô hình toán học) với bài toán trên. Có thể dẫn ra ở đây một ví dụ:
Một người muốn gửi một bức thư mật có nội dung như sau: " M. you in the Park" (chữ M viết tắt của từ “Meet”). Anh ta dùng hoán vị các chữ cái để mã hóa bức thư trên. Bức thư được gọi là được mã hóa một cách bí mật nếu từ "Park" không xuất hiện ở vị trí cuối cùng của dãy các chữ cái. Anh ta mã hóa bức thư một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất bức thư được mã hóa là bí mật.
Rõ ràng thực hiện được việc làm như trên, học sinh đã buộc phải hoạt động ngôn ngữ. Không những thế, họ còn tìm ra được những hiện tượng, những sự kiện có cùng chung mô hình toán, góp phần khái quát hóa tình huống thực tiễn theo quan điểm của toán học.
Thứ ba, trong dạy học Xác suất phải làm cho học sinh thấy được mối liên hệ của nó với thống kê. Khi đưa ra những giả thiết về những con số xác suất, phải giải