Mục đích của Luận án: góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông nên việc xác định các thành tố của năng lực này là một vấn đề quan trọng. Chúng tôi đã dựa vào các cơ sở: 1) Các quan điểm của các nhà khoa học liên quan đến vấn đề nghiên cứu; 2) Quy trình vận dụng tri thức toán học của con người vào đời sống thực tiễn; 3) Năng lực toán học của học sinh phổ thông; 4) Sơ đồ 1.1 của PISA (trong mục 1.3.1) để đưa ra các thành tố của năng lực này. Trong những căn cứ được dẫn ra ở trên, ít nhiều chúng tôi đã đề cập đến; ở đây, xin bàn luận thêm về căn cứ thứ nhất là các quan điểm của các nhà khoa học về vấn đề này.
- Một điều cần được khẳng định ngay là năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh phụ thuộc hoàn toàn vào trình độ toán học và vốn hiểu biết của họ về thế giới đang chung sống. Xin bàn luận một vài vấn đề về khía cạnh thứ nhất vì nó liên quan đến việc dạy học Toán. Trình độ toán học của mỗi học sinh (được quy định thành chuẩn kiến thức, kỹ năng mà người học cần đạt được qua từng lớp, từng cấp) phụ thuộc vào năng lực toán học của cá nhân đó. Năng lực toán học là vấn đề phức tạp, còn nhiều quan điểm khác nhau về thành phần cấu trúc của nó; tuy nhiên, chung quy lại, đó là các đặc điểm tâm lýgiúp cho người học có khả năng lĩnh hội và sáng tạo các tri thức toán học. Trọng tâm của Luận án không phải nghiên cứu về năng lực toán học của học sinh phổ thông mà chỉ xem xét nó như là một điều kiện cần để phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho người học. Lứa tuổi học sinh phổ thông từ 12 đến 19 tuổi, theo J. Piaget, tốc độ liên tưởng, kết nối thông tin nhanh, dẫn đến sự thay đổi nhanh về cấu trúc nhận thức; do đó, các em phát triển nhanh về mặt trí tuệ. Hơn nữa, càng lớn tuổi, trẻ càng trải nghiệm trong cuộc sống nên khả năng phát hiện ra các mối quan hệ định tính của hiện thực khách quan càng phát triển. Mặt khác, càng lớn, hệ thống tri thức toán học của học sinh
càng được trang bị đầy đủ hơn, ngôn ngữ toán học phong phú hơn. Do đối tượng học sinh mà Luận án quan tâm nghiên cứu dàn trải tất cả các lớp của bậc Trung học phổ thông nên cho dù có cố gắng thì việc xác định các thành tố của năng lực này cũng chỉ mang tính chất tương đối.
Theo tác giả Phan Đình Diệu: “Con người rút ra được các tri thức chủ yếu là thông qua việc nghiên cứu trên những mô hình” [117]. Rất nhiều các tác giả khác như Hans Freudenthal, Pollak, Nguyễn Cảnh Toàn,… đều cho rằng quá trình vận dụng tri thức toán học vào thực tiễn chủ yếu tuân thủ theo quy trình: thế giới thực mô hình toán học xử lý mô hình thế giới thực, và điều này đã được PISA vận dụng vào việc xây dựng quá trình “toán học hóa” của học sinh phổ thông.
Theo tác giả Thái Duy Tuyên [121, tr.179 - 180], quá trình mô hình hóa nói chung gồm 3 giai đoạn: 1) Xây dựng mô hình; 2) Nghiên cứu trên mô hình; 3) Xử lí kết quả và điều chỉnh mô hình. Xin nhắc lại quan điểm của A. A. Dorođnhixưn về quá trình xây dựng mô hình toán học của các nhà khoa học chia làm 6 giai đoạn (như đã dẫnở mục 1.2.2), có thể lặp đi, lặp lại nhiều lần và có sự điều chỉnh nhất định. Các quan điểm của các tác giả Thái Duy Tuyên và A. A. Dorođnhixưn tuy hình thức có vẻ khác nhau, nhưng kỳ thực không mâu thuẫn nhau. Quá trình mô hình hóa mà tác giả Thái Duy Tuyên đưa ra là quá trình mô hình hóa nói chung, còn quá trình mô hình hóa do A. A. Dorođnhixưn đưa ra là quá trình mô hình hóa sử dụng công cụ toán của các nhà khoa học. Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh Trung học phổ thông trong dạy học toán không phải là hoạt động của các nhà khoa học nhưng có nhiều điểm tương đồng. Bởi vậy, các quan điểm trên là các tư liệu tham khảo để đối chiếu trong khi xác định các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh mà Luận án quan tâm.
Ý kiến của tác giả Nguyễn Cảnh Toàn: “Toán học (Quan hệ về số lượng) chỉ có thể xâm nhập vào vấn đề thực tế khi những hiểu biết về định tính đã đạt đến một trình độ nào đó”[116, tr.93], cũng được chúng tôi chú ý đến khi xác định các thành tố cho năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn. Sự hiểu biết về mặt định tính của tình huống thực tiễn bao gồm: hiểu biết các yếu tố có mặt trong tình huống, mối liên
hệ giữa chúng, yếu tố nào là trung tâm cần chú ý, yếu tố nào có thể loại bỏ ra khỏi suy nghĩ của bản thân. Các tác giả Bùi Thế Tâm và Trần Vũ Thiệu [103], gọi giai đoạn này là giai đoạn xây dựng mô hình định tính và đây cũng là vấn đề khó khăn nhất đối với học sinh khi phải giải quyết tình huống thực tiễn bằng công cụ toán học.
Theo tác giả Hồ Ngọc Đại [21] thì V. V. Davưdov và A. I. Vardanian rất lưu tâm đến hành động chuyên biệt của học sinh, đó là hành động mô hình hóa. Theo họ, hành động này bao gồm một chuỗi các thao tác: 1) Biến đổi tình huống để phát hiện ra quan hệ tổng quát của hệ thống đang nghiên cứu; 2) Mô hình hóa được tách ra dưới dạng đồ vật, biểu đồ hay ký hiệu; 3) Biến đổi mô hình quan hệ để nghiên cứu các tính chất của nó dưới dạng "thuần khiết"; 4) Tách và lập nên chuỗi các bài tập thực tế được giải theo phương pháp chung; 5) Kiểm tra; 6) Đánh giá.
Theo quan điểm của A. I. Marcusêvich (dẫn theo [107, tr.16]), trong dạy học toán, cần rèn luyện cho học sinh 6 kỹ năng: 1) Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản để chỉ giữ lại cái bản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tượng hóa; 2) Kỹ năng rút ra hệ quả logic từ những tiền đề đã cho; 3) Kỹ năng phân tích những vấn đề thành những trường hợp riêng, phân biệt khi nào đã bao quát được mọi khả năng, khi nào chỉ là ví dụ chứ chưa bao quát hết mọi khả năng; 4) Kỹ năng khái quát hóa các kết quả nhận được và đặt ra những vấn đề mới ở dạng khái quát; 5) Kỹ năng xây dựng sơ đồ của hiện tượng, sao cho trong đó chỉ giữ lại yếu tố cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học; 6) Kỹ năng vận dụng các kết luận từ các suy luận, biết đối chiếu các kết quả với các vấn đề đã dự kiến; kỹ năng đánh giá ảnh hưởng của các điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả. Trong các kỹ năng này, chúng tôi quan tâm đến kỹ năng thứ 5), đó là tiền đề để xây dựng mô hình toán học cho tình huống thực tiễn.
Quan điểm của nhà toán học Mĩ G. Polya: “Khi giải một bài toán mà ta thực sự hiểu thấu và hứng thú thì ta được một tài sản quý giá là một lược đồ, một mô hình mà ta có thể bắt chước khi giải những bài toán tương tự,… phát triển một lược đồ như vậy sớm muộn bạn sẽ đi đến một sự phát minh thực sự” [81, tr.163]. Khi bàn về
các bài toán, R. Lesh cho rằng: “ Với các bài toán thực tiễn sử dụng toán học để giải, mục đích không phải là tìm ra câu trả lời, mà tìm ra quy trình giải dẫn đến những câu trả lời” [60]. Quan điểm của tác giả Đào Tam về hoạt động mô hình hóa bao gồm các hoạt động thành phần: phân tích, so sánh, tổng hợp, trừu tượng hóa khái quát, trừu tượng hóa đồng nhất, lí tưởng hóa [100]. Quan điểm của các tác giả Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Thường về sự cần thiết tập luyện cho học sinh biểu diễn các tình huống thực tế bằng các biểu thức chứa biến và ngược lại. Các tác giả đã khẳng định: “Không nên xem nhẹ việc làm này,…chúng góp phần rèn luyện cho học sinh khả năng toán học hóa tình huống thực tế, một yêu cầu quan trọng trong dạy học môn Toán” [58, tr.89 - tr.90].
Những tư tưởng quan điểm vừa dẫn ở trên là những điểm tựa quan trọng cho việc xác định các thành tố cụ thể của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông. Ngoài những quan điểm đã dẫn, chúng tôi cho rằng: cốt lõi của hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn là việc mô tả tình huống đó bằng ngôn ngữ toán học. Xét cho cùng, quá trình đó là sự chuyển đổi các dạng ngôn ngữ để xây dựng các mô hình khác nhau; do đó, vấn đề phát triển ngôn ngữ cần được đặc biệt lưu tâm tới. Bởi vậy, cần phối hợp một cách nhuần nhuyễn việc rèn luyện ngôn ngữ với việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh.
Dựa vào các luận điểm của các nhà khoa học mà chúng tôi đã phân tích trên đây, quan niệm của PISA đã đưa ra ở mục 1.3.1; quan niệm về hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn nêu ra ở mục 1.4.4, chúng tôi cho rằng, các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh Trung học phổ thông bao gồm:
1) Năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn: - Khả năng quan sát tình huống thực tiễn;
- Khả năng liên tưởng, kết nối các ý tưởng toán học với các yếu tố thực tiễn; - Khả năng ước tính, dự đoán các kết quả của tình huống.
2) Năng lực địnhhướng đến các yếu tố trung tâm của tình huống: - Khả năng xác định yếu tố trung tâm của tình huống;
- Khả năng xác lập mối quan hệ giữa các yếu tố; khả năng đánh giá mức độ phụ thuộc;
- Khả năng loại bỏ những gì không bản chất; - Khả năng đặt ra bài toán có nội dung thực tiễn.
3) Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học:
- Khả năng diễn đạt tình huống bằng ngôn ngữ tự nhiên ngắn gọn chính xác; - Khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học;
- Khả năng diễn đạt một vấn đề dưới nhiều hình thức khác nhau. 4) Năng lực xây dựng mô hình toán học:
- Khả năng phát hiện ra quy luật của tình huống thực tiễn;
- Khả năng biểu diễn các yếu tố (đại lượng) thực tế bằng ký hiệu, khái niệm toán học;
- Khả năng biểu đạt các mối quan hệ bằng các mệnh đề toán học, các biểu thức chứa biến.
- Khả năng biểu đạt các mối quan hệ bằng đồ thị, biểu đồ,..;
- Khả năng khái quát hóa các tình huống thực tiễn theo quan điểm của Toán học. 5) Năng lực làm việc với mô hình toán học:
- Khả năng giải toán trên mô hình;
- Khả năng biến đổi mô hình toán học theo dụng ý riêng; - Khả năng dùng mô hình để phán đoán tình huống thực tiễn. 6) Năng lực kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh mô hình:
- Khả năng kiểm tra, đối chiếu kết quả;
- Khả năng phê phán, phát hiện giới hạn của mô hình;
- Khả năng vận dụng suy luận có lý vào việc đưa ra các mô hình toán cho tình huống thực tiễn và biết so sánh tìm ra mô hình hợp lý hơn (để điều chỉnh mô hình toán học).
Dưới đây, chúng tôi sẽ phân tích sơ bộ các thành tố đặc trưng cho năng lực này. Trước hết, chúng ta bàn luận đối với hai thành tố đầu tiên là năng lực thu nhận
thông tin toán học từ tình huống thực tiễn và năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm của tình huống. Trong chương trình ở bậc phổ thông, việc vận dụng tri thức toán học vào việc giải quyết các vấn đề của thực tiễn, chủ yếu thông qua các bài toán ứng dụng. Các bài toán này được phát biểu nửa bằng ngôn ngữ tự nhiên, nửa bằng ngôn ngữ toán học, đã được “chính xác hóa”; thậm chí đáp số gần như hoàn toàn hợp lý. Các bài toán có nội dung thực tiễn chỉ “mô phỏng” một khía cạnh nào đó, thực ra tình huống thực tiễn phức tạp hơn nhiều. Đứng trước tình huống của cuộc sống, con người mới có nhu cầu tự đặt ra bài toán cho riêng mình. Để thực hiện được điều đó, học sinh cần có khả năng quan sát tình huống thực tiễn một cách có chủ đích và khả năng kết nối các ý tưởng toán học với các mối liên hệ của các yếu tố thực tiễn. Một vài tình huống sau đây minh họa các vấn đề đó.
Ví dụ 1. Anh Duy đang mở một cuốn truyện trinh thám trên tay. Hải Yến quan tâm đến những trang nào được em mình mở ra.
“Anh Duy đang mở một cuốn truyện trinh thám trên tay”, đó là một tình huống. Tình huống đó với vấn đề Hải Yến đặt ra là một bài toán; nó sinh ra từ nhu cầu của chủ thể tự đặt ra cho chính mình. Đây là vấn đề quan trọng, bởi vì con người đứng trước tình huống tác động đến bản thân thì mới có nhu cầu đặt ra bài toán. Bản thân bài toán không có sẵn từ trước. Để đặt ra được bài toán, cần căn cứ vào nhu cầu của bản thân chủ thể (điều này đã được trình bày trong mục 1.4.2 Chương 1), trong trường hợp cụ thể này có thể xuất phát từ tính tò mò ham hiểu biết của con người. Bài toán được dẫn ra ở trên là bài toán thực tế mở về phía giả thiết, nếu như học sinh phát hiện ra các số dùng để đánh những trang mở ra là hai số tự nhiên liên tiếp thì họ đã kết nối được yếu tố của thực tiễn với ý tưởng của toán học. Điều này làm cho khả năng sử dụng toán học để giải quyết vấn đề đặt rađược định hình rõ ràng hơn. Với những suy luận vừa đưa ra ở trên, học sinh chưa đủ để giải quyết vấn đề, họ cần có những giả định thêm vào làm giả thiết cho bài toán (tất nhiên là những giả định cần thiết không thừa); chẳng hạn, để giải quyết được tình huống trên, có thể giả định thêm tổng các số đánh vào các trang được mở ra là 73. Ngoài ra, người học cũng cần có khả năng loại trừ những yếu tố không bản chất, chỉ
giữ lại những yếu tố, những mối quan hệ cơ bản. Chẳng hạn, đối với tình huống đã nêu ở trên, yếu tố "truyện trinh thám" có thể loại ra khỏi sự suy xét.
Ví dụ 2. Có một chiếc xe khách xuất phát từ Hà Tĩnh đi ra Hà Nội; vấn đề đặt ra là bao giờ đến Vinh?
Tình huống trong ví dụ 2 thường xảy ra trong cuộc sống hằng ngày. Ta thử xem xét suy nghĩ và thao tác của một học sinh phổ thông khi họ là một hành khách trong chuyến đi này. Rõ ràng, bằng một kiến thức đơn giản được trang bị ở trường, dẫn học sinh quan tâm đến hai đại lượng: khoảng cách từ Hà Tĩnh đến Vinh và vận tốc trung bình của xe khách. Đại lượng thứ nhất (khoảng cách từ Hà Tĩnh đến Vinh 50 km) biết được nhờ trải nghiệm trong cuộc sống; đại lượng thứ hai được xác định phụ thuộc vào năng lực ước tính, dự đoán của chủ thể. Việc ước tính, dự đoán diễn ra trong đầu học sinh phải dựa trên cơ sở quan sát vận tốc tức thời của xe khách tại một số thời điểm trong hành trình của nó.
Đối với thành tố thứ ba nói về năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, đây là thành tố đòi hỏi học sinh cần phải có để tạo tiền đề cho năng