- Hoạt động ngôn ngữ là hoạt động thường xuyên xảy ra trong cả quá trình dạy h ọc, do đó có nhiều cơ hội để thực hiện biện pháp 2.2.2 Tuy nhiên, c ũng cần phả
2.2.4. Biện pháp 4 Rèn luyện cho học sinh kỹ năng xây dựng mô hình toán học cho các tình huống thực tiễn
toán học cho các tình huống thực tiễn
2.2.4.1. Mục đích của biện pháp
Giúp học sinh thực hiện công việc trọng tâm của hoạt động toán học hóa, đó là chuyển các tình huống (có thể được) từ thực tiễn đời sống về dạng toán học.
2.2.4.2. Cơ sở và vai trò của biện pháp
- Khả năng xây dựng mô hình toán của học sinh là một thành tố quan trọng của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn, là cơ sở hình thành phương pháp mô hình hóa ở người học.
- Quá trình xây dựng mô hình toán cho tình huống thực tiễn là quá trình mô tả sự kiện, hiện tượng bằng ngôn ngữ toán học. Do đó, thông qua quá trình này có thể rèn luyện cho người học về mặt ngôn ngữ.
a) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng phát hiện ra quy luật trong tình huống. Để có thể xây dựng mô hình toán học cho tình huống thực tiễn, vấn đề quan trọng nhất là phải nắm được quy luật của tình huống. Tình huống thực tiễn đưa vào trong dạy học là những tình huống đã được sàng lọc, có thể học sinh đã được trải nghiệm hay người học chưa nắm bắt được quy luật của nó.
- Đối với các tình huống thuộc dạng thứ nhất, quy luật của nó thường được mô tả bởi các mối quan hệ giữa các đại lượng, hàm chứa trong các bài toán có nội dung thực tiễn. Trong [58, tr.89], các tác giả cho rằng: "...Mối quan hệ giữa các đại lượng có thể chia thành hai loại, những mối liên hệ cụ thể ở trong bài toán đó và những mối liên hệ tổng quát có tính chất quy luật" và: "Trong khi những mối liên hệ loại thứ nhất được nêu ra trong đề toán thì những mối liên hệ loại thứ hai được coi là những kiến thức học sinh phải nắm vững, những mối liên hệ này không được nêu ra trong bài toán, học sinh cần dựa vào vốn kiến thức của mình để phát hiện ra chúng”. Bởi vậy, khi cung cấp những tình huống dạng này, một mặt yêu cầu học sinh tóm tắt lại tình huống, khắc sâu các mối quan hệ đã cho; mặt khác, tạo điều kiện cho họ liên tưởng tới quy luật đã được nghiên cứu. Tuy đã được trải nghiệm, nhưng không phải vì thế mà học sinh nắm được đầy đủ mặt định tính của tình huống. Giáo viên yêu cầu người học phát biểu lại các quy luật diễn ra trong tình huống (tốt nhất là những quy luật đó được mô tả bởi công thức, biểu thức), đồng thời cho biết ngữ nghĩa và cú pháp của các biểu thức, công thức đưa ra. Sự tác động sư phạm của giáo viên vào các hoạt động nói trên của học sinh ở mức độ nào là tùy thuộc vào trình độ của người học.
- Nếu như chỉ rèn luyện cho học sinh xây dựng mô hình toán học thông qua những tình huống điển hình, thì tri thức học sinh kiến tạo được vẫn khó khăn trong việc vận dụng vào thực tiễn. Cần phải cho học sinh biết rằng những bài toán trong chương trình đã được chính xác hóa bởi các nhà sư phạm, thực tiễn cuộc sống phức tạp hơn nhiều. Trong dạy học Toán, giáo viên phải tận dụng cơ hội một cách hợp lý để đưa vào những tình huống sát với cuộc sống đích thực hơn. Đặc biệt, đối diện với chúng, học sinh chưa thể liên tưởng được với những tình huống điển hình.
Trong những trường hợp như vậy, cần hướng dẫn cho học sinh thu thập dữ liệu, nhằm xây dựng mô hình thực nghiệm để dự đoán quy luật. Trong quá trình dùng thực nghiệm để dự đoán quy luật cần lưu ý với học sinh dự đoán phải kết hợp nhuần nhuyễn với suy luận. Các tác giả của sách giáo khoa toán phổ thông cũng rất chú ý đến các hoạt động dự đoán, kiểm nghiệm của học sinh. Như đã dẫn, một số tác giả của sách giáo khoa môn Toán ở trường Trung học phổ thông cho rằng: “Trước đây, có xu hướng chỉ coi trọng rèn luyện tư duy (tư duy logic, tư duy sáng tạo, tư duy biện chứng,…) và trí tưởng tượng không gian. Tuy nhiên, nhiều công trình nghiên cứu đã chứng tỏ rằng: phát triển tư duy cho học sinh không thể tách rời việc rèn luyện các kỹ năng của khoa học thực nghiệm (quan sát, dự đoán, kiểm chứng,…)” [38, tr.15]. Điều mấu chốt là phải hình thành ở học sinh quy trình làm việc khi đối mặt với những tình huống quy luật của nó chưa hiện hình rõ. Quy trình đó là:
Thu thập dữ liệu Xây dựng mô hình thực nghiệm Dự đoán quy luật Xây dựng mô hình toán học. Vớiý đồ như vậy, có thể thấy rằng mô hình toán học phản ánh tình huống thực tiễn ít khi chính xác tuyệt đối. Đối với các tình huống thực tiễn dạng này, cần rèn luyện cho học sinh các kỹ năng sau để dự đoán quy luật:
+ Kỹ năng thu thập dữ liệu: biết lấy dữ liệu từ những địa chỉ đáng tin cậy;biết lấy mẫu thực nghiệm đúng nguyên tắc.
+ Kỹ năng xây dựng mô hình thực nghiệm: biết sắp xếp mẫu, thu gọn mẫu;biết biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ: đồ thị, biểu đồ,...
+ Kỹ năng dự đoán quy luật: biết dựa vào mô hình thực nghiệm và trình độ toán học của mình để dự đoán quy luật.
Cần chú ý rằng không phải bao giờ cũng có thể dự đoán được quy luật của tình huống bằng phương pháp như đã trình bày, bởi các sự vật hiện tượng xảy ra rất đa dạng và phong phú. Tuy nhiên, lựa chọn những tình huống có thể thực hiện đượcđể luyện tập cho học sinh hoạt động này là một điều đáng quý. Thông qua quá trình này, người học ý thức được quy trình sử dụng công cụ toán để nghiên cứu các vấn đề của thực tiễn. Để đạt được mục đích này, giáo viên cần phải có sự chuẩn bị tỉ mỉ,
nhất là chuẩn bị các tình huống thực tiễn đưa vào dạy học; giúp học sinh kết hợp giữa dự đoán và suy diễn để tìm quy luật của tình huống.
Trong quá trình hướng dẫn cho học sinh phát hiện ra quy luật cho tình huống thực tiễn, giáo viên cũng cần phải chú ý rằng: đây cũng là một cơ hội rất tốt để rèn luyện cho người học tư duy biện chứng, biết nhìn nhận sự vật hiện tượng trong sự vận động và phát triển, trong mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau. Bởi vậy, cần quán triệt vấn đề này để khai thác trong dạy học các tình huống cụ thể.
b) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng đặt biến cho các yếu tố (đại lượng).
Sau khi học sinh phát hiện ra quy luật của tình huống và phát biểu lại tình huống bằng ngôn ngữ riêng của mình, công việc tiếp theo là phải hướng dẫn người học đặt biến cho các đại lượng. Hoạt động này là một thao tác thể hiện việc chuyển
ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ toán học. Cần lưu ý với học sinh: gán các biến cho những đại lượng nào mà việc biểu diễn các đại lượng khác thông qua nó được dễ dàng, nhiều khi biến được đặt cho các đại lượng trung gian không được phát biểu tường minh trong bài toán. Mặt khác, cũng phải cân nhắc việc dùng các ký hiệu cho các biến, đây là một vấn đề thuộc về phạm trù ngôn ngữ. Theo G. Polya thì: "Thời gian mà ta dành để chọn ký hiệu sẽ trả công rất hậu về sau, bởi thời gian tiết kiệm được nhờ tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn." [82]. Các ký hiệu thường nhất quán và người ta thường dùng các chữ cái đầu tiên của tên đối tượng để ký hiệu; chẳng hạn ký hiệu t cho thời gian (xuất phát “từ time”), ký hiệu d cho khoảng cách (xuất phát từ “distance”),...
c) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng biểu thị tình huống thực tiễn thông qua những biểu thức chứa biến và bằng biểu đồ, đồ thị, hình vẽ.
Vấn đề này liên quan chặt chẽ với các vấn đề trình bày ở các mục a) và b), là một cơ sở quan trọng để thiết lập mô hình toán học cho tình huống thực tiễn. Ở đây, giáo viên cho học sinh thấy rõ: một tổ hợp các mối liên hệ toán học mô tả quy luật của tình huống chính là mô hình của nó. Có thể các mối quan hệ này được diễn tả bằng các biểu thức chứa biến thông qua những quy luật mà học sinh đã nắm được. Biểu thứccàng đơn giản, mô hình toán học càng tốt. Ngoài ra, cần hướng dẫn người
học đa dạng hóa nhiều loại mô hình mô tả tình huống thực tiễn. Đây là cơ sở cho việc tìm ra nhiều phương án giải quyết vấn đề mà con người quan tâm. Một điều cần chú ý là xây dựng mô hình toán học dạng đồ thị, biểu đồ, bản đồ, hình vẽ,... để mô tả các tình huống thực tiễn trong dạy học toán. Các mô hình dạng đồ thị cũng có tính ưu việt riêng của nó. Theo các tác giả Ted Herr và Ken Johnson việc sử dụng đồ thị có lợi thế là trực quan được tình huống, làm cho vấn đề dễ hiểu hơn và họ cũng khuyến khích việc sử dụng đồ thị thường xuyên dạy học [130, tr. 474]. Trong chương trình toán phổ thông, người ta cũng dùng đồ thịđể mô tả các hiện tượng vật lý. Chẳng hạn, dùng đồ thị của hàm số để mô tả chuyển động đều, chuyển động nhanh dần đều, chuyển động tròn đều,... Các hiện tượng này học sinh đã được trải nghiệm qua môn Vật lý, vì thế họ nắm được quy luật qua các công thức. Giáo viên nên cho học sinh mô tả những quy luật đó bằng đồ thị trong các cơ hội dạy học có liên quan. Cần dành thời gian thích đáng để rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ đồ thị các hàm số quen thuộc bằng tay, kỹ năng sử dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad, Maple,… để vẽ đồ thị các hàm số tùy ý. Cùng với các hoạt động đó, học sinh phải thông hiểu ý nghĩa đặc trưng của các yếu tố trên đồ thị. Đây là một vấn đề quan trọng, nếu không thực hiện được điều này, khó có thể chuyển được các yếu tố của thực tiễn sang đồ thị hay bản vẽ trên trang giấy. Để đạt được điều này, thông thường giáo viên đặt ra các vấn đề sau đây cho học sinh:1) Các đại lượng A, B,C,... được mô tả bằng yếu tố nào trên đồ thị? 2) Mối quan hệ giữa đại lượng A và đại lượng B được mô tả như thế nào trên hình vẽ? Với những tác động đó, học sinh sẽ nắm một cách đầy đủ mô hình đồ thị mà mình dựng được, tạo điều kiện thuận lợi cho việc "phiên dịch" tình huống thực tiễn sang tình huống trong toán học.Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Một xe tải nhỏ ở trạng thái nghỉ chuyển động nhanh dần đều, sau 8s đạt đến vận tốc 6m/s. Sau đó, nó chuyển động đều.
a, Tìm quãng đường đi của xe tải trong 20s đầu tiên.
b, 12 giây sau khi xe tải khởi hành, một chiếc taxi chuyển động nhanh dần đều theo hướng xe tải, sau 8s nó gặp xe tải. Tìm vận tốc của taxi khi gặp xe tải.
Bài toán trên có thể lồng ghép vào phần ôn tập Chương 2: "Hàm số bậc nhất và bậc hai" của Đại số lớp 10, với mục đích kép là ôn tập chương và rèn luyện kỹ năng xây dựng mô hình mô tả các tình huống thực tiễn. Bài toán này đã được các nhà khoa học sư phạm chính xác hóa, tình huống trong bài toán học sinh đã được trải nghiệm qua môn học Vật lý. Trong bài toán này, mối liên hệ thuộc dạng thứ nhất bao gồm: vận tốc tức thời của xe tải sau khi chuyển động được 8s là 6m/s, các mối liên hệ khác thuộc dạng thứ hai (những mối liên hệ có được xuất phát từ vốn kiến thức của người học). Để cho học sinh liên tưởng tới những gì đã có, giáo viên nên đặt ra các câu hỏi: Em đã gặp tình huống nào tương tự tình huống trong bài toán? Có gì khác nhau? Trong tình huống đã gặp, công thức nào mô tả quy luật? Ý nghĩa của những công thức này là gì? .... Với những tác động sư phạm đó, người học liên tưởng tới các công thức S = V0t +at2/2, S = Vt là các quy luật của chuyển động nhanh dần đều và chuyển động đều. Để có thể mô tả được tình huống một cách cụ thể hơn, họ cần xác định các đại lượng có mặt trong các công thức nói trên. Nhờ vào mối liên hệ: vt v0at (mối liên hệ dạng thứ hai) và giả thiết của bài toán
; 0
0
v vận tốc tức thời ở giây thứ 8 là 6m/s (mối liên hệ dạng thứ nhất), học sinh xác định được gia tốc của xe tải trong chuyển động nhanh dần đều là a = ¾ (m/s2). Kết quả sự liên tưởng của học sinh về những gì họ đã trải nghiệm, cùng với sự gợi ý tế nhị của giáo viên đã giúp họ kết nối được các yếu tố của thực tiễn với các tư tưởng của toán học. Từ đó, học sinh bộc lộ tất cả những vấn đề trong suy nghĩ qua hoạt động đã được sàng lọc sau:
Gọi biến t là thời gian chuyển động của xe tải (tính bằng giây); S(t) là quãng đường đi được của nó, khi đó:
8 t nÕu 8) - 6(t 24 8 t 0 nÕu 2 8 3 ) (t t S (*)
(*) là mô hình toán học mô tả diễn biến chuyển động của xe tải; đó là mô hình của tình huống thực tiễn.
Công việc tiếp theo là giáo viên yêu cầu học sinh diễn tả nhu cầu cần biết sau 20s xe tải đi được quãng đường là bao nhiêu thành một nội dung toán học. Điều này không có khó khăn gì đối với học sinh,khi đã có mô hình (*) họ diễn tả được:
Tìm S(20); biết rằng: 8 t nÕu 8) - 6(t 24 8 t 0 nÕu 2 8 3 ) (t t S (**)
Nhu cầu cần biết được vận tốc của taxi tại thời điểm gặp xe tải cũng phảiđược biểu diễn bởi một mệnh đề toán học (có thể hướng dẫn học sinh đến việc lập một phương trình với ẩn số là vận tốc v của taxi). Giáo viên lưu ý với học sinh rằng, quãng đường xe tải chuyển động trong 20s đúng bằng quãng đường taxi đi trong 8s đầu tiên. Đây là cơ sở cho việc thiết lập phương trình ẩn v. Từ đó, học sinh có thể mô tả nhu cầu trên bởi việc cần giải phương trình:
S(20)4v; với 8 t nÕu 8) - 6(t 24 8 t 0 nÕu 2 8 3 ) (t t S (***)
Với quan niệm như đã trình bày trong Chương 1, thì (*) là mô hình của tình huống thực tiễn và (**); (***) là các mô hình của bài toán đã cho.
Các mô hình toán ở trên có thể được thiết lập bởi học sinh lớp 10, bởi lẽ tình huống vật lý này các em đã được trải nghiệm. Đối với học sinh lớp 12, các em đã được học tích phân xác định, hiểu được ý nghĩa của công cụ toán học này; bởi vậy, có thể hướng dẫn mô hình hóa tình huống trên theo một dạng khác. Có thể đặt vấn đề với học sinh như sau: hãy mô tả các trạng thái chuyển động bằng mối liên hệ giữa vận tốc và thời gian bằng đồ thị. Với tác động trực tiếp như vậy, người học có thể dựng được đồ thị mô tả tình huống như hình 2.6.
Hình 2.6 là đồ thị mô tả hàm vận tốc của các chuyển động mà chúng tôi đã hướng dẫn người học xây dựng trong quá trình làm thực nghiệm. Đường gấp khúc OAB biểu diễn sự biến thiên của vận tốc xe tải trong thời gian 20s chuyển động; đoạn DE biễu diễn sự biến thiên vận tốc của taxi chuyển động trong 8s.
Hình 2.6 0 8 12 20 D E V(t) C B A 6 t
Nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng sử dụng ngôn ngữ để biểu đạt tình huống thực tiễn, giáo viên nên yêu cầu người học trả lời các câu hỏi sau: Gia tốc