- Động cơ của hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh sẽ không xu ất hiện nếu như không có động cơ học tập môn Toán B ởi vậy, cần phả
2.2.2.3. Một vài nét sơ lược về ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học
Cùng với hoạt động, trước hết là hoạt động lao động sản xuất, ngôn ngữ là yếu tố quyết định tách hẳn con người ra khỏi thế giới động vật. Quá trình phát triển của xã hội loài người diễn ra đồng thời với việc hình thành và phát triển ngôn ngữ tự nhiên từng vùng, từng lãnh thổ, đây cũng là một trong những điều kiện để phân định các dân tộc, các quốc gia. Đối với con người, ngôn ngữ là phương tiện để giao tiếp, là biểu hiện của tư duy. Thông qua giao tiếp để truyền đạt và lĩnh hội thông tin, cá nhân bộc lộ trình độ nhận thức, vốn văn hóa và tính cách của mình. Con người từ khi sinh ra đã "đắm mình" một cách vô thức trong ngôn ngữ của cộng đồng đang chung sống; đó là một loại ngôn ngữ hỗn tạp, hay có, dở có, có cái chuẩn, cái chưa chuẩn. Trong quá trình hình thành và phát triển nhân cách của mỗi cá nhân có sự sàng lọc về ngôn ngữ, làm cho nó ngày càng chuẩn xác và trong sáng hơn. Đặc biệt, khi các ngành khoa học hình thành và phát triển, một cách rất tự nhiên xuất hiện
"tiếng nói riêng" của chúng: ngôn ngữ toán học, ngôn ngữ văn học, ngôn ngữ vật lí, ngôn ngữ hóa học,... Con người ngày càng được trau dồi vốn ngôn ngữ của mình.
Ngôn ngữ toán học theo nghĩa hẹp là ngôn ngữ được xây dựng trên hệ thống các ký hiệu toán học. Ngôn ngữ toán học theo nghĩa rộng bao hàm ngôn ngữ toán học theo nghĩa hẹp và các thuật ngữ toán học, hình vẽ, mô hình, biểu đồ, đồ thị,… có tính chất quy ước nhằm diễn đạt các nội dung toán học được chính xác, logic và ngắn gọn. Ngôn ngữ toán học có hai phương diện: ngữ nghĩa (Semantic) và cú pháp (Syntactic). Trong toán học, người ta phân biệt cái kí hiệu và cái được kí hiệu; cái biểu diễn và cái được biểu diễn. Nếuxem xét phương diện những cái kí hiệu, những cái biểu diễn, đi vào cấu trúc hình thức để xác định và biến đổi chúng thì đó là phương diện cú pháp. Nếu xem xét phương diện những cái được kí hiệu, những cái được biểu diễn tức là đi vào nội dung, nghĩa của những cái kí hiệu, nghĩa của những cái biểu diễn thì đó là phương diện ngữ nghĩa (dẫn theo[58, tr.80]). W. Walsch cho rằng: phương diện ngữ nghĩa của ngôn ngữ toán học là xem xét nội dung của các mệnh đề toán học; phương diện cú pháp của ngôn ngữ toán học là xem xét cấu trúc hình thức và sự biến đổi hình thức của những biểu thức toán học, sự làm việc theo những quy tắc xác định và nói riêng là sự làm việc theo thuật giải (dẫn theo [58, tr.80]). Có thể nói, ngữ nghĩa và cú pháp của ngôn ngữ toán học được xem như là các mặt nội dung và hình thức của phạm trù này. Ngôn ngữ toán học là kết quả của sự sáng tạo con người để biểu đạt các sự kiện toán học, là sự khắc phục ngôn ngữ tự nhiên theo các khuynh hướng sau: 1) Khắc phục sự cồng kềnh của ngôn ngữ tự nhiên; 2) Mở rộng khả năng biểu đạt; 3) Loại bỏ tính đa nghĩa của ngôn ngữ tự nhiên. Theo các tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình, ngôn ngữ toán học khác với ngôn ngữ tự nhiên ở chỗ: tính gọn gàng, khả năng biểu đạt chính xác các tư tưởng toán học, rất thích hợp trong việc biểu đạt được các quy luật chung do ngôn ngữ toán học có sử dụng ngôn ngữ biến [46, tr.95]. Mặt khác, ngôn ngữ toán học có tính chất uyển chuyển, một ký hiệu toán học trong những ngữ cảnh khác nhau có thể biểu đạt những nội dung khác nhau. Chẳng hạn, ký hiệu AB có thể biểu đạt là đoạn thẳng AB hay cũng có thể là độ dài đoạn thẳng AB; ở một ngữ
cảnh khác, nó có thể biểu đạt là đường thẳng AB,.... Tính uyển chuyển và tính chặt chẽ của ngôn ngữ toán học tưởng chừng là mâu thuẫn với nhau nhưng kỳ thực nó bổ sung cho nhau và đây là một đặc điểm rất quan trọng của ngôn ngữ toán học. Một điều quan trọng cần được trình bày: ngôn ngữ toán học là công cụ sắc bén trong nhận thức khoa học. Sự ra đời của số 0 cho phép loài người xóa bỏ hệ thống tính từng cấp và phát triển hệ thống tính thập phân. Sự ra đời của các ký hiệu tích phân, vi phân cho phép con người giải quyết dễ dàng các bài toán tính diện tích, tính thể tích, các bài toán về cơ học,... mà trước đây chỉ có các nhà toán học tầm cỡ mới giải quyết được (dẫn theo [114]). Khoa học Toán học ngày càng phát triển, ngôn ngữ toán học cũng không ngừng cải tiến và ngày càng chính xác tinh vi hơn, xuất hiện xu hướng phát triển ngôn ngữ các chuyên môn hẹp: ngôn ngữ đại số, ngôn ngữ hình học, ngôn ngữ vectơ, ngôn ngữ nhóm,... Thực tiễn trong khoa học Toán học cho thấy rằng, những công trình nổi tiếng gần đây đều được giải quyết bằng các cách sử dụng nhiều loại hình ngôn ngữ của các ngành chuyên môn hẹp khác nhau.
2.2.2.4. Hướng dẫn thực hiện biện pháp
Việc rèn luyện ngôn ngữ cho học sinhđều phải thông qua hoạt động ngôn ngữ.
Hoạt động ngôn ngữ là hoạt động xảy ra hằng ngày trong cuộc sống đời thường, thể hiện nhiều nhất qua hình thức giao tiếp giữa con người với con người. Trong dạy học nói chung, dạy học toán nói riêng đều hàm chứa hoạt động ngôn ngữ, đó là hoạt động giao tiếp giữa giáo viên và học sinh, giữa học sinh và học sinh. Theo tác giả Phan Thiều, quy trình giao tiếp giữa cá nhân A và cá nhân B được diễn ra như sau: A tổng hợp các thông tin thành ý YA và dùng vốn ngôn ngữ của mình xây dựng thành câu CA, sau đó biểu đạt câu CA ra ngoài (theo hình thức nói hoặc viết). Người nghe (đọc) B tiếp nhận thông tin thành ý YB của mình, sau đó sử dụng vốn ngôn ngữ cấu trúc lại thành câu CB. Trường hợp lý tưởng, YA trùng YB, CA trùng CB nhưng điều này trên thực tế không xảy ra, thông thường YA có khác YB chút ít nhưng họ vẫn hiểu được nhau. Và cứ thế, họ truyền đạt cho nhau những thông tin thông qua giao tiếp [106]. Tuy nhiên, hoạt động ngôn ngữ như đã mô tả ở trên, sẽ
không xảy ra nếu như cá nhân trong ngữ cảnh giao tiếp không có vốn ngôn ngữ, đặc biệt là ngôn ngữ chuyên môn mà nội dung giao tiếp đề cập đến.
Trong dạy học Toán, tác giả Nguyễn Bá Kim cho rằng: "Những hoạt động ngôn ngữ được học sinh thực hiện khi họ được yêu cầu phát biểu, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc biệt là bằng lời lẽ của mình, hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác, chẳng hạn từ dạng kí hiệu toán học sang dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngược lại." [55, tr.100]. Thông qua các dạng hoạt động này, giáo viên rèn luyện cho học sinh cả về ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Để đạt được mục đích nói trên, cần thực hiện những vấn đề sau đây:
a) Tập luyện cho học sinh diễn đạt những tình huống, bài toán theo cách hiểu riêng của mình, dưới nhiều hình thức khác nhau
Hoạt động này một mặt giúp giáo viên kiểm tra mức độ nhận thức của người học; mặt khác, thông qua đó để rèn luyện cho học sinh cả về ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Không những thế, sự diễn đạt các tình huống theo nhiều cách khác nhau còn là cơ sở cho việc đa dạng hóa mô hình mô tả các sự kiện, hiện tượng. Bởi vậy, cần phải chú ý tổ chức hoạt động này trong cả quá trình dạy học Toán.
Thứ nhất, khi dạy học những định nghĩa, định lý, cần khuyến khích học sinh phát biểu những nội dung này theo cách hiểu riêng của họ và dưới nhiều hình thức khác nhau. Mục đích của Luận án là nhằm phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học Đại số và Giải tích; tuy nhiên không cách biệt với các vấn đề khác, nhất là các vấn đề liên quan đến diễn đạt, mô tả. Trong chương trình phổ thông, nhiều đối tượng toán học được định nghĩa bằng nhiều cách khác nhau, nhiều định lý toán học cũng có thể thay đổi một vài điều kiện để được một mệnh đề tương đương. Bởi vậy, trong quá trình dạy học Toán cần khuyến khích học sinh phát biểu định nghĩa, định lý theo cách hiểu riêng của họ và dưới nhiều hình thức khác nhau để góp phần đạt được mục đích nói trên. Hoạt động này trong dạy học là một hoạt động phức tạp, cần phân bậc theo trình độ của người học; có thể đề xuất một phương án dạy học có 3 mức độ như sau:
- Mức độ 1. Học sinh độc lập tự phát biểu những định nghĩa, định lý bằng cách hiểu riêng của họ. Mức độ này là mức độ cao nhất, đòi hỏi người học phải nắm chắc kiến thức và thuần thục về ngôn ngữ mới có thể thực hiện được.
- Mức độ 2. Học sinh phát biểu lại định nghĩa, định lý toán học bằng các hình thức khác nhau, dưới sự hướng dẫn của giáo viên.
- Mức độ 3. Học sinh kiểm tra, lựa chọn những phát biểu đúng trong những định nghĩa, định lý mà giáo viên đưa ra, trong đó có những phát biểu không chuẩn xác và tiến hành bình luận và sửa chữa sai phạm trong những cách diễn đạt đó.
Ví dụ 1. Định lý về tính chất hàm liên tục [37, tr.138]: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b)0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a;b)sao cho
0 ) (c
f .
Trong chương trình chuẩn, định lý này được thừa nhận, không chứng minh. Thay vào đó, sách giáo khoa minh họa định lý bằng đồ thị và các ví dụ áp dụng cụ thể. Chúng tôi cho rằng: khi dạy định lý này, ngoài những hoạt động mà sách giáo khoa yêu cầu, cần tập luyện cho học sinh phát biểu lại định lý theo các cách khác nhau. Chẳng hạn:
* Ở mức độ 1, học sinh nắm được bản chất vấn đề và có thể phát biểu lại định lý nói trên theo các cách sau:
+ Cách 1: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b)0 thì phương trình f(x)0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
+ Cách 2: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b)0 thì đồ thị hàm sốy f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm thuộc khoảng (a;b).
Sau khi người học đưa ra cách phát biểu thứ hai, giáo viên có thể mô tả tính liên tục của hàm sốđược thể hiện trên đồ thị là đường “liền mạch” và có thể liên hệ với một tình huống trong cuộc sống: nếu đắp một con đường từ vị trí A đến vị trí B ở hai phía của một con mương thì buộc phải đắp qua mương.
* Ở mức độ 2, sau khi thực hiện xong các hoạt động mà sách giáo khoa yêu cầu, đưa ra gợi ý cho học sinh: có thể thay đổi kết luận của định lý bằng một mệnh
đề khác tương đương với nó được không? Từ đó, người học thực hiện liên tưởng và tìm ra cách phát biểu dạng khác của định lý.
* Ở mức độ 3, trình độ học sinh còn thấp nên giáo viên trình bày một số cách phát biểu đã được chuẩn bị, trong đó có những mệnh đề không chuẩn xác. Tiến hành cho học sinh bình luận các phát biểu đó. Chẳng hạn, có thể đưa ra các phát biểu sau:
i) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b)0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a;b)sao cho f(c)0.
ii) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b)0 thì đồ thị hàm số )
(x f
y cắt trục hoành ít nhất tại một điểm thuộc khoảng (a;b).
iii) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b)0 thì phương trình 0
) (x
f có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
iv) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b)0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a;b)sao cho f(c)0.
v) Nếu hàm số f(x) xác định trên đoạn [a;b] và f(a)f(b)0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a;b)sao cho f(c)0.
Tổ chức tập luyện những hoạt động như trình bày ở trên trong dạy học Toán sẽ làm cho khả năng sử dụng ngôn ngữ của học sinh không ngừng được cải thiện. Không những thế, hoạt động trên còn góp phần hình thành ở người học cách nhìn nhận sự vật hiện tượng theo nhiều cách khác nhau trong mối quan hệ với sự vật hiện tượng khác. Đó là một yếu tố quan trọng cho việc hình thành tư duy biện chứng cho người học, là tiền đề cho khả năng phát hiện ra các quy luật trong thực tiễn đời sống.
Thứ hai, tập luyện cho học sinh hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ giữa các lĩnh vực đại số và hình học để giải quyết tình huống theo nhiều cách khác nhau; trên cơ sở đó, người học thấy được vai trò của đại số trong việc “đại số hóa hình học”. Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ diễn đạt giữa các lĩnh vực đại số và hình học góp phần rất lớn trong việc bồi dưỡng ngôn ngữ toán học cho học sinh (tăng cường ký hiệu, công thức,… để diễn đạt các tình huống toán học). Mặt khác, nó làm
cho học sinh thấy được chương trình toán học phổ thông là một chỉnh thể thống nhất, các lĩnh vực đan xen với nhau, hỗ trợ lẫn nhau, giúp người học khám phá các tri thức toán học. Trong các lĩnh vực riêng của ngôn ngữ toán học, ngôn ngữ đại số xâm nhập vào hình học, tạo nên xu thế “đại số hóa hình học”, làm cho bộ môn Hình học trong nhà trường phổ thông trở thành Hình học giải tích. Các đối tượng của Hình học tổng hợp là điểm, đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng, tứ diện,… chúng là mô hình của một số vật thể trong không gian. Qua vấn đề “đại số hóa” chúng trở thành bộ số, phương trình, hệ phương trình,… Do đó, những yếu tố đại số này cũng có thể coi là những mô hình toán của các vật thể trong không gian. Như vậy, với việc “đại số hóa hình học”, phạm vi mô tả các tình huống thực tiễn của ngôn ngữ đại số được tăng lên. Học sinh có nhiều cách mô tả tình huống, làm cho khả năng toán học hóa tình huống thực tiễn cũng được cải thiện. Bởi vậy, trong dạy học Toán, nhất là dạy học phần Hình học Giải tích, giáo viên cần tổ chức cho học sinh hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ giữa đại số và hình học. Công việc đầu tiên là mô tả các hình hình học bằng ngôn ngữ đại số. Điều đó, được thể hiện qua bảng tổng hợp 2.1.
Đối tượng hình học tổng hợp Ngôn ngữ đại số mô tả
Điểm trong mặt phẳng Bộ số (a;b) Điểm trong không gian Bộ số (a;b;c)
Đường tròn trong mặt phẳng Phương trình 2 2 2
) ( ) (xa yb R Đường thẳng trong mặt phẳng Phương trình axbyc0;trong đó 0 2 2 b a hoặc là hệ phương trình bt y y at x x 0 0 ;trong đó tR;a2 b2 0.
Mặt phẳng trong không gian
Phương trình: AxByczD0; trong đó 0 2 2 2 B C A .
Đường thẳng trong không gian Hệphương trình ; 0 0 1 1 1 z C y B x A D Cz By Ax
trong đó 0 2 1 1 2 1 1 2 1 1 C B C B C A C A B A B A . hoặc hệphương trình ct z z bt y y at x x 0 0 0 ; trong đó ; 2 2 2 0 R a b c t . ……….. ………. Bảng 2.1
Không những chỉ là hệ thống lại các dạng ngôn ngữ mô tả các đối tượng như trên, trong dạy học Toán cần cho học sinh thấy được tác dụng của việc dùng nhiều dạng ngôn ngữ để giải quyết một bài toán theo nhiều cách khác nhau.
Thứ ba, yêu cầu học sinh diễn đạt lại tình huống hay bài toán có nội dung thực tiễn do giáo viên ủy thác bằng cách hiểu riêng của mình. Một tình huống do học sinh quan sát được hay một nguồn tin khác đưa lại, chưa thể chuyển ngay sang ngôn