- Hoạt động ngôn ngữ là hoạt động thường xuyên xảy ra trong cả quá trình dạy h ọc, do đó có nhiều cơ hội để thực hiện biện pháp 2.2.2 Tuy nhiên, c ũng cần phả
2.2.5 Biện pháp 5 Tổ chức cho học sinh khai thác các chức năng của mô hình, đồng thời kiểm tra và điều chỉnh mô hình toán học
hình, đồng thời kiểm tra và điều chỉnh mô hình toán học
2.2.5.1. Mục đích của biện pháp
Giúp người học khai thác mô hình trên nhiều phương diện khác nhau, đưa toán học xâm nhập sâu rộng vào trong đời sống thực tiễn.
Thứ nhất, mô hình toán học của tình huống thực tiễn là công cụ đắc lực giúp con người nghiên cứu khám phá các tình huống mà nó mô tả. Bởi vậy, trong dạy học toán, cần tổ chức cho học sinh khai thác các chức năng của mô hình, quen dần với việc sử dụng mô hình toán trong các hoạt động thực tiễn. Thứ hai, bản thân mô hình cũng là một bài toán nên có thể khai thác, phục vụ cho mục đích dạy học. Mặt khác, khai thác các chức năng của mô hình mới phát hiện rađiểm còn tồn tại, làm cơ sở cho việc điều chỉnh mô hình. Thực hiện được biện pháp này có thể đạt được nhiều mục đích trong dạy học, đồng thời góp phần đưa toán học thâm nhập sâu rộng vào trong cuộc sống.
2.2.5.3. Hướng dẫn thực hiện biện pháp
Trước khi khai thác các chức năng của mô hình, phải làm cho học sinh hiểu rõ về mô hình. Những vấn đề học sinh cần nắm chắc ở đây là: 1) Lớp đối tượng mà mô hình phản ánh; 2) Hình thức ngôn ngữ dùng để xây dựng mô hình; 3) Các yếu tố trên mô hình mô tả những khía cạnh của thực tiễn. Nếu như mô hình do người học tự xây dựng thì có thể bỏ qua công đoạn này; ngược lại, cần phải thực hiện một cách nghiêm túc, trước khi hướng dẫn học sinh khai thác các chức năng của nó. Trong phạm vi của Luận án, chúng tôi khai thác các chức năng sau của mô hình: khai thác mô hình trên phương diện là một bài toán thuần túy toán học, phục vụ cho mục đích dạy học; rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng mô hình trong việc dự đoán, ước tính tình huống; biến đổi mô hình (thí nghiệm trên mô hình) theo dụng ý sư phạm khác nhau.
a) Khai thác các bài toán trên một số mô hình phục vụ cho mục đích dạy học đồng thời giúp học sinh nắm chắc công cụ này trong việc vận dụng vào thực tiễn.
Giải toán là hoạt động toán học chủ yếu ở trường phổ thông. Thông qua giải các bài toán, tri thức, kỹ năng được củng cố góp phần phát triển toàn diện nhân cách người học. Đối với việc giải bài toán trên mô hình, ngoài những tác dụng như trên, còn nhằm vào mục đích là tìm câu trả lời cho vấn đề thực tiễn đặt ra. Chúng tôi cho rằng, giải toán trên mô hình, theo một nghĩa nào đó, là sự chuyển đối ngôn ngữ toán học để biến mô hình toán học ban đầu về một mô hình toán học quen thuộc mà việc
giải quyết vấn đề đặt ra được dễ dàng. Năng lực giải toán của học sinh được thể hiện qua việc người học sử dụng ngôn ngữ toán học để giải quyết nhiệm vụ đó.
Trong chương trình môn Toán ở bậc phổ thông, các mô hình của tình huống thực tiễn có tính khái quát cao có thể kể đến là các phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, mô hình của bài toán kinh tế, hàm số mũ mô tả sự tăng trưởng (suy giảm) của sự sống,… Hệ thống các mô hình dạng này có tầm quan trọng trong dạy học, vì các lý do sau: 1) Chúng là các “chìa khóa” giúp cho người học giải quyết được một lớp các bài toán rộng rãi trong cuộc sống. 2) Nhiều mô hình còn là một bài toán hấp dẫn, có thể khai thác phục vụ mục đích dạy học. Bởi vậy, khi dạy học các mô hình dạng này cần chú ý các vấn đề sau đây:
1) Khai thác lời giải của các bài toán, góp phần phát triển trí tuệ cho người học; 2) Chỉ ra quy tắc thuật giải (hay tựa thuật giải ) của bài toán đó.
Sau đây là một ví dụ về việc khai thác mô hình toán theo phương diện đó. Ví dụ 1. Bài toán mà sách giáo khoa Đại số 10 đưa ra là một ví dụ cụ thể, áp dụng vào kinh tế, sau khi đã mô hình hoá có dạng:
Cho f(x,y)axby, trong đó a, b không đồng thời bằng 0. Tìm Maxf(x,y)
với (*) , 0 , ,..., 1 ; 0 ; 2 2 y x m i b a c y b x ai i i i i ; trong đó (*) xác định một miền đa giác lồi.
Trước khi bàn luận đến vấn đề giải quyết bài toán trên mô hình, chúng tôi xin có một vài ý kiến về bài toán này. Đây là bài toán quy hoạch tuyến tính được đưa vào trong sách giáo khoa Đại số 10 dưới dạng một ví dụ áp dụng sau phần bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, góp phần gắn chặt tri thức toán học với thực tiễn đời sống. Thông qua những tri thức toán học như vậy, ta có thể rèn luyện cho học sinh tư tưởng tối ưu hoá, tư duy thuật giải, tư duy kinh tế,…tạo điều kiện hình thành ở họ tác phong công nghiệp, lao động có kỹ thuật, sống có kỷ luật. Sách giáo khoa Đại số 10 chỉ xét bài toán trên, với giả thiết tập các điểm (x,y) thoả mãn điều kiện (*) biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là miền của một đa giác lồi. Đồng thời đưa ra cách giải như sau: xác định miền đa giác lồi thoả mãn điều kiện
(*), sau đó tìm các giá trị của f(x,y)tại các đỉnh, so sánh các giá trị tìm được và đưa ra kết luận. Tính chân lý của cách làm này được làm sáng tỏ ởbài đọc thêm liền đó. Tuy là một ví dụ cụ thể, nhưng sách giáo khoa đã đưa vấn đề này vào trong chương trình rất hợp lý cả về dung lượng kiến thức lẫn phương thức trình bày, đảm bảo cho mỗi học sinh dù là đối tượng nào cũng có thể lĩnh hội kiến thức phù hợp cho mình. Về mặt dung lượng kiến thức, sách giáo khoa chỉ xét bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc mà hàm mục tiêu là hàm 2 biến, có tập phương án là miền đa giác lồi, nhằm đảm bảo tính vừa sức đối với học sinh và phù hợp với tri thức về hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn vừa được trình bày trước đó. Về phương thức trình bày, sách giáo khoa đã đưa vấn đề này vào trong chương trình dưới hai cấp độ: cấp độ 1 là thừa nhận để áp dụng, cấp độ 2 là bổ sung thêm phần làm sáng tỏ cho phương pháp. Như vậy, giáo viên có thể căn cứ vào đối tượng cụ thể học sinh của mình mà tìm phương án dạy học cho phù hợp. Tuy nhiên, ở cấp độ 2, việc lý giải của sách giáo khoa còn dựa vào trực quan và có vấn đề còn bỏ ngỏ. Bởi vậy, có thể khai thác vấn đề này để hoàn thiện công cụ giải quyết các bài toán trong thực tiễn, đồng thời phát triển trí tuệ cho học sinh. Trong dạy học, giáo viên có thể xây dựng một hệ thống các tình huống sau cho người học khám phá, tự nhận thức ra vấn đề.
Tình huống 1: Hãy tìm GTLN và GTNN của hàmf(x,y)axby trong đó
2 2
0
a b , xác định trên đoạn thẳng AB thuộc mặt phẳng tọa độ, biết rằng đoạn thẳng AB xác định bởi: a'x + b'y +c = 0, trong đó pxq(hoặc pyq)
Trong tình huống này, không khó khăn lắm, học sinh sẽ nhận ra được trong hai điểm A và B có một điểm f(x,y) đạt GTLN, điểm còn lại hàm đạt GTNN. Thầy giáo cần đưa ra một ví dụ cụ thể, sao cho a = a'; b = b' để cho người học nhận ra cũng có trường hợp f(x,y) là hàm hằng trên đoạn AB và như vậy thì nó đạt GTLN và GTNN tại mọi điểm của đoạn thẳng AB.
Tình huống 2: Cho hàm số f(x,y)axby trong đó 2 2
0
a b , xác định trên miền tam giác ABC cho trước. Hãy xác định GTLN và GTNN của f(x,y) trong các trường hợp sau: a) Trên tam giác ABC; b) Trên miền tam giác ABC.
Không những thế, họ có thể thu được kết quả tổng quát hơn là: giả sử f(x,y)axby
trong đó 2 2
0
a b , xác định trên đa giác A1A2...An tùy ý. Khi đó:
1 2 1 2 1 2 1 2 Max ( , ) / ( , ) ... ax ( ); ( );... ( ) in ( , ) / ( , ) ... ( ); ( );...; ( ) n n n n f x y x y A A A M f A f A f A M f x y x y A A A Min f A f A f A
Chúng tôi cho rằng với việc cài đặt các tình huống theo một thứ tự có dụng ý là một sự gợi ý tế nhị cho học sinh, khi chuyển sang xét trường hợp b, một câu hỏi rất tự nhiên đặt ra cho người học: có thể xảy ra hay không?
ax ( , ) / ( , ) ax ( , ) / ( , ) ;
( , ) / ( , ) ( , ) / ( , )
M f x y x y ABC M f x y x y ABC
Min f x y x y ABC Min f x y x y ABC
,
Trong đó [ABC] là ký hiệu miền tam giác ABC? Với sự định hướng đó, học sinh sẽ tự đặt ra cho mình nhiệm vụ chứng minh mệnh đề:
Nếu f A( )Maxf A( ); ( ); ( )f B F C thì f A( )Maxf x y( , ) / ( , )x y ABC. Để chứng minh mệnh đề đó, học sinh có thể lấy điểm M tùy ý thuộc miền trong của tam giác ABC, nối A với M cắt BC tại I. Sử dụng kết quả tình huống 1, họ sẽ nhận được f M( )maxf A f I( ); ( ); hơn nữa f I( ) f A( ) nên f M( ) f A( ). Mặt khác, mọi điểm M thuộc tam giác ABC, đều có f M( )f A( )(điều này được suy ra từ kết quả b, của tình huống 1). Từ đó, suy ra: Maxf A f B f C( ); ( ); ( )Maxf x y( , ) / ( , )x y ABC. Tương tự, người học sẽ nhận được:
( ); ( ); ( ) ( , ) / ( , )
Min f A f B f C Min f x y x y ABC
Dựa vào tình huống 1, học sinh dễ dàng nhận ra kết quảđối với trường hợp a, là: Max ( , ) / ( , ) ax ( ); ( ); ( ) in ( , ) / ( , ) ( ); ( ); ( ) f x y x y ABC M f A f B f C M f x y x y ABC Min f A f B f C Hình 2.12 C M I B A
Tình huống 3. Cho hàm số f(x,y)axby trong đó 2 2
0
a b , xác định trên miền một đa giác lồi A1A2...An cho trước. Hãy xác định GTLN và GTNN của hàm f(x,y) trên miền đa giác đó.
Đối với tình huống này, giáo viên nên để cho học sinh kiến tạo tri thức; bởi lẽ những thao tác tiếp theo của họ đã được bản thân tình huống 2 gợi ý. Có thể hình dung công việc tiếp theo của học sinh như sau: giả sử tại A1 hàm f(x,y) đạt GTLN (GTNN) trên đa giác này, tiến hành phân hoạch miền đa giác bởi các các đường chéo qua A1 thành các miền tam giác (hình 2.13)
Có thể hình dung công việc tiếp theo của học sinh như sau: giả sử tại A1 hàm f(x,y) đạt GTLN (GTNN) trên đa giác này, tiến hành phân hoạch miền đa giác bởi các các đường chéo qua A1 thành các miền tam giác (điều này thực hiện được bởi đa giác đã cho là đa giác lồi).
Áp dụng kết quả của tình huống 2, họ suy ra được hàm f(x,y) đạt GTLN (GTNN) trên từng miền tam giác tại A1 và từ đó suy ra nó đạt GTLN (GTNN) trên miền đa giác tại điểm A1. Kết thúc tình huống này cũng là lúc thầy giáo cho học sinh thảo luận và đưa ra kết quả:
1 2 1 2 1 2 1 2 M ax ( , ) / ( , ) ... ax ( ); ( );...; ( ) ; ( , ) / ( , ) ... ( ); ( );...; ( ) n n n n f x y x y A A A M f A f A f A M in f x y x y A A A M in f A f A f A
Cuối cùng, giáo viên có thể hệ thống lại cho người học phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm f(x,y)axby, trong đó 2 2
0
a b , xác định trên miền đa giác A1A2...An như sau:
- 1) Xác định tọa độ các đỉnh A1 , A2 , ..., An;
- 2) Tính f(A1), f(A2), ..., f(An); và tìm GTLN, GTNN của f(x,y)axby theo quy tắc: 1 2 1 2 1 2 1 2 M ax ( , ) / ( , ) ... ax ( ); ( );...; ( ) ; ( , ) / ( , ) ... ( ); ( );...; ( ) n n n n f x y x y A A A M f A f A f A M in f x y x y A A A M in f A f A f A A1 Hình 2.13
3) Kết luận:
- Nếu chỉ có duy nhất đỉnh Ai sao cho:
( ); ( );...; ( )
)
(Ai Max f A1 f A2 f An
f ( f(Ai)Minf(A1);f(A2);...;f(An)) thì f(Ai) là GTLN (GTNN) của f(x,y) trên miền đa giác đã cho; giá trị đó đạt tại đỉnh Ai.
- Nếu tồn tạicác đỉnh Ai và Aj , sao cho: ( ); ( );...; ( ) max ) ( ) (Ai f Aj f A1 f A2 f An f ( ); ( );...; ( )) min ) ( ) (
(f Ai f Aj f A1 f A2 f An , với i j thì f(Ai) là GTLN (GTNN) của f(x, y) trên miền đa giác đã cho; giá trị đó đạt tại mọi điểm thuộc đoạn thẳng AiAj.
Ngoài các mô hình có tính khái quát cao như đã dẫn ra ở trên, còn có các mô hình khác mà lời giải bài toán trên chúng chưa được định hình rõ ràng. Đây là một cơ hội để giáo viên khai thác khía cạnh tìm tòi lời giải bài toán; góp phần phát triển trí tuệ cho người học. Có thể, dẫn ra đây một ví dụ.
Ví dụ 2. Hãy xác định cách cắt đi ở 4 bốn góc tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80cm50cm bốn hình vuông bằng nhau để khi gập lại được một chiếc hộp không nắp có dung tích lớn nhất.
Đây là một bài toán trong sách Bài tập Đại số lớp 10 nâng cao, không khó khăn lắm học sinh thực hiện được công đoạn sau:
Gọi x là kích thước của các hình vuông bị cắt đi, x tính bằng cm và x thuộc (0;25). Khi đó đáy của hình hộp được tạo ra có các kích thước là 802x;502xvà chiều cao là x. Do đó, dung tích của hình hộp không nắp là
( ) (80 2 )(50 2 ); (0; 25)
V x x x x x (*)
Biểu thức (*) là mô hình toán mô tả dung tích của hình hộp. Bài toán trên mô hình này là tìm giá trị lớn nhất của V(x) trên khoảng (0;25).
Đối với học sinh lớp 10, cách giải bài toán trên chưa được định hình rõ ràng. Đây là cơ hội để cho giáo viên phát triển trí tuệ chongười học qua công đoạn tìm tòi lời giải. Có một học sinh đã lập luận như sau: V(x) đạt giá trị lớn nhất khi và chi khi 4V(x) đạt GTLN hay 4x(80 -2x)(50 -2x) đạt GTLN (với x trong khoảng (0;25). Vì
3 34 80 2 50 2 130 4 80 2 50 2 130 4 (80 2 )(50 2 ) ( ) ( ) 3 3 x x x x x x
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 4x80 2 x50 2 x130 / 3. Điều này, không xảy ra. Vậy, không thể cắt được 4 góc 4 hình vuông, để gập lại được một chiếc hộp không nắp có dung tích lớn nhất(?!).
Chúng tôi đã để cho học sinh thảo luận cách giải quyết ở trên. Đa số các em “cảm nhận” được cách giải quyết ở trên sai ở khâu: tìm GTLN của V(x) nhưng không phát hiện ra cụ thể là sai ở điểm nào. Chúng tôi đã đặt ra câu hỏi cho người học: khẳng định 3 10 đúng hay sai? Thực tiễn cho thấy, nhiều em khẳng định là "sai"; một số khác còn lưỡng lự không trả lời. Qua đó, có thể thấy được nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh trong tình huống này là do không nắm chắc mặt ngữ nghĩa của kí hiệu toán họcAB. ABcó nghĩa là ABhoặcAB. Trong trường hợp AB, có thể AB. Do đó trong trường hợp bất đẳng thức
3 3 4 80 2 50 2 130 4 (80 2 )(50 2 ) ( ) ( ) 3 3 x x x x x x
đã không xảy ra dấu "=". Qua sai lầm này của học sinh, ta thấy được vai trò quan trọng của ngôn ngữ trong dạy học Toán nói chung và trong việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn nói riêng.
Chỉ ra sai lầm của học sinh ở trên là hết thức cần thiết, nhưng không nên phủ định sạch trơn tất cả những gì mà học sinh đã trình bày. Giáo viên nên xem lại lời giải của học trò để lượm lặt những “đốm sáng” làm cơ sở cho sự tác động của mình. Rõ ràng, suy nghĩ của học sinh trong cách giải trên tuy chưa hoàn hảo nhưng đã có những sáng tạo. Em đã biết biến đổi mô hình bài toán, từ việc tìm GTLN của V qua việc tìm GTLN của 4V để vế trái của nó là tích của các thừa số có tổng 130 không đổi. Phát hiện điều này thầy giáo nên có tác động: suy nghĩ của em đã đúng hướng, hãy tạo nên một bất đẳng thức dạng trên nhưng dùng được bất đẳng thức Cosi trong