Wiles nghĩ rằng mình cần bắt đầu quá trình nghiên cứu từ các bài toán nhỏ hơn, lần lượt từng bước một. Đầu tiên có lẽ anh phải để ý đến tập hợp các hàm elliptic và xem mình có thể làm được gì đối với tập hợp này. Đây là một cách tiếp cận hay vì tách công việc ra như thế, dần dần anh có thể hiểu rõ từng tập hợp hàm. Trước hết, người ta đã biết rằng một số đường cong elliptic là modula. Đây là các kết quả rất quan trọng được nhiều nhà lý thuyết số khác tìm ra. Nhưng Andrew Wiles đã sớm nhận ra rằng việc chỉ xét các đường cong elliptic và thử đếm chúng để đối chiếu với các dạng modula có lẽ không phải là một cách tiếp cận hay vì anh đang làm việc với hai tập hợp vô hạn. Thực tế, anh cũng không tiến gần tới lời giải hơn chút nào so với André Weil đa nghi khi ông ta nói: "Tôi không thấy bất kỳ lý do nào phản bác lại giả thuyết ấy vì cả hai tập hợp đó đều đếm được (vô hạn nhưng có bậc vô hạn của các số nguyên và các số hữu tỷ, không phải bậc vô hạn cao hơn của các số vô tỷ và continuum), nhưng tôi cũng không thấy bất kỳ lý do nào để ủng hộ cho cái giả thuyết
này...". Sau hai năm chẳng đi đến đâu, Wiles lại thử một cách tiếp cận mới. Anh nghĩ rằng mình có thể biến đổi các đường cong elliptic thành các biểu diễn Galois, rồi sau đó đếm các biểu diễn Galois để đối chiếu với các dạng modula.
Ý tưởng này thật tuyệt vời mặc dù nó không phải là hoàn toàn mới mẻ. Nguyên lý đằng sau ý tưởng này khá lý thú. Các nhà lý thuyết số quan tâm tới việc tìm nghiệm của các phương trình, như phương trình Fermat chẳng hạn. Lý thuyết toán học về các trường số đặt bài toán này trong trường hợp các trường mở rộng. Các trường là các tập hợp vô hạn và rộng lớn, rất khó phân tích. Do đó, các nhà lý thuyết số thường sử dụng lý thuyết Galois để chuyển các bài toán này từ các trường phức tạp sang cái gọi là các nhóm. Thông thường một nhóm được sinh ra bởi một tập hợp hữu hạn (hơn là vô hạn) các phần tử. Vì vậy, việc sử dụng lý thuyết Galois cho phép các nhà lý thuyết số chuyển từ một tập hợp vô hạn sang một tập hợp được biểu diễn bởi một tập hữu hạn. Phép biến đổi một bài toán như thế tạo ra một bước tiến quan trọng vì thao tác trên tập hợp hữu hạn các phần tử dễ hơn nhiều so với tập hợp vô hạn. Việc đếm chỉ có ý nghĩa đối với một số lượng hữu hạn các phần tử. Cách tiếp cận này hình như có thể thực hiện đối với một vài tập hợp các đường cong elliptic. Đây là một bước đột phá thành công, nhưng một năm sau Wiles lại mắc kẹt lần nữa.